Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Елементарна математика. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
10. Парні, непарні і періодичні функції 91
13)
arccos(cos );
y x
14)
arcsin(sin );
y x
15)
arcctg(ctg );
y x
16)
arctg(tg ).
y x
Відповіді
9.4. 1)
( ) [0; 3];
D y
2)
( ) ( ; 1] [0; );
D y
3)
(6; 7) (7; );
4)
( ) ( 4; 3) ( 3; );
D y
5)
2
( ) 0; ;
5
D y
6)
( ) [ 1;11];
D y
7)
2
, ;
3
x n n
8)
, .
3
x n n
9.5. 1)
( ) [1; );
E y
2)
( ) ( ;14];
E y
3)
( ) [4; 6];
E y
4)
( ) [4; 8];
E y
5)
( ) 0; ;
2
E y
6)
( ) 0; ;
2
E y
7)
1
( ) ; 5 ;
5
E y
8)
1
; 3 .
3
y
10. Парні, непарні і періодичні функції
Навчальні задачі
10.1.1. Дослідити на парність (непарність) функцію
7 3
3 2 sin .
y x x x
Розв’язання.
[2.12.1, 2.12.2.]
[Крок 1. Виписуємо область означення функції і перевіряємо її на симетрич-
ність щодо точки
0.
]
Область означення
( ) ( ; )
D y
є симетричною щодо точки
0.
[Крок 2. Знаходимо
( ).
y x
]
7 3 7 3
( ) 3( ) 2( ) sin( ) 3 2 sin .
y x x x x x x x
[Крок 3. Порівнюємо
( )
y x
з
( ).
y x
]
( ) ( ).
y x y x
[Крок 4. Висновуємо про функцію
.
y
]
Функція
y
є непарною.
10.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію
2
cos
.
25
x
y
x
Розв’язання.
[2.12.1, 2.12.2.]
Область означення
( ) ( ; 5) ( 5; 5) (5; )
D y
є симетричною щодо
точки
0.
2 2
cos( ) cos
( ) .
( ) 25 25
x x
y x
x x
( ) ( ).
y x y x
Функція
y
є парною.
92 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
10.1.3. Дослідити на парність (непарність) функцію
2
.
1
x
y
x
Розв’язання.
[2.12.1, 2.12.2]
Область означення
( ) ( ;1) (1; )
D y
не є симетричною щодо точки
0.
Функція
y
ні є парною, ні є непарною (загального вигляду).
10.1.4. Дослідити на парність (непарність) функцію
2 .
x
y
Розв’язання.
[2.12.1, 2.12.2.]
Область означення
( ) ( ; )
D y
є симетричною щодо точки
0.
( ) 2 .
x
y x
( ) ( ), ( ) ( ).
y x y x y x y x
Функція
y
ні є парною, ні є непарною.
10.2. Продовжити функцію
2
,
y x
(0; )
x
на
( ; 0]
так, щоб продов-
жена функція на
стала:
1) парною; 2) непарною:
Розв’язання.
[2.12.1, 2.12.2.]
Продовжуємо функцію
2
y x
на проміжок
( , 0)
виразом
( )
y g x
і дооз-
начуємо в точці
0
x
значенням
a
:
(0) .
y a
1. Для парності функції потрібно, щоб
2 2
( ; 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
(0) ( 0) .
x y x g x y x x x
y a y a
Значення
a
можна вибирати довільно.
Отже,
2
( ) , ( ; 0), (0)
y x x x y
(рис. 1).
Рис. 1 до зад. 10.2
2. Для непарності функції потрібно, щоб
2 2
( ; 0)
( ) ( ) ( ) ( ) ;
(0) ( 0) 0.
x
y x g x y x x x
y a y a a
Отже,
2
( ) , ( ; 0]
y x x x
(рис. 2).
Рис. 2 до зад. 10.2
10.3.1. З’ясувати, чи є функція
2
( ) cos 2
f x x
періодичною і визначити найменший
період
.
T
Розв’язання.
[2.15.5, 2.12.6, 2.8.2.]
y
x
O
y
x
O
(0)
y
10. Парні, непарні і періодичні функції 93
Оскільки
2
1 cos 4
cos 2 ,
2
x
x
то період заданої функції збігається з періодом
функції
cos 4 .
x
Функція
cos
x
періодична з найменшим періодом
2 .
Отже, найменший період
T
функції
cos 4
x
дорівнює
2
.
4 2
T
Функція
( )
f x
є періодичною; найменший період функції
.
2
T
10.3.2. З’ясувати, чи є функція
( ) tg 2 tg
2 3
x x
f x
періодичною і визначити най-
менший період
.
T
Розв’язання.
[2.12.5, 2.12.6, 2.8.3.]
