Зінченко О.П., Степанюк Я.В. Біометрія. Частина ІІ. Основи варіаційної статистики

Подождите немного. Документ загружается.

Література

1. Зінченко О. П. Методичні матеріали для проведення лабораторних і

практичних занять з курсу “Математичні методи в біології (Статистичні

таблиці) / О. П. Зінченко, В. П. Бенедь.– Луцьк: ВДУ, 1995.– Ч. 1.– 39 с.

2. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 244-251.

3. Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н.

С. Ростова.–

Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.– C. 80-84.

Лабораторна робота №17

Тема:

Лінійна регресія. Побудова теоретичної і емпіричної ліній

регресії

Мета: Навчитись будувати теоретичні і емпіричні лінії регресії. Вміти

розв'язувати задачі на побудову рівняння лінійної регресії для двох

взаємозалежних ознак.

Матеріал і обладнання:

калькулятори, комп’ютери, розрахункові

таблиці.

Контрольні питання:

Рівняння лінійної регресії.

Теоретична лінія регресії.

Емпірична лінія регресії.

Коефіцієнт регресії.

Інформаційний матеріал

Обчислення коефіцієнта кореляції дає змогу оцінити ступінь тісноти

зв’язку між явищами і його загальний характер. У багатьох випадках бажано

зобразити цей зв’язок в аналітичному вигляді, задавши рівняння зв’язку між

ознаками

і , так зване рівняння регресії. y

Загальний підхід до визначення рівняння зв’язку між двома ознаками

полягає в тому, що висловлюється припущення про лінійний характер

такого зв’язку. Це означає, що залежність між

і має вигляд прямої лінії

yabx=+ ,

де – і відповідні коефіцієнти.

a b

Вільний член рівняння

– це відрізок від початку координат до точки

перетину лінії з віссю ординат, а

– тангенс кута нахилу лінії до осі абсцис.

Виведення рівняння лінійної регресії полягає в тому, щоб встановити,

на скільки одиниць змінюється одна ознака (наприклад,

), якщо друга

ознака (

) змінюється на одиницю. Цю умову можна записати у вигляді такої

лінійної пропорції, коли обидві ознаки

і задані як відхилення від їх

середніх арифметичних значень

і y :

yy b

−

Саме рівняння регресії, виведене з даної пропорції, набуває такого

вигляду:

yybxx=+ −().

У цьому рівнянні

є так званим коефіцієнтом регресії, який показує,

на скільки одиниць зміниться ознака

, якщо ознака

зміниться на

одиницю.

Коли говорять про регресію між двома ознаками, то завжди вказують,

яка ознака змінюється фіксованими, одиничними кроками, а зміна якої при

цьому досліджується. Як правило, ознаку з фіксованими змінами позначають

символом

, а ознаку, зміни якої вивчають, – символом . Тоді говорять про

регресію ігрека по іксу (

y ), вказуючи цей індекс при коефіцієнті регресії

. У цих умовах формула коефіцієнта регресії має такий вигляд:

xxyy

−−

−

∑

()(

()

)

Зв’язок між коефіцієнтом регресії і коефіцієнтом кореляції задається

такою формулою:

= .

Легко помітити, що коли визначають коефіцієнт регресії по y

(

x змінюється фіксованими інтервалами), то в знаменнику останньої формули

з’являються відповідні параметри з індексом фіксованого показника

(

()xx−

∑

і ). S

У багатьох випадках сама логіка підказує, який показник слід прийняти

за фіксований (

), а який – за змінний (y ). Наприклад, при дослідженні

залежності між зростом і вагою людини логічно вважати змінним

параметром вагу (

), а фіксованим – зріст (

), бо активним членом, який

впливає на цю статистичну залежність, є саме зріст (змінюючи вагу, неможна

вплинути на зріст дорослої людини. тоді як для кожного зросту можна

передбачити і дотримуватися певної ваги, яку бажано визначити).

У випадках, коли показники, залежність між якими визначають,

заздалегідь задані, треба завжди чітко виділити ту ознаку,

зміну якої

вивчають, і ту ознаку, яка змінюється при цьому фіксованими кроками. Так,

для регресії ознаки

за ознакою ( Змінюється фіксованими кроками)

рівняння регресії і коефіцієнт регресії мають відповідно такий вигляд:

z w w

zzbww=+

−

().

zzww

−−

−

∑

()(

()

)

Теоретична лінія регресії.

