Журнал - Вісник Донбаської державної машинобудівної академії 2010 №1 (6Е)

Подождите немного. Документ загружается.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

415

Рис. 1. Принцип градиентного спуска

Однако как только определяется направление движения, сразу же встает вопрос о том,

как далеко следует двигаться в этом направлении или, другими словами, возникает проблема

выбора шага λ в рекуррентной формуле:

)f(*

)1( (q)(q)q

xxx 





(1)

задающей последовательность точек, стремящихся к точке максимума.

Существует ряд способов решения этой проблемы. В данной работе использован наи-

более простой из них – метод дробления шага.

Выразим зависимость нового значения функции )f(

)1( 



x от величины шага λ:

)())f(*f(f(

)()(

)

)1(





 qqq

xxx .

(2)

Тогда, согласно формуле (1), имеем )f()0φ(

)(q

x . Суть метода дробления шага за-

ключается в «подборе» такого значения λ, при котором выполняется условие )0(φ)φ(





Задаются некоторым начальным значением



(например, 1





) и проверяют условие

)0(φ)φ(





. Если оно не выполняется, значит, шаг оказался слишком большим и метод «пе-

решагнул» через точку экстремума. Тогда полагают



 , снова проверяют условие,

и т. д. до тех пор, пока не удается найти подходящий шаг, с которым переходят к следующей

точке

)1( q

После того как точка

)1( q

найдена, она становится текущей для очередной итера-

ции. На практике признаком достижения точки экстремума служит достаточно малое изме-

нение координат точек, рассматриваемых на последовательных итерациях. Одновременно

с этим координаты вектора )f(

(q)

x должны быть близки к нулю.

Градиентные методы относятся к методам безусловной оптимизации, т. е. направлены

на отыскание глобального оптимума. Если же необходимо найти некоторый локальный экс-

тремум, нужно использовать дополнительные способы определения длины шага для контро-

ля выхода шага за пределы области ограничений [3].

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

416

При решении задачи условной оптимизации решение может находиться либо внутри

заданной области, либо на ее границе. В первом случае процесс решения ничем не будет от-

личаться от задачи безусловной оптимизации. Во втором случае потребуется корректировка

найденных значений, о чём речь пойдёт ниже.

Следует отметить, что, говоря о задачах условной оптимизации в контексте базовой

программы ВУЗа, будем рассматривать лишь наиболее простую их разновидность – с линей-

ной системой ограничений. Для функции двух переменных это означает, что область реше-

ния ограничена отрезками прямых. Такая система ограничений имеет вид:







jij

mibxa

)(

,...,1, ,

(3)

где n – число переменных в целевой функции; m – число ограничений в задаче;

k – номер шага.

Допустим, в процессе решения задачи было определено некоторое направление шага

),...,(

1 n

lll  , и этот шаг привёл в точку

)1( q

. Путём подстановки координат этой точки

в (3), было установлено, что одно из неравенств не выполняется. Значит, нужно взять другую

точку – лежащую на том же направлении, но не выходящую за пределы области решений,

т.е. лежащую на ее границе. Следовательно, нужно уменьшить длину шага λ таким образом,

чтобы выполнялось равенство:









jij

bxa

)1(

(4)

где i – номер нарушенного ограничения.

Учитывая формулу (1), получаем:







jij

blxa

)(

)*(



;

 

 

 

jiji

jij

labxa

1 1

)(



Отсюда:









jij

bxa

)(



(5)

Формула (5) позволяет вычислить длину шага, при которой новая точка попадёт на

границу области ограничений. В случае, когда координаты точки

)1( q

не удовлетворяют

нескольким ограничениям, следует вычислить

λ по формуле (5) для каждого из этих ограни-

чений, и взять наименьшее полученное значение. Подставляя его в (1), получаем исходную

точку для следующего шага решения.

При этом следует понимать, что в найденной точке на границе области значение

функции может не удовлетворять условию возрастания / убывания функции (в зависимости

от того, решается ли задача на максимум или на минимум). В таком случае, следует приме-

нять основной метод контроля длины шага, например, метод дробления шага, о котором речь

шла ранее. В качестве отправной величины шага следует взять значение λ, вычисленное по

формуле (5).

