Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений
Подождите немного. Документ загружается.
351
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÚÛ Ê ‚ ÔË̈ËÔ Á‡‰‡˜Û ‰Îfl Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-
ÔÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡.
èË ÌÂÛÒÚ‡ÌÓ‚Ë‚¯ÂÏÒfl Ú˜ÂÌËË ÛÔÛ„ÓÈ ÊˉÍÓÒÚË ‚ Ò··Ó-
ÒÊËχÂÏÓÏ Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-ÔÓËÒÚÓÏ Ô·ÒÚ ‰‡‚ÎÂÌË ÊˉÍÓÒÚË ‚
Ú¢Ë̇ı ‚ÒΉÒÚ‚Ë ‚˚ÒÓÍÓÈ Ô Ó‚Ó‰ËÏÓÒÚË ËÁÏÂÌflÂÚÒfl „Ó‡Á‰Ó
·˚ÒÚÂÂ, ˜ÂÏ ‚ ÔÓËÒÚ˚ı ·ÎÓ͇ı. ÇÒflÍÓ ÛÏÂ̸¯ÂÌË ËÎË Û‚Â-
΢ÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ÊˉÍÓÒÚË ‚ Ú¢Ë̇ı ÔË‚Ó‰ËÚ Í ÔÂÂÚÓ͇Ï
ÊˉÍÓÒÚË ËÁ ·ÎÓÍÓ‚ ‚ Ú¢ËÌ˚ ËÎË Ì‡Ó·ÓÓÚ.
èË Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓÏ ÓÔËÒ‡ÌËË ÙËθڇˆËË Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓÈ ÛÔÛ-
„ÓÈ ÊˉÍÓÒÚË ‚ Ò··ÓÒÊËχÂÏÓÏ Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-ÔÓ ËÒÚÓÏ Ô·ÒÚÂ,
Ú.Â. ÛÔÛ„Ó„Ó ÂÊËχ ‚ Ô·ÒÚ ˝ÚÓ„Ó ÚËÔ‡, ‡ÒÒχÚË‚‡˛Ú ‰‚‡
‰‡‚ÎÂÌËfl – p
1
Ë p
2
Ë ‰‚ ÒÍÓÓÒÚË ÙËθڇˆËË – v
1
Ë v
2
ÒÓÓÚ-
‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚ Ú¢Ë̇ı Ë ·ÎÓ͇ı ÔÓÓ‰˚.
ÑËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ ۇ‚ÌÂÌËfl ̇Á˚‚ÌÓÒÚË ÙËθÚÛ˛˘Â-
„ÓÒfl ‚¢ÂÒÚ‚‡ ‚ Ú¢Ë̇ı Ë ‚ ·ÎÓ͇ı ËÏÂ˛Ú ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ ‚ˉ:
∂ρ
∂
∂ρ
∂
ρ
() ()
;
v
x
m
t
v
11
0+ − =
∂ρ
∂
∂ρ
∂
ρ
() ()
.
v
x
m
t
v
23
0+ += (4.1)
á‰ÂÒ¸ ρ – ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ÊˉÍÓÒÚË; m
1
– Ú¢ËÌ̇fl ÔÓËÒÚÓÒÚ¸;
m
2
– ÔÓËÒÚÓÒÚ¸ ·ÎÓÍÓ‚;
v – ÒÍÓÓÒÚ¸ ÔÂÂÚÓ͇ ÊˉÍÓÒÚË ËÁ
·ÎÓÍÓ‚ ‚ Ú¢ËÌ˚ ËÎË Ì‡Ó·ÓÓÚ. ç‡Ë·ÓΠ˜‡ÒÚÓ ÔËÌËχ˛Ú,
˜ÚÓ
vpp= −
α
µ
(),
21
(4.2)
„‰Â µ – ‚flÁÍÓÒÚ¸ ÊˉÍÓÒÚË, ‰‚ËÊÛ˘ÂÈÒfl ‚ Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-
ÔÓËÒÚÓÏ Ô·ÒÚÂ; α – ÌÂÍÓÚÓ˚ È ·ÂÁ‡ÁÏÂÌ˚È ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ,
Á‡‚ËÒfl˘ËÈ ÓÚ ÙËθڇˆËÓÌÌ˚ı Ò‚ÓÈÒÚ‚ Ë ‡ÁÏÂÓ‚ ·ÎÓÍÓ‚ ÔÓ-
Ó‰. ÑÎfl ÓˆÂÌÍË ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ‡ α ÏÓÊÌÓ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ ÒΉÛ-
˛˘Û˛ ÔË·ÎËÊÂÌÌÛ˛ ÙÓÏÛÎÛ:
α ≈ k
2
S
Û‰
2
, (4.3)
„‰Â k
2
– ÔÓËÒÚÓÒÚ¸ ·ÎÓÍÓ‚ ÔÓÓ‰˚; S
Û‰
– Û‰Âθ̇fl ÔÓ‚ÂıÌÓÒÚ¸
·ÎÓÍÓ‚.
åÓÊÌÓ ÔÓËÁ‚ÂÒÚË ÓˆÂÌÍÛ S
Û‰
, Ò˜ËÚ‡fl ·ÎÓÍË Ëϲ˘ËÏË ÙÓ-
ÏÛ ÍÛ·‡ ÒÓ ÒÚÓÓÌÓÈ a. Ç ÂÁÛθڇÚ ÔÓÎÛ˜ËÏ
S
Û‰
= S/V = 6a
2
/a
3
= 6/a. (4.4)
èÛÒÚ¸ a = 1 Ï, k
2
= 0,01 ÏÍÏ
2
.
íÓ„‰‡ ̇ ÓÒÌÓ‚Â (4.4) ÔÓÎÛ˜ËÏ, ˜ÚÓ
α = ⋅ = ⋅
−−
⋅0 01 10 0 36 10
12
2
12
6
1
,,.
352
ÖÒÎË ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ÒËÒÚÂÏ˚ Ú¢ËÌ Ì‡ÏÌÓ„Ó ·Óθ¯Â ÔÓ-
Ìˈ‡ÂÏÓÒÚË ·ÎÓÍÓ‚ ÔÓÓ‰, ÏÓÊÌÓ ÔËÌflÚ¸ ÛÔÓ˘‡˛˘Ë ‰ÓÔÛ˘Â-
ÌËfl, ÒÓÒÚÓfl˘Ë ‚ ÚÓÏ, ˜ÚÓ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ Ú¢Ë̇ı
‚ ͇ʉ˚È ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË ÔËÌËχÂÚÒfl ÛÒÚ‡ÌÓ‚Ë‚¯ËÏÒfl, ‡ ÔÂ-
ÂÚÓÍ ÊˉÍÓÒÚË ËÁ ·ÎÓ͇ ‚ ·ÎÓÍ Ì ۘËÚ˚‚‡ÂÚÒfl.
