Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

Соответствующие теоремы представления и единственности функций принадлежности при

наличие полной системы аксиом могут быть доказаны на основе аксиоматических методов

[274, 279, 173]. Показано, как можно построить числовое представление принадлежности на

шкале интервалов и шкале отношений [172, 173]. Проведен сравнительный анализ прямого и

обратного оценивания, групповых и индивидуальных функций принадлежности [172].

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из

частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном

множестве опорных точек

,...,х

. В этом случае говорят, что она частично определена с

помощью "поясняющего примера".

В работе [251] для оценки функций принадлежности используется понятие множества уровня.

Этот метод позволяет определить степень принадлежности элементов к нечеткому

подмножеству А с учетом известных вероятностей выборки элементов множества Х для

фиксированных r-уровней.

В практических приложениях применяются методы определения характеристических

функций (или построения их оценок) по выборкам и на основании априорной информации, в

которую входят ограничения на эти функции [84, 254]. Если априорной информации о

свойствах характеристических функций недостаточно для построения определенных

функций, которые были бы "оптимальны" в каком-то смысле, приходится прибегать к

эвристическим методам нахождения этих функций с последующей экспериментальной

проверкой "качества" выбранных функций [84, 254].

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

На рис.4.1. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории

нечетких множеств [65, 98, 99, 110, 129, 281, 353].

Для решения многокритериальных задач используются различные методы построения

обобщенного показателя, причем одним из наиболее удобных способов является обобщенная

функция желательности Харрингтона [3]. Функция желательности может быть использована

как функция принадлежности, т.к. d [0,1]. Она возникла в результате наблюдений за

еальными решениями экспериментаторов и обладает такими полезными свойствами как

непрерывность, монотонность и гладкость. Кроме того эта кривая хорошо передает тот факт ,

что в областях желательностей, близких к 0 и 1, "чувствительность" ее существенно ниже,

чем в средней зоне (рис.2.3.) [3]. В этом случае функция принадлежности может быть задана

уравнением .

Стандартные отметки на шкале желательности приведены в табл. 4.1. Значение

обычно соответствует границе допустимых значений.

Таблица 4.1.

В работе [66] рассмотрены и исследованы различные способы получения функций

инадлежности. Введена единая математическая

ма п

едставления

азличных способов

Желательность Отметки на шкале желательности

Очень хорошо 1.00 - 0.80

Хорошо 0.80 - 0.63

Удовлетворительно 0.63 - 0.37

Плохо 0.37 - 0.20

Очень плохо 0.20 - 0.00

определения функций принадлежности. Для описания нечетких множеств предложено

применять сплайн-представление, в результате чего оказалось возможным выявить вклад того

или иного источника информации в конечное решение.

Возможности построения многомерных функций принадлежности и аппроксимация их с

помощью алгоритмов метода группового учета аргументов (МГУА) рассмотрены в работе

[22]. В качестве примера для одного из УКПГ газового месторождения Медвежье построена

функция принадлежности, зависящая от величины расхода и давления газа на УКПГ.

При использовании в качестве дополнительной переменной параметра времени t имеется

возможность прогнозировать изменение функций принадлежности во времени и на их основе

планировать ввод новых производственных мощностей и проведение различных ремонтных

абот [134].

Разработаны также специальные преобразователи "аналог - функция принадлежности" [338],

позволяющие получать функцию принадлежности непосредственно от датчика. Эти

преобразователи удобно использовать в схемах коммутации, когда один сигнал вызывает

несколько выходных в определенной последовательности, в логических схемах для обработки

сильно зашумленных сигналов.

Предлагается также принцип аппаратурной реализации нескольких основных видов функций

принадлежности, представляющих собой характеристику "вход - выход" элемента системы.

Комбинированием элементов со специально подобранными функциями принадлежности

можно стоить схемы со сложными нелинейными функциями [248].

В работе [314] для построения функций принадлежности на основе объективной информации

и данных замеров предлагаются специальные блоки для выделения свойств ("property

extractor"), например, с использованием детерминированного замера х* [314]

. (4.1)

В качестве берется установившееся (или среднее) значение параметра х, а величины и

выбираются с учетом особенностей функции принадлежности и наилучших результатов по

аспознаванию сигналов (или управлению) в серии экспериментов [314].

