Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин. Учебник. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Пример 3.1. Долговечность комплекта вкладышей шпинделей

со стороны валков в линии привода чистовой группы клетей (7 кле-

тей) имеет нормальное распределение с математическим ожидани-

ем µ=60 сут и средним квадратичным отклонением

=10 сут.

1. Построить график плотности распределения отказов и

интенсивности отказов на интервале [0, 70 сут].

2. Определить возможное число n

отказавших комплектов

вкладышей к моменту времени t=50 сут.

3. Определить возможное число отказавших комплектов

вкладышей n

на интервале [50 - 60] сут.

4. Определить возможное число отказов вкладышей n

на

интервале [50-60] сут, если до момента времени

t=50 сут отказов не было.

Решение.

Построение графиков осуществим, используя зависимости:

;

)(

t =

т.е.

()

(

)

()

;

∫

∞

dttf

;)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5,0)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ−=

Возмо n

для

t=50,

µ=60

жное число отказавших комплектов вкладышей

учитывая, что Q(t)=1-P(t) и Ф(-z)=-Ф(z):

()

50 60

14 05 14 05 0341 223

⎡−⎤

⎛⎞

=× =× + =

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

⎡−⎤

⎛⎞

=× + =× − =

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

где число комплектов вкладышей в чистовой группе клетей со

стороны валков;

Ф – нормированная функция Лапласа, т.е. функция распреде-

ления (см. табл. 1 прил.Б).

а ин-

тервале [50-60] сут, если были отказы в интервале [0-50] сут.

⎣⎦

nNQ(t)N ,Ф

, Ф ,, ,,

N –

Возможное число отказавших комплектов вкладышей n

(

)

(

)( )

212

14 0 841 0 5 4 77nNPt Pt , , ,=× − =× − =⎡⎤

⎣⎦

()

841,0341,05,0т.к

⎠⎝

P(t

5060

⎞⎛

−

Ф5,0tP

⎟⎜

= ,

о, на я

интенсивности

)=0,5

Возможное число отказов комплектов вкладышей n

на интер-

вале [50-60] сут, если до отказов не был йдем, использу гра-

фик отказов на рис.3.4.

)(t

)(tf

150*10

-3

100*10

-3

80*

50*10

-3

20*

5.4

5.4*

)(t

)(tf

6050 70 80 904030

График плотности распределения отказов Рис.3.4.

и интенсивности отказов для условий примера 3.1

Площадь под кривой интенсивности отказов на интервале [50-

60] сут есть вероятность отказов вкладышей на этом интервале

при условии, что до этого отказов не было. Тогда возможное число

отказов комплектов вкладышей n

при использовании накопленой

интенсивности отказов, определенной по площади ограниченной

кривой

т.е. приближено в виде трапеции, будет равно

()

t∧ ,

() ( )

(

)

312

14 60 50 7 6

80 29 10

nN tt ,

−

+×

=×∧ =× − × =

мая во внимание формулу (3.12):

или, более точно, прини

(

)

(

)

(

)

312

14 0 173 0 693 7 3=× − =×− + =n N lnP t lnP t ( , , ) , .

3.3. Средняя наработка до отказа и другие числовые

характеристики надежности

Очень часто на практике затруднительно оценивать надеж-

ость функциональными характеристиками, и в этом случае на-

Наиболее

работы (

дежность элемента характеризуют числовыми характеристиками.

важными из них являются: среднее время безотказной

средняя наработка до отказа)

(

)

T и дисперсия

() ()

ξσ

= , где

(

)

ξσ

- среднее квадратичное отклонение слу-

чайной величины

()

dttftMTT

⋅⋅===

∫

∞

ξξξ

; (3.15)

()

dttPTT

⋅⋅==

∫

∞

ξξ

; (3.16)

∞

()

dttQTT

⋅⋅==

∫

ξξ

; (3.17)

∞

()

∫

⋅−===

TtDD

ξξ

()

; (3.18)

ξ или, что то же самое, от средней наработки Тξ .

()

∫

−⋅⋅=

Tdttf

ξξξ

. (3.19)

Следовательно, средняя наработка на отказ есть математи-

ческо

∞

е ожидание M

ξ случайной величины наработки ξ , а диспер-

сия или среднее квадратичное отклонение служит мерой отклоне-

ния случайной величины наработки ξ от ее математического ожи-

дания M

На рис.3.4. представлена графическая интерпретация сред-

ней наработки и среднего квадратичного отклонения.