Если же на границе области функция удовлетворяет условию возрастания / убывания,

то в новой точке вычисляется градиент, и далее решение может продолжиться по одному из

двух путей.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

417

Если градиент укажет внутрь области, то, скорее всего, выход за границу был случай-

ным, обусловленным слишком большой длиной шага, а решение всё же лежит внутри облас-

ти. Тогда далее решение продолжится по обычному алгоритму градиентного метода.

Если же градиент вновь указывает за пределы области ограничений, то очевидно, что

решение задачи также лежит вне области. В таком случае, все последующие точки будут оп-

ределяться как проекции точек, полученных обычным методом градиентного спуска, на на-

рушенную границу. Поскольку в случае линейных ограничений проекция градиента будет

лежать непосредственно на границе области, то и дальнейшее направление поиска берется на

этой границе. Так, для функции двух переменных проекция градиента лежит на прямой

iii

bxaxa 

2211

и направление поиска будет определяться вектором этой прямой. Оптимум

в таком случае достигается в той точке, в которой градиент перпендикулярен границе области.

С учётом всего вышесказанного, был разработано приложение, реализующее процесс

поиска минимума функции методом градиентного спуска с переменным шагом. В программе

рассматривается функция вида:

ryqycyxbxpxayx





*)*(***)*(),F(

(6)

где a, b, c, p, q, r – действительные числа.

В задаче может присутствовать произвольное число линейных ограничений. Также

пользователь может задавать коэффициенты целевой функции, начальную точку поиска, на-

чальную величину шага и желаемую точность вычислений.

В качестве среды реализации была выбрана среда Borland Dephi [4, 5].

На рис. 2 представлено окно разработанной программы с решенной задачей условной

оптимизации.

Рис. 2. Демонстрация работы приложения

В правой части окна находится таблица, где подробно расписан каждый шаг решения,

с указанием результатов расчёта всех промежуточных значений, используемых для опреде-

ления координат новой точки. Также в таблице видно, на каком шаге решения производилась

коррекция длины шага, и на каком шаге решение выходило за пределы области ограничений.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

418

Дополнительная информация о шагах, выходящих за пределы области, представлена

на специальной информационной панели в левой нижней части окна приложения (см. рис. 3).

В ней указаны: исходная и конечная точки шага; коэффициенты уравнения прямой, прохо-

дящей через эти точки; коэффициенты уравнения прямой, содержащей нарушенную границу

области; точка пересечения этих прямых, являющаяся искомой точкой, лежащей на границе

области.

Рис. 3. Информация о нарушении границы области поиска решения

Эти сведения помогут получить более полное представление о ходе решения задачи,

а также проконтролировать правильность расчётов при решении задачи вручную, если воз-

никнет такая необходимость.

ВЫВОДЫ

Разработано приложение, осуществляющее полноценное аналитическое решение за-

дачи оптимизации. Возможность ввода произвольных условий задачи даёт широкие возмож-

ности для исследования особенностей функционирования алгоритма в зависимости от тех

или иных параметров задачи. Детальное отображение каждого шага расчётов позволяет по-

лучить подробную информацию о ходе решения и лучше уяснить принципы работы метода

градиентного спуска.

Планируется дальнейшее развитие приложения и добавление новых возможностей,

в частности: реализация дополнительных методов оптимизации; возможность выбора иной

целевой функции; графическое представление процесса решения на плоскости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Минц М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / М. Минц. – М. : Наука, 1990. –

180 с.

2. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике / П. В. Конюхов-

ский. – СПб: Питер, 2000. – 208 с.

3. Кремер Н. Ш. Математическое исследование операций / Н. Ш. Кремер. – Москва, Высшая школа,

2000. – 250 с.

4. Кэнту М. Delphi 5 для профессионалов / М. Кэнту. – СПб. : Питер, 2001. – 944 с.

5. Фаронов В. В. Delphi 5. Руководство программиста / В. В. Фаронов. – Москва : Нолидж, 2001. – 880 с.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ AUTOCAD НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЁС

НА ЗУБОДОЛБЁЖНЫХ СТАНКАХ

Владимиров Э. А.

Разработана методика моделирования в среде АutoСad нарезания зубчатых колес зуб-

чатым долбяком, которая характеризуется хорошей наглядностью и высокой точностью. Раз-

работанная методика существенно повышает наглядность процесса нарезания зубчатого ко-

леса на зубодолбёжном станке и точность полученной модели. Нарезание можно проводить

при любых значениях основных параметров: модуля, числа зубьев, коэффициента смещения.

