Зінченко О.П., Степанюк Я.В. Біометрія. Частина ІІ. Основи варіаційної статистики

Подождите немного. Документ загружается.

Це означає, що величина

завжди більша за 1. Виходячи з цієї умови,

складено таблицю значень коефіцієнта Фішера – табл. 11 [1]. В ній показано

величини коефіцієнта

залежно від кількості ступенів вільності кожної з

вибірок,

. Для кожної з них

−

n 1.

Вище цих табличних значень різниця в мінливості між обома групами

доведена з імовірністю

. Іншими словами, якщо , то

різниця в мінливості істотна з гарантією (ймовірністю)

. Зрозуміло,

що у випадках, коли

p ≥ 095,

експ табл

p ≥ 095,

таблексп

, різниця в мінливості між досліджуваними

групами вважатися не статистично істотною.

Робота 1. Порівняння двох однакових і малих за обсягом груп

експериментальних даних.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад. Досліджували вміст вітаміну В

в суспензії дріжджів в умовах

експериментального мутагенезу. Було проведено по три аналізи для

контрольного (вихідного) і мутантного штамів і дістали такі дані (в умовних

одиницях): контрольний штам – 5,7; 6,4; 7,1; мутантний штам – 8,2; 6,6; 6,9.

Треба зробити висновок про продуктивність досліджуваного мутанта

дріжджів щодо вітаміну В

порівняно з вихідним штамом. Запишемо обидві

групи даних в одну таблицю (табл. 8).

Таблиця 8

Вихідний штам Мутантний штам

Значення

варіант

(

)

−

()

−

Значення

варіант

(

)

−

()

−

5.7 –0,7 0,49 8,2 1.0 1,00

6.4 0 0 6,6 –0,6 0,36

7,1 0,7 0,49 6,9 –0.3 0,09

Отже,

3= ;

19 2

∑

= ,;

()

098

016=

−

⋅−

∑

3= ;

21 7

∑

= ,;

72= ,;

()

;24,0

45,1

−⋅

−

∑

dxx=−= − =

72 64 08,, ,;

mmm

dxx

=+=−==

0 16 0 24 0 40 0 63,, , ,;

== =

080

063

В обох групах було всього 6 аналізів, а отже,

+−=332 4

. табл. 10 [1]

значенню

для графи

t = 13,

відповідає ймовірність

0 737, .

Ця ймовірність є занадто малою, щоб на основі проведених дослідів

стверджувати, що мутантний штам статистичне істотно продукує більше

вітаміну B

, ніж вихідний штам. Отже, щоб оцінити промислове значення

нового штаму, треба продовжити лабораторне вивчення його.

Робота 2. Порівняння двох неоднакових і малих за обсягом груп

експериментальних даних.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад. Визначали електропровідність м’язової тканини в умовах

опромінення потоком нейтронів. Було проведено 13 дослідів при опроміненні

і 9 – у нормальних умовах (контроль). Дослідника цікавить питання, чи

впливає опромінення нейтронами (при даній дозі) на електропровідність

м’язової тканини. Результати вимірювань подали в умовних одиницях і звели

в дві таблиці за знайомими вже нам схемами. У табл. 9 наведено дані

контрольної серії аналізів, а в табл. 10 – дослідної.

Таблиця 9

Порядковий

номер

Значення варіант

()

(

)

−

()

−

1 2,6 –1,0 1,00

2 2,9 –0,7 0,49

3 3,3 –0.3 0,90

4 4,8 1,2 1,44

5 3,7 0,1 0,01

6 3,0 –0,6 0,36

7 4,2 0,6 0,36

8 4,2 0,6 0,36

9 3,8 0.2 0,04

6,3

5,32

∑

()

496−=

∑

Таблиця 10

Порядковий

номер

Значення

варіант

(

)

(

)

−

()

−

1 4,3 –1,3 1,69

2 7,2 1,6 2,56

3 5,4 –0,2 0,04

4 4,1 –1,5 2,25

5 4,6 –1,0 1,00

6 6,6 1,0, 1,00

7 3,9 –1,7 2,89

8 7,0 1,4 1,96

9 6,3 0,7 0,49

10 5,7 0,1 0,01

11 5,4 –0,2 0,04

12 6,8 1,2 1,44

13 4,9 –0,7 0,49

13=

6,5

2,72

∑

()

15 86−=

∑

Далі визначаємо:

d =−

56 36 20,, ,;

+−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

496 1586

9132

913

0 443

t ==

0443

Величину ймовірності, яка відповідає коефіцієнту , визначаємо за

таблицею Стьюдента. Загальна кількість проведених дослідів була

, отже, ν=20.

t = 45,

913 22+=+=

З табл. 10 [1] видно, що вірогідність підвищення електропровідності

м’язової тканини під впливом опромінення нейтронами доведено з

імовірністю більшою ніж 0,999.