Преимущества применения устройств, непосредственно построенных на элементах с

многозначной логикой обсуждаются в работах [282, 284]. Отмечается перспективность

использования многозначной логики для реализации регуляторов, устройств и систем с

нечеткой логикой, которая может быть весьма полезной при создании систем принятия

ешений в условиях не полностью определенных данных.

В работе [336] предлагается реализация механизма нечеткого вывода на СБИС для

возможности принятия решений при наличии неопределенных и приблизительных

ассуждений. Проект устройства вывода основан на нечеткой арифметике и ориентирован на

поддержку неопределенных знаний и способствует извлечению знаний человека-эксперта и

имитации его процесса рассуждений. Быстродействие устройства около 80 тыс. ФЛИПС

(нечетких логических выводов в секунду).

В Японии создан специальный Международный институт инженерных исследований по

нечеткой логике

(

Laborator

for international Fuzz

ineerin

Research

)

. Основной задачей

этого института является создание компьютера для приложений области нечеткой логики.

Оцениваемый в 37 млн. долл. шестилетний бюджет института финансируется примерно 40

компаниями, среди которых Hitachi, Toshiba, Toyota.

В США налажено производство микропроцессора FC110, предназначенного для

программирования задач нечеткой логики во встроенных прикладных коммерческих системах

еального времени. Производит эти микропроцессоры фирма TogaiInfraLogic Inc.

Концептуальная методология нечеткой логики, предусматривающая количественное

представление неточных значений в программируемых алгоритмах, оказалась весьма

полезной при решении задач искусственного интеллекта в реальном времени.

В задачах математического программирования параметры задач зависят от многих факторов,

которые сложно учесть в модели [179]. Внесение этих зависимостей в модель значительно ее

усложняет и повышает размерность задачи, а "уточнение модели таким путем на практике

сведется на нет из-за невозможности измерить или измерить с достаточной точностью

величины введенных в модель факторов" [179]. То есть, для параметров моделей более

естественным было бы задание интервала возможных значений или функции

принадлежности.

Вопросы приближения функций принадлежности и нечетких отношений и выбора среди

функций принадлежности, согласованных с заданным отношением, такой, которая

наилучшим образом приближает предъявленную, рассмотрены в [106].

Большая часть работ по проблеме построения F-функций связана с методами обработки

экспертных данных и результатов опроса специалистов [65, 98, 99, 318]. Метод позволяет

включить в состав ограничений на систему некоторые субъективные ограничения, которые

могут быть вызваны тем, что человек обладает рядом неформальных сведений о системе на

естественном языке.

Например, цель G вида "дебит скважины должен быть близок к 1,2 млн.м куб./сут" или

ограничение С "дебит должен быть больше 0,8 млн.м куб./сут" могут быть представлены

соответственно следующим образом:

; (4.2)

; (4.3)

В общем случае эти лингвистические ограничения могут быть представлены в виде

(рис.4.1).

Таким образом, характер функции зависит от трех параметров [289]: с - определяет точку

максимума функции принадлежности для b>0 или минимума для b< 0; а -

азмах кривой; b - поведение фронтов кривой.

В теории нечетких множеств отсутствуют различия между целями и ограничениями,

заданными на множестве альтернатив Х, так как и цели, и ограничения представляются в виде

функций принадлежности.

Для приведенного выше примера (4.2) - (4.3) нечеткое решение D с учетом цели G и

ог

аничения С может быть п

едставлено

фу

нкцией п

инадлежности

(

ис.4.2

)

(4.4)

В качестве четкого решения по дебиту скважины может быть принято решение q*=1,36

млн.м

/сут., при котором функция принадлежности для нечеткого решения достигает

максимального значения (рис.2.5).

Рис.4.2.Нечеткое решение по выбору дебита скважины с учетом нечетких цели G и

ограничения С.

С помощью функции принадлежности можно адекватно отразить мнение одного или

нескольких экспертов. Это связано с неспособностью человека формулировать свое

количественное впечатление в виде одиночного числа [179].

Пусть эксперт в качестве оптимального дебита скважины называет дебит 1,5 млн.м куб./сут.

Но это не значит, что величины незначительно отличающиеся от него будут совершенно

неприемлемыми, т.е. степени принадлежности и будут незначительно

отличаться от . Результат экспертного опроса может задаваться в виде таблицы

или непрерывной функции.

Пусть имеется

экспертов, часть которых на вопрос о принадлежности элемента

x X

нечеткому множеству

отвечает положительно. Обозначим их число через

. Другая часть

экспертов

=m-n

отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается, что

Пример 4.1.

