Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

с помощью обычной интервальной арифметики и решение

с использованием сопряженных интервалов.

Аналогично поступаем для каждого

-уровня исходных

-функций. В результате получаем

интервально-значную функцию принадлежности (рис. 3.4).

Рис 3.4.

Используя отношение порядка на множестве [109], можно сказать, что для

произвольного

-уровня соотношение дает четкое множество в виде интервала

, определяемого функцией . С другой стороны, функция определяет для

выбранного

-уровня расширенный интервал .

Рис 3.5.

Вводя далее линейное предпочтение для элементов , не включенных в , можно

интерпретировать

-уровневое множество для интервально-значной функции принадлежности

в виде нечеткого множества первого типа. Пример такого множества для носителей

едставлен на

ис. 3.5.

Подобная интерпретация решения нечетких и интервальных уравнений позволяет более

адекватно учитывать имеющуюся неопределенность постановки задачи физический смысл

исследуемой модели.

3.3. Решение систем уравнений с нечеткими и

интервальными коэффициентами

В работе [2] отмечается значительное преимущество нечетких алгоритмов для систем

линейных уравнений в сравнении со случаями, когда коэффициенты и правые части

уравнений заданы случайными величинами.

Используя введенную в главе 2 нечеткую арифметику, казалось бы достаточно просто решать

такую систему обычными методами, например, методом Гаусса и т.д. Однако нечеткий

вектор результатов в этом случае оказывается сильно "размытым"; из-за наличия

операций деления все время имеется опасность деления на ноль и имеется теоретическая

некорректность такого подхода к решению системы линейных уравнений из-за того, что

множество нечетких чисел не является группой относительно операции умножения [2].

Введенные в работах [2, 266, 267, 268] множества нечетких

-чисел замкнуты (в

смысле приближенных формул для умножения и деления) относительно арифметических

операций. "Размытость" результата в этом случае значительно уменьшается, однако возникает

необходимость проверок правильности пользования приближенными формулами путем

анализа ошибок [2]. В этом случае система нечетких линейных уравнений сводится к

линейной системе из

уравнений с

неизвестными с использованием определения

авенства для нечетких

-чисел (два нечетких

-числа равны, если равны значения всех

трех параметров, характеризующих нечеткие числа) [2]. Полученную систему уравнений в

целях повышения устойчивости можно свести к задаче нелинейного программирования путем

введения функционала от невязок параметров, характеризующих нечеткие числа левых и

правых частей уравнений системы [2].

Системы нечетких уравнений могут быть сведены к системам обычных детерминированных

уравнений различными способами [166]. Например, единичный интервал разбивается на

уровней и каждое уравнение заменяется интервальными уравнениями, а затем, следуя

Сойстеру, задача с ограничениями по включению преобразуется в задачу с ограничениями

типа неравенств. Применение этого преобразования увеличивает размерность задачи, однако

при этом сохраняется возможность использования хорошо известных

классических методов.

Для решения систем линейных уравнений с нечеткими переменными и вещественными

коэффициентами полезно использовать результаты следующей теоремы [38].

Теорема 3.13.

Пусть - базовое множество. - обратимая матрица и

задано отображение вида . Тогда, если , то

справедливо следующее соотношение

, (3.50)

где - проекция

-вектора на ось

оказательство

. Поскольку

- взаимнооднозначное отображение, то .

По определению проекции имеем

Следствие

. Если

где - проекция

-вектора , то из (3.50) и (2.3) следует, что

Рассмотрим систему линейных уравнений с интервальными коэффициентами:

Для решения данной системы уравнений можно использовать, например, следующий

итерационный алгоритм.

1. Выбирается расширенный вектор , который можно представить в виде

2. Вычисляется расширенный вектор свободных членов

(3.51)

3. Исключая из (3.51), получаем систему обыкновенных линейных уравнений

относительно приращений , которая решается одним из известных способов

(например, методом исключения).

4. Определяется уточненный вектор

5. Снова вычисляется расширенный вектор свободных членов

6. Проверяется критерий окончания счета

где

- заданная точность.

7. Если условие 6 выполняется, то расчет заканчивается, иначе переходят к этапу 3.

Для решения системы нелинейных уравнений может использоваться также итерационный

метод с линеаризацией уравнений на каждом шаге итерации по одному из известных

способов (например, методом Ньютона).

