Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
291
31.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
f(x) — четная с периодом 2π ⇒
fx
a
anx
n
n
() cos,=+
=
∞
∑
0
1
2
afxxafxnxx
n0
00
22
==
∫∫
ππ
ππ
() ,()cos ;dd
f(x) — нечетная с периодом 2π ⇒
fx bnx
n
n
() sin,=
=
∞
∑
1
bfxnxx
n
=
∫
2
0
π
π
()sin d
31.5. Ряд Фурье для функции f (x) с периодом 2l
fx
a
a
n
l
xb
n
l
x
n
n
n
() cossin ,=+ +
=
∞
∑
0
1
2
ππ
a
l
fx xa
l
fx
n
l
xx
l
l
n
l
l
0
11
==
--
∫∫
() ,()cos ,dd
π
b
l
fx
n
l
xx
n
l
l
=
-
∫
1
()sin
π
d
Задачи к разд. 31
Задача 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2π
(рис. 31.1), если
fx
x
xx
()
,(,),
,[,).
=
∈-
∈
00
0
π
π
Рис. 31.1
Решение: Функция удовлетворяет условиям Дирихле (ОК,
разд. 31.3), поэтому в точках непрерывности является суммой со-
ставленного для нее ряда Фурье (ОК, разд. 31.2).
292
Находим коэффициенты ряда Фурье:
axxx
x
0
0
0
2
0
1
0
1
22
=+==
-
∫∫
ππ
π
π
π
π
dd ;
axnx x
uxux
vnxxvnxx
n
nx
n
==
==
===
∫
∫
1
1
0
π
π
cos
,,
cos, cossin
d
dd
dd d
=
=-
=
--
∫
11 11
0
0
2
π
π
ππ
xnx
nn
nx x
n
n
sin
sin
()
;d
bxnx x
xnx
nn
nx x
n
n
n
==-+
=
-
∫∫
11 11
0
0
0
ππ
πππ
sin
cos
cos
()
.dd
Тогда
fx
xxx
x
x
()
coscos cos
... sin
sin
si
=- +++
+- +
+
π
π4
2
1
3
3
5
5
2
2
22 2
nn
...
3
3
x
+
В точках разрыва x
n
= (2n - 1)π имеем
fx fx
nn
()()
.
-+ +
=
+
=
00
2
0
22
ππ
Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию
fx
x
x
()
,(,),
,[,)
=
-∈-
∈
10
10
π
π
с периодом 2π.
Решение: Функция f (x) нечетная (рис. 31.2), поэтому (ОК,
разд. 31.4)
aa bnxx
nx
n
n
nk
nk
nn0
0
0
0
22
4
21
02
== ==-=
=-
=
∫
;sin
cos
,,
,.
ππ
π
ππ
d
Рис. 31.2
293
Таким образом,
fx
nx
n
x
n
()
sin
,,,,....=≠±±
=
∞
∑
4
012
1
π
Задача 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
fx
xx
x
()
,[,],
,(,]
=
∈
∈
01
212
с периодом 4.
Решение: В силу условия задачи функция f(x) продолжается на
[-2, 0] четным образом (рис. 31.3). Разложение f(x) будет иметь
вид
fx
a
a
nx
n
n
() cos.=+
=
∞
∑
0
1
22
π
Коэффициенты а
0
, a
n
находим по формулам
a
l
fx x
l
0
0
2
=
∫
() ,d
a
l
fx
nx
l
x
n
l
=
∫
2
0
()cos
π
d
в соответствии с формулами ОК, разд. 31.4,
31.5.
Таким образом, имеем
axxx
x
x
0
0
1
1
2
2
0
1
1
2
2
2
2
2
22
1
2
=+
=+=
∫∫
dd ;
ax
nx
x
nx
x
xu ux
nx
n
=+
=
=
==
∫∫
2
22
2
2
2
0
1
1
2
sincos
,,
cos
ππ
π
dd
dd
d
xxvv
n
nx
x
n
nx
n
nx
==
=+
+
d ,sin
sin
()
cos
2
2
2
2
2
2
0
1
2
2
π
π
π
π
π
π
00
1
1
2
22
4
2
2
2
4
+=--
n
nx
n
n
n
π
π
π
π
π
sinsin .