Залежність між ознаками

і зручно зображувати в графічній формі.

Тоді кожний експериментальний вимір за двома ознаками буде зображений у

вигляді точки із своїми координатами

і , а всі експериментальні дані

будуть подані сукупністю точок на площині. Якщо для цієї сукупності

складене рівняння регресії, то її можна зобразити на площині в вигляді

прямої лінії, яка називається теоретичною лінією регресії. Сума квадратів

відхилень від експериментальних точок до теоретичної лінії регресії є

мінімальною, а отже, зазначена пряма найкраще описує (

апроксимує) добуту

в експерименті сукупність.

Робота №1.

Складання рівняння лінійної регресії між двома ознаками.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад.

Розглянемо дані (табл. 19), що були отримані при вивченні

залежності між величиною амплітуди пікового біоелектричного потенціалу

(

) і вмістом заліза в м’язі (y ). Для цього скористаємося вже обчисленими

значеннями коефіцієнта кореляції

та відповідних середніх квадратичних

відхилень

і : ; S

= 88, S

41, ;

0 896, .

Тоді за формулою

==⋅=0896

042,

Рівняння лінійної регресії між величиною амплітуди пікового

біоелектричного потенціалу (

х) і вмістом заліза в м’язі (у) має такий вигляд:

yyb xx x x

=+ − = +

−

() ,( ), ,33 0 42 80 0 42 0 6.

Тепер можна для будь-якого значення

x вказати, яке йому відповідає, в

середньому, значення

Робота №2.

Побудова теоретичної лінії регресії.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад.

Повернемося до попередніх даних (із табл. 19), про взаємну

залежність між амплітудою біоелектричного потенціалу та вмістом заліза в

м’язі і відкладемо добуті числові дані на графіку. Рівняння лінійної регресії,

розраховане попередньо, має такий вигляд:

−

042 06,,.

Обчислимо за цим рівнянням два теоретичні значення у, наприклад для

і . Вони будуть відповідно x

60= x

100= . y

24 6

, і y

41 4

,. Відкладемо їх на

графіку у вигляді хрестиків і проведемо між ними пряму лінію. Це і є

теоретична лінія регресії, яка показує встановлену залежність вмісту заліза в

м’язі від зміни амплітуди біоелектричного потенціалу.

Робота №3. Визначення емпіричної і теоретичної ліній регресії на

основі кореляційної решітки.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад.

У прикладі про довжину крила (

) і довжину хоботка (y ) у

бджіл (табл. 20) при обробці кореляційної решітки (табл. 21) були одержані такі

величини:

; 45=n

= 02, ;

02, ; fa

∑

=−23 ; fa

∑

= 0 ;

∑

47 ; . fa

∑

Визначаємо за відповідними формулами середні арифметичні та

середні квадратичні відхилення, коефіцієнт кореляції:

= 96, ; S

018, ;

y = 66, ; ; S

= 016,

= 0 605, .

Тоді коефіцієнт регресії

==054, , а відповідне рівняння лінійної

регресії для залежності

від y

має вигляд

yybxx x x=+ − = + −

(),,(,), ,66 054 96 054 14.

Обчисливши значення

для двох точок y

(наприклад, і x

9= x

можна побудувати теоретичну лінію регресії. Аналогічні обчислення і

побудову можна зробити і при вивченні залежності ознаки

від ознаки . y

На основі кореляційної решітки можна також побудувати емпіричну

лінію регресії. Для цього треба обчислити для кожного з класів ряду

часткові середні значення

, які позначимо через

′

. Для цього користуємося

відповідними центральними значеннями класів.

Таблиця 27

ряд

Центральні значення

класів ряду

(

)

ряд

9,1 9,3 9,5 9,7 9,9

Часткові

середні

(

′

)

6,2

1 2

9,13

6,4

1 1 1 2

9,46

6,6

10 15 1

9,63

Центральні

значення

класів ряду

(

)

6,8

3 6 2

9,68

Часткові середні (

′

y )

6,3 6,27 6,63 6,64 6,67

У табл. 27 наведено кореляційну решітку для відомих нам даних про

залежність між довжиною крила (

) і довжиною хоботка (y ) у бджіл.