èË ˝ÚËı Ô‰ÔÓÎÓÊÂÌËflı ËÁ ÒËÒÚÂÏ˚ Û‡‚ÌÂÌËÈ (4.1) ÔÓ-
ÎÛ˜‡ÂÚÒfl ÛÔÓ˘ÂÌ̇fl ÒËÒÚÂχ Û‡‚ÌÂÌËÈ, Ëϲ˘‡fl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ
‚ˉ:
kpp
p
x
1
2
1
2
21
0
∂
∂
α+ − =(),
β
∂
∂
α
µ
2
2
21
0
p
t
pp− − =(). (4.5)
ÇÂ΢Ë̇ β
2
ı‡‡ÍÚÂËÁÛÂÚ ÛÔÛ„ÓÂÏÍÓÒÚ¸ ·ÎÓÍÓ‚.
èËÏÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ̇˜‡Î¸Ì˚Â Ë „‡Ì˘Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl. ÅÛ‰ÂÏ
Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ ‚ ̇˜‡Î¸Ì˚È ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË t = 0 ‰‡‚ÎÂÌË Êˉ-
ÍÓÒÚË Í‡Í ‚ Ú¢Ë̇ı, Ú‡Í Ë ‚ ·ÎÓ͇ı ÔÓÓ‰˚ ·˚ÎÓ ‡‚ÌÓ p
0
.
èË t > 0 ‰‡‚ÎÂÌË ̇ ÍÓ̈ Ô·ÒÚ‡ x = l ÓÒÚ‡ÂÚÒfl ÔÓÒÚÓflÌ-
Ì˚Ï, ‡‚Ì˚Ï p
0
, ‡ Ò ÍÓ̈‡ x = 0 ÊˉÍÓÒÚ¸ ÓڷˇÂÚÒfl Ò ÔÓÒÚÓ-
flÌÌ˚Ï ‰Â·ËÚÓÏ q. ч‚ÎÂÌË ̇ ÍÓ̈ x = 0 ‡‚ÌÓ p(0, t). ùÚÓ
‰‡‚ÎÂÌË ËÁÏÂÌflÂÚÒfl ÒÓ ‚ÂÏÂÌÂÏ Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ ÔË t → ∞
ÓÌÓ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒfl ‡‚Ì˚Ï p
1
, ‡ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ Ô·ÒÚÂ
·Û‰ÂÚ ÛÒÚ‡ÌÓ‚Ë‚¯ÂÏÒfl, Ú.Â.
pp
pp
x
l
0
01
1
−
−
= − . (4.6)
ǂ‰ÂÏ, Í‡Í ‚ „Î. II, ·ÂÁ‡ÁÏÂÌ˚ ÍÓÓ‰Ë̇Ú˚
ξ = x/l, τ = κt/l
2
. (4.7)
ÅÛ‰ÂÏ Â¯‡Ú¸ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏÛ˛ Á‡‰‡˜Û, ‚‚Ë‰Û ÎËÌÂÈÌÓÒÚË
‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ (45), ÏÂÚÓ‰ÓÏ ‡Á‰ÂÎÂÌËfl ÔÂÂ-
ÏÂÌÌ˚ı (ÏÂÚÓ‰ÓÏ îÛ¸Â). ê¯ÂÌË Á‡‰‡˜Ë ËÏÂÂÚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ
‚ˉ:
p
0
= p(ξ, τ) = (p
0
– p
1
)(1 –#ξ)#–#(p
0
– p
1
)
8
2
0
π
×
∞
∑
×
+
−
+
+
+
+1
21
21
2
1
21
2
21
2
2
2
2
1
2
()
()
exp cos .
π
πτ
π
α
π
ξ
n
n
k
l
n
(4.8)
353
àÁ Ô˂‰ÂÌÌÓ„Ó Â¯ÂÌËfl ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ ÔË τ → ∞ ‚ÚÓÓÈ
˜ÎÂÌ ‚ Ô‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË ‚˚‡ÊÂÌËfl (4.8) ÒÚÂÏËÚÒfl Í ÌÛβ Ë ‡Ò-
Ô‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ Ô·ÒÚ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒfl ÛÒÚ‡ÌÓ‚Ë‚¯ËÏÒfl, ÓÔ-
‰ÂÎflÂÏ˚Ï ÔÓ ÙÓÏÛΠ(4.6).
éˆÂÌËÏ ‚ÎËflÌË ԇ‡ÏÂÚÓ‚ Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-ÔÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡
̇ ı‡‡ÍÚ Ô‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‚ ÌÂÏ ‰‡‚ÎÂÌËfl.
Ç Ô‚ÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÔËÏÂÏ k
1
= 1 ÏÍÏ
2
, k
2
= 0,01 ÏÍÏ
2
, l = 500 Ï,
α = 0,36 ⋅ 10
–12
. íÓ„‰‡
k
1
12
12
10
03610
3
α
= ≈
−
−
⋅,
. Ï
2
éÔ‰ÂÎËÏ k
1
/αl
2
. àÏÂÂÏ
kl
1
2
4
5
3
25 10
10/.α = ≈
⋅
−
èÓÎÓÊËÏ, ̇ÔËÏÂ, n = 0 ‚ ÙÓÏÛΠ(4.8). íÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
()
,.
21
2
4
2
1
2
2
1
2
5
25 10
n
k
l
k
l
+
= ≈⋅
−
π
α
π
α
ùÚÓ – χ·fl ‚Â΢Ë̇ ÔÓ Ò‡‚ÌÂÌ˲ Ò Â‰ËÌˈÂÈ. чÊ ÂÒÎË
n = 10, Ô˂‰ÂÌ̇fl ‚Â΢Ë̇ ·Û‰ÂÚ ‡‚̇ ÔËÏÂÌÓ 10
–2
. çÓ
ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÚ Ï‡Î Ë ‚ÂÒ¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÈ ˜ÎÂÌ fl‰‡ (4.8), Ú‡Í
Í‡Í fl‰ Û·˚‚‡ÂÚ Ò Û‚Â΢ÂÌËÂÏ n Í‡Í 1/(2n + 1)
2
.