Робота 3. Порівняння парних експериментів: контрольних і дослідних

аналізів.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад. Дослідника цікавить питання про вплив γ-випромінювання на

вміст дезоксирибонуклеїнової кислоти (ДНК) в печінці. Досліди були

поставлені на морських свинках. Щоб забезпечити однорідність матеріалу,

однакових за віком і статтю тварин відбирали попарно з генетично

однорідної групи, і з кожної пари тварин одна була контролем, а другу

опромінювали променями. Аналізи вмісту ДНК в печінці проводили за

однаковою методикою, причому контрольну і дослідну серію аналізів

ставили паралельно в однакових умовах.

Добуті дані (було поставлено 8 пар аналізів) подано в табл. 11

у відповідних одиницях визначень.

Таблиця 11

Поряд-

ковий

номер

Контрольна

серія

Серія з

опромінен-

ням

Попарна

різниця

)(

−

()xx

−

1 12,9 10,3 2,6 1,2 1,40

2 9,0 7,9 1,1 –0,3 0,09

3 11,6 10,1 1,5 0,1 0,01

4 10,5 8,2 2,3 0,9 0,81

5 9,8 9,9 –0,1 –1,5 2,25

6 9,2 10,1 –0,9 –2,3 5,29

7 11,1 9,7 1,4 0 0

8 12,2 8,7 3,5 2,1 4,41

n = 8

∑

= 11 4,

()

−=

∑

14 26,

Отже, середня різниця

4,1==

∑

, а її стандартна похибка

()

−

⋅−

===

∑

14 26

025 05

,,.

Коефіцієнт Стьюдента у цьому випадку дорівнює:

8,2

5,0

4,1

===

;

.718

−

= n

Значенню

28,

для

= 7

в табл. 10 [1]

відповідає ймовірність

097,

. Отже, можна стверджувати, що γ-опро-

мінення в досліджуваній дозі приводить до зменшення вмісту ДНК в печінці

морських свинок.

Робота 4. Статистичне доведення істотності різниці в мінливості двох

експериментальних груп.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад. При досліджені нового методу зберігання м’яса було зібрано

такі дані: а) контрольний спосіб (1) – 120

6 днів (

); б) досліджуваний

спосіб (2) –128 ± 9 днів (

). Абсолютна різниця в часі зберігання

(

днів) між обома методами статистичне неістотна, бо ймовірність її

істотності мала. Справді,

d = 8

74,0

8,10

0,8

, що відповідає ймовірності

= 054, . Зате різниця в мінливості часу зберігання між обома методами

статистично істотна. Щоб пересвідчитися в цьому, обчислимо спочатку

величини дисперсій для обох методів і на їх основі – коефіцієнт Фішера

.7202036)(

111

=⋅==⋅= nmnmS

xxx

.40505081)(

222

=⋅==⋅= nmnmS

xxx

.62,5

720

4050

експ

Табличне значення визначаємо на перетині горизонтальної графи з

= 19 і вертикальної графи

= 49 (50 є найближче значення) з табл. 11 [1].

Дістаємо

= 2,00 при ймовірності р = 0,95. У зв’язку з тим, що в нашому

прикладі

> можна стверджувати, що різниця між обома методами за

їх мінливістю статистично істотна з високим рівнем ймовірності (

табл

експ

табл

95,0=p

Завдання для самостійної роботи

1. Статистичні показники контрольної серії експериментів такі:

191,5 та

= 64,0, а дослідної серії експериментів:

=186,1, = 81,0. В

обох серіях було проведено по 100 дослідів. Чому дорівнює коефіцієнт

Стьюдента для різниці між середніми значеннями контролю і досліду?

2. Досліджувався вплив мікроелементів на підвищення врожаю жита. В

контрольній серії (25 ділянок) середній урожай був 27,6 ± 7,2 ц/га, а в

дослідній (30 ділянок з внесенням мікроелементів) – 41,8 ± 8,6 ц/га. Якою є

ймовірність (p), якщо твердження про підвищення

врожаю жита (в

середньому на 14,2 ц/га) від внесення мікроелементів є статистичне

істотним?