Рис. 31.3
294
Окончательно получаем
fx
n
nx
n
nx
n
n
()
()
()
cos
()
cos=+
-⋅
-
-
-
=
∞
∑
5
2
12
21
21
2
4
2
22
1
π
π
π
π
..
Задачи для самостоятельного решения
Разложить в ряд Фурье функции с периодом 2π:
1)
fx
xx
xx
()
,[,),
,[,];
=
-∈-
∈
π
π
0
20
2)
fx
x
x
x
x
()
,[,),
,[,];
=
-- ∈-
-∈
π
π
π
π
42
0
42
0
3)
fx
x
xx
()
,( ,),
,[,][,];
=
∈-
∈- -∪
022
22
ππ
ππ ππ
4) f(x) = -x/2, x ∈ [-π; 0], по синусам;
5) f(x) = sinx, x ∈ [-π, π];
6) f(x) задана графиком (рис. 31.4);
Рис. 31.4
7)
fx
x
xx
()
,(,),
,[,].
=
∈-
-∈
ππ
ππ
0
0
Разложить в ряд Фурье функции с периодом 2l:
8)
fx
x
xx
l()
,[,),
,[,],
;=
∈-
∈
=
110
01
1
9)
fx
x
() ,=-1
2
x ∈ [-2, 2], l = 2;
10) f(x) = x
2
, x ∈ [-1, 1], l = 1.
варианты контрольной работы
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость: а)
3
45
1
n
n
n
+
=
∞
∑
;
б)
()
()!
.
-
+
=
∞
∑
1
3
1
n
n
nn
Ответ: а) расходится; б) сходится абсолютно.
295
2. Найти интервал сходимости и исследовать на концах:
а)
()
;
-
⋅
=
∞
∑
x
n
n
n
n
3
1
2
б)
()!
.
xn
n
n
n
-
=
∞
∑
2
2
1
Ответ: а) [-2; 2]; б) сходится при х = 2.
3. Разложить в ряд Маклорена f(x) = ln(10 + x).
Ответ:
ln () .10 1
10
1
1
+-
⋅
+
=
∞
∑
n
n
n
n
x
n
4. Разложить в ряд Фурье функцию
fx
x
x
()
,(,],
,(,).
=
∈-
∈
10
30
π
π
Ответ:
2
421
21
1
+
+
+
=
∞
∑
π
sin( )
.
nx
n
n
Вариант 2
1. Исследовать на сходимость:
а)
n
nn
n
2
2
1
31 3()()
;
++
=
∞
∑
б)
()
ln
.
-
=
∞
∑
1
5
6
2
n
n
nn
Ответ: а) расходится; б) сходится условно.
2. Найти интервал сходимости и исследовать на концах:
а)
x
n
n
n
()!
;
23
1
+
=
∞
∑
б)
nx
n
n
n
2
1
4
=
∞
∑
.
Ответ: а) (-∞; +∞); б) (-2; 2).
3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х - 3) функцию
f(x) = 1/x. Ответ:
()
()
.-
-
+
=
∞
-
∑
1
3
3
1
1
1
n
n
n
n
x
4. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
fx
x
() ,=-
π
42
x ∈ (0, π). Ответ:
221
21
2
1
π
cos( )
()
.
nn x
n
n
+
+
=
∞
∑
расчетное задание
Здесь N — номер студента по списку,
p
N
=
5
,
αβγδ — цифры
номера группы,
q =
+++
+
αβγδ
5
1.
296
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды:
а)
a
n
n=
∞
∑
1
;
б)
() ,-
-
=
∞
∑
1
1
1
n
n
n
u
если задана таблица:
N - 5p + 1 a
n
u
n
1
n
qn
p
p
+
+
+
1
1
3
1
3
21
5
()
()
nq
p
+
+
2
1
5
21
4
()qn
p
+
+
q
np
n
()!3 +
3
()
(( ))!
pn
pn
q
+
++12
1
11
21
6
()(ln( ))nn
p
++
+
4
1
11
21
5
()(ln( ))
()
nn
p
++
+
np
nn q
p
3
3
1
+
++
+
()()
5
n
nn qn
p
2
1
3
4
+
++
+
()()
nn p
qn p
()
2
3
1
+
++
Задание 2
Найти интервал сходимости степенных рядов и исследовать на
концах интервала:
а)
ax
n
n
n=
∞
∑
1
;
б)
bx p
n
n
n
(),--
=
∞
∑
1
1
если задана таблица:
N - 5p + 1 a
n
b
n
1
1
2
1
nq
p+
+()
n
n
pq+
()!2
2
1
1np++
n
p
n
!