í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÏÓÊÌÓ Á‡Íβ˜ËÚ¸, ˜ÚÓ ÔË ÔËÌflÚ˚ı Ô‡‡ÏÂ-
Ú ‡ı Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-ÔÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ Ó·ÏÂÌ ÊˉÍÓÒÚ¸˛ ·ÎÓÍÓ‚ Ë
Ú¢ËÌ ÌÂÒÛ˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚ÎËflÂÚ Ì‡ Ô‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl
‚ Ô·ÒÚÂ, ÍÓÚÓÓ ·Û‰ÂÚ ÔÓËÒıÓ‰ËÚ¸ Ô‡ÍÚ˘ÂÒÍË Í‡Í ‚ Ó·˚˜ÌÓÈ
ÔÓËÒÚÓÈ Ò Â‰Â.
èË ËÌ˚ı Ô‡‡ÏÂÚ‡ı Ú¢ËÌÓ‚‡ÚÓ-ÔÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ÔÂÂ-
ÚÓÍË ÊˉÍÓÒÚË ËÁ ·ÎÓÍÓ‚ ‚ Ú¢ËÌ˚ Ë Ì‡Ó·ÓÓÚ ·Û‰ÛÚ Á̇˜Ë-
ÚÂθÌÓ ‚ÎËflÚ¸ ̇ Ô‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ Ô·ÒÚÂ. í‡Í,
̇ÔËÏÂ, ÂÒÎË k
2
= 10
–3
ÏÍÏ
2
, k
1
= 1 ÏÍÏ
2
, ‡ÁÏ ·ÎÓ͇ a =
= 10 Ï, l = 100 Ï, ÚÓ
S
Û‰
= 6/a = 0,6 1/Ï, a = k
2
S
Û‰
2
= 0,36 ⋅ 10
–15
.
íÓ„‰‡ k
1
/αl
2
= 0,3, ‚Â΢Ë̇ π
2
k
1
/4αl
2
≈ 0,75.
Ç ˝ÚÓÏ ÔÓÒÚÓflÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ‚ÎËflÌË ӷÏÂ̇ ÊˉÍÓÒÚ¸˛ ·ÎÓÍÓ‚
Ë Ú¢ËÌ Ì‡ ÔÓˆÂÒÒ Ô‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ Ú¢ËÌÓ-
‚‡ÚÓ-ÔÓËÒÚÓÏ Ô·ÒÚ ·Û‰ÂÚ Á̇˜ËÚÂθÌ˚Ï.
354
è ê à ã é Ü Öç à Ö 5. é ë ç é Çç õ Ö è é ç ü íà ü
é ä é ç Öó ç é -êÄáç é ë íç õ ï å Öíé ÑÄï
êÖò Öç à ü áÄÑÄó êÄáêÄÅé íä à
ç Öî íü ç õ ï å Öë íé êé Ü ÑÖç à â
ê‡Ò˜ÂÚ ÏÌÓ„Ëı ÔÓˆÂÒÒÓ‚ ‡Á‡·ÓÚÍË ÌÂÙÚflÌ˚ı
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ ÔË‚Ó‰ËÚ Í ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË Â¯ÂÌËfl Û‡‚ÌÂÌËÈ ‚
˜‡ÒÚÌ˚ı ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı. é‰ËÌ ËÁ ̇˷ÓΠÏÓ˘Ì˚ı Ë ÛÌË‚Â-
҇θÌ˚ı Ò‰ÒÚ‚ ¯ÂÌËfl χÚÂχÚ˘ÂÒÍËı Á‡‰‡˜ ‡Á‡·ÓÚÍË
ÌÂÙÚflÌ˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ – ÔËÏÂÌÂÌË ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı
ÏÂÚÓ‰Ó‚, ‡ÎËÁÛÂÏ˚ı ̇ ÍÓÏÔ¸˛Ú ‡ı. ëÛ˘ÌÓÒÚ¸ ÍÓ̘ÌÓ-
‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÏÂÚÓ‰Ó‚ Á‡Íβ˜‡ÂÚÒfl ‚ Á‡ÏÂÌ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰ËÙÙÂ-
Â̈ˇθÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ ÒËÒÚÂÏÓÈ ‡Î„·‡Ë˜ÂÒÍËı Û‡‚ÌÂÌËÈ.
ÖÒÎË ÔÓÎÛ˜ÂÌ̇fl ÒËÒÚÂχ ÎËÌÂÈ̇fl, ÚÓ ‰Îfl  ¯ÂÌËfl ÔË-
ÏÂÌfl˛Ú ÔflÏ˚Â Ë ËÚ‡ˆËÓÌÌ˚ ÏÂÚÓ‰˚. ä ÔflÏ˚Ï ÏÂÚÓ‰‡Ï
ÓÚÌÓÒËÚÒfl ÏÂÚÓ‰ ɇÛÒÒ‡ Ë Â„Ó ÏÌÓ„Ó˜ËÒÎÂÌÌ˚ ÏÓ‰ËÙË͇ˆËË
(ÏÂÚÓ‰ ÔÓ„ÓÌÍË Ë Ú.‰.). àÚ‡ˆËÓÌÌ˚ ÏÂÚÓ‰˚ ¯ÂÌËfl Ó·˚˜ÌÓ
ÔËÏÂÌfl˛ÚÒfl, ÍÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ÂÌ̇fl ÒËÒÚÂχ ÎËÌÂÈÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ
ËÏÂÂÚ ·Óθ¯Û˛ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸. Ç Í‡˜ÂÒÚ‚Â ÔËχ ËÚ‡ˆËÓÌÌ˚ı
ÏÂÚÓ‰Ó‚ ÏÓÊÌÓ ÔË‚ÂÒÚË ÏÂÚÓ‰ ‚ÂıÌÂÈ Â·ÍÒ‡ˆËË. ÖÒÎË ÔÓÎÛ-
˜ÂÌ̇fl ÒËÒÚÂχ ‡Î„·‡Ë˜ÂÒÍËı Û‡‚ÌÂÌËÈ ÌÂÎËÌÂÈ̇, ÚÓ ÂÂ
¯ÂÌË ‚ÓÁÏÓÊÌÓ ÚÓθÍÓ ËÚ‡ˆËÓÌÌ˚ÏË ÏÂÚÓ‰‡ÏË, ̇ÔËÏÂ,
ÏÂÚÓ‰ÓÏ ç¸˛ÚÓ̇.