Для характеристики степени разброса величин случайной

наработки применяют коэффициент вариации, равный отношению

средн

его квадратичного отклонения к средней наработке:

= (3.20)

)(tP

)(tf

Ц.Т

)(tQ

Рис.3.4. Графич ия средней наработки:

Ц.Т. - центр тяже кривой плотности

сигм”.

делия ис-

польз и Me

ξ. Медиана - это

квант ть Me

ξ - это значение наработки для

вероя P(t)=0,5.

еская интерпретац

сти площади сечения под

вероятности отказов

Значения случайной наработки

ξ практически не выходят за

пределы интервала [T

±3σ].

Это правило носит название “правило трех

В ряде случаев для характеристики надежности из

уют медианное* значение наработк

иль порядка 0,5. Tо ес

тности безотказной работы

Значения же наработки для любого заданного значения

γ в %

вероятности безотказной работы получили название “гамма-

процентной наработки T

”.

Глава 4. Распределения, используемые в теории надежности

4.1. Распределения и область их применения

Для анализа надежности машин в процессе эксплуатации

необходимо иметь сведения о наработках до отказа элементов, на

основании которых осуществляют оценивание показателей надеж-

ности исследуемого объекта. Получение же оценок надежности

основано на различных предположениях о законах распределения

наработок

до отказа.

Выдвижение гипотезы о принадлежности наработок к тому

или иному распределению может основываться либо на изуче-

нии физики явлений, приводящих к отказу, либо на основе ана-

литического исследования статистических данных об отказах

оборудов

сследование надежности металлургического оборудования

показ льшин-

стве случаев следующими распределениями:

- экспоненциальным (показательным

нормальным;

тся наработки, дли-

тельн шивания (старе-

ния).

Логарифмически нормально

нормальное, описыва

вследствие развития

усталости, а также вр

делия.

Если элемент так и постепенным

отказам, то наиболе аспределение Вей-

булла.

В каждом конкретном случае только на основании исследо-

вания характера повреждения при

лежности полученных наработо к или

Например, мы исследуем надежность линии привода фор-

мирующего ролика моталки стана горячей прокатки полос.

ания.

ало, что наработки оборудования можно описать в бо

);

- логарифмически нормальным;

- Вейбулла.

Экспоненциальное распределение характерно для внезап-

ных отказов, когда элемент не стареет, а также для отказов слож-

ных технических систем независимо от причины их возникновения.

Нормальным распределением описываю

ость которых определяется процессами изна

е распределение точнее, чем

ет наработки до

отказа

емя восстановления работоспособности из-

подвержен как внезапным,

е приемлемым является р

можно нять решение о принад-

к иному распределению

тому

Рис.4.1. ематическая схема линии привода

формирующего ролика моталки:

1 - карданный вал;

2 - подшипники качения;

3 - формирующий ролик

Опыт эксплуатации линии привода формирующего ролика

показал, что отказы возникают по следующим причинам:

- износ бронзовых втулок в шарнире Гука;

Кин

- износ шлицевого соединения карданного вала;

- разрушение подшипника качения;

ть которого изучаем,

ролик В этом случае наиболее вероятным является предположе-

ние о

ности элемента - карданный вал - наи-

довать надежность элемента - под-

шипни

тия ус лостных трещин.

сследование же надежности элемента - линии привода

формирующего ролика – будет основываться

на экспоненциаль-

ном р елении, так как это сложная техническая система.

ринимаемые решения (гипотезы) не являются окончатель-

ными должны проходить проверку по критериям согласия*.

Распределения, используемые в теории надежности, назы-

вают законами надежности.

4.2. Экспоненциальный (показательный) закон

Так называют распределение (рис.4.2), для которого

(4.1)

Это однопараметрическое распределение с параметром

λ -

интенсивность отказов. Ввиду своей простоты оно получило широ-

кое распространение при исследованиях надежности машин. Но

произвольное его использование может приводить к грубым ошиб-

кам.

Для экспоненциального распределения:

плотность вероятности отказов

- износ бочки ролика;

- поломка цапфы ролика.

Примем в качестве элемента, надежнос

б использовании распределения Вейбулла, так как отказы

ролика происходят как по износу бочки, так и по поломкам цапфы.

