Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

авномерной разработки залежи (например, равномерному падению пластового давления при

авномерном стягивании контура газоводянного контакт

Задача построения одномерных и многомерных функций принадлежности по

наблюдениям за объектом может быть решена аналогично задаче оценивания линий уровня

многомерных плотностей вероятностей [321].

При наличии неопределенности в процессе параметрической идентификации функций

принадлежности может быть использовано понятие интервально-значных нечетких множеств

[281].

Интервально-значное нечеткое множество (i-v нечеткое множество) А, определенное на

множестве Х задается в виде

. (4.13)

Интервально-значную функцию принадлежности можно записать в виде

. (4.14)

Пример интервально-значной функции принадлежности приведен на рис.4.1, при

интервальном задании параметра b.

Различные операции с i-v нечеткими множествами могут выполняться аналогично

соответствующим операциям нечетких множеств для нижних и верхних

граничных функций принадлежности [281].

Значительный прогресс в области построения функций принадлежности был достигнут в

езультате введения процедуры коррекции исходных функций принадлежности после

принятия системного решения [39].

В условиях значительной неопределенности исходной информации возникают ситуации,

когда необходимо принимать решения при отсутствии точных сведений о структуре объекта

(например, газотранспортной сети). В этом случае удобно воспользоваться понятием

нечеткого графа [98], описывающего структуру объекта. Согласно терминологии нечетких

множеств матрица инцидентности системы будет

состоять уже не из нулей и единиц, а из

величин , характеризующих возможность присутствия этой связи S между

элементами i и j в системе.

Нечеткой может быть и сама модель системы при отсутствии или высокой сложности

отношения между входными и выходными переменными процесса. В этом случае нечеткая

система описывается нечетким отношением R, а модель системы задается

в виде [166]:

(

4.15

)

где есть элементы нечеткого пространства состояний

F(Х)

; и

Равенство (4.15) для функции принадлежности может быть записано в виде [98]

. (4.16)

Вопросам построения нечеткого отношения R по данным наблюдений посвящена работа [91].

Особенности теории нечетких множеств позволяют формализовать и включить в состав

модели различные допущения, принимаемые при разработке алгоритма решения задачи.

Такие понятия как "длинный" и "горизонтальный" газопровод, "стационарный" режим могут

быть введены как лингвистические переменные по результатам степени влияния

соответствующих допущений, исключенных членов уравнения на погрешность результата

асчета. Эти функции очень легко построить по результатам исследований работ [102, 137,

291, 293].

Если в качестве меры нестационарности режима работы участка газопровода [144] выбрать

величину

, (4.17)

где - параметры стационарного распределения давления: квадрат давления в начале

участка и соответственно, то функция принадлежности режима к подмножеству

нестационарных режимов может быть записана следующим образом

. (4.18)

Величины а, b определяются на

основе данных по погрешности измерения значений давления

и допустимой погрешности у для модели стационарного режима. Например, для

существующих датчиков замера давления в АСУ ТП КС и точности моделей нестационарного

ежима 3,5% b = 2; а = 2,3.

Для введения понятия "газопровод большого диаметра" можно воспользоваться результатами

исследований [291, 293] влияния инерционного члена в уравнении нестационарного движения

газа на погрешность расчета (с учетом того, что эта погрешность зависит от диаметра

газоп

овода

)

(

ис.4.4

)

Рис. 4.4. Нечеткое понятие "газопровод большого диаметра"

Аналогично можно ввести понятие "длинный газопровод" для различных диаметров трубы

(рис.4.5).

Рис.4.5. Нечеткое понятие "длинный газопровод"

Впервые связь между теорией нечетких множеств и теории катастроф была отмечена в работе

[273]. Эта идея развита далее в работе [354], где рассмотрены некоторые особенности теории

катастроф и показана возможность

распространения на теорию катастроф некоторых идей

нечетких множеств. Определенные функции, подробно рассмотренные в теории катастроф,

поддаются в некоторых случаях интерпретации как функции принадлежности [354].

