Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
301
1. Решение смешанной задачи:
∂
∂
=
∂
∂
><<
==≥
=
2
2
2
2
2
00
000
0
u
t
a
u
x
txl
ux ul tt
ux fx
,, ,
(,)(,) ,,
(,)(),
∂∂
∂
=≤≤
⇒
=
u
t
xxl
t 0
0ϕ(),
⇒
=+
=
=
∞
∑
uxtC
an
l
tD
an
l
t
n
l
x
C
l
fx
nn
n
n
(,)cos sinsin ,
()s
πππ
1
2
iin ,()sin
n
l
xxD
an
x
n
l
xx
l
n
l
π
π
ϕ
π
dd
00
2
∫∫
=
2. Решение смешанной задачи:
∂
∂
=
∂
∂
><<
==≥
=≤
u
t
a
u
x
txl
ut ul tt
ux x
2
2
2
00
000
00
,, ;
(,)(,) ,,
(,)(),ψ
xxl
uxtB
n
l
x
B
l
x
n
an
l
t
n
n
≤
⇒
=
=
-
=
∞
∑
,
(,)sin ,
()
e
π
π
ψ
2
1
2
00
l
n
l
xx
∫
sin
π
d
3. Решение задачи Дирихле в круге:
∂
∂
+
∂
∂
=+<=
∂
2
2
2
2
22 2
0
u
x
u
y
Dx yRufxy
D
;;(, ):
Переходим к полярным координатам:
r
u
r
r
u
r
u
u
u
A
AnBn
rR
nn
2
2
2
2
2
0
0
2
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==⇒
⇒= ++
=
ϕ
ϕ
ϕϕ
,()
(cos sin)
F
rr
n
n=
∞
∑
1
,
AttA
R
tntt
n
n
0
11
==
--
∫∫
π
π
π
π
π
π
FF() ,()cos ,dd
B
R
tntt
n
n
=
-
∫
1
π
π
π
F()sin d
302
Задачи к разд. 33
Задача 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений
в частных производных:
а)
∂
∂
=
2
2
0
ux y
x
(, )
;
б)
∂
∂∂
=-
2
2
ux y
xy
xy
(, )
.
Решение: а) перепишем уравнение в виде
∂
∂
∂
∂
=
x
u
x
0.
Отсюда
видно, что
∂
∂
u
x
не зависит от х, так как его частная производная по
х равна нулю. Поэтому
∂
∂
=
u
x
yϕ
1
().
Проинтегрировав уравнение
∂
∂
=
u
x
yϕ
1
(),
получим решение задачи:
ux yyxxyy(, )()()(),==+
∫
ϕϕϕ
112
d
где ϕ
1
(y), ϕ
2
(y) — произволь-
ные функции от у;
б) переписав уравнение в виде
∂
∂
∂
∂
=-
y
u
x
xy
2
и проинтегри-
ровав по у, получим
∂
∂
=-=-+
∫
u
x
xyyxy
y
x() ().
22
2
1
2
d ϕ
Проинтег-
рировав по х, получим
ux yxy
y
xx
xy yx
xx y(, )()()().=-+
=-++
∫∫
2
2
1
32
12
232
ϕϕϕdd
Задача 2. Решить задачу Коши для бесконечной струны:
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=
∂
∂
=-∞< <∞
=
2
2
2
2
2
0
40
0
u
t
u
x
tx
ux x
u
t
xx
t
,, ,
(,), ,.
R
Решение: Используем для нахождения функции u(x, y) формулу,
полученную методом Даламбера (см. ОК, разд. 33.1), в которой
а = 2, ϕ = х
2
, ψ = х:
uxtxtxtxx
xt x
xt
xt
(,)[()()]
()
=- ++ +=
=++
-
+
∫
222
1
4
1
2
28
1
8
22
2
2
22 2
d
xxt
xt
xtxt
-
+
=+ +
2
2
22
4 .
