Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Елементарна математика. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
3. Модуль. Числова пряма 41
ІІ спосіб (геометричний).
Геометрично нерівність
1 2
x
означає, що від-
даль від точки
x
до точки
1
менша за
2
(рис. 1).
Отже,
( 3;1).
x
Рис. 1 до зад. 3.1.2
ІІІ спосіб (графічний).
[Будуємо графік
1
y x
і пряму
2.
y
]
Розв’язком нерівності
1 2
x
є проекція на
вісь
Ox
частини графіка
1 ,
y x
яка розта-
шована нижче за пряму
2
y
(рис. 2).
Отже,
( 3;1).
x
Рис. 2 до зад. 3.1.2
3.1.3. Розв’яжіть нерівність
1 2.
x
Розв’язання.
[1.7.4.2]
І спосіб (аналітичний).
1 2, 1,
1 2 ( ; 3] [1; ).
1 2, 3,
x x
x x
x x
ІІ спосіб (геометричний).
Геометрично нерівність
1 2
x
означає, що
віддаль від точки
x
до точки
1
не менша за
2
(рис. 1). Отже,
( ; 3] [1; ).
x
Рис. 1 до зад. 3.1.3
ІІІ спосіб (графічний).
[Будуємо графік
1
y x
і пряму
2.
y
]
Розв’язком нерівності
1 2
x
є проекція на
вісь
Ox
частини графіка
1 ,
y x
яка розта-
шована не нижче за пряму
2
y
(рис. 2).
Отже,
( ; 3] [1; ).
x
Рис. 2 до зад. 3.1.3
3.2. Розкрити модуль у виразі
2 2 .
y x x
Розв’язання.
[1.7.1.]
Коренями виразів, які стоять під знаком модуля, є числа
1 2
2, 2.
x x
Вони розбивають числову вісь н
а 3 області:
I, II, III .
[Вказуємо знаки виразів
2
x
та
2
x
в
кожній з цих областей і звільняємось від зна-
ка модуля.]
Рис. до зад. 3.2
І.
2, ( 2) ( 2) 2 2 2 .
x y x x x x x
ІІ.
2 2, ( 2) ( 2) 2 2 4.
x y x x x x
ІІ.
2, ( 2) ( 2) 2 2 2 .
x y x x x x x
x
2
2
I
II
III
y
x
O
1
y x
2
y
1
3
1
x
1
1
3
2
2
y
x
O
1
y x
2
y
1
3
1
x
1
1
3
2
2
42 Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
3.3. 1. Позначте на числовій прямій точки
2
( 1), ( 2), , ( 2 1)
3
A B C D
і
знайдіть
, , , .
AB BC AD BD
2. Позначте на числовій прямій точки
3
( 3), , 3 , (1 3)
2
A B C D
і
знайдіть
, , , .
AB BC AD DC
3.4. Визначити довжину
AB
відрізка, заданого точками:
1)
(3)
A
та
(11);
B
2)
(5)
A
та
(2);
B
3)
( 1)
A
та
(3);
B
4)
( 5)
A
та
( 3).
B
3.5. Обчисліть координату точки
,
A
якщо відомі:
1)
(3)
B
і
5;
AB
2)
( 1)
B
і
2.
AB
3.6. На числовій прямій позначте множину точок, віддаль від яких до точки
(1)
M
(для непарних пунктів) і точки
( 2)
N
(для парних) числової пря-
мої:
1) дорівнює
2;
2) дорівнює
3;
3) менше
2;
4) менше
3;
5) більше
2;
6) більше
3;
7) не більше
3;
8) не більше
2;
9) не менше
3;
10) не більше
2.
3.7. Позначте на числовій осі числа, модуль яких дорівнює:
1)
3;
2)
5.
3.8. Запишіть за допомогою модуля твердження:
1) «віддаль від точки
x
до точки
5
дорівнює
2
»;
2) «віддаль від точки
y
до точки
3
дорівнює
1
».
3.9. Знайдіть модуль числа:
1)
4;
2)
5;
3)
2
log 3;
4)
1 2
arctg log 5;
5)
cos 4;
6)
sin 102 ;
7)
7 3;
8)
3,15;
9)
3 10 ;
10)
2
10 .