()+ 2
3 (p + 2)
n
1
1qn p++
4
n
npq
p+
++
3
()!
1
2
2
np
qn
()+
5
()!
()
np
p
n
+
+ 3
()
()
p
pnq
n
+
++
2
1
2
297
Задание 3
Разложить функцию f(x) = x
6
+ x
p
+ qx
N-5p+1
по степеням
(x + (-1)
N
(p + 1)).
Задание 4
Вычислить приближенно
fx x()d
0
1
∫
со степенью точности
δ = 10
-3
, если задана таблица:
N - 5p + 1 f(x)
1
1
2
3
+
+
x
p
2
xx
p+2
cos
3
ln()1
2
+
+
x
p
4
sin x
p+2
5
e
x
p+2
Задание 5
Найти четыре первых отличных от нуля члена приближенного
решения задачи Коши: ay′′ + by′ + cy = f(x), y(0) = y′(0) = 1,
если задана таблица:
N - 5p + 1 a b c f(x)
1 1 x
p+1
(-1)
N
q p + 1
2 y p + 1 0 cosx
3 1 y
p+1
0 qe
x
4 x + p + 1 q x
p+1
p + 3
5 p + 1 (sinx)
p+1
(-1)
N
q
ответы к разд. 29–31
29. Числовые ряды
1) а) расх.; б) сход.; в) расх.; 2) а) расх.; б) сход.; 3) а) расх.;
б) сход.; 4) расх.; 5) сход.; 6) расх.; 7) сход.; 8) расх.; 9) сход.;
10) расх.; 11) а) расх.; б) сход. усл.; в) сход. абс.; 12) а) расх.;
б) сход. абс.; 13) сход. усл.; 14) расх.; 15) сход. абс.; 16) расх.
30. Степенные ряды
1) (-2; 2); 2) сход. при х = 0; 3) (-∞; ∞); 4) (-1/5; 1/5);
5) [-4; 4]; 6) [-1; 3); 7) (1; 2]; 8)
[;];- 33
9) [-1; 1];
10) (-∞; -1/5) ∪ (1/5; +∞); 11) (x + 2)
4
- 8(x + 2)
3
+ 20(x +
+ 2)
2
- 16(x + 2); 12) a)
1
3
1
3
++++
!
...
!
...;x
n
x
n
n
(-∞; ∞);
б)
e
xx
n
n
n
1
3
31
3
3
+
-
⋅
++
-
+
()
!
...
()
!
... ;
(-∞; ∞); 13)
-- ----2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
xx x
n
x
n
n
... ...;
-- ----2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
xx x
n
x
n
n
... ...;
(-1/2; 1/2); 14)
1
1135 21
2
2
1
+
-⋅⋅⋅⋅ ⋅-
=
∞
∑
() ... ()
!
;
nn
n
n
nx
n
(-1; 1); 15)
1
2
1
2
2
2
2
2
++ ++ +
ln
!
(ln)
!
...
(ln)
!
...;xx
n
x
n
n
(-∞; ∞);
16)
1
3
12
1
2
1
2
1
(()) ;;-- -<<
=
∞
∑
nn
n
xx
17)
ln ()
()
;31
23
3
1
1
+-
-
⋅
-
=
∞
∑
n
n
nn
n
x
n
(3/2; 9/2); 18)
-
+
=
∞
∑
1
7
2
7
0
()
;
x
n
n
n
(-9; 5); 19) 0,3091; 20) 1,39; 21) 3,12;
22) 0,94; 23) 0,748; 24) 0,440; 25) 0,2002; 26) 0,392; 27) 1 + x -
-+ -xxx
234
1
3
1
4
;
28)
1
235
5
6
2356
+ ++-
xxxx
!!!!
.