Имеем решение u(x, t) = x
2
+ 4t
2
+ xt.
303
Задача 3. Найти форму струны, определяемой уравнением
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
9
u
t
u
x
,
в момент времени t = π/6, если
ux
t =
=
0
sin,
∂
∂
=
=
u
t
t 0
1.
Решение: Так как в задаче а = 3, ϕ = sinx, ψ = 1, то согласно
формуле ОК, разд. 33.1, получим u(x, t) = [sin(x - 3t) +
+ sin(x + 3t)]/2 +
1
6
3
3
dx
xt
xt
-
+
∫
,
т.е. u = sinx cos3t +
1
6
3
3
x
xt
xt
-
+
=
= sinxcos3t + t. Если t = π/6, то u = π/6, т.е. струна параллельна
оси абсцисс.
Задача 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения
колебания струны конечной длины l:
∂
∂
=
∂
∂
><<
==≥
=
∂
∂
2
2
2
2
400
000
00
u
t
u
x
txl
ut ul tt
ux
u
t
,, ,
(,)(,) ,,
(,),
tt
x
l
xl
=
=≤≤
0
2
0sin, .
π
Решение: Используем для нахождения u(x, t) формулу, получен-
ную методом Фурье (ОК, разд. 33.2, п. 1), в которой а = 2, f(x) = 0,
ϕ(x) = sin(2π/l)x:
uxtD
n
l
t
n
l
x
n
n
(,)sin sin.=
=
∞
∑
1
2 ππ
Коэффициент D
n
находим по формуле
D
nl
x
n
l
xx n
nl
nx
l
n
l
=⋅=≠=
=--+
∫
12
2
1
2
22
0
π
ππ
π
ππ
sinsin {}
cos( )cos (
d
nnx x
n
l
n
n
l
x
l
n
n
l
x
l
)
()
sin
()
()
sin
()
=
=
-
-
-
+
+
∫
d
0
1
22
2
2
2
ππ
π
π
π
=
=
-
--
+
-
=
0
2
2
1
2
2
1
2
20
l
l
n
n
n
n
n
π
πsin( )sin();
D
l
xx
x
l
x
ll
2
2
00
1
2
21
2
1
4
2
==
-
=
∫∫
π
π
π
π
sin
cos
dd
304
=-⋅=
1
4
1
44
4
4
0
0
πππ
π
π
x
lx
l
l
l
l
sin.
Окончательно
uxt
l
l
t
l
x(,)sin sin.=⋅
4
42
π
ππ
Задача 5. На окружности круга x
2
+ y
2
≤ R
2
температура рас-
пределяется по закону
uxyy
xyR
22 2
22
1
2
+=
=-+ .
Найти распределе-
ние температуры внутри круга, полагая, что оно стационарно.
Решение: Поставленная задача — задача Дирихле для круга (ОК,
разд. 33.2, п. 3): требуется найти функцию u(r, ϕ), принимающую
на границе круга заданные значения F(ϕ) = R
2
cos
2
ϕ - R
2
sin
2
ϕ +
+ (Rsinϕ)/2 = R
2
cos2ϕ + (Rsinϕ)/2.
Тогда
ur
A
AnBnr
nn
n
n
(, )(cossin ),ϕϕϕ=+ +
=
∞
∑
0
1
2
где
Att
0
1
=
-
∫
π
π
π
F() ,d
A
R
tntt
n
n
=
-
∫
1
π
π
π
F()cos,d
B
R
tntt
n
n
=
-
∫
1
π
π
π
F()sin.d
Из граничного условия
uR RR
A
AnBnR
nn
n
n
(,)cos sin(cossin ).ϕϕϕϕϕ=+=+ +
=
∞
∑
2
0
1
2
1
22
Откуда, сравнивая коэффициенты при cos2ϕ и sinϕ, получим
R
2
= R
2
A
2
, R/2 = RB
1
.