Использование таких функций может быть интересным для характеризации лингвистических

описаний, которые изменяются во времени и отличаются одновременно дискретностью и

нечеткостью [354].

В качестве простейшего примера может быть приведена катастрофа

типа складки, которая

может быть использована для моделирования работы компрессорной станции (КС) в условиях

переключения с одной схемы включения газоперекачивающих агрегатов (ГПА) на другую.

Построение формализованных моделей или вывод физических законов проводится путем

последовательного выдвижения предположений (гипотез) о характере процессов

окружающей среды и системы контроля и управления для сведения исходной задачи на

естественном языке к одной из типовых схем моделирования. Примерами таких гипотез могут

служить предположения об однородности пласта, изотермичности процесса, его

стационарности и т.д., причем степень правильности гипотезы для конкретного объекта

может изменяться во в

емени.

Выполнение всех этих гипотез обычно проверяется исследователем для каждого конкретного

случая применения этой модели. Вполне естественно, что точное выполнение гипотез на

практике отсутствует, а соответствующих количественных характеристик степени

применимости модели для каждой конкретной ситуации в настоящее время нет, и в модель

процесса они не включаются. Между тем такие характеристики (например, степень

неоднородности пласта, степень нестационарности процесса и т.д.) крайне важны, особенно

при наличии нескольких моделей или иерархической системы моделей и необходимости их

согласования и координации. Практически всегда существуют объективные методы оценки

таких характеристик.

Ввиду отсутствия реальных жестких границ применимости моделей и существования целого

яда моделей, описывающих один и тот же технологический процесс с точки зрения

азличных наук и при различных исходных допущениях, вполне естественным является

применение аппарата теории нечетких множеств для согласования и координации моделей.

Одним из способов представления и учета степени применимости модели может служить

несколько обобщенный способ согласования прогнозирующих моделей [260].

Пусть решение по каждой из m моделей задано нечетким множеством на оси решений Х,

тогда согласованное решение D может быть представлено как пересечение частных нечетких

ешений

Для каждого нечеткого решения , будет задаваться функция принадлежности ,

полученная в результате исследования применимости модели для процесса.

Сам факт выполнения k предположений о характере процессов учитывается введением

показателя , где , причем в случае, когда предположение j о

процессе для модели i идеально выполняется , когда это предположение не

выполняется , и в остальных случаях. Тогда результирующая функция

принадлежности будет выглядеть так:

Параметры , характеризующие нечеткость моделей при нарушении условий их

существования, могут быть определены объективно с учетом дисперсии моделей, которая

получается в результате идентификации моделей для реальных объектов. В случае

невозможности объективной оценки показателя он может быть определен на основе

экспертных оценок и должен характеризовать относительно других моделей степень

выполнимости предположений, точность и применимость модели в данной конкретной

ситуации.

Предлагаемый метод координации позволяет включить нечеткие условия существования

моделей в состав системной модели и учесть их при согласовании частных решений.

Описываемое явление может быть смоделировано путем введения понятия нечеткого

отношения, которое также позволяет адекватно отразить неточность формул, нарушение

законов за счет несоблюдения в каких-то конкретных условиях исходных допущений. Этот

метод особенно удобен, когда трудно в количественной форме отразить условия

ществования модели.

В целом алгоритмы на базе нечетких множеств хорошо зарекомендовали себя на практике для

самого разнообразного круга задач:

для создания математической модели многослойного оценивания запасов угля в пластах

[352];

применение нечетких уравнений и элементов нечеткой логики для диагностирования

сложных систем - пакет программ Thermix-2D для анализа динамики АЭС [290];

при управлении нестационарным процессом движения морских геолого-геофизических

комплексов [143];

для оценки показателей качества программных средств [111];

в системах искусственного интеллекта для управления работой технологического

оборудования (фирмы "Тексако кемиклз" и "Экссон кемиклз") [117];

в задачах контроля и управления системами разработки месторождений, добычи и

транспорта газа [19, 22, 23, 26, 28, 31, 37, 38, 39, 127, 134, 136, 199];

поведение диспетчерского персонала лучше всего описывается лингвистическими

правилами поведения, а отклонение от принятых алгоритмов (ошибки и плохая работа

диспетчеров, неисправности, возникшие помехи [164]) хорошо моделируется с

использованием нечетких алгоритмов.