Для

изучения надеж

более вероятным является использование нормального распреде-

ления.

хотим исслеЕсли же мы

ка качения, то следует принять логарифмически нормаль-

ное распределение, так как его разрушение есть следствие разви-

та

аспред

;)(

etP

−

(

)

etf

−

; (4.2)

интенсивность отказов

λ(t) = λ = Const; (4.3)

числовые характеристики:

;

T = Mξ; (4.4)

;

Коэффициент асимметрии A=2.

Эксцесс Е=6.

Характерным признаком экспоненциального распределения

является равенство коэффициента вариации

ν единице. Экспонен-

циальное распределение является распределением без последствий,

так как

λ = Const , т.е. вероятность отказа в каждую последующую еди-

ницу времени остается неизменной сколько бы ни проработал безот-

казно элемент до данного момента времени. Но необходимо отметить,

что вероятность безотказной работы с течением времени снижается,

т.е. чем дальше рассматривается момент времени от начала эксплуа-

тации, тем меньше вероятность того, что

объект будет находиться в

работоспособном состоянии (см. рис.4.2).

Но если объект не отказал к рассматриваемому моменту време-

ни, то вероятность его отказа в последующую единицу времени будет

та же, что и в начальный момент эксплуатации.

Пример 4.1. Наработка пружин механизма уравновешивания

верхнего шпинделя имеет экспоненциальное распределение со сред-

ней наработкой Т =40 сут

Построить график плотности данного распределения и

функцию распределения.

Решение.

Построе уя формулы

(4.1) - (4.3) .

ние графиков осуществляем, использ

=tg

- ln P(t)

0,368

)(t

const

Рис.4.2. Экспоненциа ое распределение:

a – вероятность безотказной работы;

б – плотность вероятности отказов;

в – интенсивность отказов

льн

Плотность вероятности отказа (плотность функции распределения)

;10

3−

4,19

)10(

−

=== et

t=20)=15,2*10

-3

;

f(t=30 10

-3

;

f(t=40

-3

f(t=70 0

-3

;

f(t=80)=3,4*10

-3

Плотн

распр

Q(t=20)=0,393;

Q(t=30)=0,528;

Q(t=40)=

Q(t=5

Q(t=6

0,865.

Пример 4.2. В линии привода формирующих р

ки происходят внезапные отказы роликов.

Определить, в какой момент времени может быть обеспече-

ты P(t) = 0,8, если в межремонт-

отказа Q(t) = 0,632.

информации

роликов описываются экспоненци

происходят внезапно).

Для экспоненциального распределения значение Q(t) = 0,632

соответствует моменту времени, равном средней наработке:

=T.

Для экспоненциального распределения

10 20 30

)=11,8*

)=9,2*10

;

f(t=50)=7,2*10

-3

;

f(t=60)=5,6*10

-3

;

)=4,3*1

ость отказа (функция

деления) е

0,632;

0)=0,713;

0)=0,777;

Q(t=70)=0,826;

(t=80)=Q

оликов мотал-

на вероятность безотказной рабо

ый период t = 30 сут вероятностьн

Решение.

Из-за отсутствия другой предполагаем, что на-

альным распределением работки

(отказы

)(

etP

−

;22,01)

=−=

−

e10( =tQ

40 t,сут50 60 70 80

)(tf

-3

10 20 30 40 50 60 70 80 t,сут

0,8

0,6

0,4

0,2

)(tQ

отсюда

);(ln)(ln

tPTtPt −=−=

тогда

t=-30ln0,8 = 6,7 сут.

4.3. Нормальный закон

Нормальное распределение – это двухпараметрическое

распределение (рис.4.3) с плотностью

)(

exp

)(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−=

πσ

, (4.5)

где

µ, σ - параметры распределения.

Вероятность безотказной работы

,5,0)(

⎟

⎠

⎜

⎝

Φ−=

⎞

⎛

−

(4.6)

где (t-

µ)/σ ного распределения.

ся фор-

- квантиль нормирован

Вероятность попадания в интервал [α, β] выражает

мулой

[]

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎛

⎝

−

Φ=<<

µα

µβ

βα

. (4.7)

Свойства функции Лапласа Ф(x):

1. Ф(0) = 0; 2.Ф(-x)=- Ф(x); 3. Ф(

∞

)=±0,5.

Интенсивность отказов

()

(

)

()

·P t

(4.8)