1. Вначале систему нелинейных уравнений с помощью введенных операций над

сопряженными интервалами приводят к виду

2. Затем на каждом шаге итерации s решается система линейных уравнений

3. Проверяется критерий окончаниния счета

где

- заданная точность.

4. Если условие 3 выполняется, то расчет заканчивается, иначе переходят к этапу 2.

Для систем уравнений с нечеткими коэффициентами - производится дискретизации исходных

функций принадлежности по

-уровням и решаются соответствующие системы уравнений с

инте

вальными коэ

фф

ициентами.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ,

ХРАНЕНИЯ И ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКОЙ

ИНФОРМАЦИИ

4.1. Некоторые особенности методов диагностики и

формирования понятий

Анализ методов диагностики и формирования понятий

Несмотря на появление в последние годы все большего числа новых методов контроля и

диагностики основных показателей процессов, эффективность заключений разработчиков

повышается медленно. В основном это связано с тем, что методы извлечения информации из

получаемых данных остаются весьма примитивными, отсутствует системный подход при

формировании показателей, характеризующих

состояние системы, и остается открытым

вопрос о необходимости и достаточности этой системы показателей для целей управления.

Существенно усложняет ситуацию и тот факт, что существующие определения процессов,

недостаточно формализованы. Для точного определения понятия процесса, мы должны

указать признак (или совокупность признаков), который позволил бы решить следующую

задачу; имеются данные о реальном процессе

в системе, необходимо определить, каким

процессом он является, и дать ему количественную характеристику.

Таким образом, все основные показатели, используемые в настоящее время,

вляются

некомплексными (каждый из них отражает состояние системы лишь частично) и

непосредственно входят в исходное описание системы (т.е. или замеряются непосредственно,

или рассчитываются по технологическим формулам).

Во всех задачах диагностики приходится учитывать те или иные свойства объекта по

косвенным характеристикам, причем для увеличения достоверности ответа необходимо

использовать комплекс характеристик. Под диагностикой состояния системы будем понимать

процесс, при котором на основании имеющихся данных наблюдений и исследований системы

определяются несколько наиболее существенных, но недоступных для непосредственного

измерения, показателей системы, полно характеризующих ее с позиций определенной цели и

позволяющих непрерывно следить за переходом системы из начального в интересующее нас

состояние.

В настоящее время известны четыре основных метода диагностики нарушений в

непрерывном процессе.

1. Статистический метод основан на известных вероятных соотношениях между

неисправностью и ее симптомами и на оценке функций правдоподобия методами

байесовского анализа. Основным недостатком статистического метода является

невозможность непрерывного контроля перехода динамической системы из одного состояния

в другое, т.е. мы можем лишь констатировать некоторые состояния системы, но фактически

лишены возможности управлять ими. К тому же, статистический метод требует большого

объема информации, не позволяет учитывать некоторые физические закономерности в

системе и в условиях неоднородности информации просто неработоспособен.

2. Детерминистический метод основан на анализе схемы технологического процесса и

выявлении тех точек, в кото

ых необходимо п

ове

ять наличие симптомов на

ру

шений. Этот

подход не охватывает всех функций, возлагаемых на систему контроля сложного процесса, и

поэтому не может быть принят в качестве основного метода. К его недостаткам можно

отнести также большую субъективность при анализе системы, слабую способность к

обобщению и полное отсутствие возможности адаптации и обучения системы контроля.

3. Распознавание последовательности симптомов — метод, основанный на сравнении

еальной последовательности симптомов с эталонными, которые хранятся в памяти ЭВМ.

Этот метод обладает тем преимуществом, что позволяет легко расширять "словарь"

эталонных последовательностей симптомов, но имеет некоторые недостатки: необходимость

хранения нескольких однотипных эталонных последовательностей симптомов; трудность

представления нецифровой информации (например, описание структуры процесса); трудность

учета влияния субъективного фактора при разработке эталонов; в существующих системах

кодируется лишь наличие или отсутствие симптома (0 или 1) и эталоны записываются в виде

кодовых последовательностей.

Применение одного лишь этого подхода едва ли перспективно, поскольку в лучшем случае

позволяет автоматизировать процесс нахождения уже известных способов описания и

формирования признаков. При этом многие кардинальные вопросы (о полноте признаков и

т.д.) остаются открытыми. Часто такие признаки бывают неточными, плохо формализуются и

их выработка специалистами представляет собой очень длительный и неформальный процесс.