У табл. 27 для обох рядів наведено центральні значення класів

та .

Оперуючи ними і частотами варіант у відповідних клітинках решітки,

обчислюємо часткові середні значення (

y x

′

) для кожного з класів ряду

(табл. 27, праворуч) і часткові середні значення

′

y для кожного з класів ряду

(табл. 27, унизу).

Наприклад, часткове середнє значення

′

для класу ряду з

центральним значенням

64, обчислюють так:

ц i ц

(,)

,,, ,

,.== ⋅=

⋅

∑

1191193195297

946

Аналогічно

ц i ц

(,)

,,,

,.== ⋅=

⋅

∑

12641566668

664

За частковими середніми значеннями будують емпіричні лінії регресії.

Так, емпірична лінія регресії

yx будується для кожного фіксованого кроку

ряду

(центральні значення відкладено обчислені часткові середні

значення

′

y .

Слід звернути увагу на те, що емпірична лінія регресії є ламаною лінією,

бо на неї впливають випадкові фактори статистичної природи. Теоретична

лінія регресії згладжує цю ламану лінію до прямої, що проходить на

найменшій відстані між експериментальними точками (точніше кажучи, сума

квадратів відхилень експериментальних точок від лінії регресії є меншою,

ніж

від будь-якої іншої лінії, проведеної через дану сукупність точок.).

Завдання для самостійної роботи

1. Між довжиною тіла х (в см) і вагою у (в г) ховрахів є позитивна

кореляція. Складене рівняння регресії зміни середньої ваги у зв'язку із

зміною довжини тіла має такий вигляд:

y=90 + 3,0(x – 40). Яке середнє

значення

у при х=20?

2. Досліджувався зв'язок між загальною вагою тіла (х) і вагою печінки

(

y) у окунів. Знайдено такі дані на основі 25 визначень (в г): середня вага тіла

— 370

± 40; середня вага печінки — 20± 4; коефіцієнт кореляції між ними —

0,80. Скласти рівняння регресії

у/х.

3. Вміст холестерину в крові (

х) при захворюванні А на основі 36

визначень становить 260 ± 25

мг %, а кров'яний тиск (y) — 180 ± 20 мм рт.

ст.

Коефіцієнт кореляції між ними 0,75. Як змінюється в середньому тиск

крові із зміною вмісту холестерину в крові при захворюванні А?

4. Досліджувана група тварин мала середній вік

= 60 місяців.

Середня швидкість пульсу у них була

y = 120 уд/хв. Відповідні значення

середніх квадратичних відхилень були:

=10, = 60. Коефіцієнт кореляції

між ними дорівнював 0,50. Яким є рівняння регресії, що показує середню

зміну швидкості пульсу від віку?

5. Досліджувався зв'язок між кількістю гемоглобіну в крові (

х) і

кислотністю шлункового соку

(у) у собак. Одержано такі цифрові дані на

основі 16 визначень: гемоглобін: 85 + 11; кислотність: 62 ± 4,5;

r = 0,610.

Скласти рівняння регресії

у/x, яке показувало б, як змінюється в середньому

кислотність шлункового соку при зміні вмісту гемоглобіну в крові.

6. Досліджувався зв'язок між зростом дітей

(у) та їх віком (х). Дані

обстеження 36 дітей віком від 7 до 16 років зведено в кореляційну решітку:

Ряд x Класи ряду x (роки) (h

=2)

Ряд y 7–8 9–10 11–12 13–14 15–16

Класи ряд

91–105

1 3 1

y (см) 106–120

1 4 3

121–135

2 7 1

=15) 136–150

1 2 4 1

151–165

1 1 3

Обчислити величину коефіцієнта кореляції. Скласти рівняння регресії

у/х, яке показувало б, як змінюється в середньому зріст дітей із зміною їх

віку.

Література

1. Зінченко О. П. Методичні матеріали для проведення лабораторних і

практичних занять з курсу “Математичні методи в біології (Статистичні

таблиці) / О. П. Зінченко, В. П. Бенедь.– Луцьк: ВДУ, 1995.– Ч. 1.– 39 с.

2. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 254-266.

3. Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н.

С. Ростова.–

Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.– C. 92-95.