3.10. Запишіть без знака модуля вираз:
1)
2 , ( ; 2);
x x
2)
2 , (2; );
x x
3)
2 4 3 , (2; 3);
x x x x
4)
1 3 5 , [1; 5).
x x x
3. Модуль. Числова пряма 43
3.11. Розкрийте модуль у виразі:
1)
3 ;
x
2)
4 ;
x
3)
1 ;
x x
4)
1 .
x
3.12. Знайдіть всі значення
,
x
для яких правдива рівність:
1)
2;
x
2)
;
x
3)
3;
x
4)
2;
x
5)
;
x x
6)
;
x x
7)
1;
x x
8)
1;
x
x
9)
1 0;
x x
10)
2 2 0;
x x
11)
1 ;
x x x
12)
( 1) .
x x x
3.13. Розв’яжіть рівняння:
1)
1 2;
x
2)
3 1;
x
3)
2 1 4;
x
4)
3 2 6;
x
5)
5 2 2;
x
6)
1 2;
x
7)
3 5;
x x
8)
1 5 3;
x x
9)
1 2 1;
x x
10)
5 1 2;
x x
11)
3 2 5;
x x
12)
1 2 4 ;
x x
13)
1 5 ;
x x
14)
4 ;
x x
15)
4 1;
x
16)
1 1 2.
x
3.14. Розв’яжіть нерівність:
1)
1;
x
2)
3;
x
3)
2;
x
4)
0;
x
5)
1 3;
x
6)
2 3;
x
7)
1 3;
x
8)
5 1;
x
9)
2 1;
x
10)
2 3;
x
11)
2 3 2;
x
12)
3 2 3;
x
13)
1 1;
x x
14)
1 2.
x x
3.15. Схарактеризуйте геометрично розташування точок, координати яких
справджують такі нерівності:
1)
1;
x
2)
2;
x
3)
2;
x
4)
3;
x
44 Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ
5)
2 1;
x
6)
3 2;
x
7)
3 2;
x
8)
3 2.
x
3.16. Запишіть за допомогою знака модуля нерівність:
1)
7 7;
a
2)
1, 5 1, 5;
a
3)
2
a
або
2;
a
4)
5
a
або
5;
a
5)
2 6;
x
6)
4 2;
x
7)
2
x
або
6;
x
8)
4
x
або
2.
x
3.17. Спростіть вираз:
1)
2
;
a
2)
2
;
a
a
3)
2
(2 ) ;
a
4)
2
( 3) ;
a
5)
2 2
6 9 6 9;
a a a a
6)
2 2
( 1) ;
a a
7)
;
a a
a a
8)
1 1
.
b b
b b
Відповіді
3.3. 1)
2
1 2, 2 , 2, 1;
3
AB BC AD BD
2)
9 3
2, 3 , 4 3, 2 3 1.
2 2
AB BC AD DC
3.4. 1)
8;
2)
3;
3)
4;
4)
2.
3.5. 1)
2
або
8;
2)
3
або
1.
3.8. 1)
5 2;
x
2)
3 1.
y
3.9. 1)
4;
2)
5;
3)
2
log 3;
4)
1 2
arctg log 5;
5)
cos 4;
6)
sin 102 ;
7)
3 7;
8)
3,15 ;
9)
10 3;
10)
2
10 .
3.10. 1)
2 ;
x
2)
2;
x
3)
6 14;
x
4)
4 16.
x
3.11. 1)
3, 3,
3 , 3;
x x
x x
2)
4, 4,
4, 4;
x x
x x
3)
1 2 , 0,
1, 0 1,
2 1, 1;
x x
x
x x
4)
1, 1,
1, 1 0,
1, 0 1,
1, 1.
x x
x x
x x
x x
3.12. 1)
{ 2;2};
2)
{ ; };
3)
;
4)
;
5)
[0; );
6)
( ; 0);
7)
{ 1};
8)
(0; );
9)
;
10)
;
11)
1;
12)
{0;2}.
3.13. 1)
{ 1; 3};
2)
{ 4; 2};
3)
5 3
, ;
2 2
4)
4 8
; ;
3 3
5)
;
6)
{ 3; 3};
7)
{ 1; 4};
8)
;
9)
[ 2; 1];
10)
2;
11)
[2; );
12)
{3;7};
13)
{2};
14)
{2};
15)
{ 5; 3; 3; 5};
16)
{ 2; 4}.
4. Многочлени 45
3.14. 1)
( ; 1] [1; );
2)
( ; 3) (3; );
3)
;
4)
{0};
5)
( 3; 1) (1; 3);
6)
[ 3; 2) (2; 3];
7)
( 2; 4);
8)
[ 6; 4];
9)
( ;1] [3; );
10)
( ; 1) (5; );
11)
1 5
; ;
2 2
12)
5 1
; ; ;
3 3
13)
[0;1];
14)
.
3.16. 1)
7;
a
2)
1, 5;
a
3)
2;
a
4)
5;
a
5)
4 2;
x
6)
1 3;
x
7)
4 2;
x
8)
1 3.
x
3.17. 1)
, 0,
, 0;
a a
a a
2)
1, 0,
1, 0;
a
a
3)
2, 2,
2 , 2;
a a
a a
4)
3, 3,
3, 3;
a a
a a
5)
2 , 3,
6, 3 3,
2 , 3;
a a
a
a a
6)
1, 0,
2 1, 0 1,
1, 1;
a
a a
a
7)
0, 0;
a
8)
2, 0,
2
, 0.
b
b
b
4. Многочлени
Навчальні задачі
4.1. Розв’язати рівняння
2 4 0.
x
Розв’язання.
