Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

прописными буквами. Если А – элемент , , то его левый и правый концы будем

обозначать как . Элементы называются

интервальными числами

Символы и т.п. понимаются в обычном теоретико-множественном смысле, причем

обозначает не обязательно строгое включение, то есть соотношение допускает

авенство интервалов.

Два интервала

А и В

равны

тогда и только тогда, когда .

Отношение порядка

на множестве определяется следующим образом: А< В тогда и

только тогда, когда . Возможно так же упорядочение по включению: А не превосходит

В, если . Мы, в основном, используем первое определение.

ересечение

интервалов А и В пусто, если А < В или В< А, в противном случае

– снова интервал.

Симметричным

, по определению, является интервал , у которого .

ириной

интервала А называется величина . (3.1)

Середина

есть полусумма концов интервала А: . (3.2)

бсолютная величина

определяется как . (3.3)

Наконец, . Нетрудно заметить, что ,

когда , причем , если и .

асстояние

между элементами вводится равенством

ырожденный интервал

, то есть интервал с совпадающими концами , отождествим

с вещественным числом а. Таким образом, .

Стандартная интервальная арифметика

Арифметические операции над интервальными числами определяются следующим образом.

Пусть , . Тогда , (3.4)

причем в случае деления .

Легко проверить, что определение (3.4) эквивалентно соотношениям

(

3.5

)

, (3.6)

, (3.7)

. (3.8)

Заметим, что операцию вычитания можно выразить через сложение и умножение, положив

и .

В зависимости от знака чисел правило (3.7) для интервального умножения будет

выглядеть так (мы полагаем ):

Отсюда видно, что только в одном (последнем) случае для нахождения произведения

требуется четыре умножения, а в остальных достаточно двух умножений.

Если А и В – вырожденные интервалы, то равенства (3.5)–(3.8) совпадают с обычными

арифметическими операциями над вещественными числами. Таким образом, интервальное

число есть обобщение вещественного числа, а интервальная арифметика – обобщение

вещественной.

Из определения (3.4) непосредственно видно, что интервальные сложение и умножение

ассоциативны и коммутативны, иначе говоря, для имеют место равенства

Роль нуля и единицы играют обычные 0 и 1, которые, как отмечалось, отождествляются с

вырожденными интервалами и . Другими словами,

для любого . В дальнейшем точку для обозначения умножения будем, как правило,

опускать.

Равенство (3.4) (как и (3.5)–(3.8)) показывает, что если один из операндов является

невырожденным интервалом, то результат арифметической операции также невырожденный

интервал. Исключение составляет умножение на . Отсюда, в частности, следует, что

для невырожденного интервала А не существует обратных по сложению и умножению

элементов, так как если А + В = 0, АС = 1, то А, В, С должны быть в силу сказанного

вырожденными. Короче, вычитание не обратно сложению, деление не обратно умножению.

Значит, , когда . Понятно, однако, что всегда .

Субдистрибутивность

Интересным свойством интервально–арифметических операций является невыполнение

закона дистрибутивности – равенство

А(В + С) = АВ + АС

(3.9)

не всегда имеет место. Действительно, , в то время как .

Однако всегда справедливо включение

, (3.10)

называемое

субдистрибутивностью

. В самом деле, если , то это значит, что

, где . Но , следовательно,

Отметим некоторые важные случаи, когда (3.10) совпадает с (3.9). Будем называть интервал А

нуль содержащим интервалом

(н.с.-интервалом), если . Положим, по определению,

(3.11)

Пусть в каждом из произведений А(В+С), АВ, АС нет одновременно двух н.с.-интервальных

множителей. Тогда имеет место цепочка равенств

(

3.12

)

Полученное выражение будет нулем или в случае , или же когда

. Для выполнения последнего равенства необходимо и достаточно, чтобы

не только

, но и были положительными. Это будет так, если либо или

, либо . Сказанное справедливо для А, не являющегося н.с.-

интервалом. Для н.с.-интервала А приведенные выводы остаются верными, когда ни один из

интервалов В, С, В + С не будет н.с.-интервалом. Если А и В + С – н.с.-интервалы, а ни В, ни

С таковыми не являются, первое в цепочке равенств (3.12) заменяется строгим неравенством,

и, таким образом, (3.9) не имеет места. Ничего определенного нельзя сказать в случае, когда

А, В + С и В и (или) С – н.с.-интервалы. Однако для симметричных интервалов В и С

дистрибутивность (3.9) всегда имеет место.

Итак, установлено, что:

1. всегда справедливо (3.10);

2. если или , или , то

А(В + С) = АВ + АС

;

3. если

– не н.с.-интервал, то

А(В + С) = АВ + АС

тогда и

только тогда, когда

;

4. если , где , то

А(В + С) = АВ + АС

;

5. если

– симметричные, то

А(В + С) = АВ + АС

Монотонность по включению

Интервальная арифметика обладает таким важным свойством, как монотонность по

включению. Это значит, что если , то

(3.13)

(если ).

