Зінченко О.П., Степанюк Я.В. Біометрія. Частина ІІ. Основи варіаційної статистики

Подождите немного. Документ загружается.

110 105 107 110 102 108 111 98 108 110 95 105 115 98 96 100 95 97

105 105 98 94 98 100 105 100 102 96 90 95 102 95 105 103 95.

Література

1. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 18-36.

2 Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н. С. Ростова.–

Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.– C. 11-14.

Лабораторна робота №10

Тема: Показники положення і мінливості.

Мета: Навчитись підраховувати показники положення і мінливості

способами умовної

середньої, добутків, сум.

Матеріал і обладнання: калькулятори, комп’ютери, роздатковий матеріал

для вимірювання ознак, лінійки.

Контрольні питання

1. Показники положення.

2. Показники мінливості.

3. Метод умовної середньої.

4. Метод добутків.

5. Метод доданків.

Хід роботи

Робота №1. Обробка варіаційного ряду способом добутків.

Цей спосіб заснований на використанні відхилень варіант даної

сукупності від їх середньої величини.

Розгляньте і оформіть в зошиті приклади обробки варіаційного ряду з

варіантами, що не повторюються і повторюються.

Приклад 1 (варіанти у вибірці не повторюються). Обчислити середні

величини та показники варіації визначень вітаміну С в паростках гороху

(табл. 4).

Таблиця 4

№ п/п Значення варіант х

−

()

−

1. 10,2 –1,5 2,25

2. 10,7 –1,0 1,0

3. 10,9 –0,8 0,64

4. 11,4 –0,3 0,09

5. 11,7 0 0

6. 11,8 0,1 0,01

7. 12,0 0,3 0,09

8. 12,1 0,4 0,16

9. 12,3 0,6 0,36

10. 12,6 0,9 0,81

11. 13,0 1,3 1,69

n = 11

∑

128 7,

(

)

−=

∑

()

−=

∑

72,

∑

11 7,

()

.84,0

2,7

±==

−

Приклад 2 (варіанти у вибірці повторюються). Було проведено серію

вимірювань діаметрів дерев певного виду в досліджуваному лісовому масиві.

Було взято 50 об’єктів і одержано відповідну сукупність даних, яку

згруповано по класах (табл. 5).

Таблиця 5

Класи

i ц

−

()xx

−

)( xxf

ці

−

41–45 43 2 86 –12,5 156 312

46–50 48 9 432 –7,5 56 504

51–55 53 14 742 –2,5 6 84

56–60 58 15 870 2,5 6 90

61–65 63 7 441 7,5 56 392

66–70 68 3 204 12,5 156 468

n = 50

i ц

⋅=

∑

2775

1850)(

=−

∑

xxf

цi

Цей спосіб полягає в безпосередньому оперуванні частотами варіант

у класах, їх центральними значеннями

і відхиленнями останніх від

середнього арифметичного значення

. Відповідні формули мають такий

вигляд:

i ц

∑

;

(

)

fx x

i ц

⋅−

−

∑

У таблиці наведено розрахунки середнього арифметичного і середнього

квадратичного відхилень методом добутків.

i ц

=⋅==

∑

1 2775

55 5,;

()

.15,6

1850

±==

−

∑

xxf

љi

Робота №2. Обробка варіаційного ряду способом умовної середньої

(спосіб умовного нуля).

Візьмемо варіаційний ряд (ознака x – ширина листка у Odontites litoralis).

Дані занесені у табл. 6.

Таблиця 6

x, мм

1 2 3 4 5 6

1,0–1,9 1,45 7 –2 –14 28

2,0–2,9 2,45 42 –1 –42 42

3,0–3,9

А=3,45

52 0 0 0

4,0–4,9 4,45 36 +1 +36 36

5,0–5,9 5,45 11 +2 +22 44

6,0–6,9 6,45 2 +3 +6 18

n =150

∑

+= 8

168=

∑

Спочатку в окремому стовпці виписують центральні значення класів x

та відповідні до них частоти

. Потім вибирають умовну середню А –

варіанту, або центральне класове значення, що відповідають двом вимогам:

умовна середня повинна по можливості відповідати максимальній частоті і в

той же час знаходитися приблизно по середині ряду. Якщо ряд

асиметричний, то вона може лежати у сусідньому з модальним класі, ближче

до середини ряду. В нашому

прикладі умовну середню краще вибрати в

модальному класі (3,0–3,9), а її значення буде відповідно А=3,45.

Потім підраховують відхилення варіант (a

) від умовної середньої через

=х

–А.