Пусть имеется множество

X={1, 2, 3, 4, 5}

и требуется построить нечеткое

множество

, формализующее нечеткое понятие “намного больше двух”. Допустим, что

езультаты опроса шести экспертов показаны в табл.4.2:

Таблица 4.2.

m 1 2 3 4 5

0 0 1 4 6

6 6 5 2 0

Тогда получим следующие значения функции принадлежности элементов множества

нечеткому множеству

A = <0/1, 0/2, 0.2/3, 0.7/4, 1/5 >

Однако чаще всего при оценке параметров бывают известны лишь интервальные ограничения

и наиболее допустимое значение. Например, технолог может не затрудняясь указать

минимально и максимально допустимые режимы

[a, b]

и номинальную производительность

системы

. Если он не располагает большей информацией, то единственной приемлемой

аппроксимацией является линейная. В этом случае рассматриваемый параметр можно

характеризовать треугольной функцией принадлежности (рис.4.1).

Аппарат теории нечетких множеств и особенности операций позволяют отбраковывать

некритические ограничения для конкретного режима работы системы. Это особенно важно,

т.к. при решении практически важных задач число ограничений может быть очень большим.

Практически в этом

случае реализуется понятие о "наихудшем нарушенном ограничении" для

исключения неактивных ограничений [237].

Если имеется обычная функция эффективности (например, функция затрат энергии, средств и

т.д.), устанавливающая линейную упорядоченность на множестве альтернатив, то она может

быть преобразована в функцию принадлежности с помощью нормализации, сохраняющей

установленную линейную упорядоченность [173, 231].

В этом случае операция принятия

решений для нечетких множеств по существу сводится к

синтезу глобального критерия как функции k исходных критериев

, отражающих эффективность и допустимость режимов работы системы с

экономической, технологической, надежностной и других точек зрения. Причем максимум

этого критерия будет соответствовать четкому решению многокритериальной задачи. Тогд

ешение задачи будет сводиться к обычной оптимизации

. (4.5)

Согласно [194], эта функция должна быть инвариантна по отношению к преобразованию

сдвига и к изменению масштаба любого критерия. Это требование может быть удовлетворено

за счет правильного выбора частных критериев эффективности, которые должны быть

инвариантны по отношению к преобразованию

, (4.6)

где - любое постоянное число; - любое положительное число, т.е. должно выполняться

условие

. (4.7)

Все эти требования можно удовлетворить, используя функцию вида

(

4.8

)

где - максимальное значение критерия j; - минимальное значение j-го критерия, причем

оно может выбираться с позиций предельного режима , при котором работа системы

недопустима или совсем неэффективна с позиций данного критерия - в этом случае отпадает

необходимость в ранжировании частных критериев .

Используя, например, критерий максимизации давления на входе в магистральный

трубопровод, можно построить следующую функцию для эффективных режимов ее работы

На основе расчета предельно допустимого дебита

для конуса пластовой воды строится

функция

характеризующая риск обводнения скважины пластовыми водами. Тогда функция

принадлежности для допустимых дебитов имеет следующий вид:

Построенный согласно этим требованиям критерий является показателем степени

принадлежности определенного режима работы системы к подмножеству допустимых или

эффективных режимов и изменяется на интервале [0,1], что соответствует определению

функции принадлежности Заде. Поэтому к сформированным таким образом критериям

применимы минимаксные операции Заде, и решение многокритериальной задачи может быть

записано в виде

. (4.9)

Решение в этом случае будет инвариантным по отношению к преобразованию (4.6)

критериев .

Для решения задач определения максимума многомодальных систем обычное понятие

максимальной величины функции f(х) не является достаточно информативным. "Более

полезным является понятие максимизирующего множества, так как оно дает информацию не

только о точке или точках, в которых функция принимает максимальное значение, но также и

о степени приближения функции к максимальному значению в других точках на всем

интервале ее изменения" [84].

В качестве примера в [84] приводится следующая функция принадлежности для

максимизирующего множества М(f)

. (4.10)

Ве

оятностный метод пост

оения

фу

нкций п

инадлежности основан на сходстве понятий

нечеткости и вероятности [110]. Оба эти понятия используются при наличии

неопределенности в системах, которая является следствием случайных факторов, неточности

нашего знания или принципиальной невозможности и ненужности получения точных

ешений. Но даже в тех случаях , когда нечеткость в процессе принятия решений может быть

представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней методами теории

нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей [110].