3. Чи можна вважати вірогідним приріст урожаю пшениці під дією

добрива А, якщо у великій серії дослідів було показано, що без внесення

добрива врожай був 17 ± 2 ц, а з внесенням добрива – 20 ± 6 ц. Який

коефіцієнт потрібно використати?

4. Досліджувався вплив передпосівного

опромінення насіння на час

достигання помідорів. Посіяно 28 помідорів без попереднього опромінення і

36 помідорів з попереднім опроміненням насіння. Час дозрівання

опромінених помідорів прискорився в середньому на 21 день при стандартній

похибці 7,5 днів. З якою ймовірністю доведено, що прискорення часу

дозрівання опромінених помідорів є статистичне істотним?

5. За літературними даними, середня довжина тіла

окуня виду А

дорівнює 150 ± 7 мм. Дані нашої лабораторії свідчать, що середня довжина

тіла окунів цього самого виду дорівнює 139 ± 5 мм. В обох випадках

висновки зроблені на основі 30 обстежень. Яка ймовірність того, що наші

дані суперечать літературним?

6. У роботі студента стверджується, що середній вміст вітаміну Д в

печінці становить 652 ± 18 мкг, а за

літературними даними він становить

710 ± 26 мкг. В обох випадках проведено по 36 дослідів. Чому дорівнює

коефіцієнт Стьюдента для різниці між даними студента і літератури?

7. Між контрольною і дослідною серією експериментів (в обох серіях

поставлено по 50 аналізів) різниця в середніх величинах дорівнює

16 одиниць, а стандартна похибка цієї різниці – 6,7 одиниці. Яка ймовірність

статистичної істотності одержаної різниці між контролем і дослідом?

8. За літературними даними, величина біоелектричного потенціалу,

відведеного від зорового нерва собаки в темряві (на основі 6 дослідів),

дорівнює 58 ± 4 мв. У наших дослідах одержано середню величину

потенціалу 53 ± 6 мв (на основі 6 дослідів). Чи підтверджують наші дані

літературні? (Вірогідність висновку повинна мати ймовірність р= 0,95).

9. Між середніми значеннями контрольної та експериментальної серії

дослідів спостерігається різниця в 15,5 одиниці при стандартній похибці її 9,2

одиниці (

). З якою ймовірністю (р) можна зробити висновок, що

одержана різниця є статистичне істотна? Чи вона достатня для категоричного

твердження?

== nn

10. За літературними даними, добова потреба в білках (в г/кг ваги) різна

у хлопчиків і дівчаток і дорівнює відповідно 3,57 ± 0,17 та 1,85 ± 0,35

(

). Яка ймовірність (р) твердження, що потреба в білках у

хлопчиків і дівчаток є вірогідно різною? Обчислити коефіцієнт Фішера, якщо

дисперсія за показником x дорівнює 8,2, а дисперсія за показником у

дорівнює 16,4.

== nn

11. Чи доведена статистичне різниця за мінливістю між показниками х і

у (

). якщо ( =16 і =48? Який критерій потрібно застосувати?

Вірогідність висновку повинна мати ймовірність р

≥

0,95.

== nn

12. У контрольній серії дослідів одержано дані, що вміст вітаміну В12 в

рубці корів дорівнює 160 ± 25 мкг %. В умовах ультрафіолетового

опромінення корів вміст вітаміну В12 збільшився до 200 ± 40 мкг %. В обох

випадках кількість даних дорівнювала 10. Чи різниця в мінливості між

контролем і дослідом є статистичне істотною? Який статистичний показник

треба застосувати? Вірогідність висновку

повинна мати ймовірність р 0,95.

≥

13. Встановлено, що кількість цукру в крові зменшується при

інтенсивній м'язовій роботі. Так, у нормі вона дорівнює 110 ± 3,2 мг%, а під

час спортивних змагань — 70 ± 1,8 мг% (

). Яка ймовірність

статистичної істотності цього зменшення? Який треба застосувати показник

для відповіді на це запитання? Чи можна стверджувати з імовірністю р> 0,95

про статистичну вірогідність різниці в мінливості цукру в крові в нормі і при

м'язовій роботі? Який показник треба застосувати для відповіді на це

запитання?

Література

1. Зінченко О. П

. Методичні матеріали для проведення лабораторних і

практичних занять з курсу “Математичні методи в біології (Статистичні

таблиці) / О. П. Зінченко, В. П. Бенедь.– Луцьк: ВДУ, 1995.– Ч. 1.– 39 с.

2. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 113-126.