⋅

∑

або

(

)

Axf

−⋅

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∑∑

1 n

iiii

Можна спростити обчислення, якщо відхилення класових варіант від

умовної середньої А віднести до величини класового інтервалу, тобто замість

=х

–А, брати

()

−

. Тоді для всіх випадків (для рівноінтервальних

рядів) відхилення варіант від умовної середньої А, де а=0, перетвориться в

ряд 1, 2, 3 і т.д., які розглядають в сторону менших, ніж А, значень варіант з

«–», а в сторону більших – з «+». Тоді формули мають вигляд:

=+⋅

⋅

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅=

∑∑

1 n

iiii

У стовпці 4 розрахункової таблиці положення умовної середньої

А позначається нулем, а верх і вниз від нуля беремо відлік в натуральних (–1,

–2, і т. д.; +1,+2, і т.д.) Ці відліки характеризують відхилення центральних

класових інтервалів x

від умовної середньої, заміняючи менш зручні

натуральні відхилення.

Стовпчик 5 містить в собі добутки частот на відповідні відхилення

класів від умовної середньої. В останньому стовпці ці добутки ще раз

множимо на величину a

, і отримують добуток частот на квадрат відхилень

від умовної середньої.

Стовпчик 5 містить дані, які необхідні для підрахунку середньої

арифметичної

, а стовпчик 6 – дані для підрахунку середнього

квадратичного відхилення

. Цій меті служать суми та , що

розміщені у нижньому рядку розрахункової таблиці.

∑

Для розрахунку використовують робочі формули, за умови, що

А=3,45, а класовий інтервал

Спочатку знаходимо середнє арифметичне

50,3

150

145,3 =⋅+=

⋅

⋅+=

∑

мм.

Потім підраховуємо середнє квадратичне відхилення

06,1

150

168

1150

150

±=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅=

∑∑

iiii

Коефіцієнт варіації визначаємо за формулою

=⋅ = =100%

106

350

30 5%.

Підрахуємо моду та медіану:

38,3

3642522

4252

10,3

312

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−⋅

−

⋅+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

⋅+=

fff

почo

мм,

50,3

491505,0

10,3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅

⋅+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅+=

∑

почd

мм.

Робота №3. Обробка варіаційного ряду способом сум.

Спосіб сум відрізняється тим, що в розрахунковій таблиці дія

множення заміняється дією додавання.

Цей спосіб також заснований на використанні умовної середньої.

Візьмемо той же варіаційний ряд (ознака x – ширина листка у Odontites

litoralis). Переконаємось чи співпадають результати за цим (табл. 7) і

попереднім способами визначення середнього

арифметичного.

Таблиця 7

x, мм x

=56 a

=7 a

=0 a

1 2 3 4 5 6 7

1,0–1,9 1,45 7 7 7 — —

2,0–2,9 2,45 42 49 — — —

3,0–3,9

А=3,45

52 — — — —

4,0–4,9 4,45 36 49 — — —

5,0–5,9 5,45 11 13 15 — —

6,0–6,9 6,45 2 2 2 2 —

Пояснення: n =150 b

=64 b

=17 b

=2 b

s=a+b

=120 s

=24 s

=2 s

d=b–a

=+8 d

=+10 d

=+2 —

Спочатку обираємо умовну середню А=3,45. В чотирьох наступних

стовпцях проти умовної середньої робимо прочерки, виключаючи відповідні

клітини розрахункової таблиці від подальшої обробки. Число таких

прочерків послідовно збільшують у такій послідовності: у 4-му стовпці – 1

прочерк, у 5-му – 3, у 6-му – 5 і в 7-му – 7 прочерків. Якщо ряд вкорочений,

то не всі прочерки можуть

поміститися у таблиці, а крім того, один, або два

останніх стовпця можуть залишитися без цифр.

Наступний етап роботи полягає в написанні так званих начотних рядів

окремо у верхній та нижній половинах кожного стовпця. Ці ряди

складаються шляхом сумування чисел у напрямку показаному стрілками.

Потім в кожній половині стовпців підрахувати суми a

, a

та b

, b

, які і записуються у відповідних графах. Після того, у стовпцях

підраховують загальні суми за формулою s=a+b та різниці за формулою

d=b–a. Різниця d

для звичайної мети не потрібна.

Для розрахунку параметрів ряду попередньо підраховують три

статистичних моменти: умовний момент першого порядку (

), умовний

момент другого порядку (

), центральний момент другого порядку (

150

0 0533== =,;

120 2 24

150

168

150

11200=

+⋅

==,;

221

1 200 0 0533 11172=− = − =vv ,, ,.