Рекомендована література для поглибленого вивчення курсу

1. Большев Л. Н. Таблицы математической статистики.– 3-е изд. / Л. Н. Большев,

Н. В. Смирнов.– М.: Наука, 1983.– 416 с.

Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике /

К. А. Браунли.– М.: Наука, 1977.– 407 с.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для

втузов / В. Е. Гмурман.– М.: Высш. шк., 1977.– 479 с.

Закс Л. Статистическое оценивание / Л. Закс.– М.: Статистика, 1976.– 598 с.

Зінченко О. П. Методичні матеріали для проведення лабораторних і практичних занять

з курсу “Математичні методи в біології (Статистичні таблиці) / О. П. Зінченко,

В. П. Бенедь.– Луцьк: ВДУ, 1995.– Ч. 1.– 39 с.

Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой / Г. Кимбл.– М.: Финансы и

статистика, 1982.– 294 с.

Колкот Э. Проверка значимости / Э. Колкот.– М.: Статистика, 1978.– 128 с.

Кохрен У. Методы выборочного исследования / У. Кохрен.– М.: Статистика, 1976.–

440 с.

Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– 352 с.

10.

Ликеш И. Основные таблиц математической статистики / И. Ликеш, Й. Ляга.– М.:

Финансы и статистика, 1985.– 356 с.

11.

Мюллер П. Таблицы по математической статистике / П. Мюллер, П. Нойман,

Р. Шторм.– М: Финансы и статистика, 1982.– 278 с.

12.

Плохинский Н. А. Алгоритмы биометрии / Н. А. Плохинский.– М.: МГУ, 1980.– 150 с.

13.

Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики / Дж. Поллард.– М.:

Финансы и статистика, 1982.– 344 с.

14.

Справочник по прикладной статистике: В 2 т. Т. 2. Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда,

У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина.– М.: Финансы и статистика, 1990.– 526 с.

15.

Справочник по прикладной статистике: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда,

У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина.– М.: Финансы и статистика, 1989.– 510 с.

16.

Спрент П. Как обращаться с цифрами, или статистика в действии / Пер. с англ.

А. Ф. Якубова / П. Спрент.– М.: Высш. шк., 1983.– 271 с.

17.

Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н. С. Ростова.– Л.: Изд-во

Ленингр. ун-та, 1977.– 152 с.

18.

Тюрин Ю. Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю. Н. Тюрин,

А. А. Макаров.– М.: ИНФРА-М, 1998.– 528 с.

19.

Хеттманспертер Т. Статистические выводы, основанные на рангах /

Т. Хеттманспертер.– М.: Финансы и статистика, 1987.– 334 с.

20.

Шварц Г. Выборочный метод / Г. Шварц.– М.: Статистика, 1978.– 213 с.

21.

Эльясберг П. Е. Измерительная информация: сколько её нужно? Как её обрабатывать?

/ П. Е. Эльясберг.– М,: Наука, 1983.– 208 с.

Зміст

Передмова …………………………………………………………........... 3

Лабораторна робота №8. Фіксація і початкове впорядкування

даних………………………………………………………………… 4

Лабораторна робота №9. Побудова графіків варіаційних рядів…….. 7

Лабораторна робота №10. Показники положення і мінливості……... 11

Лабораторна робота №11. t–критерій Стьюдента. F–критерій

Фішера.………………………………………………………….…… 18

Лабораторна робота №12. Оцінка характеру розподілу. Розв'язання

прикладів на належність експериментального розподілу частот у

класах до теоретично відомого стандарту та нормальний закон

розподілу.…………………………………………………………… 28

Лабораторна робота №13. Оцінка характеру розподілу. Розв'язання

прикладів на біноміальний закон розподілу, закон розподілу

Пуассона. Порівняння за характером розподілу..………………… 37

Лабораторна робота №14. Знаходження коефіцієнту кореляції

(на конкретних біологічних прикладах)………………………..…. 46

Лабораторна робота №15. Кореляційне відношення. Рангові коефі-

цієнти кореляції……….…………………………………………….. 55

Лабораторна робота №16. Кореляція за альтернативними і якісни-

ми показниками……………………………………………………...

Лабораторна робота №17. Лінійна регресія. Побудова теоретичної і

емпіричної ліній регресії…………………………………………… 71

Рекомендована література для поглибленого вивчення курсу………..