4. Создание достаточно полных математических моделей дифференцируемых процессов.

Тогда задачу дифференциальной диагностики обычно сводят к отнесению наблюдаемого

состояния к такому виду, модели которого оно больше соответствует. Для условий сложных

одновременно протекающих процессов эта задача становится далеко не тривиальной, и

создание полной математической модели сложного процесса пока невозможно.

В данной работе главное внимание уделено проблеме получения интегральных показателей,

позволяющих с позиций системы управления "сжать" исходную информацию и предоставить

ее разработчику в виде, удобном для принятия решений. Значение показателя R будет

определяться исходя не только из текущего состояния процесса на основе функционального

преобразования вектора , но и из компетентности каждого измерения x

в данной

ситуации, т.е. задача оценки ситуации напоминает процесс принятия решения с помощью

коллектива решающих правил.

При создании системы контроля и управления необходимо учитывать, что создание

отдельных (даже очень эффективных) методов и программ мало вносит нового в процесс

контроля и управления системой, предоставляя разработчику лишь некоторое количество

азрозненной информации к размышлению. Методы принятия решений остаются

неформальными и малоэффективными. Поэтому встает неотложная задача определения

формальных объективных характеристик ситуаций. Причем для целей управления эти

характеристики должны отражать не только текущую ситуацию, но и динамику процессов,

давать возможность для сравнения различных подсистем в целом и по отдельным процессам с

выделением доминирующих процессов

Система должна осуществлять контроль, прогноз и управление при значительной

неопределенности информации, управлять самим процессом диагностики и помогать

азработчику в процессе принятия самых различных решений. В связи с тем что система

управления является многоуровневой, необходимо выделить имеющиеся уровни управления

и создать на каждом уровне управления систему контроля состояния процессов, обладающую

необходимым разнообразием для целей управления.

Для создания системы контроля состояния процессов с позиций каждого уровня управления

жно б

дет пост

оить систем

обобщенных показателей п

оцессов и найти методы,

позволяющие количественно оценить эти показатели. Одно из основных требований к

системе контроля состоит в том, чтобы она не только описывала состояние системы, но и

позволяла выявить необходимость и виды воздействия на состояние системы и получить

количественные оценки результатов таких воздействий.

Правильно обработав данные (т.е. сформировав обобщенные образы процессов в динамике и

статике) и имея начальный временной фрагмент, мы сможем получить оценки состояния

процессов и дать прогноз наиболее вероятного хода этих процессов.

Особенности создания понятийных моделей сложных процессов

При принятии решения о проведении того или иного вида управляющего воздействия мы

сталкиваемся с необходимостью сравнивать состояния системы между собой с точки зрения

азных процессов и моделей. Но если гетерогенны по своей природе, т.е. имеют различные

признаки, разное признаковое пространство, то методы сопоставления этих процессов,

основанные на едином признаковом пространстве, неприемлемы. Сопоставлять эти процессы

можно (и просто необходимо для целей управления) на более высоком уровне абстракции, где

эти процессы имеют общие точки соприкосновения

: оба процесса имеют предельные

состояния, которые хорошо отражают значимость данного процесса в системе, позволяют

определить стадию каждого из процессов и в случае доминирования какого-либо процесса

принять меры по борьбе с ним.

В настоящее время многими исследователями отмечается необходимость использования

новых математических методов в процессе принятия решений в диагностике и планирование

мероприятий по управлению процессом. Но математические методы, эффективные сами по

себе, могут оказаться бесполезными при наличии неясной терминологии и описании

процессов. Поэтому необходимо все основные понятия сформулировать более точно и на их

основе создать адекватный язык для принятия решений в разработке.

Для распознавания образов в настоящее время наиболее характерен "экстраполяционный"

подход. Возможность его применения для решения нашей задачи ограничена в связи со

слабыми "обобщающими" возможностями этого метода. Он также не позволяет получить

количественную оценку для текущего состояния процесса по небольшому числу

экспериментальных данных.

Для нахождения оценок сложных процессов по небольшому числу опытных данных

необходимо привлечение априорных данных о физике процессов и свойствах

восстанавливаемых правил

оценки.

Процесс переработки исходного описания в образ процесса должен идти последовательно.