4.3. Нечеткие и лингвистические переменные

Способность человека оценивать информацию играет существенную роль в определении

сложных явлений. По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях

достаточна весьма приближенная характеристика набора данных, поскольку в большинстве

задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность [98].

Способность человека оценивать информацию наиболее ярко проявляется в использовании

естественных языков [98]. Каждое слово

можно рассматривать как сжатое описание

нечеткого подмножества

М(t)

полного множества области рассуждений

. Таким образом

(t)

есть значение

. В этом смысле весь язык можно рассматривать как систему, в

соответствии с которой нечетким подмножествам множества

приписываются элементарные

или составные символы, т.е. слова, группы слов и предложения.

Так, например, если значение существительного

шар

есть нечеткое подмножество

М(шар)

значение прилагательного

красный

- нечеткое подмножество

М(красный)

, то значение

сочетания

красный шар

является пересечением

М(шар)

М(красный)

Если рассматривать

цвет

объекта как некоторую переменную, то ее значения:

красный

синий, зеленый

и т.д. можно интерпретировать как символы нечетких подмножеств полного

множества. В этом смысле определенный цвет предмета является нечеткой переменной, т.е.

переменной значениями которой являются символы нечетких множеств.

ечеткая переменная

характеризуется тройкой

(N,X,R(N,х))

, где

- название переменной;

- универсальное множество с базовой переменной

;

R(N,x)

- нечеткое подмножество

множества

, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной

об

словленное

Предположим, что

=1+2+...+10.

Тогда нечеткое подмножество, описываемое понятием

несколько

, можно записать, например,

в виде:

несколько

= 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8.

Аналогично, если

- интервал [0, 100] с элементами переменной

возраст

, то нечеткие

подмножества, описываемые понятиями "

молодой

" и "

старый

", можно представить в виде:

(4.19)

(4.20)

Рис.4.6. Графическое представление терминов

молодой

старый

В более общем случае значениями таких переменных могут быть слова или предложения

естественного или формального языка, и тогда соответствующие переменные называют

ингвистическими

. Так, например, нечеткая переменная

высота

могла бы принимать

следующие значения:

высокий, невысокий, довольно высокий, очень высокий, высокий, но

не очень, вполне высокий, более или менее высокий

. Эти значения представляют собой

предложения, образованные понятием

высокий

, отрицанием

не

, союзами

но

, а также

словами типа

очень

довольно

вполне

более или менее

Лингвистическая

переменная является переменной более высокого порядка, чем нечеткая

переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие

переменные. Лингвистические переменные предназначены в основном для анализа сложных

или плохо определенных явлений. Использование словесных описаний типа тех, которыми

оперирует человек, делает возможным анализ систем настолько сложных, что они

недоступны обычному математическому анализу.

Более

точно

структура лингвистической переменной

описывается набором

(N,T,X,G,M)

, в

котором

- название этой переменной;

- терм-множество

, т.е. совокупность ее

лингвистических значений;

- универсальное множество с базовой переменной

;

синтаксическое правило, которое может быть задано в форме бесконтекстной грамматики,

порождающей термы множества

;

- семантическое правило, которое каждому

лингвистическому значению

ставит в соответствие его смысл

М(t)

, причем

М(t)

обозначает

нечеткое подмножество множества

Значениями лингвистической переменной являются нечеткие множества, символами которых

являются слова и предложения в естественном или формальном языке, служащие, как

правило, некоторой элементарной характеристикой явления.