Підставляємо знайдені значення у робочі формули, отримуємо середнє

арифметичне і середнє квадратичне відхилення:

50,30533,0145,3

⋅+=⋅+= vAx

мм.

06,11172,11

±=⋅=⋅=

µλ

мм.

Робота №4. Статистична обробка варіаційного ряду на комп’ютері.

На основі даних експерименту, які запропонує викладач, проведіть їх

статистичну обробку. Використайте для роботи майстер функцій (категорія

Статистичні) програми MS Excel. Внесіть у комп’ютер дані і отримайте

мінімальне та максимальне значення варіант, кількість варіант у вибірці,

середнє арифметичне значення і дисперсію, стандартне

відхилення, моду,

медіану. Використовуючи отримані значення напишіть необхідну формулу

для коефіцієнта варіації у програмі MS Excel і порахуйте його значення. та їх

результати

Оформіть у текстовому редакторі MS Word позначення всіх отриманих

статистичних величин, підставте їх значення і роздрукуйте.

Завдання для самостійної роботи

Підрахувати різними методами показники положення і мінливості для

наступних даних:

1. Довжина

зерен пшениці (у мм): 5,39 5,42 5,38 5,47 5,51 5,30 5,40 5,40

5,28 5,43 5,46 5,53 5,55 5,47 5,24 5,44 5,54 5,66 5,43 5,42 5,43 5,52 5,45 5,26

5,33 5,42 5,50 5,49 5,47 5,52 5,48 5,34 5,36 5,59 5,45 5,44 5,34 5,33 5,41 5,54

5,49 5,35 5,40 5,26 5,50 5,46 5,41 5,55 5,31 5,45 5,54 5,32 5,52 5,39 5,62 5,40

5,23 5,45 5,47 5,40 5,42 5,45 5,32 5,44 5,58 5,50 5,36 5,44 5,50 5,37 5,47 5,50

5,44 5,28 5,31 5,64 5,46 5,47 5,57 5,58 5,45 5,37 5,48 5,46 5,51 5,29 5,42 5,69

5,60 5,45 5,38 5,46 5,52 5,43 5,18 5,61 5,36 5,39 5,44 5,41.

2. Тривалість серцевого циклу у кардіограмах здорових дітей: 0,91 0,71

0,73 0,82 0,67 0,89 0,90 1,00 0,77 0,78 0,72 0,71 0,90 0,68 0,52 0,58 0,59 0,56

0,74 0,54 0,72 0,76 0,74 0,79 0,66 0,84 0,85 0,81 1,11 0,77 0,84 0,59 0,71 0,74

0,65 0,96 0,83 0,78 0,94 0,93 0,62 0,60 0,57 0,69 0,56 0,45 0,93 0,74 0,86 0,55

0,66 0,49 0,71 0,68 0,96 0,78 0,85 0,54 0,64 0,82 0,60 0,71 0,76 0,56 0,79 0,66

0,76 0,65 0,66 0,72 0,92 0,74 0,66 0,61 0,67 0,60 0,69 0,63 0,80 0,76 0,65 0,85

0,68 0,80 0,86 0,56 0,64 0,69 0,49 0,56 0,74 0,87 0,69 0,62 0,61 0,97 0,83 0,66

0,78 0,89 0,75 0,90 0,81 0,59 0,68 0,53 0,59 0,75 0,81 0,73 0,85 0,72 0,72 0,79

0,86 0,54 0,62 0,94 0,57 0,75 0,73 0,52 0,68 0,85 0,75 0,79 0,72;

3. Тривалість серцевого циклу у кардіограмах хворих дітей: 0,91 0,86

0,74 0,51 1,07 0,79 0,98 1,16 0,74 0,88 0,84 0,66 0,73 0,91 1,22 1,43 0,81 0,72

0,79 0,98 0,62 1,37 0,94 0,77 0,71 0,85 0,85 0,57 0,83 1,27 1,06 0,73 0,61 0,67

0,75 0,91 1,05 0,54 0,85 0,82 0,79 0,64 0,97 1,17 1,06 0,82 0,58 0,93 0,85 0,96

1,08 0,67 0,74 0,84 1,03 0,97 0,89 0,63 0,77 0,86 0,61 0,74 0,72.