[2.13.1.]
4
2 4 0 2 4 2.
2
x x x
2.
x
4.2.1. Розв’язати рівняння
2
3 4 0.
x x
Розв’язання. [1.8.3.]
[Крок 1. Виписуємо коефіцієнти рівняння
2
0.
ax bx c
]
1, 3, 4.
a b c
[Крок 2. Знаходимо дискримінант квадратного рівняння.]
2
3 4 1 4 9 16 25.
D
[Крок 3. Аналізуємо наявність чи відсутність коренів. Якщо корені є, знаходи-
мо їх за формулою [1.8.3.2.]]
Оскільки дискримінант
0,
D
то квадратне рівняння має два різних корені:
1
1,2
2
3 5
4,
3 25 3 5
2
3 5
2 1 2
1.
2
x
x
x
1 2
4, 1.
x x
4.2.2. Розв’язати рівняння
2
9 12 4 0.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.]
9, 12, 4.
a b c
46 Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ
2
12 4 9 4 144 144 0.
D
Оскільки дискримінант
0,
D
то квадратне рівняння має два рівні корені
[один двократний корінь]:
1 2
12 12 2
.
2 9 18 3
x x
1,2
2
.
3
x
4.2.3. Розв’язати рівняння
2
1 0.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.]
1, 1, 1.
a b c
2
1 4 1 1 1 4 3.
D
Оскільки дискримінант
0,
D
то квадратне рівняння не має дійсних коренів.
Розв’язків немає.
4.3.1. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
2
2 3 0.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.4.]
[Записуємо співвідношення теореми Вієта і підбираємо розв’язки системи.]
1 2 1
2
1 2 2
2; 1,
2 3 0
3 3.
x x x
x x
x x x
1 2
1, 3.
x x
4.3.2. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
2
6 5 0.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.4.]
1 2 1
2
1 2 2
6; 1,
6 5 0
5. 5.
x x x
x x
x x x
1 2
1, 5.
x x
4.3.3. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
2
2 1 0.
x x
Розв’язання. [1.8.3.4.]
[Ділимо рівняння на старший коефіцієнт.]
2
1 1
0
2 2
x x
1
1 2
2
1 2
1
1,
;
2
1
1
.
.
2
2
x
x x
x
x x
1 2
1
1, .
2
x x
4. Многочлени 47
4.4. Розкласти на множники тричлен
2
16 15 1.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.3.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного рівняння.]
16, 15, 1.
a b c
2
15 4 16 1 225 64 289 0.
D
1
1,2
2
1
15 17
,
16
32
1.
x
x
x
[Крок 2. Розкладаємо многочлен на множники.]
2
1
16 15 1 16 1 16 1 1 .
16
x x x x x x
4.5. Скоротити дріб
2
2
2 7 4
.
5 4
x x
x x
Розв’язання.
[1.8.3.3.]
[Розкладаємо многочлени в чисельнику і знаменнику дробу на множники.]
2
2 7 4 0.
x x
2
2, 7, 4.
7 4 2 ( 4) 49 32 81 0.
a b c
D
1
1,2
2
1
7 81 7 9
,
2
2 2 4
4.
x
x
x
2
1
2 7 4 2 4 .
2
x x x x
2
5 4 0.
x x
2
1, 5, 4.
5 4 1 4 25 16 9 0.
a b c
D
1
1,2
2
1,
5 9 5 3
4.
2 1 2
x
x
x
2
5 4 1 4 .
x x x x
[Підставляємо розкладені многочлени і скорочуємо дріб.]
2
2
1
2 4
2 7 4 2
5 4
x x
x x
x x
1 4x x
2 1
.
1
x
x
48 Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ
4.6.1. Вилучити повний квадрат з многочлена
2
4 5.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.1.]
2 2 2 2 2
4 5 2 2 2 2 5 ( 2) 1.
x x x x x
4.6.2. Вилучіть повний квадрат з многочлена
2
2 9 5.
x x
Розв’язання.
[1.8.3.1.]
2 2
2
2
2
2
9 5
2 9 5 2
2 2
9 9 5 81 9 121
2 2 2 .
4 2 16 4 8
4
x x x x
x x x
4.7.1. Розділити многочлени у стовп-
чик
3 2
1
.
2
x x x
x
Розв’язання.
[Ділити многочлени припиняють тоді,
коли степінь остачі стане меншим за
степінь дільника.]
3 2
3 2
2
2
2
1
2
2
3 5
3 1
3 6
5 1
5 10
9
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
[Записуємо відповідь.]
3 2
2
2
1
1
9
3 5 .