Важным достоинством методики является возможность последующего использования полу-

ченных объектов для моделирования зубчатого зацепления и изучения его геометрических

и кинематических свойств. Внедрение методики в учебный процесс позволило повысить на-

глядность и снизить трудоемкость курсового проекта по ТММ.

Розроблена методика моделювання в середовищі АutoСad нарізання зубчастих коліс

зуборізною гребінкою, що характеризується хорошою наочністю і високою точністю. Розро-

блена методика істотно підвищує наочність процесу нарізування зубчастого колеса на зубо-

довбальному верстаті і точність отриманої моделі. Нарізання можна проводити при будь-

яких значеннях основних параметрів: модуля, числа зубів, коефіцієнта зсуву, кута профілю

зуба рейки. Важливим достоїнством методики є можливість подальшого використання отри-

маних об'єктів для моделювання зубчатого зачеплення і вивчення його геометричних і кіне-

матичних властивостей. Впровадження методики в учбовий процес дозволило підвищити на-

очність і понизити трудомісткість курсового проекту по ТММ.

Design methodology is worked out in the environment of АutoСad of cutting of gear-wheels

by toothed gear cutter, which is characterized by good evidentness and high exactness. The devel-

oped method significantly increases the visibility of the cutting gear on shaping machines and the

accuracy of the resulting model. Cutting can be conducted at any values of basic parameters: mod-

ule, number of points, coefficient of displacement. Important dignity of methodology is possibility

of the subsequent use of the obtained objects for the design of the tooth hooking and study of its

geometrical and kinematics properties. Introduction of methodology in an educational process al-

lowed to promote evidentness and reduce labour intensiveness of course project on ТММ.

Владимиров Э. А. канд. техн. наук, доц. кафедры ОПМ ДГМА

okmm@dgma.donetsk.ua

ДГМА – Донбасская государственная машиностроительная академия, г. Краматорск

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

УДК 621.01

Владимиров Э. А.

МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ AUTOCAD НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЁС

НА ЗУБОДОЛБЁЖНЫХ СТАНКАХ

В работе [1] дана краткая характеристика наиболее эффективному способу изготовле-

ния эвольвентных зубчатых колёс методом обкатки и рассмотрена методика изучения этого

материала в курсе теории механизмов и машин: на лабораторных занятиях и при курсовом

проектировании. Предложена методика моделирования нарезания зубчатых колёс на базе

использования среды AutoCad. В работе рассмотрен процесс нарезания зубчатого колеса

с помощью инструментальной рейки, позволяющий нарезать зубья только внешнего зацеп-

ления.

При реализации этого способа на зубодолбёжном станке в качестве режущего инст-

румента используется зубчатое колесо, снабжённое режущими кромками и называемое зуб-

чатым долбяком. На этих станках могут быть изготовлены колеса, как с внешними, так и в-

нутренними зубьями [2]. В процессе изготовления колеса заготовке сообщается вращатель-

ное движение вокруг её оси, а долбяку вращательное движение вокруг его оси и поступа-

тельное движение резания параллельно оси заготовки. Долбяк может иметь любое число

зубьев. При стремлении числа зубьев долбяка к бесконечности он превращается в рейку, зу-

бья которой имеют прямолинейные очертания, что позволяет повысить точность нарезания.

Целью настоящей работы является разработка методики моделирования в среде AutoCad

нарезания зубчатых колёс с внешними и внутренними зубьями на зубодолбёжном станке.

Первым этапом является формирование рабочего профиля режущего инструмента –

долбяка. В качестве исходных параметров долбяка приняты: модуль m, число зубьев z и ко-

эффициент смещения X. Все остальные параметры соответствуют стандартному исходному

контуру.

Дальнейшее изложение рассмотрим на примере стандартного долбяка 2530-0293 [3],

имеющего следующие параметры:

модуль m = 10 мм;

число зубьев Z = 16;

диаметр делительной окружности d

= 160 мм;

диаметр вершин зубьев d

= 186,2 мм;

коэффициент смещения исходного контура Х

= 0,06;

коэффициент высоты головки h

= 1,25;

высота головки h

= 13,1 мм;

теоретическая делительная толщина зуба s = 16,145 мм;

диаметр окружности впадин долбяка:

= mZ – 2( h

+ c

– X

)m = 10 × 16 – 2 (1 + 0,25 – 0,06)10 = 136,2 мм;

диаметр основной окружности долбяка

cos

⋅

=150,351мм.