Следовательно, A
2
= 1, B
1
= 1/2. Остальные коэффициенты
будут равны нулю. Подставляя найденные коэффициенты в фор-
мулу для нахождения решения u(r, ϕ), получим
ur rrrr
xy y
(, )cos sin(cossin )sin
.
ϕϕϕϕϕϕ=+=-+=
=-+
2222
22
2
1
2
1
2
1
2
Окончательно u(x, y) = x
2
- y
2
+ y/2.
Задачи для самостоятельного решения
Найти общее решение уравнений с частными производными:
1)
∂
∂
=
2
2
6
ux y
x
x
(, )
;
2)
∂
∂∂
=
2
2
ux y
xy
x
(, )
;
3)
∂
∂
=
+
2
2
ux y
y
xy
(, )
.e
Найти решение задачи Коши для бесконечной струны:
305
4)
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=
∂
∂
=
=
2
2
2
2
2
0
0
00
u
t
u
x
tx
ux x
u
t
t
,, ,
(,), ;
R
5)
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=
∂
∂
=
=
2
2
2
2
0
16 0
00
u
t
u
x
tx
ux
u
t
x
t
,, ,
(,), cos;
R
6)
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=
∂
∂
=-
=
2
2
2
2
0
0
0
u
t
u
x
tx
ux x
u
t
x
t
,, ,
(,), .
R
Решить методом Фурье:
7) Однородная струна длиной l, закрепленная на концах, изо-
гнута так, что приняла форму синусоиды u = 2sin(πx/l). Струна
отпущена без начальной скорости. Найти закон колебания стру-
ны.
8) Однородная струна длиной l с закрепленными концами от-
тянута в точке х = l/3 на малое расстояние h от положения равно-
весия и затем отпущена без сообщения точкам начальной скорости.
Найти отклонение u(x, t) точек струны.
9) Найти форму струны, определяемой уравнением
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
9
u
t
u
x
,
в момент времени t = π, если
ux
t =
=
0
sin,
∂
∂
=
=
u
t
x
t 0
cos.
10) Концы однородного стержня длиной 100 см поддержива-
ются при температуре, равной нулю. Найти распределение темпе-
ратуры вдоль стержня u(x, t), если известно начальное распреде-
ление температуры
ux
xx
xx
(,)
,;
,.
0
050
10050100
=
≤≤
-<≤
11) Найти решение уравнения
∂
∂
=
∂
∂
u
y
u
x
2
2
,
удовлетворяющее гра-
ничным условиям u(0, y) = u(π, y) = 0 и начальному условию
u(x, 0) = 3sin2x.
12) Решить задачу Дирихле для круга радиусом R с центром в
начале координат, если заданы граничные условия:
а)
u
x
R
rR=
=
3
;
б)
uy
rR=
=-35;
в)
uR
rR=
=-32ϕπ ϕ().
306
расчетное задание
Обозначим n — номер студента по списку, αβγδ — четыре циф-
ры номера группы,
a
n
=
++
+
γδ
4
2,
l
n
=
++
+
αδ
3
2,
b =
b
n
=
++
+
αβ
5
3.
Задание 1
Найти решение задачи Коши для бесконечной струны:
∂
∂
=
∂
∂
>∈
=- +- ++
∂
∂
+
2
2
2
2
2
21323
0
01 1
u
t
a
u
x
tx
ux xxxx
u
nn
,, ,
(,)()(),
R
tt
axbx ax bx x
t
nn
=
+
=++- +- -∞ <<∞
0
1
11cossin ()cos()sin ,.