ÖÒÎË ËÏÂÂÏ ‰ËÙÙ Â̈ˇθÌÓ ۇ‚ÌÂÌË ‰Îfl ËÒÍÓÏÓÈ
ÙÛÌ͈ËË u, ÍÓÚÓ‡fl Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ x
Ë ‚ÂÏÂÌË t, ÚÓ, ÔËÌfl‚ Á‡ ÓÒ¸ ‡·ÒˆËÒÒ x Ë Á‡ ÓÒ¸ Ó‰ËÌ‡Ú t,
ÏÓÊÌÓ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ Á̇˜ÂÌËfl ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ı ÔÂÂÏÂÌÌ˚ı ̇ıÓ-
‰flÚÒfl ̇ ÌÂÍÓÚÓÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË x, t. èË ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËË ÍÓ̘ÌÓ-
‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÏÂÚÓ‰Ó‚ ÔÓËÁ‚Ó‰flÚ ‰ËÒÍÂÚËÁ‡ˆË˛, Ú.Â. Á‡ÏÂÌÛ ÌÂ-
ÔÂ˚‚Ì˚ı ÔÂÂÏÂÌÌ˚ı x Ë t ÛÔÓfl‰Ó˜ÂÌÌÓÈ ÒËÒÚÂÏÓÈ ÚÓ˜ÂÍ
(ÛÁÎÓ‚) ̇ ÔÎÓÒÍÓÒÚË x, t ÒÓ Á̇˜ÂÌËflÏË ÔÓ ÓÒË ‡·ÒˆËÒÒ x
i
Ë ÔÓ
ÓÒË Ó‰ËÌ‡Ú t
n
(i = 0, 1, 2, 3,..., I; n = 0, 1, 2, 3,..., N). ÉÂÓÏÂÚ-
˘ÂÒÍË ‰ËÒÍÂÚËÁ‡ˆË˛ ÏÓÊÌÓ ËÌÚÂÔÂÚËÓ‚‡Ú¸ Í‡Í ‡Á‰ÂÎÂ-
ÌË ÔÎÓÒÍÓÒÚË x, t ÔflÏ˚ÏË, Ô‡‡ÎÎÂθÌ˚ÏË ÓÒflÏ x Ë t, Ú.Â.
̇ÌÂÒÂÌËÂÏ Ì‡ ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ x, t ÒÂÚÍË, ÛÁÎ˚ ÍÓÚÓÓÈ ËÏÂ˛Ú ÍÓÓ-
‰Ë̇Ú˚ x
i
, t
n
. èflÏÓÛ„ÓθÌËÍ Ò ÍÓÓ‰Ë̇ڇÏË x
i
, x
i+1
, t
n
, t
n+1
̇-
Á˚‚‡ÂÚÒfl ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌÓÈ fl˜ÂÈÍÓÈ. ëÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚ¸ ÛÁÎÓ‚ x
i
(i0,
1, 2, 3,..., I) ÔË ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÌÓÏ Á̇˜ÂÌËË t
n
, Ú.Â. ÛÁÎÓ‚, ÎÂʇ-
˘Ëı ̇ ÔflÏ˚ı, Ô‡‡ÎÎÂθÌ˚ı ÓÒË x, ̇Á˚‚‡˛Ú ‚ÂÏÂÌÌ˚Ï
ÒÎÓÂÏ.
îÛÌ͈Ëfl Ë ÚÂÔ¸ ·Û‰ÂÚ ÓÔ‰ÂÎÂ̇ ‚ ÛÁ·ı Ë Ó·ÓÁ̇˜‡Ú¸Òfl
Í‡Í u(x
i
, t
n
) =
u
i
n
. ê‡ÁÌÓÒÚË x
i+1
– x
i
= ∆x
i+1
Ë t
n+1
– t
n
= ∆t
n+1
̇Á˚‚‡˛ÚÒfl ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ¯‡„‡ÏË ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û Ë ‚ ÂÏÂÌË.
355
ÖÒÎË ∆x
i+1
= const, ÚÓ ÒÂÚ͇ ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û ‡‚ÌÓÏÂ̇fl.
Ä̇Îӄ˘Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ‡‚ÌÓÏÂÌÓÒÚ¸ ÒÂÚÍË Ë ÔÓ
‚ÂÏÂÌË.
ÑÎfl ‡ÔÔÓÍÒËχˆËË Ô‚ÓÈ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË u ÔÓ ‚Â-
ÏÂÌË ‚ ÛÁΠi ̇ n-Ï ‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓ ËÏÂÂÏ
∂
∂
u
t
uu
t
i
n
i
n
i
n
−
≈
+1
∆
, (5.1)
„‰Â ∆t – ¯‡„ ÔÓ ‚ÂÏÂÌË.
ë˜ËÚ‡˛Ú, ˜ÚÓ ‡ÁÌÓÒÚÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ ‡ÔÔÓÍÒËÏËÛÂÚ ËÒıÓ‰-
Ì˚È ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ, ÂÒÎË ‡ÁÌÓÒÚ¸ ÏÂÊ‰Û ÌËÏË
ÒÚÂÏËÚÒfl Í ÌÛβ ÔË ÛÏÂ̸¯ÂÌËË ‡Áχ ¯‡„‡.
ê‡ÁÎÓÊÂÌË ËÒÍÓÏÓÈ ÙÛÌ͈ËË ‚ ÓÍÂÒÚÌÓÒÚË (n + 1)-„Ó ÛÁ·
‚ fl‰ íÂÈÎÓ‡ ÔÓ ‚ÂÏÂÌÌÓÏÛ ¯‡„Û ∆t ‰‡ÂÚ
uu t
i
n
i
n
i
n
i
n
u
t
u
t
t
+
=+ + +
1
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∆
∆()
... (5.2)
èÂÂÌÓÒfl ‚ ÎÂ‚Û˛ ˜‡ÒÚ¸ (5.2) Ô‚˚ ‰‚‡ ˜ÎÂ̇ ‡ÁÎÓÊÂÌËfl
Ë ‰ÂÎfl ̇ ‚ ÂÏÂÌÌ˚È ¯‡„ ∆t, ÔÓÎÛ˜ËÏ, ˜ÚÓ ‡ÁÌˈ‡ ÏÂʉÛ
‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚Ï Ë ‡ÁÌÓÒÚÌ˚Ï ÓÔ‡ÚÓ‡ÏË ‚˚‡ÊÂÌËfl
(5.1) ‡‚ÌflÂÚÒfl
∂
∂
2
2
2
u
t
t
i
n
∆
, Ú.Â. ËÏÂÂÚ Ô‚˚È ÔÓfl‰ÓÍ ‡ÔÔÓÍÒË-
χˆËË ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ∆ t.
è˂‰ÂÌÌ˚ ‡ÒÒÛʉÂÌËfl ÒÔ‡‚‰ÎË‚˚, ÍÓ„‰‡ ËÒÍÓχfl
ÙÛÌ͈Ëfl ‰ËÙÙÂÂ̈ËÛÂχ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ˜ËÒÎÓ ‡Á.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ‡ÔÔÓÍÒËÏËÛÂÚÒfl Ë Ô‚‡fl ÔÓËÁ‚Ӊ̇fl ÙÛÌÍ-
ˆËË u ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û, ̇ÔËÏÂ,
∂
∂
u
x
uu
h
i
n
i
n
i
n
−
≈
−1
, (5.3)
„‰Â h – ¯‡„ ÔÓ ÍÓÓ‰Ë̇ÚÂ.