Прежде всего, используя рекомендации работы [1], можно выполнить моделирование

нарезания этого долбяка с помощью реечного инструмента.

На рис. 1 показано нарезание одного зуба долбяка, а на рис. 2 представлен профиль

всего долбяка. В дальнейшем этот долбяк можно использовать для моделирования нарезания

зубчатых колёс как с наружными, так и внутренними зубьями.

Однако при этом возникает трудность, которая заключается в том, что внешний кон-

тур долбяка не является реальным геометрическим объектом, который может распознать

AutoCad, и в связи с этим модель долбяка должна быть дополнена совокупностью объектов

AutoCad, ограничивающих рабочие поверхности долбяка.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

Рассмотрим методику формирования распознаваемого профиля долбяка.

В качестве заготовки для его построения используем окружность диаметром 100 мм

с участком эвольвенты, представленной на рис. 3.

Рис. 1. Моделирование нарезания одного

зуба долбяка

Рис. 2. Модель долбяка

а б

Рис. 3. Заготовка для построения профиля долбяка

На рис. 3, а показаны вспомогательные геометрические построения для определения

координат точек эвольвенты по формуле:

inv

(1)

с угловым шагом радиус-вектора в 5 °, а величину радиус-вектора r можно рассчитать

по формуле:

= , (2)

где

– угол профиля эвольвенты, то есть острый угол между касательной к эволь-

венте в рассматриваемой точке и радиус-вектором этой точки;

– эвольвентный угол между радиусами, проведёнными в предельную и в рассмат-

риваемую точки эвольвенты;

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

r – радиус основной окружности.

Через полученные точки, являющиеся узловыми, проведен кубический сплайн. Сле-

довательно, между узлами этот профиль не является точной эвольвентой. Расчёты и по-

строения показывают, что погрешности определения величины радиус-вектора в промежу-

точных точках не превышают нескольких мкм.

Формирование профиля долбяка выполняется в такой последовательности:

– по исходным данным определяется диаметр основной окружности зубьев долбяка d

;

– выполняется масштабирование заготовки, представленной на рис. 3, б, с коэффици-

ентом d

/100;

– рассчитывается центральный угол в градусах, соответствующий полутолщине зуба

на основной окружности:

180

)

( inv

tgx

⋅

+= (3)

и строится ось симметрии зуба;

– с использованием команды ЗЕРКАЛО (MIRROR) строится симметричная боковая

поверхность зуба;

– проводится окружность вершин зубьев долбяка и отсекается лишняя часть эволь-

вент;

– с использованием команды МАССИВ (ARRAY) выполняется построение всех зубь-

ев долбяка.

Результаты построений приведены на рис. 4.

Далее следует выполнить расчёт геометрических параметров нарезаемого

колеса по

заданным числу зубьев и коэффициенту смещения. В качестве основного параметра следует

определить межосевое расстояние станочного зацепления и диаметр вершин зубьев нарезае-

мого колеса.

Далее на экране дисплея следует построить относительное положение долбяка и заго-

товки, как это показано на рис. 5, для нарезания зубьев внешнего зацепления. Заметим, что

на этой

схеме не рассматривается начальный процесс внедрения долбяка в заготовку и его

угловое положение относительно заготовки может быть принято произвольным. При этом

весь долбяк должен быть представлен как единый блок.

Рис. 4. Рабочий профиль долбяка Рис. 5. Положение долбяка и заготовки на

станке, принятое за первоначальное

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

Рассмотрим алгоритм моделирования процесса нарезания внешних зубьев на долбёж-

ном станке на примере нарезания рассмотренным выше долбяком зубчатого колеса с числом

зубьев 24 и коэффициентом смещения Х = 0,4. В этом случае величина межосевого расстоя-

ния в станочном зацеплении колеса с долбяком составляет 204,278 мм, а диаметр окружно-

сти вершин колеса 267,356 мм.