Найменший період функції
tg
2
x
дорівнює
1
2 ,
T
а найменший період функ-
ції
tg
3
x
дорівнює
2
3 .
T
Найменшим періодом функції
( ) tg 2 tg
2 3
x x
f x
є «найменше спільне крат-
не» чисел
2
та
3
— число
6 .
T
Функція
( )
f x
є періодичною; найменший період функції
6 .
T
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
10.4. З’ясувати, чи функція
f
є парна, непарна чи загального вигляду, якщо:
1)
2
( ) cos ;
x
f x e x
2)
2
( ) 8 20;
f x x x
3)
( ) arcsin( 1);
f x x
4)
3
2
;
1
x
y
x
5)
1
ln ;
1
x
y
x
6)
4
1
, ( 1;1);
1
y x
x
7)
2 sin
;
5
x
y
x
8)
3 3 ;
y x x
9)
2
, ( ;1];
y x x
10)
sin , [0; ].
y x x
10.5. Продовжити функцію
( ),
f x
(0; )
x
на
( ; 0]
так, щоб функція на
була: а) парною, б) непарною:
1)
( ) 1;
f x x
2)
( ) 1.
x
f x e
10.6. З’ясувати, чи є функція
f
періодичною, і в разі періодичності визначити
найменший період
T
:
1)
( ) 3 sin 4 ;
f x x
2)
2
( ) sin 3 ;
f x x
94 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
3)
( ) sin ctg ;
2
x
f x x
4)
2
( ) ;
f x x
5)
1 1
( ) sin sin 2 sin 3 ;
2 3
f x x x x
6)
( ) 3 sin 5 cos ;
f x x x
7)
( ) 5;
f x
8)
( ) { }.
f x x
Відповіді
10.4. 1) парна; 2) загального вигляду; 3) загального вигляду; 4) непарна; 5) непарна; 6) парна;
7) парна; 8) непарна; 9) загального вигляду; 10) загального вигляду.
10.5. 1)
п н
1, 0, 1, 0,
, 0, 0, 0,
1 , 0, 1, 0;
x x x x
f a x f x
x x x x
2)
п н
1, 0, 1, 0,
, 0, 0, 0,
1, 0, 1, 0;
x x
x x
e x e x
f a x f x
e x e x
10.6. 1)
;
2
T
2)
;
3
3)
4 ;
4) неперіодична; 5) періодична,
min
2 ;
T
6) неперіодична;
7) періодична з будь-яким періодом; 8) періодична,
min
1.
T
Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
11. Елементи геометрії
Навчальні задачі
11.1.1. У трикутнику
ABC
90 , 10, 4 6.
C AB AC
Знайти
sin .
A
Розв’язання.
[3.1.3.]
sin .
BC
A
AB
За теоремою Піфагора
[3.1.2]
2 2 2 2
10 (4 6)
100 96 4 2.
BC AB AC
Рис. до зад. 11.1.1
2 1
sin .
10 5
A
11.1.2. У рівнобедреному трикутнику
ABC
з основою
AC
бічна сторона
8,
AB
а
7
cos .
4
A
Знайти висоту
.
BD
Розв’язання.
[3.1.3]
7
cos 8 2 7.
4
AD AB A
За теоремою Піфагора
[3.1.2]
2 2 2 2
8 (2 7)
64 28 36 6.
BD AB AD
6.
BD
Рис. до зад. 11.1.2
11.2.1. На картатому папері з клітинками
см см
1 1
зображено трикутник.
Знайти його площу.
Розв’язання.
[3.1.4.]
Довжина основи трикутника
6,
a
а в висота
3.
h
см
2
1 1
6 3 9 .
2 2
S ah
Рис. до зад. 11.2.1
A
B
C
D
A
B
C
96 Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
11.2.2. На картатому папері з клітинками
см см
1 1
зображено фігуру. Знайти
її площу.
Розв’язання.
[3.1.8.]
Зафарбовано чверть круга радіусом
3.
см
2 2 2
3 9 .
S r
см
2
1 1
9 .
4 4 4
S S
Рис. до зад. 11.2.2
11.3.1. Прямокутний паралелепіпед описано навколо колового циліндра, радіус
основи і висота якого дорівнюють
6.
Знайдіть об’єм паралелепіпеда.
Розв’язання.
[3.2.2.]
Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат зі стороною
2 2 6 12.
a r
пар осн
осн
пар
2
,
144.
144 6 864.
V S h
S S a
V
Рис. до зад. 11.3.1
11.3.2. У циліндричну посудину налили
см
3
2100
води. Рівень води при цьому
досягає висоти
см.
20
У рідину повністю занурили деталь. При цьому
рівень рідини в посудині піднявся на
см.
5
Чому дорівнює об’єм деталі?
Розв’язання.
[3.2.4.]