Эти соотношения прямо вытекают из определения (3.4). Пользуясь тем, что отношение

включения транзитивно, мы приходим к следующему фундаментальному результату.

Теорема 3.1.

сли

вляется рациональным выражением от интервальных переменных

, то есть конечной комбинацией интервалов и конечного набора

постоянных интервалов, соединенных интервальными арифметическими операциями, то из

, следует

при любом наборе интервальных чисел , для которого интервальные

арифметические операции в выражении имеют смысл (то есть не встретится деление на

интервал содержащий нуль).

Эту теорему иногда называют основной

теоремой интервальной арифметики.

3.1.2. Обобщения интервальной арифметики

Интервальная арифметика с нестандартными вычитанием и делением

Нестандартные операции вычитания и деления , определенные для элементов

, вводятся следующим образом [109]:

Обозначим и укажем некоторые свойства, связанные с

операциями и .

1. .

2. , , для (по определению ).

3. Из равенства не следует ; например,

4. Для уравнение имеет единственное решение: .

5. Для уравнение имеет решение . В случае у

этого уравнения есть еще одно решение: .

6. Уравнение имеет решение . Если , то существует еще

одно решение: .

7. тогда и только тогда, когда или , или .

8. .

9. , , для (по определению ).

10. Из

авенства не след

ет ; нап

име

Определим для элементов функцию следующим образом:

11. Уравнение при имеет решение тогда и только тогда, когда

, которое выражается в виде .

12. Уравнение при имеет решение . Если , то

существует еще одно решение: .

13. Уравнение имеет решение . Если , то имеется еще одно

ешение: .

14. тогда и только тогда, когда или , или .

Ряд других свойств интервальной арифметики с нестандартными вычитанием и делением

можно найти в [109].

Обобщенная интервальная арифметика

Некоторые присущие интервальной арифметике свойства, такие как A-A 0, A /A 1, и

т.п., в ряде случаев приводят к возрастанию ширины получаемых в результате вычислений

интервалов. Обобщенная интервальная арифметика позволяет во

многих случаях уменьшить

влияние этих отрицательных свойств обычной интервальной арифметики. Будем

представлять интервал X = [ x, x ] в виде x = y + [ -c, c ], где y = m (x), c =

(x) 0 . Таким

образом произвольная точка x X записывается в виде x = y +

[ -c, c].

Допустим нам требуется найти интервал, содержащий множество значений рационального

выражения, зависящего от n переменных, изменяющегося в исходных интервалах X

, … , X

Представим каждую переменную x

в виде

= y

[ -c

, c

]

Любой интервал

⎯

= Y

(r=1..n)

, (3.14)

где Y

, Z

, i=1,..,n некоторые интервалы, а

[ -c

, c

Интервал

⎯

записанный в виде (3.14), называется

обобщенным интервалом

Полагая Y

i =

, y

], Z

= [1,1], Z

= [0,0], r i ,

[ -c

, c

], имеем

⎯

= X

Определим арифметические операции на обобщенными интервалами.

Пусть X

= Y

(r=1..n)

, X

= Y

(r=1..n)

Положим X

∗

= Y

(r=1..n)

, где

∗

{ +, -,

•

, /}

Для каждой из этих операций в отдельности правила вычисления интервалов Y

, Z

следующие:

сложение Y

= Y

+ Y

= Z

+ Z

, r=(1..n)

вычитание Y

= Y

- Y

= Z

- Z

, r=(1..n)

умножение Y

= Y

(r=1..n)

[0, c

] Z

= Y

+ Y

+ Z

(s=1,s r, по n)

[-c

, c

] Z

= Y

+ Y

+ [-1,1]

•

| Z

• α

(s=1,s r, по

деление Y

= Y

/ Y

= (Y

- Y

) / Y

+ [-1,1]

(s=1, по n)

| )

Нетрудно показать, что если

= Y

(r=1..n)

= Y

(r=1..n)

, (3.15)

то x

∗

j ,

∗

{ +, -,

•

, /}.

Пример 3.1.

Вычислим множество значений функций

f(x)=x-x и g(x

, x

) = x

- x

, x

[0,1]. В первом случае полагаем

x = +

[ - , ],

а во втором случае

= +

, x

= +

[ - , ],

= Ѕ, Y

= Ѕ, Z

= Z

= 1, Z

= Z

= 0,

что после сведения к интервалам дает

f([0,1]) = 0 + [ - , ]

•

0 = 0

g([0,1], [0,1]) = 0 + [ - , ]

•

1 + [ - , ]

•

1 = [-1, 1]

Во введенном Каханом обобщении интервальных операций допускается деление на интервал,

содержащий 0, и наличие ситуации, когда для интервала [8].

Обобщенная интервальная арифметика может применятся для сужения интервалов,

содержащих множества значений функции в некоторых случаях. Однако при широких

исходных интервалах (на которых задана функция) она зачастую дает интервалы шире чем

другие способы. При очень узких или вырожденных интервалах лучше использовать

обычную интервальную арифметику, т.к. обобщенная требует больше арифметических

операций, а значит машинного времени.