Необходимо определить понятие процесса, и в связи с большой сложностью процесса в целом

использовать для его определения на разных стадиях различные признаки и характеристики

процесса. Полученные на уровне исходного описания параметры системы довольно слабо

связаны с интуитивными понятиями и образами сложных

явлений и с их лингвистическими

определениями. Разрыв между параметрами и образом сложного процесса можно устранить

двумя путями:

переводом исходного описания на естественный язык и управления системой в рамках

естественного языка;

азмыванием образа (его лингвистического описания), построением функции

принадлежности состояния системы к тому или иному классу.

Каждый из подходов имеет свои п

еим

щества и недостатки. Так, пе

вый подход позволяет

получить описание ситуации на естественном языке, но уход от формализации оплачивается

очень дорого — мы лишены возможности применять сильные математические методы

анализа, прогноза и оптимизации.

В рамках второго подхода лингвистический образ процесса "размывается" между двумя

противоположными состояниями процесса (которые в идеале являются просто точками), что

дает возможность ввести количественный показатель степени принадлежности к тому или

иному состоянию процесса (обычно — идеальному или предельному). Математический

аппарат этого подхода только начинает разрабатываться.

В этом же направлении предпринимаются и другие попытки: для данного процесса вводятся

синтетические показатели принадлежности к тому или иному классу, зависящие

функционально (чаще всего линейно) от параметров исходного описания (методы теории игр,

метод главных компонент, различные критерии полезности и т.д.).

Уделяя основное внимание построению математических моделей на уровне исходного

описания, мы не сможем создать цельного образа процесса, хотя у нас имеется возможность

построить очень большое число моделей на этом уровне и находить на нем все новые

физические законы. Само по себе увеличение объема информации на уровне исходного

описания и построение все большего числа моделей может даже усложнить ситуацию при

принятии решений.

Вводя целевую постановку задачи контроля и рассматривая ее с помощью потребностей

системы управления, мы замечаем, что наши управляющие воздействия на определенных

уровнях будут зависеть в основном (кроме плановых заданий) от близости системы к

состояниям, дальнейшая работа системы при которых невозможна с позиций данного уровня

управления.

Для таких состояний введем понятие "предельные" и за показатели состояния системы

примем степень принадлежности состояния системы к предельному состоянию. Степени

принадлежности уровня управления k для процессов G и W будем обозначать соответственно

и R

. Равенство R

нулю будет означать необходимость управляющего воздействия со

стороны (k-1)-гo уровня управления, Величина R

(k-1)

будет оценкой возможности управления

на (k-1)-м уровне. При R

=0 управление системой невозможно.

Наличие любого предельного состояния в системе приводит к невозможности процесса в

системе. Построение образов процесса G и W дает возможность определить зоны

повышенной неопределенности образов, что позволит обоснованно выбирать новые данные,

которые необходимо получать о различных процессах в системе для уменьшения

неопределенности ситуации, или увеличить частоту измерения существующих данных.

Имеется

множество самых разнообразных определений понятия процесса. Абстрактная

трактовка понятия всегда должна быть связана с тем фактом, что принимается та или иная

математическая модель реальной системы. Это соответствует современным положениям

абстрактной теории систем. Математических моделей процесса может быть сколько угодно и

все они определяются принятым уровнем абстрагирования. Поэтому следует подчеркнуть,

что нет

и не может быть только одного понятия процесса, так как оно будет зависеть от

принятого уровня абстрагирования.

Рассмотрение задач на каком-либо уровне абстракции позволяет дать ответ лишь на

определенную группу вопросов, причем каждый из уровней абстракции имеет свои, только

ему присущие ограниченные возможности. Для достижения максимально возможной

полноты сведений необходимо

из

чать одн

и т

же систем

на всех целесооб

азных для

данного случая уровнях абстракции.

Разработка системы обобщенных показателей

В настоящее время для контроля состояния сложных систем в основном используется

простейшая процедура сравнения контролируемого параметра с эталонным или предельным

значением введением метрики вида R=X

пред

-X(t)=DX. Тогда можем констатировать не только

выход системы из строя (при X(t)

пред

) или ее отклонения от заданного режима, но и

величину близости системы к предельному состоянию или степень отклонения ее от

заданного режима DX. Но для сложных процессов такой контроль является только частичным

ешением проблемы и позволяет следить за состоянием лишь отдельных параметров

процесса. Дело в том, что понятие сложного процесса обычно формулируется не на уровне

исходного описания, а на уровне понятий более высокого ранга. К тому же, понятия сложных

процессов и их предельных состояний часто совершенно не связаны с имеющимися уровнями

управления и потому малоинформативны. Поэтому чаще всего сложные процессы

характеризуются группой параметров исходного описания. Но такое представление процесса

делает несравнимыми процессы на разных объектах и в разных условиях, так как их можно

сравнивать только на более высоком уровне, где у них есть инварианты в определении.

