Зінченко О.П., Степанюк Я.В. Біометрія. Частина ІІ. Основи варіаційної статистики

Подождите немного. Документ загружается.

мм= 02,

. Маємо класи: 6,10–6,29; 6,30–6,49; 6,50–6,69; 6,70–6,89.

Таблиця 20

Довжина

крила

()

Довжина

хоботка

()

Довжина

крила

(

)

Довжина

хоботка

(

)

Довжина

крила

()

Довжина

хоботка

()

9,74 6,44 9,68 6,69 9,74 6,63

9,59 6,54 9,77 6,70 9,67 6,68

9,71 6,64 9,60 6,51 9,49 6,71

9,56 6,55 9,59 6,62 9,45 6,50

9,61 6,61 9,54 6,68 9,55 6,55

9,74 6,67 9,74 6,74 9,25 6,35

9,20 6,22 9,02 6,35 9,73 6,75

9,48 6,62 9,68 6,53 9,59 6,70

9,78 6,64 9,59 6,79 9,70 6,61

9,56 6,62 9,87 6,63 9,84 6,70

9,64 6,70 9,21 6,17 9,72 6,65

9,72 6,75 9,61 6,57 9,50 6,55

9,81 6,71 9,55 6,64 9,61 6,59

9,64 6,45 9,53 6,43 9,65 6,77

9,08 6,25 9,71 6,55 9,67 6,58

Встановивши класи, внесемо дані вимірювань обох рядів у кореляційну

решітку. Зручніше спочатку накреслити решітку без граф обробки, тільки з

клітинками класів, і кожну пару вимірів (для кожної комахи) проставляти у

відповідній клітинці окремою крапкою або паличкою (за методом конвертів).

Потім можна рознести дані олівцем безпосередньо в кореляційну решітку.

Таблиця 21

ряд

Класи ряду

ряд

9,00–

9,19

9,20–

9,39

9,40–

9,59

9,60–

9,79

9,80–

9,99

6,10–

6,29

1 2

3 –2 –6 12

6,30–

6,49

1 1 1 2

5 –1 –5 5

6,50–

6,69

10 15 1

26 0 0 0

Класи ряду y

6,70–

6,89

3 6 2

11 1 11 11

2 3 14 23 3

45 0 28

–3 –2 –1 0 1

–6 –6 –14 0 3

–23

18 12 14 0 3

Далі приступають до складання кореляційної решітки в повному

вигляді і проводять відповідну обробку по графах. У кореляційній решітці

(табл. 21) модальні класи обведено товщими лініями.

Випишемо з кореляційної решітки потрібні значення тих сум, які

входять у формулу; вони містяться в правих нижніх клітинках по краях

виїмки решітки:

∑

⋅=−23; ; fa

∑

⋅=0 fa

∑

⋅=

47 ; fa

∑

⋅=

28 ; n

45.

Залишилося обчислити значення суми потрійного добутку

Для цього частоту варіант у кожній заповненій клітинці решітки

треба

помножити на відповідні значення

, і , а потім підрахувати загальну їх

суму

faa

∑

faa

∑

У модальних класах відхилення

, або , дорівнює нулю. a

Отже, добуток

, коли в нього входить хоч би одне значення

модального класу, також дорівнюватиме нулю. Усі інші клітинки решітки,

якщо вони заповнені певною кількістю варіант, дають відповідні значення

добутку

, які є цілими числами.

Отже, кореляційну решітку модальні (нульові) класи поділяють на 4

квадранти. Нульові класи обведено товщими лініями. Кожен квадрант

характеризується своїм знаком:

І квадрант + II квадрант —

III квадрант — IV квадрант +

Величину суми визначають за квадрантами. Знаки в

квадрантах відомі, отже, величини

і можна перемножувати, не

зважаючи на знак, який встановлюють тільки в кінці операції

підсумовування.

faa

∑

У нашому випадку для І квадранта

faa

∑

(І) дорівнює:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

1111

2121

3131

6222

6231

⋅

=⋅⋅

⋅

=++++=

∑

68321 20 (знак в квадранті плюс)

Для II квадранта

(II) =0, бо в ньому немає жодної заповненої

клітинки (знак в квадранті мінус).

faa

∑

Для III квадранта

(III) дорівнює

faa

∑

311 3

⋅

= (знак в квадранті

мінус).