àÒÔÓθÁÛ˛Ú fl‚Ì˚Â Ë ÌÂfl‚Ì˚ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ ÒıÂÏ˚, ÍÓ-
ÚÓ˚ ‡ÒÒÏÓÚËÏ Ì‡ Ó‰ÌÓÏ ÔÓÒÚÓÏ ÔËÏÂÂ.
èÛÒÚ¸ ËÏÂÂÏ ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌÓ ۇ‚ÌÂÌË ‰Îfl ËÒÍÓÏÓÈ
ÙÛÌ͈ËË u(x, t)
∂
∂
∂
∂
u
t
u
x
=
2
2
. (5.4)
燘‡Î¸Ì˚Â Ë „‡Ì˘Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl ‰Îfl Û‡‚ÌÂÌËfl (5.4) ÒÎÂ-
‰Û˛˘ËÂ:
356
uu
uuuu
t
xx
|,
|,|.
=
==
=
==
00
01 12
(5.5)
ÇÚÓÛ˛ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛ ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û ‡ÔÔÓÍÒËÏËÛÂÏ ÒÎÂ-
‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
∂
∂
2
2
11
2
2
u
x
uuu
h
i
n
i
n
i
n
i
n
− +
≈
+ −
. (5.6)
íÓ„‰‡, ËÒÔÓθÁÛfl ‚˚‡ÊÂÌË (5.1), ËÏÂÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛ ‡ÁÌÓ-
ÒÚÌÛ˛ ÒıÂÏÛ ‰Îfl Û‡‚ÌÂÌËfl (5.4):
uu u uu
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
++−
=+ − +
111
2γ(),
iIn N= − = −11 1,; , 2, 3,..., 0, 1, 2, 3,..., (5.7)
„‰Â γ = ∆t/h
2
.
燘‡Î¸Ì˚Â Ë „‡Ì˘Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl ̇ ÒÂÚÍ ÔËÌËχ˛Ú ÒΉÛ-
˛˘ËÈ ‚ˉ:
uui I
i0
0
01==,,, ; 2, 3,...,
uuuuNn N
nn
1
1
2
== =,, . 0, 1, 2, 3,..., (5.8)
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Á̇fl Á̇˜ÂÌËfl ËÒÍÓÏÓÈ ÙÛÌ͈ËË Ì‡ ÌÛ΂ÓÏ
‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓÂ, ‡ Ú‡Íʠ Á̇˜ÂÌËfl ̇ „‡ÌˈÂ, ÏÓÊÌÓ ËÁ ÒÓ-
ÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ (5.7) Ë (5.8) fl‚ÌÓ ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ Á̇˜ÂÌËfl ËÒÍÓÏÓÈ
ÙÛÌ͈ËË Ì‡ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏ ‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓÂ Ë Ú.‰. ꇂÂÌÒÚ‚ÓÏ (5.7)
Ò‚flÁ‡Ì˚ Á̇˜ÂÌËfl ËÒıÓ‰ÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË Ì‡ ‰‚Ûı ÒÓÒ‰ÌËı ‚ÂÏÂÌ-
Ì˚ı ÒÎÓflı. èÓ˝ÚÓÏÛ Ú‡ÍË ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ ÒıÂÏ˚ ÔÓÎÛ˜ËÎË
̇Á‚‡ÌË fl‚Ì˚ı ‰‚ÛıÒÎÓÈÌ˚ı ÒıÂÏ. ÖÒÎË Ê ‚ ‡ÁÌÓÒÚÌÓÏ ÓÔÂ-
‡ÚÓ Â ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl (5.6) ‚ÁflÚ¸ ‚ÂıÌË Ë̉ÂÍÒ˚ ̇ (n + 1)-Ï
‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓÂ, ÚÓ ÔÓÎÛ˜ËÏ ÌÂfl‚ÌÛ˛ ‡ÁÌÓÒÚÌÛ˛ ÒıÂÏÛ
uuu uu
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n+
+
++
−
+
=+ − +
1
1
11
1
1
2γ(),
iIn N= − = −11 1,; . 2, 3,..., 0, 1, 2, 3,..., (5.9)
燘‡Î¸Ì˚Â Ë „‡Ì˘Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl Á‡‰‡˛ÚÒfl ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËflÏË
(5.8).
ä‡Í ‚ˉÌÓ ËÁ ‚˚‡ÊÂÌËfl (5.8), ̇ÈÚË fl‚ÌÓ Á̇˜ÂÌËfl ËÒÍÓÏÓÈ
ÙÛÌ͈ËË Ì‡ (n + 1)-Ï ‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓ ÔË ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı  Á̇-
˜ÂÌËflı ̇ n-Ï ÒÎÓ Ì ۉ‡ÂÚÒfl – ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Â¯‡Ú¸ ÒËÒÚÂÏÛ
‡Î„·‡Ë˜ÂÒÍËı Û‡‚ÌÂÌËÈ. ÑÎfl ¯ÂÌËfl ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚
ÎËÌÂÈÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ ÔËÏÂÌfl˛Ú ÏÓ‰ËÙË͇ˆË˛ ÏÂÚÓ‰‡ ɇÛÒÒ‡ –
ÏÂÚÓ‰ ÔÓ„ÓÌÍË.
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÔÓÌflÚË ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚË ‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ. ÅÛ‰ÂÏ
Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌÛ˛ ÒıÂÏÛ ÛÒÚÓȘ˂ÓÈ, ÂÒÎË Ôӄ¯ÌÓÒ-
357
ÚË ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ Ì‡ (n + 1)-Ï ‚ÂÏÂÌÌÓÏ ÒÎÓ ÏÂ̸¯Â, ˜ÂÏ Ì‡
n-Ï ÒÎÓÂ.
Ç ÔÓˆÂÒÒ ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ ‚ÌÓÒflÚÒfl Í‡Í Ôӄ¯ÌÓÒÚË ‡ÔÔÓÍÒË-
χˆËÈ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ, Ú‡Í Ë Ôӄ¯-
ÌÓÒÚË ‚ÒΉÒÚ‚Ë ÓÍÛ„ÎÂÌËfl ˜ËÒÂÎ, ÍÓÚÓ˚ÏË ÓÔÂËÛÂÚ ÍÓÏ-
Ô¸˛ÚÂ. ÖÒÎË Ôӄ¯ÌÓÒÚË ·Û‰ÛÚ ÌÂÔÂ˚‚ÌÓ ‚ÓÁ‡ÒÚ‡Ú¸, ÚÓ
ÔÓËÁÓȉÂÚ ‡‚‡ËÈ̇fl ÓÒÚ‡Ìӂ͇ ÍÓÏÔ¸˛Ú‡, Ú‡Í Í‡Í ÔÓÎÛ˜ÂÌ-
Ì˚ ˜ËÒ· ‚˚ȉÛÚ Á‡ ‡Áfl‰ÌÓÒÚ¸ χ¯ËÌÌÓ„Ó ÒÎÓ‚‡.