За законом Архімеда об’єм зануреної деталі
V
дорівнює
об’єму витиснутої рідини. Нехай площа основи циліндра дорі-
внює
.
S
Початковий об’єм води
см
3
1
20 2100 .
V Sh S
Отже, площа основи
см
2
2100
105 .
20
S
Об’єм деталі
см
3
105 5 525 .
V
Рис. до зад. 11.3.2
11.3.3. Циліндр і конус мають спільну основу і спільну висоту. Обчислити
об’єм конуса, якщо об’єм циліндра дорівнює
60.
Розв’язання.
[3.2.4, 3.2.5.]
Об’єм конуса з радіусом основи
R
і висотою
h
кон
2
1
.
3
V R h
11. Елементи геометрії 97
Об’єм циліндра з радіусом основи
R
і висотою
h
цил
2
.
V R h
Отже,
кон
1
60 20.
3
V
Рис. до зад. 11.3.3
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
11.4. 1. У рівнобедреному трикутнику
ABC
з основою
AC
бічна сторона
195
14, cos .
14
AB A
Знайдіть висоту, проведену до основи.
2. У рівнобедреному трикутнику
ABC
з основою
AC
бічна сторона
2 6
20, cos .
5
AB A
Знайдіть висоту, проведену до основи.
3. У рівнобедреному трикутнику
ABC
з основою
AC
бічна сторона
10,
AB
а висота, проведена до основи,
19.
h
Знайдіть
cos .
A
4. У рівнобедреному трикутнику
ABC
з основою
AC
бічна сторона
10,
AB
а висота, проведена до основи,
2 21.
h
Знайдіть
cos .
A
5. У трикутнику
ABC
90 , 20, 16.
C AB AC
Знайдіть
sin .
A
6. У трикутнику
ABC
90 , 30, 3 19.
C AB AC
Знайдіть
sin .
A
7. У трикутнику
ABC
11
90 , sin , 10 3.
14
C A AC
Знайдіть
.
AB
8. У трикутнику
ABC
20
90 , cos , 29.
29
C B AB
Знайдіть
.
AC
9. У трикутнику
ABC
3 10
90 , tg , 3.
20
C A BC
Знайдіть
.
AB
10. У трикутнику
ABC
8
90 , tg , 2.
15
C A BC
Знайдіть
.
AB
11.5. 1. Знайдіть площу трикутника з вершинами у точках
(4; 7), (6; 7), (10; 9).
2. Знайдіть площу трикутника з вершинами у точках
(4; 7), (8; 7), (6; 9).
3. Знайдіть площу чотирикутника з вершинами у точках
(8; 0), (10; 4),(2; 8),(0; 4).
4. Знайдіть площу чотирикутника з вершинами у точках
(1; 7), (9;2),(9; 4),(1; 9).
5. Знайдіть площу трапеції з вершинами у точках
(1;1),(10;1), (8; 7), (1; 7).
6. Знайдіть площу трапеції з вершинами у точках
(1;1),(10;1), (6; 7), (4; 7).
98 Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
11.6. 1. Прямокутний паралелепіпед описано навколол циліндра, радіус якого
і висота дорівнюють
9.
Знайдіть об’єм паралелепіпеда.
2. Прямокутний паралелепіпед описано навколол циліндра, радіус якого
дорівнює
5.
Об’єм паралелепіпеда дорівнює
50.
Знайдіть висоту
циліндра.
3. Прямокутний паралелепіпед описано навколо сфери радіусом
6.
Знайдійть його об’єм.
4. Прямокутний паралелепіпед описано навколо сфери радіусом
8.
Знайдійть його об’єм.
5. У циліндричну посудину налито
см
3
3000
води. Рівень води при цьому
досягає висоти
15
см. У рідину повністю занурили деталь. При цьому
рівень рідини у посудині піднявся на
6
см. Чому дорівнює об’єм деталі?
6. У циліндричну посудину налито
см
3
1700
води. Рівень води при цьому
досягає висоти
10
см. У рідину повністю занурили деталь. При цьому
рівень рідини у посудині піднявся на
5
см. Чому дорівнює об’єм деталі?
7. У посудини, що має форму правильної трикутної призми, налили
см
3
1100
води і занурили у воду деталь. При цьому рівень води піднявся
з
22
см до
25
см. Знайдіть об’єм деталі.
8. У посудини, що має форму правильної трикутної призми, налили
см
3
1400
води і занурили у воду деталь. При цьому рівень води піднявся
з
24
см до
27
см. Знайдіть об’єм деталі.
9. Циліндр і конус мають спільні основу і висоту. Обчисліть об’єм
циліндра, якщо об’єм конуса дорівнює
10.