Для IV квадранта

(IV) дорівнює faa

∑

211 2

⋅

= (знак в квадранті

плюс).

Загальна сума значень по всіх квадрантах, враховуючи їх знаки,

становить

. faa

∑

=+ − − + =+20 0 3 2 19

Тепер залишається тільки підставити всі визначені величини в загальну

формулу коефіцієнта кореляції:

r =

−

−⋅

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

23 0

0 605

Кореляція статистичне істотна, бо коефіцієнту кореляції 0,605

відповідає значення

070, , для якого коефіцієнт Стьюдента

tzn=−= =3 0 70 42 4 54,,, а йому, в свою чергу, відповідає висока

ймовірність

> 0 999, .

Завдання для самостійної роботи

1. При дослідженні тісноти взаємозв'язку між явищами у і z одержано

коефіцієнт кореляції

1,86. Що можна сказати про тісноту взаємозв'язку між

досліджуваними явищами?

2. При попарному дослідженні взаємозв'язку між рядом показників

одержано 5 різних значень коефіцієнта кореляції. Який з них вказує на

найбільшу тісноту взаємозв’язку між двома досліджуваними показниками?

3. Досліджувався взаємозв'язок між двома показниками А і D.

Коефіцієнти варіації для кожного з них були: Сv

= 62%, Сv

= 27%. Чи існує

взаємозв'язок між вказаними показниками?

4. Досліджувалася тіснота зв'язку між двома показниками х і y на

12 біологічних об'єктах. Одержано коефіцієнт кореляції 0,611. З якою

ймовірністю доведено істотність кореляції між показниками х і y?

5. При дослідженні взаємозв'язку між двома явищами х і у одержано

коефіцієнт кореляції – 0,8917 на

основі 16 аналізів. Яка імовірність того, що

кореляція між х і у статистичне вірогідна?

6. Коефіцієнт кореляції між довжиною тіла і вагою у комах за даними

147 вимірів становить 0,8692. Яка ймовірність його істотності?

7. Яка ймовірність істотності кореляційного зв'язку між ознаками а і b,

якщо коефіцієнт кореляції між ними, визначений на основі

16 дослідів,

дорівнює 0,6527.

8. На основі 120 досліджень зв'язку між довжиною тіла і вагою тварин

виду А знайдено коефіцієнт кореляції 0,832. Чи можна вважати цей зв'язок

статистично істотним? (Імовірність висновку – 0,95).

9. Дано кореляційну решітку:

1 1 1 2

2 4

1 7 1 1

1 1 3 1

Чому дорівнює величина fa a

⋅⋅

∑

? Вказати величину коефіцієнта

кореляції.

10. Вивчали взаємозалежність між частотою серцебиття і віком дітей.

Було обстежено 12 дітей віком від одного до дванадцяти років. Дістали такі

дані:

Вік, роки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Частота серце-

биття, уд./хв

120 115 110 100 98 95 92 90 85 82 80 75

Що можна сказати про тісноту і характер кореляційного зв'язку між

віком і частотою серцебиття у дітей?

Література

1. Зінченко О. П. Методичні матеріали для проведення лабораторних і

практичних занять з курсу “Математичні методи в біології (Статистичні

таблиці) / О. П. Зінченко, В. П. Бенедь.– Луцьк: ВДУ, 1995.– Ч. 1.– 39 с.

2. Лакин Г. Ф. Биометрия / Г. Ф. Лакин.– М.: Высш. школа, 1990.– C. 208-226.

3. Терентьев П. В. Практикум по биометрии / П. В. Терентьев, Н.

С. Ростова.–

Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.– C. 64-69.

Лабораторна робота №15

Тема:

Кореляційне відношення. Рангові коефіцієнти кореляції.

Мета: Навчитись використовувати кореляційне відношення для

перевірки гіпотези про лінійність кореляційного зв'язку.

Матеріал і обладнання: калькулятори, статистичні таблиці.