àÁ‚ÂÒÚÌÓ ÌÂÒÍÓθÍÓ ÒÔÓÒÓ·Ó‚ ‡Ì‡ÎËÁ‡ ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚË ÔÓÎÛ˜‡Â-
Ï˚ı ‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ: ÏÂÚÓ‰ „‡ÏÓÌËÍ, ÔË̈ËÔ Ï‡ÍÒËÏÛχ,
˝Ì„ÂÚ˘ÂÒÍËÈ ÏÂÚÓ‰ Ë ‰.
ü‚Ì˚ ÒıÂÏ˚ ÛÒÚÓȘ˂˚ ÚÓθÍÓ ÛÒÎÓ‚ÌÓ, Ú.Â. ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚ¸
ÔË Ëı ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËË Òӷ≇ÂÚÒfl ÚÓθÍÓ ÔË ÓÔ‰ÂÎÂÌÌÓÏ
ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËË ¯‡„Ó‚ ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û Ë ‚ÂÏÂÌË. ç‡ÔËÏÂ, ‰Îfl
ÒıÂÏ˚ (5.7) Ë (5.8) ˝ÚÓ ÛÒÎÓ‚Ë ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ:
∆th//.
2
12≤ (5.10)
çÂfl‚Ì˚ ÒıÂÏ˚ ‡·ÒÓβÚÌÓ ÛÒÚÓȘ˂˚, Ú.Â. ÛÒÚÓȘ˂˚ ÔË
β·ÓÏ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËË ¯‡„Ó‚ ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û Ë ‚ÂÏÂÌË.
É·‚ÌÓ ‚ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÏÂÚÓ‰‡ı – ÔÓÌflÚËÂ Ó ÒÚÂÏÎÂ-
ÌËË ÔË·ÎËÊÂÌÌÓ„Ó Â¯ÂÌËfl Í ËÒÚËÌÌÓÏÛ.
ùÚÓ ÔÓÌflÚË ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÒıÓ‰ËÏÓÒÚ¸˛ ‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ. ÑÎfl
ÎËÌÂÈÌ˚ı ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ ËÁ ‡ÔÔÓÍÒËχˆËË Ë
ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚË ÒΉÛÂÚ ÒıÓ‰ËÏÓÒÚ¸ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ. ÑÎfl
ÌÂÎËÌÂÈÌ˚ı Á‡‰‡˜ ‚ ˜‡ÒÚÌ˚ı ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı ‰Ó͇Á‡Ú¸ ÒıÓ‰ËÏÓÒÚ¸
‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ ÚÛ‰ÌÓ. èÓ˝ÚÓÏÛ Ó·˚˜ÌÓ ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍË ËÒÒÎÂ-
‰Û˛Ú ‡ÔÔÓÍÒËχˆË˛ Ë, ÂÒÎË ‚ÓÁÏÓÊÌÓ, ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚ¸ ‡ÁÌÓÒÚ-
Ì˚ı ÒıÂÏ, ‡ ‰Îfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ۷‰ËÚ¸Òfl ‚ ÒıÓ‰ËÏÓÒÚË, ÔËÏÂÌfl˛Ú
‡Á΢Ì˚ ÔËÂÏ˚: ¯ÂÌË ÎËÌÂÈÌ˚ı ÏÓ‰ÂθÌ˚ı Á‡‰‡˜, ÔÓ-
‚ÂÍÛ ÔÓ ËÁ‚ÂÒÚÌ˚Ï ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍËÏ Â¯ÂÌËflÏ, ËÁÏÂÌÂÌË ¯‡„Ó‚
ÔÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û Ë ‚ÂÏÂÌË Ë ‰.
èÓÎÛ˜ÂÌË ıÓÓ¯Ëı ‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÒıÂÏ, ÓÒÓ·ÂÌÌÓ ‰Îfl ÒÎÓÊ-
Ì˚ı ÌÂÎËÌÂÈÌ˚ı Á‡‰‡˜ ÔÓ‰ÁÂÏÌÓÈ „ˉÓÏÂı‡ÌËÍË, Ú·ÛÂÚ
·Óθ¯Ó„Ó ÓÔ˚Ú‡ Ë ËÒÍÛÒÒÚ‚‡ ‚˚˜ËÒÎËÚÂÎfl. ÑÂÎÓ Ó·˚˜ÌÓ Ó·ÒÚÓËÚ
Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ ÏÓ˘ÌÓÒÚÂÈ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛˘Ëı ÍÓÏÔ¸˛ÚÂÓ‚ ‰‚‡
ı‚‡Ú‡ÂÚ ‰Îfl ¯ÂÌËfl ‚‡ÊÌ˚ı Ô‡ÍÚ˘ÂÒÍËı Á‡‰‡˜. èÓ˝ÚÓÏÛ ÌÂ-
Ó·ıÓ‰ËÏÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ÔË·ÎËÊÂÌÌÓ ¯ÂÌËÂ, ·ÎËÁÍÓÂ Í ËÒÚËÌÌÓ-
ÏÛ, ËÒÔÓθÁÛfl ÏËÌËÏÛÏ ÂÒÛÒÓ‚ Ëϲ˘ËıÒfl ‚ ̇΢ËË ‚˚˜ËÒ-
ÎËÚÂθÌ˚ı Ò‰ÒÚ‚. ÑÎfl Ó‰ÌÓ„Ó Í·ÒÒ‡ Á‡‰‡˜ ÔËÏÂÌfl˛Ú fl‚Ì˚Â
‡ÁÌÓÒÚÌ˚ ÒıÂÏ˚, ‰Îfl ‰Û„Ó„Ó – ÌÂfl‚Ì˚ ËÎË Ëı ÒÓ˜ÂÚ‡ÌËÂ.
àÁ‚ÂÒÚÌÓ, Ӊ̇ÍÓ, ˜ÚÓ ˜ÂÏ ÒÎÓÊÌ ¯‡Âχfl Á‡‰‡˜‡, ÚÂÏ Ô‰-
ÔÓ˜ÚËÚÂθÌ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ ÌÂfl‚Ì˚ ÒıÂÏ˚ ËÁ-Á‡ Ëı ‡·ÒÓβÚÌÓÈ
ÛÒÚÓȘ˂ÓÒÚË.