Как и в

случае моделирования нарезания зубьев гребёнкой, удобно заготовку считать

неподвижной и рассматривать относительное движение долбяка и заготовки.

Если Z

– число зубьев долбяка, а Z

– число зубьев нарезаемого колеса, то повороту

долбяка на угол Δφ

соответствует поворот заготовки на угол Δφ

= Δφ

. Если долбяк по-

ворачивается на угол Δφ

против часовой стрелки, то заготовка должна повернуться на угол

Δφ

по часовой стрелке. Если мысленно остановить заготовку, то в относительном движении

ось вращения долбяка переместится по дуге окружности, радиус которой равен межосевому

расстоянию, на величину дуги, соответствующей центральному углу Δφ

и сам долбяк по-

вернётся вокруг своей оси на угол (Δφ

+ Δφ

В связи с этим алгоритм моделирования нарезания, реализация которого представлена

на рис. 6, включает следующие этапы:

– луч, проходящий через центр заготовки и ось вращения долбяка, следует повернуть

против часовой стрелки на угол Δφ

, величину которого следует принять небольшой, напри-

мер 1°, и получить точку пересечения этого луча с окружностью радиусом равным межосе-

вому расстоянию;

– для упрощения последующих построений следует провести несколько таких лучей

с угловым шагом Δφ

и от этих лучей оставить только короткие риски, как это показано на

рис. 5;

– используя команду КОПИРОВАТЬ (COPY), перенести в соседнюю точку центр

долбяка вместе с его профилем;

– используя команду ПОВЕРНУТЬ (ROTATE), профиль долбяка следует повернуть

вокруг этой точки против часовой стрелки на угол Δφ

+ Δφ

2 (

в конкретном случае Δφ

= 1,5 °

Δφ

+ Δφ

= 2,5 °);

– эти операции продолжить до тех пор, когда на экране прорисуется контур хотя бы

одного зуба нарезаемого колеса;

– после этого, используя команду ШТРИХОВКА (HATCH), следует закрасить про-

филь зуба и с помощью команды МАССИВ (ARRAY) построить все зубья колеса, как это

показано на рис. 6;

Рис. 6. Положения долбяка относительно неподвижной заготовки и построение всех

зубьев колеса

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

– далее используя команду СТЕРЕТЬ (ERASE), следует убрать все промежуточные

положения долбяка в относительном движении относительно заготовки и получить полный

профиль колеса.

Рассмотрим моделирование нарезание колеса с внутренними зубьями.

Сначала следует выполнить расчёт геометрических параметров нарезаемого колеса по

заданным числу зубьев и коэффициенту смещения и в качестве основных параметров опре-

делить межосевое

расстояние станочного зацепления и диаметр вершин зубьев нарезаемого

колеса [4].

На рис. 7 показано относительное положение долбяка и заготовки. Здесь также не

рассматривается начальный процесс внедрения долбяка в заготовку и его угловое положение

относительно заготовки может быть принято произвольным. Причём, весь долбяк должен

быть представлен как единый блок.

Рис. 7. Начальное положение

долбяка относительно неподвижной

заготовки при нарезании внутренних

зубьев

Рис. 8. Положения долбяка в движении по

отношению к неподвижной заготовке

На рис. 8 показано положение долбяка в движении по отношению к неподвижной за-

готовке. Если долбяк повернуть против часовой стрелки на угол Δφ

, то заготовку следует

повернуть в том же направлении на угол Δφ

Если же заготовку остановить, то в относительном движении центр долбяка при каж-

дом шаге будет описывать по часовой стрелке относительно центра заготовки центральный

угол Δφ

и одновременно поворачиваться вокруг своего центра против часовой стрелки на

угол

(Δφ

1 –

Δφ

)

Можно рекомендовать следующую методику получения промежуточных по-

ложений долбяка, что отражено на рис. 8. В данном случае Δφ

= 1,0 ° и Δφ

= 1,5 °.

На исходной схеме, представленной на рис. 7, на траектории центра долбяка в обра-

щенном движении (это окружность, радиус которой равен межосевому расстоянию) следует

построить некоторое количество рисок с угловым шагом Δφ

= 1,0 °. После этого с помощью

команды КОПИРОВАТЬ (COPY) центр долбяка вместе с ним как единый блок перенести

в точки пересечения каждого штриха с окружностью, представляющей траекторию центра