Контрольні питання:

1. Кореляційне відношення

Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмана.

Інформаційний матеріал.

Кореляційне відношення. Перевірка гіпотези про лінійність

кореляційного зв’язку.

Для доведення лінійності зв’язку між ознаками

і треба, щоб

сукупність пар цих ознак, тобто попарно обстежених на

і об’єктів, була

достатньо великою, щоб можна було скласти кореляційну решітку з

відповідною кількістю класів в одному і другому ряді.

Існує показник, який називається кореляційним відношенням і

позначається буквою

(ета). Він є кількісною мірою спряженості ознак при

будь-якій формі зв’язку між ними. Він є двосторонньою мірою спряженості

ознак, отже, говорять про кореляційне відношення

по y

і кореляційне

відношення

по y

Доказ лінійності зв’язку полягає в тому, щоб дослідити, чи існує

статистично істотна різниця між показником будь-якого зв’язку –

кореляційним відношенням

і показником лінійного зв’язку –

коефіцієнтом кореляції

. Якщо ця різниця статистичне неістотна, то гіпотеза

про лінійність кореляційного зв’язку приймається. В протилежному випадку

гіпотезу про лінійність зв’язку треба відхилити. Перейдемо до формул.

Кореляційне відношення обчислюють за формулою

, що стоїть у чисельнику, називається частковим середнім квадратичним

відхиленням для ряду

. Це є середнє квадратичне відхилення відомих нам

часткових середніх значень

′

від загального середнього арифметичного

значення

y . Його обчислюють з урахуванням частоти в кожному класі за

формулою

()

−

′

∑

yyf

де , що стоїть у знаменнику, є загальним середнім квадратичним

відхиленням для ряду

, яке обчислюють за формулою:

()

−

∑

yyf

Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена.

Цей коефіцієнт служить показником сили та напрямку для порядкових

даних, а також для попереднього оцінювання кореляцій між кількісними

(інтервальними) показниками. Для його підрахунку кожна з двох ознак

ранжирується і підраховується d – різниця в кожній парі (n – число пар):

−

−=

∑

Для оцінювання отриманого результату використовують таблицю 17 [1].

Робота №1. Перевірка гіпотези про лінійність кореляційного зв’язку

між довжиною крила і довжиною хоботка у бджіл.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад.

Обчислимо показники , S

для прикладу з бджолами

(табл. 20), для якого була раніше побудована кореляційна решітка (табл. 21).

Для обчислення кореляційних відношень

по

і розв'язання питання про

належність зв'язку між довжиною крила і довжиною хоботка у бджіл до

лінійного типу побудуємо таблицю на основі даних кореляційної решітки

(табл. 22). Класи обох рядів позначимо їх центральними значеннями

і .

У правій частині таблиці наведено графи для обчислення загального

середнього арифметичного

y і загального середнього квадратичного

відхилення

для ряду . У нижній частині таблиці наведено графи для

обчислення часткових середніх значень

′

y і часткового середнього

квадратичного відхилення

Таблиця 22

ряд

Центральні значення

класів ряду

(

)

ряд

9,1 9,3 9,5 9,7 9,9

⋅

−

()

−

(

)

fyy

⋅−

Центральні

6,2

1 2 3

18,6 –0,4 0,16 0,48

значення

6,4

1 1 1 2

5 32,0 0,2 0,04 0,20

класів ряду

6,6

10 15 1

26 171,6 0 0 0

(

)

6,8

3 6 2

11 74,8 0,2 0,04 0,44

2 3 14 23 3

45 297,0 1,12

()

′

6,30 6,27 6,63 6,64 6,67

′

−yy

–0,30 –0,33 0,03 0,04 0,13

()

′

−yy

0,090 0,109 0,001 0,002 0,017

()

fyy

⋅

′

−

0,180 0,327 0,014 0,046 0,051

0,618

⋅

∑

297

660.

;

fyy

⋅−

−

== =

∑

()

112

0 0254 0 16

;

12,0014,0

618,0

)(

===

−

′

⋅

∑

yyf

;

== =

012

016

075

Коефіцієнт кореляції для нашого прикладу був обчислений раніше і

дорівнював 0,605.