зык можно рассматривать как соответствие между множеством терминов

и областью

ассуждения

. Это соответствие характеризуется

нечетким называющим отношением

из

, которое связывает с каждым термином

и каждым элементом

степень

применимости

Для фиксированного

функция принадлежности определяет нечеткое подмножество

М(t)

из

, которое является

смыслом

или

значением

. Таким образом, значение термина

есть нечеткое подмножество

М(t)

из

, для которого

служит символом.

Термин может быть элементарным, например

высокий

, или составным, когда он является

сочетанием элементарных терминов, например,

очень высокий

Более сложные понятия могут характеризоваться

составной лингвистической переменной.

Например, понятие "

человек

" может рассматриваться как название составной

лингвистической переменной, компонентами которой являются лингвистические переменные

Возраст, Рост, Вес, Внешность

и т.п.

Для лингвистической переменной

Возраст

соответствующая базовая переменная является по

своей природе числовой переменной. С другой стороны, для лингвистической переменной

Внешность

мы не имеем четко определенной базовой переменной. В этом случае функцию

принадлежности определяют не на множестве математически точно определенных объектов,

а на множестве обозначенных некими символами впечатлений.

Следует отметить, что благодаря использованию

принципа обобщения

большая часть

существующего математического аппарата, применяющегося для анализа систем, может быть

адаптирована к нечетким и лингвистическим переменным с числовой базовой переменной. Во

втором случае способ обращения с лингвистическими переменными носит более

качественный характер.

4.4. Лингвистические неопределенности и вычисление

значений лингвистической переменной

В общем случае значение лингвистической переменной есть

составной терм

который представляет собой сочетание элементарных термов . Эти элементарные

термы можно разбить на 4 категории:

1. первичные термы, которые являются символами нечетких подмножеств области

рассуждения (например,

молодой, старый

);

2. отрицание

не

и союзы

и, или

;

3. лингвистические неопределенности типа

очень, много, слабо, более или менее

и т.д.,

которые дают возможность модифицировать значения элементарных и составных

терминов и служат для увеличения области значений лингвистической переменной;

4. ма

ке

ы, такие, как скобки, вводные слов

Основная проблема, которая возникает в связи с использованием лингвистических

переменных, заключается в следующем: пусть дано значение каждого элементарного термина

в составном терме , требуется вычислить значение

, т.е. найти нечеткое

множество в

, символом которого является терм

Рассмотрим вначале вычисление значения составного терма в виде

t = hu

, где

неопределенность, а

- терм с фиксированным значением, например,

очень

, а

высокий

Неопределенности выполняют функцию генерации большого множества значений для

лингвистической переменной из небольшого набора первичных терминов. Поэтому

неопределенность

можно рассматривать как нелинейный оператор, который переводит

нечеткое множество

М(u)

, представляющее значение

, в нечеткое множество

М(hu)

и таким

образом преобразует смысл соответствующих термов.

Хотя в повседневном использовании неопределенность

очень

не имеет четко определенного

значения, в сущности она действует как усилитель, генерируя подмножество того множества,

к которому она применяется. Простая операция, которая имеет это свойство, -

операция

концентрации

В результате применения этой операции к множеству

уменьшаются степени

принадлежности элементов этому множеству, причем для элементов с высокой степенью

принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью

принадлежности - относительно велико.

Рис. 4.7. Графическое представление терминов старый и очень старый.

Например, если терм

старый

определен как (4.20), то

очень старый

= ,

Другой простой пример:

если терм

маленький

= 1/1 + 0,8/2 + 0,6/3 + 0,4/4 + 0,2/5,

то

очень маленький

= (

маленький

)

= 1/1 + 0,64/2 + 0,36/3 + 0,16/4 + 0,04/5.

Вычисление значения более сложного составного терма, который может включать кроме

неопределенности

термины

не, или, и

, является задачей, сходной с задачей вычисления

значения булевского выражения.