Многие авторы подчеркивают субъективность функции принадлежности в отличие от

объективности вероятности как характеристики. Однако очень естественно определить

функцию принадлежности таким образом, чтобы маловероятное с позиций теории

вероятностей событие имело и малую степень принадлежности. "Нестатистическая" природа

построения некоторых функций принадлежности для качественных параметров не означает,

что в качестве таких функций нельзя использовать функции распределения вероятностей,

нормированные определенным образом, т.е. в зависимости от типа нечетких переменных

можно выделить два способа их построения - статистический

и нестатистический [110].

Нечеткость и случайность могут употребляться в процессе принятия решений самыми

азнообразными способами и в виде различных комбинаций.

Если для контролируемого параметра известна вероятность перехода системы от допустимого

состояния к недопустимому в зависимости от назначенного для системы режима работы, то

функция принадлежности, характеризующая степень риска принимаемого решения, может

быть определена из условия предпочтения тех режимов, для которых степень риска меньше.

Условие предпочтения может быть записано в следующей форме

. (4.11)

Тогда в качестве функции принадлежности мы можем принять функцию

. (4.12)

Эта функция полностью удовлетворяет основным требованиям к функции принадлежности и

монотонно изменяется при варьировании режима работы. Практически

определяется на основе построения гистограмм накопленных частот перехода подсистем в

недопустимые состояния для разных режимов работы. Существует также подход

представления стохастических величин как нечетких с использованием теории возможности

Заде [318].

Например, пусть задана гистограмма накопленных частот срабатывания клапанов -

отсекателей для газовых скважин (рис.4.3) (функция не доходит до значений, равных 1, так

как некоторые клапаны вообще не срабатывают). Тогда функция принадлежности к

подмножеству допустимых режимов для клапанов - отсекателей может быть записана в виде

таблицы или в аналитической

ме согласно

(

4.12

)

Рис. 4.3. Гистограмма накопленных частот для клапанов-отсекателей.

В работе [253] было проведено сравнение аппарата теории нечетких множеств и теории

вероятностей в случае, когда стохастические переменные определяются на тех же базовых

множествах что и соответствующие нечеткие переменные. делается заключение, что понятие

неопределенности лучше выражается нечеткостью чем случайностью, а аппарат теории

нечетких множеств вычислительно намного проще, чем теории вероятностей.

Вопросам использования аппарата теории вероятностей для проблем теории нечетких

множеств посвящены работы [178, 273]. Однако сложности построения на практике

необходимых для этого распределений априорных и условных вероятностей [83], серьезные

недостатки различных подходов к определению теории вероятности [272] заставляет

исследователей обращаться к невероятностным альтернативам. Важным преимуществом

теории нечетких множеств является ее робастность, устойчивость к неточным оценкам [58,

170].

Альтернативой методу представления функции принадлежности путем записи для нее

некоторого явного управления,

вляется определение функции принадлежности как

совокупности r-уровневых множеств [98, 166] или путем разбиения области значений

функции на ряд непересекающихся сегментов [343]. Подход сегментного разбиения позволяет

охарактеризовать нечеткое множество с помощью ряда функций принадлежности каждого из

таких сегментов. В работе [343]предлагается метод нечеткой дискретизации таких сегментов

с целью определения достаточного числа сегментов, необходимых для проведения расчетов с

высокой точностью.

Имеется ряд работ, где авторами предлагаются методы построения и интерпретации F-

функций на основе объективной технологической информации [22, 166, 260, 289].

В работе [195] отмечается, что потенциальные функции и меры сходства отличаются от

функций принадлежности спецификой приложений, характером преодолеваемой

неопределенности, допустимыми для них преобразованиями и операциями над ними.

Функции принадлежности для вышестоящих подсистем могут также строиться с

использованием метода принятия решений в иерархических системах на основе функций

принадлежности нижестоящих подсистем [134].

При управлении сложными системами в условиях неопределенности может использоваться

понятие нечеткой обратной связи [121, 134]. Вопросы выбора оптимальных дебитов газовых

скважин на основе этого метода обсуждаются в [121, 134]. Такой закон управления

подсистемами "пласт - скважина" соответств

ет

ешению дв

хк

ите

иальной задачи