3.1.3. Интервальные функции

ключение областей значений ф

нкций вещественных пeременных в интервальные

полиномы

Применение интервальных расширений в вычислительных процессах позволяет находить

интервалы, гарантированно содержащие решения (множество решений) тех или иных задач.

Заметим, что для этих целей часто достаточно наличия такой интервальнозначной функции

, что и, в частности, , и не

требуется обязательного выполнения равенства . Будем называть

монотонную по включению интервальнозначную функцию

F(X

,…,X

)

n интервальных

переменных

RB-расширением функции

, если f(X

,…,X

)

∈

F(X

,…,X

) для всех

X=(X

,…,X

) из области задания f. На практике в качестве RB-расширения чаще всего

используются интервальные полиномы. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 3.2.

Пусть функция f(x) определена и ограничена при x

∈

X(0) : u f(x) v. Тогд

постоянная интервальная функция F(X)=[u,v] будет RB-расширением для f(x).

Пример 3.3.

Если f(x) - аналитическая при x

∈

функция, R

(X) - монотонное по

включению интервальное расширение p-го коэффициента ряда Тейлора функции f(x), то

интервальный полином

(3.16)

будет RB-расширением для f(x) и имеем f(x)

∈

(x)

⊂

(X) для всех x

∈

⊂

Пример 3.4.

В двух конкретных случаях - для функций e

и sin x - формула (3.16) выглядит

так:

f(x)=e

, X*=[0,1], x*=0:

f(x)=sin x, x*=0: sin x

∈

x- x

/3!+...+((-1)

p-1

/(2p-1)!)x

2p-1

+[-1,1]x

2p+1

/(2p+1)!

Интервальные расширения функций в виде MV-формы

Ввиду того что

(F (X)) -

( (X))=O(

(X)) , разность весьма быстро стремиться к нулю

при

(X)

→

0. К сожалению, центрированная форма не всегда монотонна по включению. Это

можно видеть на примере функции f(x)=x(1-x). Центрированная форма первого порядка F

(X) имеет вид

F (X)=f( c ) + (1 - 2c)(X - c) - (X - c) .

Для X = [0, 1], X = [0, 0.9], X

X , однако F (X ) = [0, 0.2925], F (X ) = [0,

0.25],т.е. F (X ) F (X ). Во многих интервальных методах существенно используется

свойство монотонности по включению, необходимое для получения гарантированных границ

искомых решений. Рассмотрим другой способ построения интервальных расширений,

основанный на применении теоремы о среднем значении (mean value theorem - отсюда

название MV-форма), впервые использованный Р. Муром. Заметим сразу, что он применим

для гораздо более широкого класса функций, а не только для рациональных и

аспространяется на обширный класс операторов, например на интегральные.

Пусть

f : R

→

- непрерывно дифференцируемая функция,

∈

I(R )

- интервальный вектор,

c = m(X)

. Для любого

∈

имеет место равенство

f ( y ) = f ( c ) + (

)( y - c),

∈

Если - интервальное расширение функции

∂

x = f

на X, то

( y )

∈

f ( c ) + (X)( X - c ).

(3.17)

Значит, выражение, стоящее в правой части соотношения (3.17), определяет интервальную

функцию, являющуюся интервальным расширением функции

на X. Эта функция называется

-формой

интервального расширения функции

или просто MV-формой.

Будем обозначать ее как F(X) :

F(X) =

f (m(X) ) + (X)( X - m(X )).

(3.18)

Покажем, что MV-

ма монотонна по включению.

Лемма

Для любых трех интервалов P, Q, T

∈

I( R ), Q T и любого вещественного p

∈

справедливо включение

p(m(Q) - m(T))+P(Q - m(Q)) P(T - m(T)).

оказательство

. Учитывая симметричность интервала

Q - m(Q) =

(Q)[-1/2, 1/2]

имеем

p(m(Q) - m(T))+P(Q - m(Q))= p(m(Q) - m(T)) +

)

[-1/2, 1/2].

Так как

Q T

, то

p(m(Q) - m(T))

| |

m(Q) - m(T)

| |

(

) -

))/2.

Из этого неравенства получаем

p(m(Q) - m(T)) +

)

[-1/2, 1/2]

(

) -

))[-1/2, 1/2] +

)

[-1/2, 1/2]=

)

[-1/2, 1/2]=P(T _ m(T)),

что и требовалось доказать.

Теорема 3.2.

Если функции , j= , монотонны по включению, то и MV-форма

также монотонна по включению.

оказательство

. Пусть

X , X

∈

I(R ),

X X ,

с = m(X ), i=

. Тогда

= + ,

∈

Поскольку монотонны по включению, то

Теперь утверждение теоремы вытекает из леммы, если в ней положить

P= ( X ), p= ,

Q=X , R=X .

Методы сужения интервалов. Метод Скелбоу

Прямое применение способа Мура получение границ, сколь угодно близких к f(x

, x

, ...x

)