Задание 2
Найти решение смешанной задачи:
∂
∂
=
∂
∂
><<
==≥
=
2
2
2
2
2
00
000
0
u
t
a
u
x
txl
ut ul tt
ux b
,, ,
(,)(,) ,,
(,)sin
π
ll
xa
l
xb
l
xa
l
x
u
t
ax bx l
nn
t
++-+-
∂
∂
=+++
+
=
cos()sin () cos,
(
ππ π
11
1
0
2
--+-+≤≤
+
11 0
21
)()( ), .
nn
ax bx lxl
Задание 3
Найти решение смешанной задачи:
∂
∂
=
∂
∂
><<
==≥
=++
2
2
2
2
2
00
000
0
u
t
a
u
x
txl
ut ul tt
ux ax l
,, ,
(,)(,) ,,
(,) bbx ax lbx
nn212
11+- ++-
+
()()() .
307
Задание 4
Найти решение задачи Дирихле:
∂
∂
+
∂
∂
=<<<<
=+++ ++-
2
2
2
2
00 0
0312 1
u
x
u
y
xa yb
uy ly ly
n
,,,
(, )( )(() )()
(()()(( )),
(,)cos sin()cos
ly ly
ux b
l
xa
l
xb
n
n
++-++
=++-
+
31 12
01
1
ππ πππ
l
xa
l
x
n
+-
+
() sin.1
1
Указание: Для решения использовать следующие формулы, по-
лученные методом Фурье:
ux y
na
b
na x
b
g
nx
b
ny
b
n
nn
(, )
sh
sh
()
sh sin
sh
=
-
+
+
+
=
∞
∑
1
1
1
π
ψ
πππ
nnb
a
f
nb y
a
ny
a
nx
a
nn
π
π
ϕ
ππ
sh
()
sh sin,
-
+
ψψ
π
n
b
b
y
n
b
yy=
∫
2
0
()sin,d
g
b
gy
n
b
yy
n
b
=
∫
2
0
()sin,
π
d
f
a
fx
n
a
xx
n
a
=
∫
2
0
()sin,
π
d
ϕϕ
π
n
a
a
y
n
a
xx=
∫
2
0
()sin,d
если u(0, y) = ψ(y), u(a, y) = g(y), 0 ≤ y ≤ b; u(x, 0) = f(x),
u(x, b) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ a
sh .x
xx
=
-
-
ee
2
ответы к разд. 32, 33
32. Основные типы УМФ
1) гиперболический; 2) эллиптический; 3) параболический.
33. Методы решения УМФ
1) u = x
3
+ xϕ
1
(y) + ϕ
2
(y); 2) u = yx
2
+ ϕ
1
(y) + ϕ
2
(x); 3) u =
= e
x+y
+ yϕ
1
(x) + ϕ
2
(x); 4) u = x
2
+ t
2
; 5) u = (cosx ⋅ sin4t)/4;
6) u = x(1 - t); 7)
u
at
l
x
l
= 2cossin ;
ππ
8)
uxt
h
n
nna
l
t
nx
l
n
(,)sin cossin ;=×
=
∞
∑
91
3
22
1
π
πππ
uxt
h
n
nna
l
t
nx
l
n
(,)sin cossin ;=×
=
∞
∑
91
3
22
1
π
πππ
9) u(π) = -sinx; 10)
u
l
n
nnx
l
n
ant
l
=×
=
∞
-
∑
41
2
22
1
22
2
π
ππ
sinsin ;e
u
l
n
nnx
l
n
ant
l
=×
=
∞
-
∑
41
2
22
1
22
2
π
ππ
sinsin ;e
, l = 100; 11) u = 3e
-4y
sin2x; 12) а) u = 3x/R; б) u =
= 3 - 5y; в)
ur R
nR
rn
n
n
n
(, )cos .ϕπ ϕ=-
=
∞
∑
212
1
2
2
1
309
Глава 12
Элементы теории вероЯтностей
и математической статистики
34. основные ПонЯтиЯ теории вероЯтностей
опорный конспект № 34
34.1.Понятие пространства элементарных событий Ω
и случайного события (с.с.). Основные формулы комбинаторики
О: Ω = {ω} — множество всевозможных исходов опыта, ω —
элементарное событие
О: С.с. А ⇔ А ⊂ Ω. Ω — достоверное событие, ∅ — невозмож-
ное событие
Формулы комбинаторики:
P
n
= n! — число перестановок из n элементов,
A
n
nm
n
m
=
-
!