10. Циліндр і конус мають спільні основу і висоту. Обчисліть об’єм
циліндра, якщо об’єм конуса дорівнює
20.
Відповіді
11.4. 1)
1;
2)
4;
3)
0, 9;
4)
0, 4;
5)
0, 6;
6)
0, 9;
7)
28;
8)
21;
9)
7;
10)
4,25.
11.5. 1)
2;
2)
4;
3)
40;
4)
16;
5)
48;
6)
33.
11.6. 1)
729;
2)
2;
3)
216;
4)
512;
5)
1200;
6)
850;
7)
150;
8)
175;
9)
30;
10)
60.
12. Метод координат
Навчальні задачі
12.1. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точки
1
(2; 3)
A
та
2
(3; 1).
A
Розв’язання.
[3.3.1.]
1 2
2 3
: 4( 2) 3 11 4 .
3 2 1 3
x y
A A x y y x
Пряма
1 2
A A
має рівняння
11 4 .
y x
12. Метод координат 99
12.2.1. Записати рівняння прямої
1
,
L
яка проходить через точу
1
( 1; 2)
A
пара-
лельно прямій
2
: 3 2.
L y x
Розв’язання.
[3.3.5.]
Шукаємо рівняння прямої
1
L
у формі
1 1
.
y k x b
Пряма
2
L
має кутовий коефіцієнт
2
3.
k
Оскільки пряма
1
L
паралельна прямій
2
,
L
то
1 2
3.
k k
Отже, пряма
1
L
має рівняння
3 .
y x b
Оскільки точка
1 1
,
A L
то
2 3 5.
b b
Пряма
1
L
має рівняння
3 5.
y x
12.2.2. Записати рівняння прямої
1
,
L
яка проходить через точу
1
( 1; 2)
A
перпе-
ндикулярно до прямої
2
: 3 2.
L y x
Розв’язання.
[3.3.4.]
Шукаємо рівняння прямої
1
L
у формі
1 1
.
y k x b
Пряма
2
L
має кутовий коефіцієнт
2
3.
k
Оскільки пряма
1
L
перпендикулярна до прямої
2
,
L
то
1
2
1 1
.
3
k
k
Отже, пряма
1
L
має рівняння
1
.
3
y x b
Оскільки точка
1 1
,
A L
то
1 5
2 .
3 3
b b
Пряма
1
L
має рівняння
1 5
.
3 3
y x
12.3. Переконатися, що рівняння
2 2
2 4 20 0
x y x y
є рівнянням ко-
ла. Знайти його центр і радіус.
Розв’язання.
[3.4.2.]
[Вилучаємо повний квадрат.]
100 Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 20 0
( 2 1 1 ) ( 2 2 2 ) 1 4 20 0
( 1) ( 2) 25.
x y x y
x x y y
x y
Маємо рівняння кола з центром у точці
(1; 2)
O
радіусом
5.
R
12.4. Зобразити множину точок, яку задає система
2 2
2
2
.
x y
y x
Розв’язання.
Нерівність
2 2
2
x y
задає круг з центром у початку координат і радіусом
2
R
разом з колом, яке його обмежує.
Нерівність
2
y x
задає множину точок розташованих над параболою
2
.
y x
Рис. до зад. 12.4
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
12.5. Визначте кутовий коефіцієнт
k
і відрізок
,
b
який відтинає пряма на осі
Oy
:
1)
5 3 0;
x y
2)
2 3 6 0;
x y
3)
3 2 0;
x y
4)
3 0.
y
12.6. Задано пряму
2 3 4 0.
x y
Складіть рівняння прямої, що проходить
через точку
0
(2;1)
M
:
1) паралельно заданій прямій;
2) перпендикулярно до заданої прямої.
12.7. 1. Задано рівняння двох сторін прямокутника
2 3 5 0,
x y
3 2 7 0
x y
і одна з його вершин
(2; 3).
A
Складіть рівняння двох
інших сторін прямокутника.
2. Задано рівняння двох сторін прямокутника
2 0,
x y
2 15 0
x y
і рівняння однієї з його діагоналей
7 15 0.
x y
Знайдіть вершини прямокутника.
12.8. Обчисліть кутовий коефіцієнт
k
прямої, що проходить через точки:
1)
1 2
(2; 5), (3;2);
M M
2)
( 3;1), (7; 8).
P Q
12.9. З’ясуйте, що задає рівняння. Для кола визначте центр і радіус.
1)
2 2
( 5) ( 2) 25;
x y
2)
2 2
( 2) 64;
x y
3)
2 2
( 5) ( 2) 0;
x y
4)
2 2
( 2) 0;
x y
5)
2 2
2 4 14 0;
x y x y
6)
2 2
6 4 14 0;
x y x y
7)
2 2
0;
x y x
8)
2 2
0.
x y y
x
y
2
O