Істотність різниці між кореляційними відношеннями

визначаємо, обчислюючи коефіцієнт Фішера F для лінійної кореляції і

використовуючи табл. 11 [1]. Коефіцієнт Фішера

обчислюємо за

формулою

лнкоі . р.

лнко

і . р.

−

⋅

, де

−

;

−

; – об'єм кореляційної

решітки;

– число класів за ознакою, залежність від якої вивчається (індекс

якої стоїть у знаменнику показника кореляційного відношення). У нашому

випадку це ознака

лнкоі . р.

,.=

−

⋅

−

⋅= =

0 75 0 605

1075

45 5

0 562 0 366

1 0 562

784

131

Знаходимо табличне значення коефіцієнта Фішера F

лін.кор.,

за табл. 11 [1]

на перетині граф

. Це є граничне значення F для ймовірності

твердження

, воно дорівнює Fp = 095,

лін.кор. табл.(р=0,95)

=2,84.

експ

> F

табл

, отже , між коефіцієнтами

є істотна різниця. Якщо нас

задовольняє рівень впевненості висновку

095, , то гіпотезу про лінійний

зв’язок між довжиною крила і хоботка у бджіл є підстави відхилити.

Робота №2.

Обчислення рангового коефіцієнту кореляції Спірмена.

Розгляньте приклад і запишіть його у зошит.

Приклад.

Розмір черепу (x) і вага головного мозку (y) (табл. 23).

Таблиця 23

155 190 170 165 160 195 180 185 75

1300 1650 1440 1386 1393 1725 1502 1550 1455

1 8 4 3 2 9 6 7 5

1 8 4 2 3 9 6 7 5

0 0 0 +1 –1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0

Підраховуємо ; r

∑

= 2

=1–0,00833 2

⋅

=+0,9834. Для отриманого

результату при

n=9 та P

=0,01 (за таблицею 17) 83,0

r , оскільки 0,98>0,83;

таким чином

<0,01.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити коефіцієнт кореляції та кореляційні відношення за даними

наступних задач:

1. Кількість народжень

(х) і смертей (у) на 1000 чоловік населення

Англії і Уельсу за 1881 – 1930 рр

. (за кожні 5 років):

Х:

18,5 16,4 15,5 14,3 13,2 8,6 5,1 4,9 1,7

У:

9,4 8,9 8,7 7,7 6,0 4,3 4,4 2,2 2,1

2. Відсоток білку у молоці матері (х) та число днів до подвоєння ваги

(у) у малят різноманітних ссавців:

y x

Кролик 6 14,5

Козеня 19 4,3

Щеня 8 7,1

Теля 47 3,5

Ягня 10 6,5

Лоша 60 2,0

Порося 18 5,0

Дитина 180 1,6

3. Ширина черепашки

(х) і число ребер на ній (у) у викопного молюска

Orthambonites majuscula:

Х:

18,4 19,0 19,0 20,0 21,8 21,8 22,2 22,4 23,0 25,8 24,0 25,0

У:

25 20 24 23 24 24 22 28 29 26 28 29

Х:

29,0 29,3 30,6 30,8 30,0 29,0 28,0

У:

33 32 32 31 31 32 33

4. Швидкість току крові, виміряного у дітей кальцієвим (х) і

цитітоновим

(у) засобами:

Х:

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

У:

5,2 5,7 7,3 6,9 7,0 7,4 9,2 8,0 9,8 9,9 11,4 19,0

5. Частота пульсу у % від вікової норми (х) і швидкість току крові (у) у

хворих дітей:

Х:

112 108 119 155 107 110 105 109 111 115 107 113

У:

6 5 7 9 5 11 6 7 8 11 14 15

6. Частота пульсу (х) і максимальний артеріальний тиск (у) у дітей

різного віку:

Х:

121,8 119,2 111,3 113,3 98,3 93,8

У:

99,5 103,0 103,1 106,8 99,1 99,2

7. Інтенсивність міграції (х) і середня жирність (у) зябликів на

Куршській косі:

У:

360 280 210 220 190 240 170 170 170 110

Х:

4875 4103 3038 1307 840 506 351 196 162 73