В связи с тем что система контроля формируется исходя из потребностей системы

управления, необходимо, чтобы одинаковым состояниям соответствовали одинаковые

управляющие воздействия. Для многоуровневой системы управления особый интерес

приобретают некоторые предельные состояния процессов, при которых управление на данном

уровне становится невозможным. Таким образом, мы получаем целую систему показателей,

которые характеризуют состояние процессов на определенных уровнях управления и

количественно отражают степень близости системы к предельным состояниям по процессам

G и W.

Оценка предельных состояний позволяет с единых позиций решить следующие задачи,

азные по назначению и характеру.

1. Дифференциальная диагностика состояния систем — получение объективных

количественных характеристик различных процессов в системе, определение их

интенсивностей и выделение доминирующего процесса. С помощью предложенной системы

показателей становится возможным сравнение разных скважин по стадиям того или иного

процесса на разных уровнях описания и разных уровнях управления, а не только на уровне

исходного описания без выделения цели и уровня управления (как это имеет место в

настоящее время).

2. Оценка эффективности различных управляющих воздействий и прогнозирование их

последствий. Оценка эффективности управления на k-м уровне может быть выражена

величиной изменения R

k+1

в результате осуществления управляющего воздействия.

3. Предсказание по некоторым параметрам системы ее будущих качеств путем прогноза

динамики R

(j,0) и R

(j,0).

Это лишь основные задачи, которые способна решать предложенная система контроля.

Введение отдельных промежуточных состояний, даст возможность выделить этапы в

азвитии отдельных процессов или получить количественные характеристики различных

явлений, т.е. система является открытой.

Предлагаемые методы контроля и управления системой не исключают существующие методы

конт

оля, а лишь позволяют объединить их в систем

на единой методологической основе и

дают возможность показать место каждого метода и его значимость с системных позиций.

При этом сохраняются все имеющиеся модели, связывающие отдельные параметры в

сложной системе. Системный подход позволяет объединить эту разнородную информацию,

упорядочить ее и преобразовать так, чтобы она стала адекватной принимаемому решению для

каждого уровня управления.

Такой подход дает возможность определить значимость отдельных параметров и моделей на

азличных стадиях процесса.

4.2. Методы построения функций принадлежности

Вопрос о построении функций принадлежности (F-функций)

вляется одним из самых

важных вопросов в теории нечетких множеств [23, 66, 134], но эта проблема не является

уникальной только для теории нечетких множеств [350].

В работе [173] предложена модель фундаментального измерения нечеткости. Нечеткость

измерения интенсивности какого-либо свойства Р, которым обладает некоторый объект,

может заключаться в сложности, неточном измерении этой интенсивности, или из-за того

, что

индивидуумы могут по-разному воспринимать интенсивность этого свойства Р [173]. Для

представления функции принадлежности нечеткого множества используется техника теории

измерения и шкалирования [191].

Аналогичные проблемы возникают при построении характеристических функций в теории

полезности [118, 231].

При построении функций принадлежности основным является понятие относительного

предпочтения одного режима работы системы перед другим, т.е. для двух режимов

работы х

и х

можно записать в том случае, когда режим х

более предпочтителен (с точки

зрения эффективности и допустимости), чем х

. Предпочтительность одного режима работы

перед другим может быть вызвана причинами технологического, экономического,

надежностного, экологического характера и различными субъективными причинами,

вызванными неформальными сведениями, которыми обладает лицо, принимающее решение.

Функция принадлежности и ставит в соответствие каждому режиму число

из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности решения к подмножеству D

эффективных и допустимых решений.

Естественным является также и требование непрерывности функции , которое

формализует интуитивное представление о том, что если два решения множества Х

отличаются друг от друга лишь незначительно, то значения функций принадлежности для

этих решений также близки [98].

Функция должна быть согласована с отношением , т.е. , тогда и

только тогда, когда .

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных

дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность,

непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся

неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в

фу

нкциональной зависимости.