()!
—
число размещений из n по m,
C
n
nmm
n
m
=
-
!
()!!
— число сочетаний
из n по m
34.2. Действия над с.с.
Сумма A ∪ B = {ω: ω ∈ A ∨ ω ∈ B}
Произведение AB = {ω: ω ∈ A ∧ ω ∈ B}
Разность A\B = {ω: ω ∈ A ∧ ω ∉ B}
A
= Ω\A — дополнение A до Ω
A, B несовместны ⇔ AB = ∅ ⇒ A ∪ B = A + B
О: S = {A
i
}, A
i
⊂ Ω, i ∈ N — полная группа событий ⇔
⇔=
∑
A
i
i
Ω
34.4. Сложение и умножение вероятностей
Т: AB = ∅ ⇒ P(A + B) = P(A) + P(B)
AB ≠ ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
A +
A
= Ω ⇒ P(
A
) = 1 - P(A)
О: P(A/B) — условная вероятность (наступления А при условии,
что В произошло). А, В — независимы ⇔ P(A/B) = P(A),
P(B/A) = P(B)
Т: P(AB) = P(A/B)P(B); А, В — независимы ⇒ P(AB) =
= Р(А)Р(В)
Т: S = {H
i
}:
H
i
i
n
=
∑
1
= Ω ⇒ P(A) =
PH
i
i
n
()
=
∑
1
P(A/H
i
), ∀A ⊂ Ω
310
34.3. Различные определения вероятности
1. Аксиоматическое и классическое определения
Ω = {ω
1
, ω
2
, ...,
ω
n
, ...}
О: Вероятность Р(ω
i
) ⇔ Р(ω
i
) ∈ R:
1) Р(ω
i
) ≥ 0 ∀ i, 2)
P
i
i
() ;ω
ω∈
∑
=
Ω
1
P(ω
i
) — мера наступления ω
i
О: Вероятность
PA P
i
i
() (),=
∈
∑
ω
ωΩ
А ⊂ Ω
Р(Ω) = 1, Р(∅) = 0, 0 < Р(А) < 1
В классическом определении:
Ω = (ω
1
, ω
2
, ...,
ω
n
), ω
i
,
in= 1,,
— равновозможны, m эл. со-
бытий ω
i
∈ А ⇒ Р(А) = m/n
2. Геометрическое определение
О: Е*, Е — измеримые множества из R
n
, Е* ⊂ Е, А — попада-
ние т. a ∈ Е в Е* ⇒ Р(А) = µ(Е*)/µ(E), µ(E) — мера Е
3. Статистическое определение
О: Р(А) ≈ Р*(А) = m/n — относительная частота; m — число
наступлений А при повторении эксперимента n раз
34.5. Схема испытаний Бернулли
Вероятность появления c.с. А в n независимых испытаниях m
раз:
P
n
(m) = C
n
m
p
m
q
n-m
, P(A) = p, P(
A
) = 1 - p = q
Задачи к разд. 34.1, 34.2
Задача 1. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сколькими способами можно составить четыре смешанные
пары?
Решение: Четырех мужчин из десяти можно выбрать А
4
10
спосо-
бами, так как соединения из 10 мужчин по четыре в этом случае
могут отличаться и самими элементами, и их порядком, т.е. явля-
ются размещениями. Аналогично, четырех женщин из шести мож-
но выбрать А
4
6
способами, причем каждому способу выбора четырех
мужчин соответствует А
4
6
способов выбора женщин. Следовательно,
общее число способов
AA
10
4
6
4
10
6
6
2
10
2
⋅= =
!
!
!
!
!
!
.