Рассмот

им, нап

име

, вычисление составного те

ма

не очень маленький

. Учитывая, что

операция дополнения соответствует отрицанию, получаем:

не очень маленький

(

не очень маленький

) = 0,36/2 + 0,64/3 + 0,84/4 + 0,96/5

Возьмем для примера более сложный терм:

не очень большой и не очень маленький

Если терм

большой

= 0,2/1 + 0,4/2 + 0,6/3 + 0,8/4 + 1/5,

то

очень

большой

= (

большой

)

= 0,04/1 + 0,16/2 + 0,36/3 + 0,64/4 + 1/5

не очень

большой

(

не очень большой

) = 0,96/1+ 0,84/2 + 0,64/3 + 0,36/4.

Следовательно,

не очень большой и не очень маленький

= (0,96/1+ 0,84/2 + 0,64/3 + 0,36/4)

(0,36/2 + 0,64/3 + 0,84/4 + 0,96/5)=

= 0,36/2 + 0,64/3 + 0,36/4

При вычислении значения составного терма используются обычные правила

предшествования, действующие при преобразовании булевских выражений. С добавлением

неопределенностей эти правила выражаются следующим образом:

h, не,

. и,

или.

Для изменения порядка предшествования можно использовать скобки.

Рассматриваемый подход можно применять к вычислению значений лингвистической

переменной, при условии, что составные термы, представляющие эти значения, могут быть

генерированы лишенной контекста грамматикой.

тобы вычислить значения составного терма

, необходимо провести синтаксический анализ

в терминах определенной грамматики. Тогда, зная синтаксическое дерево

, можно

использовать соотношения, порождаемые правилами вывода, для составления системы

уравнений, решением которой является значение

В общем случае число элементов множества

может быть бесконечным, и тогда как для

порождения элементов множества

, так и для вычисления их смысла необходимо применять

некоторый алгоритм. Говорят, что лингвистическая переменная

структурирована

, если ее

терм-множество

и функцию

, которая ставит в соответствие каждому элементу терм-

множества его смысл, можно задать алгоритмически.

В качестве простого примера рассмотрим лингвистическую переменную

Возраст

. Допустим,

что терм-множество этой

переменной можно записать в виде:

(

Возраст

) =

старый

очень старый

очень очень старый

+ ...

В этом сл

чае каждый те

м множества

имеет вид

ста

ый

или

очень

...

очень ста

ый

тобы вывести это правило в более общем виде, можно рассматривать данное представление

для

(

Возраст

) как решение уравнения

старый

очень

, (4.21)

которое означает, что множество

состоит из терма

старый

и термов, состоящих из слова

очень

и некоторого терма из

Данное уравнение (4.21) можно решать итеративным способом, используя рекуррентное

соотношение

i+1

старый

очень

i = 0,1,2,...

(4.22)

Взяв пустое множество в качестве начального значения, получаем

старый

очень старый

старый

очень старый

очень очень старый,

. . .

Т.е. решение уравнения (4.21) имеет вид

старый

очень старый

очень очень старый

+ ... (4.23)

Таким образом, для данного примера синтаксическое правило выражается уравнением (4.21)

и его решением (4.23). Эквивалентное представление для синтаксического правила можно

охарактеризовать следующей системой подстановок:

→

старый

, (4.24)

→

очень

, (4.25) для которой уравнения (4.21) играет роль алгебраического представления.

В этом случае терм в

может быть порожден процедурой, включающей в себя

последовательное применение правил (4.24) и (4.25), начиная с символа

. Таким образом,

если

заменить на

очень

и затем

заменить на

старый

, получаем терм

очень старый

Аналогично терм

очень очень старый

можно получить из

по следующей цепочке

подстановок:

→

очень

→

очень очень

→

очень очень старый

Обращаясь к семантическому правилу, отметим, что для вычисления смысла такого терма

требуется знать смысл терма

старый

и модификатора

очень

. Терм

старый

играет роль

первичного терма, т.е. терма, смысл

которого должен быть задан заранее с тем, чтобы можно

было вычислять смысл составных термов в

. Терм

очень

действует как лингвистическая

неопределенность, т.е. как модификатор смысла следующего за ним терма.

сть тепе

ь лингвистическая пе

еменная

Воз

аст

имеет те

м-множество вида: