Желтов Ю.П., Стрижов И.Н., Золотухин А.Б., Зайцев В.М. Сборник задач по разработке нефтяных месторождений

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 3. Зависимость / (у) от k

при

σ=

0,665,

Έ= 0,4·Ю-

Для интервала проницаемости, изменяющейся от

200·

10~

до

400- Ю-

(k =

300·

10-

1Б

86,4-300-10^

240-200-Ю-

В табл. 3 приведены также значения у = In k, соответствующие

каждому интервалу проницаемости. По данным этой таблицы не-

обходимо построить функцию / (у), которая показана на рис. 3.

Поскольку

max [/

(у)]

---- —^— ,

2π σ

можно с помощью графика, приведенного на рис. 3, определить σ.

Имеем

max

[/(г/)]

= 0,6.

Тогда

σ-

—

=0,665.

0,6 У 2π

Соответствующее ему значение max у = у = —

28,52.

Отсюда k =

0,4-10~

. Таким образом, параметры логарифмически нор-

мального распределения определены.

Задача 1.9. Требуется найти параметры логарифмически

нормального распределения абсолютной проницаемости пласта σ

k по результатам промыслово-геофизических исследований про-

дуктивного пласта месторождения, проведенных в 10 скважинах.

Распределение толщин пропластков в различных интервалах про-

ницаемости

даны в табл. 4. Общая исследованная толщина про-

пластков во

всех

скважинах h = 150 м.

Указание. Использовать методику определения σ и Ъ,

данную в задаче 1.8.

Задача 1.10. При составлении технологической схемы раз-

работки нефтяного месторождения было проведено исследование

распределения абсолютной проницаемости в 10 разведочных и опыт-

ных добывающих скважинах. Исследование показало, что вводи-

мый

в разработку продуктивный пласт месторождения может быть

представлен моделью слоисто-неоднородного пласта с гамма-рас-

пределением абсолютной проницаемости. Данные о толщинах про-

Таблица

Номер

скважины

Интервал

проницаемости

к. 10 '

0—200

200-400 400—600 600-800

800—1000

Толщина

пропластков (в м)

2111

2112

2113

2114

2115

2116

2117

2118

2119

2120'

0,03

0,04

0,02

3,8

2,2

10,3

5,6

8,2

4,0

3,3

5,1

1,5

4,1

5,5

3,6

14,4

2,3

7,9

5,7

6,1

8,2

1,8

3,1

6,7

2,4

1,5

6,1

0,9

0,1

3,5

2,2

3,3

0,6

2,5

0,7

1,3

3,4

1,2

0,7

0,1

0,6

Номер

скважины

1000—1200

Интервал

1200—1400

фоницаемости

1400—1600

к.

Π р О д

ΙΟ"'

м-

1600—1800

о л ж е н и с

1800-2000

2111

2112

2113

2114

2115

2116

2117

2118

2119

2120

0,08

0,032

0,088

0,5

0,01

0,9

0,19

1,5

0,238

0,262

Толщина

0,12

0,18

0,05

0,63

0,08

0,2

0,04

пропластков

(в м)

0,009

0,06

0,1

0,02

0,1

0,08

0,025

0,019

0,016

0,01

0,03

0,0

0,06

0,0094

0,0047

0,0125

0,0334

пластков,

вскрытых скважинами, обладающих проницаемостью

определенных диапазонах, даны в табл. 5. Общая исследованная

толщина пропластков во

всех

скважинах h - 200 м.

Требуется определить среднюю проницаемость к, если известно,

что параметр гамма-распределения α -^ 2.

Решение.

Плотность гамма-распределения абсолютной про-

ницаемости

можно найти по формулам

a-\ -k~k

Z±—,

0<£<οο,

(1.46)

/•

(α)

- f

dx,

•0, Λ;>0.

Здесь Γ (α) — стандартное обозначение гамма-функции, описа-

ние

которой дано в учебниках высшей математики и математиче-

ских справочниках.

Таблица

Номер скважины

Интервал проницаемости k, 10~

0-200

200—400

400—600

600—800

800—1000

1000—1200

Толщина пропластков (в м)

1101

1102

1103

1104

1105

1106

1107

1108

1109

1110

Общая толщина

пропластков,

3,3

2,5

0,8

1,7

4,2

0,9

13,4

0,5

3,7

2,9

1,4

0,6

6,5

4,9

2,1

0,4

3,2

26,2

9,1

0,8

3,3

4,6

6,7

0,4

1,9

0,3

1,7

0,6

29,4

5,6

1,5

0,7

1,1

3,2

0,9

0,5

13,7

0,3

0,1

27,6

0,1

1,3

1,2

0,7

6,8

0,2

0,9

3,7

2,5

6,4

23,8

1,8

2,3

0,2

4,9

0,3

0,6

2,7

0,5

2,8

3,1

19,2

Продолжение

Номер

скважины

Интервал

проницаемости

к, 10~

К-

1200—1400

1400—1600

1600—1800

1800—2000

>2000

Толщина пропластков (в м)

1101

1102

ПОЗ

1104

1105

1106

1107

1108

1109

1110

Общая толщина

пропластков,

1,2

0,4

1,7

2,8

10,3

15,4

2,9

0,4

1,3

6,1

0,6

0,7

12,0

1,9

3,6

2,1

0,4

0,3

0,4

0,1

8,8

0,1

0,7

0,2

0,1

2,6

3,1

6,8

7,2

2,1

2,5

0,7

1,9

1,1

1,6

17,4

При

α ~ 2 имеем

,-к.к

-k:k

Г (2) k

Γ(2) - 1.

(1.47)

Для

других

характеристик гамма-распределения при α — 2

получаем следующие выражения:

f (k) =-- ί / (k) dk

-----

-4- ί ksT

dk -Ι-

k b

~-k!k

Рис.

Зависимость

/ (k) от k при

Г5к,1О-

= 2, Ъ=

0,5-Ю-

Математическое ожидание

оо

М'= $

Дисперсия

D=J

{k—2kff

(k)

dk = 2k

Для дальнейшего решения задачи прежде всего определим сум-

марные по всем скважинам толщины Ah пропластков для каждого

интервала изменения проницаемости. Это делается путем суммиро-

вания

толщин, указанных в табл. 5, по каждому вертикальному

столбцу. В нижней части этой таблицы приведены значения Ah.

Далее, выбирая интервал проницаемости Δ& =

200·10~

необходимо на основе табл. 5 построить плотность гамма-распреде-

ления

по формуле / (k) =

AhlhAk.

Построенный

по этой формуле график функции / (k) показан

на

рис. 4. Можно показать, что максимального значения плотность

гамма-распределения f (k) при а = 2 достигает при k = k. В са-

мом деле,

е-*'*Л-~YUO.

Отсюда

следует,

что

max [/(*)]=/(А).

Имеем

также

max[/(A)]=-j^.

По

графику рис. 4 получаем, что

max [f(k)\ =

0,736-10

м~

. (Отсюда

Задача 1.11. Требуется найти параметр k гамма-распреде-

ления

при α = 2 на основе данных, приведенных в табл. 6, если

h — 150 м.

Таблица β

Номер

скважины

Интервал

проницаемости

k, 10~

0—200

200—400

400-600 600-800 800-1000

1000—1200

Толщина пропластков (в м)

1111

1112

1113

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

2,3

1,2

0,9

3,7

1,9

2,2

1,7

2,5

2,0

3,0

5,1

2,0

4,5

4,0

3,2

4,3

1,7

3,4

2,4

1,1

3,5

4,2

3,4

4,5

3,3

2,7

4,2

2,5

2,4

1,5

5,1

1,3

3,2

1,1

4,1

2,0

0,8

2,2

3,4

1,4

2,3

0,9

2,4

1,7

1,8

0,6

2,0

1,5

1,7

0,3

1,5

0,7

1,4

1,9

Продолжение

Номер

скважины

Интервал

проницаемости

к, 10~

1200—1400 1400-1600 1600—1800

1800-2000

>2000

Толщина пропластков (в м)

1111

1112

1113

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

0,2

0,7

0,5

0,4

0,3

1,1

0,5

1,7

1,2

0,4

0,6

0,7

0,3

0,7

1,3

0,4

0,2

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

0,3

0,9

0,2

0,1

0,4

0,7

0,1

0,2

0,3

0,2

0,5

0,3

0,2

0,1

0,2

0,3

Ответ, k =

0,35·

Ю-

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ

ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ

При

расчетах процессов непоршневого вытеснения нефти из пла-

стов закачиваемыми в них веществами во многих случаях исполь-

зуют

конечно-разностные методы и ЭВМ, особенно при рассмот-

рении

двумерных фильтрационных течений. Разрабатываемые об-

ласти пласта имеют значительные размеры и при применении ко-

нечно-разностных методов они разделяются на некоторое число

конечно-разностных ячеек, ограничиваемое вычислительными воз-

можностями ЭВМ и трудоемкостью решаемых задач. Одна ячейка

может иметь линейные размеры в несколько десятков, а иногда

в сотни метров. Для ячейки таких больших размеров должны быть

использованы зависимости относительных проницаемостей от на-

сыщенности

пласта движущимися в нем веществами. Однако эти

зависимости определяют в лабораторных условиях с помощью

образцов пород, имеющих линейные размеры в несколько санти-

метров.

Относительные же проницаемости реального пласта в областях,

линейные

размеры которых равны линейным размерам конечно-

разностных ячеек,

могут

существенным образом отличаться от оп-

ределенных в лабораторных

условиях. Поэтому для ко-

нечно-разностных ячеек

уста-

навливают так называемые

модифицированные

относи-

тельные проницаемости, рас-

чету

которых и посвящены

задачи

1.12—1.13.

Задача 1.12. Слоисто-

неоднородный по толщине

пласт отличается еще и тем,

что абсолютная проницае-

мость каждого прослоя мо-

жет изменяться по простира-

Рис. 5. Схема элементарного объема нию. Отдельные прослои МО- /

слоистого пласта гут замещаться в пространстве,

прослоями

с иной проницаемо-

стью, так что проницаемость прослоев изменяется не только по толщи-

не,

но и по длине. Однако при построении модели данного пласта ока- \

зывается возможным выделить «элементарный

объем»

прямолиней-

ного пласта длиной Ах, общей толщиной h и шириной b (рис. 5),

состоящей из набора пропластков с абсолютной проницаемостью,

распределение которой подчиняется определенному вероятностно-

статистическому закону.

Требуется для данной модели пласта определить модифициро-

ванные

относительные проницаемости для нефти и воды, прини-

мая,

что вода, вытесняющая нефть из элемента пласта,

входит

пропластки начиная с пропластка с самой большой проницае-

мостью. Так как Ах мало по сравнению с размерами пласта в це-

лом,

можно считать, что вода последовательно и мгновенно запол-

няет

каждый пропласток. Вытеснение нефти водой из каждого про-

пластка — поршневое. При этом остаточная нефтенасыщенность

•изменяется

в зависимости от абсолютной проницаемости прослоев

следующим образом:

и ост "

и,иос

Содержание связанной воды также зависит от абсолютной про-

ницаемости

отдельных прослоев пласта и определяется по формуле

Принимается

в виде гипотезы, что фазовая проницаемость для

воды в каждом из прослоев зависит от абсолютной проницаемости,

остаточной нефтенасыщенности

насыщенности связанной водой

следующим образом:

= ft (I S

H oc

Sen)·

Абсолютная проницаемость слоев неоднородного пласта

в его

элементарном объеме длиной

Ах

соответствует гамма-распределе-

нию

при

α = 2.

Решение.

Расположим слои пласта таким образом, чтобы

слой

самой высокой абсолютной проницаемостью

(k -»- оо)

на-

ходился

нижней части элемента пласта,

слой

наименьшей

проницаемостью

(ft — 0) — в

верхней. Проницаемость слоев

не-

прерывно возрастает снизу вверх.

соответствии

условием

за-

дачи вода мгновенно вытесняет нефть

из

обводнившегося прослоя.

Таким

образом,

какой-то момент времени оказывается,

что из

слоев

суммарной толщиной

произошло вытеснение нефти

и в

них фильтруется только вода.

этих слоях осталась,

соответст-

вии

моделью поршневого вытеснения, неиэвлекаемая нефть

оста-

точной нефтенасыщенностыо

ll0CT

остальных

же

слоях содер-

жатся нефть

связанная вода.

В соответствии

предположением

последовательном мгновен-

ном

обводнении слоев, начиная

со

слоя

самой высокой проницае-

мостью,

расход

воды Δ^Β, поступающей

слой элемента пласта

толщиной

Δ/ι,

определяется следующим образом:

k(\

-"SIIQCT

— s

)frA/iAp

ιι

Δχ

Если

бы

слой

был

полностью водонасыщенным (нефтенасыщен-

ность равна нулю),

то

расход

воды, фильтрующейся через этот слой

пласта, составил

Однако если

некоторый момент времени обводнены слои

сум-

марной

толщиной

h, то

расход

воды, поступающей

в эти

слои,

будет

выражаться интегралом

<7в

—~-

J k

(I —

ост—s

)

dh.

Δχ

случае

полностью водонасыщенного пласта

_ ЬАр h

Определим модифицированную относительную проницаемость

пласта

для

воды

[ k (I — S

ост —

SOB)

kdk

Учитывая вероятностно-статистическое распределение абсолют-

ной

проницаемости,

т. е.

полагая

ah = hf

(k)

dk, из

предыдущих

формул имеем

оо

f (1-«ност-%в)*/(*)Л

~К=^

(1.48)

(/г)

где

k^ —

проницаемость обводиившегося

данный момент

вре-

мени

слоя.

Считается,

что в

необводненной части элемента пласта проис-

ходит

фильтрация только нефти, поступающей

из

соседнего

эле-

мента. Поэтому

μ,,Δχ

Δχ

Если

бы в

элементе пласта фильтровалась только нефть,

то

было

бы

Аналогично

получаем формулу

для

модифицированной

от-

носительной проницаемости

для

нефти

Имеем

к,

[

kf{k)dk

(A) dk

(1.49)

Для гамма-распределения интеграл, стоящий

знаменателе

формул

(1.48)

(1.49), известен.

Он

равен

2k при α = 2.

Таким

образом, необходимо вычислить интегралы, содержащиеся

в чис-

лителе формул

(1.48)

(1.49).

Обозначим

рассматриваемом

случае

гамма-распределения

при

α = 2

оо

1.2,,-fc.ft

kf (k)

dk =

Интегрируя

это

выражение

по

частям, получаем

Возьмем интеграл, содержащийся в числителе формулы (1.49).

Имеем

= \ kf (k) dk

=-.

\ _

- dk

Вычислим интеграл, содержащийся в числителе формулы (1.48),

учетом

зависимостей

и s

от проницаемости, данных в ус-

ловии

задачи. Имеем

оо

(1 —S,, ост — SCB) kf (k) dk =

ь»

CX)

,_•

[l_(0,

tx>

со

Γ , _ _ ^-kk _ Γ

J k

*»

ft,

_—1.5Й

dk==

Таким

образом, для модифицированной относительной прони-

цаемости для воды по формуле

(1.48)

имеем выражение

Соответственно модифицированная относительная проницае-

мость для нефти

Необходимо получить выражение для модифицированной водо-

насыщенности

элемента пласта s.

Вода

в элементе пласта содер-

жится в виде связанной воды и воды, заполнившей обводнившиеся

пропластки.

Поровый объем AV

рассматриваемого элемента

пласта составит

ЛУ

mbhAx.

Объем связанной воды

необводнившихся пропластках выра-

жается следующим образом:

к.

= mAxb {

•=

mAxbh I s

j (k) dk.

Для объема воды AV

в обводнившихся слоях имеем выражение

\ (l-s

H0Ct

)f(k)dk.

Полный

объем воды в элементе пласта

:-mbhAx\

(sj(k)dk

••'-

ί (1

-s

1I0CT

)/(^)dk]

...

sj (k) dk + ]' (1 —s,,

ост—s

)

/ (A) d* --

-•mbhAx

0,32

1,5

—=2—

mbhAx

1,5

Имеем,

наконец,

-^ _^5_^ 0,142

•

T"JJ'

е-*. *

— 0.444е-

(1.52)

Рис.

Зависимости модифицированных

относительных проницаемостей

и k

от модифицированной водонасыщенно»

сти