4. Число фрагментів хромосом на 1000 клітин: 328 521 421 461 410 481

492 501 499 505 401 502 383 470 482 441 540 541 522 459 506 523 518 450 483

385 493 477 440 504 497 449 430 498 499 425 515 439 491 530 530 460 502 413

475 477 543 387 531 478 443 539 457 507 443 417 556 471 489 560 560 418 542

453 508 479 519 419 527 389 469 462 545 426 463 561 451 519 431 528 496 562

484 479 500 438 520 529 453 495 485 447 581 471 503 486 449 461 563 481 570

571 470 488 590 461 515 517 463 500 487 539 490 591 489 530 531 494 599 481.

5. Кількість язичкових квітів у суцвіттях королиці круглолистої на

галявині лісу у Карпатах: 27 34 29 31 24 20 21 21 21 22 23 29 25 18 19 21 21 20

21 33 19 21 21 21 21 21 24 21 21 25 31 20 27 34 23 21 21 21 21 22 25 23 23 22

21 23 20 23 21 21 17 20 21 19 22 22 14 18 18 21 21 24 22 21 22 22 20 20 21 21

21 20 20 21 18 19 29 22 21 15 18 21 26 23 22 21 21 21 21 21 23 21 20 21 19 19

29 21 21 24 24 21 22 28 21 20 25 22 21 21 23 24 16 21.

Література

1. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 37-52.

2 Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н. С. Ростова.–

Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.– C. 20-34.

Лабораторна робота №11

Тема: t–критерій Стьюдента. F–критерій Фішера.

Мета: Навчитись застосовувати t–критерій Стьюдента і F–критерій

Фішера для статистична оцінки істотності різниці середніх та мінливості.

Матеріал і обладнання: калькулятори, комп’ютери, розрахункові

таблиці.

Контрольні питання

1. Критерій Стьюдента.

2. Коефіцієнт Стьюдента.

3. Статистична оцінки істотності різниці середніх арифметичних

значень для великих або малих однакових вибірок.

4. Статистична оцінки

істотності різниці середніх арифметичних

значень для малих неоднакових вибірок

5. Статистична оцінки істотності різниці середніх арифметичних

значень для парних контрольних та експериментальних даних.

6. Критерій Фішера.

Інформаційний матеріал

Визначене в конкретному досліді середнє арифметичне тільки з певною

ймовірністю відображає справжнє теоретичне середнє арифметичне для

генеральної сукупності об’єктів, досліджуваних у

даній вибірковій групі.

Коли ми обчислили середні величини двох серій дослідів (першу серію

дослідів вважаємо контрольною, а другу – дослідною) і вони не збігаються,

то постає питання, чи різниця між середніми арифметичними цих груп є

вірогідною (статистичне істотною), чи її слід розглядати як випадкову

величину внаслідок мінливості, властивої для кожного біологічного

експерименту

. Постає також питання про кількісну оцінку ступеня

вірогідності знайденої різниці, і тільки тоді, коли така різниця встановлена з

ймовірністю, більшою за 0,95, її можна вважати доведеною. Ступінь

вірогідності різниці обчислюють за відношенням знайденої різниці середніх

арифметичних обох вибіркових груп

d до стандартної похибки цієї різниці

, яке позначають буквою і називають коефіцієнтом Стьюдента.

t =

Абсолютна величина різниці середніх величин:

dxx=−

Стандартну похибку визначеної різниці середніх арифметичних у

випадку великого обсягу сукупності, коли кількість даних у кожній групі є не

менша ніж 20–30, визначають за формулою

mmm

dxx

, де m

стандартні похибки середніх арифметичних відповідно першої (контрольної)

і другої (дослідної) груп. Цю формулу використовують також і тоді, коли

кількість варіант в одній і другій групах хоч і мала, але однакова.

Визначивши величину показника Стьюдента і, знаходять імовірність

істотності досліджуваної різниці за модифікованою таблицею Стьюдента,

наведеною в табл. 10 [1].

При порівнянні між

собою двох груп експериментальних даних, для

кожної з яких кількість ступенів вільності

−

, загальна кількість

ступенів вільності в обох групах дорівнює:

(

)

.21)1(

2121

−

+=−

−

nnnn

Часто буває так, що кількості даних контрольного і дослідного

експериментів не збігаються

(

)

≠ і є притому малими за обсягом. У таких

для обчислення її використовують дещо модифіковану формулу, в яку

входять суми квадратів відхилень від середніх арифметичних першої і другої

груп:

()()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

−+−

∑∑

xxxx

Для оцінки вірогідності різниці в мінливості для порівнювальних груп

обчислюють числові значення їх дисперсій

і . Обчислюють,

коефіцієнт Фішера

, який є відношенням більшої дисперсії до меншої в

двох досліджуваних групах:

F =

, .

SS >