358
àÚ‡Í, ÔÓÎÛ˜ÂÌË ‡ÁÌÓÒÚÌÓÈ ÒıÂÏ˚ – ÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌ˚È ˝Ú‡Ô
ÔËÏÂÌÂÌËfl ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı ÏÂÚÓ‰Ó‚. ÑÎfl ˝ÚÓ„Ó ËÒÔÓθÁÛ˛Ú
fl‰ ÒÔÓÒÓ·Ó‚: ËÌÚ„Ó-ËÌÚÂÔÓÎflˆËÓÌÌ˚È, ‚‡Ë‡ˆËÓÌÌ˚È, ÏÂÚÓ‰
ÌÂÓÔ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚÓ‚ Ë ‰Û„ËÂ.
éÒÓ·ÂÌÌÓ ‚‡ÊÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë – ÔÂÂÌÂÒÂÌË ÙËÁ˘ÂÒÍËı Ô‰-
ÒÚ‡‚ÎÂÌËÈ, ÎÂʇ˘Ëı ‚ ‚˚‚Ӊ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ı
Û‡‚ÌÂÌËÈ, ̇ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ˚ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ ÒıÂÏ˚. ÖÒÎË ‚
͇ʉÓÈ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌÓÈ fl˜ÂÈÍ ‚˚ ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl Á‡ÍÓÌ˚ ÒÓı‡-
ÌÂÌËfl χÒÒ˚, ËÏÔÛθ҇ Ë ˝ Ì„ËË, ÚÓ Ú‡ÍË ÒıÂÏ˚ ̇Á˚‚‡˛ÚÒfl
ÍÓÌÒ‚‡ÚË‚Ì˚ÏË ËÎË ‰Ë‚„ÂÌÚÌ˚ ÏË. ä Ú‡ÍËÏ ÒıÂÏ‡Ï ÔË‚Ó‰flÚ
ËÌÚ„Ó-ËÌÚÂÔÓÎflˆËÓÌÌ˚È ÏÂÚÓ‰ (ÏÂÚÓ‰ ·‡Î‡ÌÒ‡). èÓ˝ÚÓÏÛ ÓÌ
̇˷ÓΠ¯ËÓÍÓ ÔËÏÂÌflÂÚÒfl. ÇÓÁÏÓÊÌ˚ ‡Ò˜ÂÚ˚ Ë Ò ËÒÔÓθ-
ÁÓ‚‡ÌËÂÏ ÌÂÍÓÌÒ‚‡ÚË‚Ì˚ı ÒıÂÏ. çÓ ÚÓ„‰‡ ‚˚˜ËÒÎËÚÂθ ‰ÓÎ-
ÊÂÌ ÌÂÔÂ˚‚ÌÓ ÒΉËÚ¸ Á‡ ‚˚ÔÓÎÌÂÌËÂÏ ·‡Î‡ÌÒ‡ χÒÒ˚, ËÏ-
ÔÛθ҇ Ë ˝Ì„ËË ÔË ‡Ò˜ÂÚ‡ı. ÇÔÓ˜ÂÏ, ˝ÚÓ ÂÍÓÏẨÛÂÚÒfl
‰Â·ڸ ‰Îfl ÍÓÌÚÓÎfl ‡Ò˜ÂÚÓ‚ ÔÓ Î˛·˚Ï ‡ÁÌÓÒÚÌ˚Ï ÒıÂχÏ.
è˂‰ÂÌÌÓ ͇ÚÍÓ ËÁÎÓÊÂÌË ÓÒÌÓ‚ ÍÓ̘ÌÓ-‡ÁÌÓÒÚÌ˚ı
ÏÂÚÓ‰Ó‚ Ì ÏÓÊÂÚ, ÍÓ̘ÌÓ, Óı‚‡ÚËÚ¸ ‚Ò ‡ÒÔÂÍÚ˚ Ëı Ô‡ÍÚ˘ÂÒ-
ÍÓ„Ó ÔËÏÂÌÂÌËfl. èÓ˝ÚÓÏÛ ˜ËÚ‡ÚÂβ ‰Îfl ·ÓΠ‰ÂڇθÌÓ„Ó ÓÁ̇-
ÍÓÏÎÂÌËfl Ò ‡ÁÌÓÒÚÌ˚ ÏË ÒıÂχÏË ÂÍÓÏẨÛÂÚÒfl Ó·‡˘‡Ú¸Òfl Í
ÒÔˆˇθÌÓÈ ÎËÚ‡ÚÛ ÔÓ ‰‡ÌÌÓÏÛ ‚ÓÔÓÒÛ.