Лабораторна робота №12

Тема: Оцінка характеру розподілу. Розв'язання прикладів на

нормальний закон

розподілу та за характером розподілу. Оцінки істотності

належності експериментального розподілу частот у класах до теоретично

відомого стандарту.

Мета: Навчитись оцінювати характер розподілу за даними вибірки.

Оволодіти методикою розв’язання прикладів для оцінки істотності

належності експериментального розподілу частот у класах до теоретично

відомого стандарту, а також до нормального розподілу.

Матеріал і

обладнання: калькулятори, розрахункові таблиці.

Контрольні питання:

1. Критерій Пірсона хі-квадрат.

2. Оцінка істотності належності експериментального розподілу частот у

класах до теоретично відомого стандарту.

3. Закон нормального розподілу.

Інформаційний матеріал

Критерій Пірсона хі-квадрат.

Критерій Пірсона

найбільш універсальний засіб перевірки гіпотези

про належність експериментальної вибірки до даного теоретичного типу

розподілу.

Алгоритм обчислення критерію хі-квадрат зводять до таких операцій.

Експериментальну вибірку достатньо великого обсягу (

n ) групують на

класи і встановлюють емпіричну частоту появи варіант у кожному класі (f).

Далі визначають теоретично передбачені частоти в цих класах (

), виходячи

з гіпотези про даний розподіл. Потім обчислюють абсолютні різниці між

експериментально добутими фактичними частотами в класах і теоретично

> 50

′

обчисленими частотами

ff−

′

. Критерій хі-квадрат обчислюють за

формулою

()

−

′

∑

, причому для зручності складають відповідну

таблицю (табл. 12) з графами, елементи яких входять у формулу.

Таблиця 12

Частота

Класи

′

ff−

′

(

)

ff−

′

()

−

′

У табл. 12 [1] показано значення залежно від кількості ступенів

вільності

(рядки таблиці). В кожній графі таблиці вказано відповідну

імовірність. Якщо розрахована в досліді величина

(для даного

експ

) є

більшою за табличне значення

у відповідній графі, то різниця в

розподілах статистичне істотна з заданим рівнем імовірності. Якщо,

наприклад, при

табл

, то це означає, що ймовірність істотності

різниці між теоретично передбаченим і експериментальним розподілами

лежить у межах 0,75–0,90. Вона недостатньо висока для того, щоб відхилити

гіпотезу про належність експериментальних даних до передбаченого типу

розподілу. Тільки тоді, коли ймовірність істотності різниці в розподілах

більша за 0,95 (

), гіпотезу про даний теоретичний тип

розподілу є підстави відхилити (різниця в розподілах істотна). Іноді доцільно

експ

95,0.,

pтаблексп

χχ

встановлювати ще вищий поріг для відхилення гіпотези, наприклад, гіпотезу

про нормальний характер розподілу відхиляють тільки при умові, коли

. 99,0.,

pтаблексп

χχ

Встановлюючи кількість ступенів вільності

, треба дотримуватися

таких рекомендацій:

1. Якщо теоретичний розподіл зводиться до встановлення певних

пропорцій у частотах класів, то

−

(де – кількість класів), тому що

емпіричну і теоретичну вибірки нормують (зрівнюють при розрахунках) по

одному спільному параметру – загальній кількості даних

2. Коли обчислюють теоретичні частоти варіант у класах під час

аналізу типів розподілів, зокрема нормального і біноміального, то

−

бо теоретична та емпірична сукупності мають три спільні параметри:

, які обмежують незалежне варіювання їх.

3. Коли досліджують розподіл Пуассона, то

2−

, бо для цього

типу розподілу значення середнього арифметичного

і дисперсії

чисельно збігаються.

4. Коли методом хі-квадрат порівнюють табличні дані, складені за

типом кореляційної решітки, кількість ступенів вільності визначають як

добуток

()(

11 −−= lk

)

, де і – відповідно кількість класів у

вертикальній і горизонтальній площинах решітки.

k l

Розглядаючи приклади на застосування методу хі-квадрат, ми будемо

вказувати для кожного характерного прикладу своє значення величини

Є ще одна особливість методу хі-квадрат, яка полягає в тому, що при

складанні розрахункових таблиць в жодному з класів як теоретичного, так і

емпіричного рядів частота варіант не може бути нульовою. Бажано, щоб

частота в класах не була меншою за 5, а загальна кількість даних щоб була

більша як 50. Якщо

такі класи все-таки трапляються, то їх слід об'єднувати з

сусідніми класами, зменшуючи тим самим кількість класів, а отже, й

величину