31. Ряды Фурье
1)
3
4
621
21
1
2
1
1
1
π
π
-
-
-
+-
=
∞
-
=
∞
∑∑
cos( )
()
()
sin
;
nx
n
nx
n
n
n
n
2)
sin
;
2
2
1
nx
n
n=
∞
∑
3)
3
8
1
21
21
21
1
2
2
1
22
π
ππ
+- +
-
-+
=
∞
∑
() coscos()
()
cos
n
n
n
nx
n
nx
n
nx
;
4)
()
sin
;-
=
∞
∑
1
1
n
n
nx
n
5)
421
21
1
π
sin( )
;
nx
n
n
-
-
=
∞
∑
6)
π
π2
421
21
2
1
+
-
-
=
∞
∑
cos( )
()
;
nx
n
n
7)
3
4
1
221
21
1
1
2
1
π
π
-- +
-
-
-
=
∞
=
∞
∑∑
()
sincos()
()
;
n
nn
nx
n
nx
n
8)
3
4
11 1
2
1
+
--
-
=
∞
∑
(( ))
()
cossin ;
n
n
n
nx
n
nx
π
π
π
π
9)
11
2
2
1
+-
=
∞
∑
() sin;
n
n
n
n
x
π
π
10)
1
3
4
1
2
1
2
+-
=
∞
∑
π
π
()
cos
.
n
n
nx
n
299
Глава 11
уравнениЯ математической Физики
32. основные тиПы уравнений
математической Физики
опорный конспект № 32
32.1. Понятие об основных УМФ
1. Волновое уравнение
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
u
t
a
u
x
,
a = const (1)
2. Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
∂
∂
=
∂
∂
u
t
a
u
x
2
2
2
,
a = const (2)
3. Уравнение Лапласа
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
2
0
u
x
u
y
(3)
Задаются начальные и граничные условия, обеспечивающие
корректность задач
32.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений
с частными производными II порядка
a
u
x
a
u
xy
a
u
y
b
u
x
b
u
y
cu Fxy
11
2
2
12
2
22
2
2
12
2
∂
∂
+
∂
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=(, ),
(*)
a
11
, a
12
, a
22
, b
1
, b
2
, c — const
a
11
(dy)
2
+ 2a
12
dydx + a
22
(dx)
2
= 0 — характеристическое урав-
нение ⇒
d
d
y
x
aaaa
a
yxc=
-± -
=⇒=+
12 12
2
11 22
11
12 12 12
αα
,,,
1) ∆ = a
2
12
- a
11
a
22
> 0 — гиперболический тип, приводится к
виду
∂
∂∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
-
∂
∂
=
22
2
2
2
u
u
uu uu
ξη
ξη
ξη
ξη
FF,,,, ;или
2) ∆ = 0 — параболический тип
∂
∂
=
2
2
u
ξ
F;
3) ∆ < 0 — эллиптический тип
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
2
uu
ξη
F
УМФ (1) — 1-й тип, (2) — 2-й тип, (3) — 3-й тип
300
Три типа задач:
1) задача Коши для уравнений 1-го, 2-го типов;
2) краевая задача для уравнений 2-го типа;
3) смешанная задача для уравнений 1-го, 2-го типов (задаются
начальные и граничные условия)
Задачи для самостоятельного решения
Определить типы следующих уравнений:
1)
∂
∂
+
∂
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+- =
2
2
22
2
2
420
u
x
u
xy
u
y
u
x
u
y
uxy ;
2)
22 22 0
2
2
22
2
∂
∂
+
∂
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
-=
u
x
u
xy
u
y
u
x
u
y
u ;
3)
∂
∂
+
∂
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+- =
2
2
22
2
2
230
u
x
u
xy
u
y
u
x
u
y
uxy .
33. методы реШениЯ уравнений
математической Физики
опорный конспект № 33
33.1. Метод Даламбера
Состоит в упрощении уравнения (*) гиперболического типа (см.
ОК, разд. 32.2) путем замены
ξ = y - α
1
x, η = y - α
2
x. Пример — решение задачи Коши:
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=
∂
∂
=
=
2
2
2
2
2
0
0
0
u
t
a
u
x
tx
ux x
u
t
x
t
,, ,
(,)(), (),
R
ϕψ
⇒
uxtxat xat
a
xx
xat
xat
(,)[()()]()=-++ +
-
+
∫
ϕϕ ψ2
1
2
d
33.2. Метод Фурье
Он основан на разделении переменных в (*) путем замены
u(x, y) = X(x)Y(y).