17
ëèàëéä éëçéÇçõï
éÅéáçÄóÖçàâ
k – ‡·ÒÓβÚ̇fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸;
m –ÔÓËÒÚÓÒÚ¸;
s – ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸;
h – ÚÓ΢Ë̇ Ô·ÒÚ‡;
S
Ò
–Ô‡‡ÏÂÚ ÔÎÓÚÌÓÒÚË ÒÂÚÍË ÒÍ‚‡ÊËÌ;
G – „ÂÓÎӄ˘ÂÒÍË Á‡Ô‡Ò˚ ÌÂÙÚË;
N – ËÁ‚ÎÂ͇ÂÏ˚ Á‡Ô‡Ò˚ ÌÂÙÚË;
N
Í
–Ô‡‡ÏÂÚ Ä.è. ä˚ÎÓ‚‡;
t,
τ
–‚ÂÏfl;
x, y, r – ‡ÒÒÚÓflÌËfl;
ω –Ô‡‡ÏÂÚ, ‡‚Ì˚È ÓÚÌÓ¯ÂÌ˲ ˜ËÒ· ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı
ÒÍ‚‡ÊËÌ Í ˜ËÒÎÛ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı;
ω
–Ô‡‡ÏÂÚ, ‡‚Ì˚È ÓÚÌÓ¯ÂÌ˲ ˜ËÒ· ÂÁ‚Ì˚ı ÒÍ‚‡-
ÊËÌ Í Ó·˘ÂÏÛ ˜ËÒÎÛ ÒÍ‚‡ÊËÌ;
z
˝
(τ) – ÚÂÏÔ ‡Á‡·ÓÚÍË ˝ÎÂÏÂÌÚ‡;
z(t) – ÚÂÏÔ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl, ËÒ˜ËÒÎflÂÏ˚È ÓÚ Ì‡-
˜‡Î¸Ì˚ı ËÁ‚ÎÂ͇ÂÏ˚ı Á‡Ô‡ÒÓ‚;
ϕ(t) – ÚÂÏÔ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl, ̇˜ËÒÎflÂÏ˚È ÓÚ ÓÒ-
Ú‡ÚÓ˜Ì˚ı Á‡Ô‡ÒÓ‚;
η – ÚÂÍÛ˘‡fl ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜‡;
η
Í
– ÍÓ̘̇fl ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜‡;
p – Ô·ÒÚÓ‚Ó ‰‡‚ÎÂÌËÂ;
f(k) – ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓ-
ÒÚË;
F(k) – Á‡ÍÓÌ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË;
k
Ì
, k
‚
– ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË ‰Îfl ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚;
v
Ì
, v
‚
– ÒÍÓÓÒÚË ÙËθڇˆËË ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚;
T – ÚÂÏÔ‡ÚÛ‡;
µ
Ì
, µ
‚
–‚flÁÍÓÒÚË ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚;
2σ
Ò
, 2σ
Ì
– ‡ÒÒÚÓflÌËfl ÏÂÊ‰Û ‰Ó·˚‚‡˛˘ËÏË Ë Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ÏË
ÒÍ‚‡ÊË̇ÏË;
q
Ì
, q
‚
– ÍÓ΢ÂÒÚ‚‡ ÓڷˇÂÏÓÈ ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚ ËÁ ÏÂÒÚÓÓʉÂ-
ÌËfl;
ν – Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚ¸ ‰Ó·˚‚‡ÂÏÓÈ ÔÓ‰Û͈ËË;
É – „‡ÁÓ‚˚È Ù‡ÍÚÓ;
18
s
Ò‚
– ̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ Ô·ÒÚ‡ Ò‚flÁ‡ÌÌÓÈ ‚Ó‰ÓÈ;
s
Ì ÓÒÚ
– ÓÒÚ‡ÚӘ̇fl ÌÂÙÚÂ̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸;
Q
‚Á
– ̇ÍÓÔÎÂÌÌÓ ÍÓ΢ÂÒÚ‚Ó Á‡Í‡˜‡ÌÌÓÈ ‚ Ô·ÒÚ ‚Ó‰˚;
Q
Ì
– ̇ÍÓÔÎÂÌÌÓ ÍÓ΢ÂÒÚ‚Ó ‰Ó·˚ÚÓÈ ÌÂÙÚË;
Q
‚
– ̇ÍÓÔÎÂÌÌÓ ÍÓ΢ÂÒÚ‚Ó ‰Ó·˚ÚÓÈ ‚Ó‰˚;
r
Ò
, r
Ì
– ‡‰ËÛÒ˚ ‰Ó·˚‚‡˛˘ÂÈ Ë Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌÓÈ ÒÍ‚‡ÊËÌ;
N
i
– χÒÒ‡ i-„Ó ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ‡ ‚ Ô·ÒÚÂ;
G
i
– χÒÒ‡ i-„Ó ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ‡ ‚ „‡ÁÓ‚ÓÈ Ù‡ÁÂ;
D – ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚È ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ‰ËÙÙÛÁËË;
D
0
–ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ÏÓÎÂÍÛÎflÌÓÈ ‰ËÙÛÁËË;
D
Í
–ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ÍÓÌ‚ÂÍÚË‚ÌÓÈ ‰ËÙÙÛÁËË ‚ Ô·ÒÚÂ;
c – Û‰Âθ̇fl ÍÓ̈ÂÌÚ‡ˆËfl ‚¢ÂÒÚ‚‡;
β
Ò
–ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ÒÊËχÂÏÓÒÚË ÔÓËÒÚÓÈ Ò‰˚;
Λ – ‰ÎË̇ ӷ·ÒÚË ÒÏ¢ÂÌËfl;
w
ÒÓ
– ËÒÚËÌ̇fl ÒÍÓÓÒÚ¸ ÙÓÌÚ‡ ÒÓ·ˆËË;
c
Ì
, c
‚
, c
Ú
– Û‰ÂθÌ˚ ÚÂÔÎÓÂÏÍÓÒÚË ÌÂÙÚË, ‚Ó‰˚ Ë „ÓÌ˚ı ÔÓÓ‰;
ρ
Ì
, ρ
‚
, ρ
Ú
– ÔÎÓÚÌÓÒÚË ÌÂÙÚË, ‚Ó‰˚ Ë „ÓÌ˚ı ÔÓÓ‰;
w
Ú
– ÒÍÓÓÒÚ¸ ‰‚ËÊÂÌËfl ÚÂÔÎÓ‚Ó„Ó Ù ÓÌÚ‡;
q
Ú
– ÒÍÓÓÒÚ¸ ÛıÓ‰‡ ÚÂÔÎÓÚ˚ Ò Â‰ËÌˈ˚ ÔÎÓ˘‡‰Ë ÍÓ‚ÎË
Ë ÔÓ‰Ó¯‚˚ Ô·ÒÚ‡;
λ
ÚÍ
–ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ÚÂÔÎÓÔÓ‚Ó‰ÌÓÒÚË „ÓÌ˚ı ÔÓÓ‰
ÍÓ‚ÎË Ë ÔÓ‰Ó¯‚˚ Ô·ÒÚ‡;
κ
ÚÍ
–ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ÚÂÏÔ‡ÚÛÓÔÓ‚Ó‰ÌÓÒÚË „ÓÌ˚ı ÔÓÓ‰
ÍÓ‚ÎË Ë ÔÓ‰Ó¯‚˚ Ô·ÒÚ‡;
z
Ú
– ÒÓ‰ÂʇÌË ÍÓÍÒ‡ ‚ 1 Ï
3
Ô·ÒÚ‡;
u
Ù
– ÒÍÓÓÒÚ¸ ‰‚ËÊÂÌËfl ÙÓÌÚ‡ „ÓÂÌËfl;
R
‚ÓÁ
–Ó·˙ÂÏ ‚ÓÁ‰Ûı‡, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚È ‰Îfl ‚˚ÊË„‡ÌËfl ÍÓÍÒ‡ ‚
1$Ï
3
Ô·ÒÚ‡;
T
∗
– ÚÂÏÔ‡ÚÛ‡ ̇ ÙÓÌÚ „ÓÂÌËfl;
S
ÒÍ‚
– ÒÚÓËÏÓÒÚ¸ ÒÍ‚‡ÊËÌ˚;
K
‚
– ͇ÔËڇθÌ˚ ‚ÎÓÊÂÌËfl ‚ ‡Á‡·ÓÚÍÛ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl;
S
˝
– ˝ÍÒÔÎÛ‡Ú‡ˆËÓÌÌ˚ Á‡Ú‡Ú˚.