2
x x x
x x
x x
x
4.7.2. Розділити многочлени у стовп-
чик
5 2
2
1
.
1
x x
x x
Розв’язання.
5 2
2
5 4 3
3 2
4 3 2
4 3 2
2
2
1
1
2
1
2 1
2 2 2
2 3
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x
x
5 2
2
3 2
2
1
1
2 3
2 .
1
x x
x x
x
x x
x x
4.8. Розкласти за формулою різниці квадратів:
1)
2 2
4 ;
a b
2)
10
4 1;
a
3)
;
x y
4)
.
x y
Розв’язання.
[1.9.8.1.]
1.
2 2 2 2
4 (2 ) ( 2 )( 2 ).
a b a b a b a b
2.
10 5 2 2 5 5
4 1 (2 ) 1 (2 1)(2 1).
a a a a
4. Многочлени 49
3.
2 2
( ) ( ) ( )( ).
x y x y x y x y
4.
4 4 4
2 2
4 4 4
( ) ( ) ( )( ).
x y x y x y x y
4.9. Розкласти за формулою різниці (суми) кубів:
1)
3
27 ;
a
2)
6
125;
a
3)
;
x y
4)
1 .
a
Розв’язання.
[1.9.8.2.]
1.
3 3 3 2
27 3 (3 )(9 3 ).
a a a a a
2.
6 2 3 3 2 4 2
125 ( ) 5 ( 5)( 5 25).
a a a a a
3.
3
3 3
3
3 3 2 2
3 3 3
( ) ( ) ( )( ).
x y x y x y x xy y
4.
6 6 6 3
3 3
1 1 ( ) (1 )(1 ).
a a a a a
4.10. Піднести до квадрату:
1)
2
( 2) ;
x
2)
2
(2 3) .
a
Розв’язання.
[1.9.6.1.]
1.
2 2 2 2
( 2) 2 2 2 4 4.
x x x x x
2.
2 2 2 2
(2 3) (2 ) 2 2 3 3 4 12 9.
a a a a a
4.11. Піднести до кубу:
1)
3
( 2) ;
x
2)
3
(2 3) .
a
Розв’язання. [1.9.6.2.]
1.
3 3 2 2 3 3 2
( 2) 3 2 3 2 2 6 12 8.
x x x x x x x
2.
3 3 2 2 3 3 2
(2 3) (2 ) 3 (2 ) 3 3 2 3 3 8 36 54 27.
a a a a a a a
4.12. Обчислити:
1)
4 !;
2)
0
5
;
C
3)
1
5
;
C
4)
2
5
.
C
Розв’язання.
[1.9.1, 1.9.3.]
1.
4 ! 1 2 3 4 24.
2.
0
5
5 !
1.
0 ! 5 !
C
3.
1
5
5 ! 5 ! 5 4 !
5.
1!(5 1)! 4 ! 4 !
C
4.
2
5
5 ! 5 ! 5 4 3 !
10.
2 !(5 2)! 2 ! 3 ! 1 2 3 !
C
50 Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ
4.13. Скоротити дріб:
1)
( 2)!
;
!
n
n
2)
!
.
( 3)!
k
k
Розв’язання.
[1.9.1.]
1.
( 2)! ( 2)( 1) !
( 2)( 1).
! !
n n n n
n n
n n
2.
! ( 1)( 2)( 3)!
( 1)( 2).
( 3)! ( 3)!
k k k k k
k k k
k k
4.14. Розкласти біном
6
( ) .
a b
Розв’язання.
[1.9.3, 1.9.5.]
[Виписуємо формулу для бінома у згорнутому вигляді і розгортаємо його.]
6
6 6
6
0
0 6 0 1 5 1 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 1 5 6 0 6
6 6 6 6 6 6 6
( )
k k k
k
a b C a b
C a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b
[Обчислюємо біноміальні коефіцієнти.]
0 6 1 5 2 4
6 6 6 6 6 6
3
6
6 ! 6 ! 6 5
1; 6; 15;
1! 5 ! 2 ! 4 ! 2
6 ! 6 5 4
20.
3 ! 3 ! 1 2 3
C C C C C C
C
[Підставляємо знайдені коефіцієнти.]
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
( ) 6 15 20 15 6 .
a b a a b a b a b a b ab b
4.15.1. Розв’язати нерівність
2 8.
x
Розв’язання.
[2.13.1.]
8
2 8 4.
2
x x x
(4; ).
x
4.15.2. Розв’язати нерівність
3 15.
x
Розв’язання.
[2.13.1.]
15
3 15 5.
3
x x x
( ; 5].
x
4.16.1. Розв’язати нерівність
2
6 8 0.
x x
Розв’язання.
[2.13.2.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного тричлена.]
1 2 1
1 2 2
6, 2,
8 4.
x x x
x x x
.