Яновский Б.М. Земной Магнетизм. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Зависимость J от формы тела

В общем же случае Hd в разных точках внутри тела может

иметь различные направления по отношению к намагничиваю-

щему полю Н

, вследствие чего намагниченность J также может

иметь различные направления, т. е. в общем случае тело намаг-

ничивается неоднородно.

Так как Hd является функцией намагниченности J, то для

нахождения J необходимо в уравнении (1.6) Н^ выразить через

и решить уравнение относительно J.

Положим, что тело намагничено однородно, тогда, на осно-

вании теоремы Пуассона (потенциал однородно намагниченного

тела есть скалярное произведение намагниченности J на гра-

диент гравитационного потенциала V), будем иметь:

Составляющие же вектора намагниченности J определяются

из уравнений:

где значки к и i обозначают одну из координат х, у, z, а через

Νια обозначены частные производные второго порядка от V по

соответствующим координатам величины N

i. Так, например.

Следовательно, величины Nki являются компонентами некоторого

тензора N, который называется тензором размагничивания. Так

как N

= N

; N

= N

и N

= N

, то тензор N является сим-

метричным. Чтобы J =

const,

необходимо, чтобы компоненты тен-

зора N были постоянными, не зависящими от положения точки Р.

Уравнения показывают, что в общем случае при однород-

ном намагничивании тел произвольной формы вектор намагни-

ченности не совпадает с вектором намагничивающего поля Н

а составляет с ним некоторый угол, который зависит от формы

тела.

Для шара, у которого N — величина постоянная, равная

/зл,

намагниченность определяется согласно уравнению (1.6)

из следующего соотношения:

которое дает:

.32

Основные явления ферромагнетизма

[Гл.

т.

е. в

случае шара намагниченность совпадает

направлением

намагничивающего поля.

Из

этого

же

уравнения следует,

что

шар

однородном поле намагничивается однородно,

так как

дредположение

об

однородности намагничивания шара, сде-

ланное

при

выводе

его

потенциала,

не

противоречит уравне-

нию

(1.6),

из

которого также следует, что

/=const.

Кроме шара, свойством однородного намагничивания обла-

дает эллипсоид

любым соотношением осей,

что

легко показать

из следующих рассуждений.

Магнитный потенциал внутри эллипсоида

соответствии

.с выводами главы первого тома имеет

вид:

Если обозначить через

постоянный вектор

составляющи-

ми

JyNyy

Nzz,

то

намагниченность эллипсоида

под

дей-

ствием однородного поля

выразится уравнением:

J=x Η

—κgrad

(К, г),

или, ввиду того,

что К = const:

— κΚ.

Так

как Н

и К

— величины постоянные,

то и

вектор

также

величина постоянная

, т. е.

эллипсоид

под

действием однород-

ного поля намагничивается однородно; однако вектор

J не

сов-

падает

вектором

Составляющие

его по

осям координат

будут:

(1.7)

где

— эксцентриситет эллипсоида.

Коэффициенты

, N

и N

являются компонентами тен-

зора размагничивания эллипсоида.

Если

две

какие-либо

оси

эллипсоида одинаковы,

то

коэффи-

циенты размагничивания такого эллипсоида могут быть выра-

жены

простейших функциях.

Так, например,

для

удлиненного эллипсоида,

которого

= в < с:

Зависимость J от формы тела

Для сжатого же эллипсоида, у которого а = в > с:

(18)

Как пример того, что другие формы тел не могут быть на-

магничены однородно, рассмотрим случай круглого цилиндра,

помещенного в однородное поле так, что ось цилиндра совпа-

дает с направлением поля. Положим, что цилиндр намагни-

тился однородным образом вдоль силовой линии, тогда на его

торцовых поверхностях нормальная составляющая J

вектора

намагниченности J должна быть одинакова и равна самому

вектору J. Поэтому для нахождения потенциала во внешней

точке Ρ удобнее воспользоваться уравнением

где Г\ и г

— расстояние от любых точек торцовых поверхностей

до точки Р, а интегрирование должно быть произведено по

обеим торцовым поверхностям.

Ограничимся рассмотрением потенциала для точек, находя-

щихся на оси цилиндра. Пусть радиус цилиндра равен а,

длина — /и расстояние точки Ρ от ближайшей поверхности

S — R; тогда, обозначив через ρ расстояния элемента поверх-

ности dS от центра О, потенциал от первой поверхности запишем

так как г^

^+р

Аналогичное же выражение будет иметь потенциал от вто-

рой поверхности, в который вместо R войдет / — R.' Тогда, поль-

зуясь этими выражениями для U

для намагниченности J по-

лучим согласно уравнению (1.6) следующее выражение:

После дифференцирования по R получим:

3 Б. М. Яновский

Основные явления ферромагнетизма

Тл.

Это уравнение показывает, что J не может быть постоянной ве-

личиной, так как правая часть является переменной, зависящей

от R, т. е. от положения точки внутри цилиндра. Так, в центре

„ I

цилиндра, где R = - ,

а на одном из концов его, где l=R,

при этом через β обозначено отношение диаметра цилиндра

к его длине, т. е. β= —.

Следовательно, в центральной части цилиндра J по своей

величине достигает максимума, а на концах его — минимума.

При увеличении диаметра цилиндра или уменьшении его длины

разность между максимумом и минимумом становится меньше и

при β = оо равна нулю, а величина намагниченности принимает

значение:

Поэтому цилиндр с большим отношением диаметра к длине

практически намагничивается однородно. Так, например, при

β = 8 намагниченность в центре и на конце цилиндра отличается

друг от друга всего лишь на 6%, а при β = 10 — на 1%.

Нетрудно видеть, что тонкая пластинка, помещенная перпен-

дикулярно полю, эквивалентна цилиндру с большим отношением

диаметра к длине, вследствие чего ее можно также считать на-

магничиваемой однородно с коэффициентом размагничивания,

равным 4π. '

При неоднородном намагничивании составляющие вектора

J также можно выражать при помощи уравнений

(1.6),

если

только закон изменения вектора J внутри намагниченного тела

будет один и тот же при различных значениях намагничивающе-

го поля.

Опыт показывает, что такое утверждение справедливо для

полей, в которых намагниченность в средней части тела не до-

стигает половины насыщения. Однако в этом случае компонен-

ты тензора размагничивания уже не будут постоянными, а будут

меняться от точки к точке внутри тела.

Зависимость

от формы тела

Цилиндр

Эллипсоид

Цилиндр

Эллипсоид

1 5

0,680

0,7015

1/60

0,0131

0,0104

0,0132

1 10

0,255

0,204

0,2549 1/70 0,00 '9

0,00795 00101

1/15

0,140

0,106

0,1350

1/80

0,0078

0.00625 0.0 )80

1/20

0,0898 0,0642

0,0848

1/90

0.Ό063

0 00507

0,0)

1/25

0.0628 0,0467

0,0587 1/100

0,0052

0,00430

0,0054

1/30

0,0460

0,0344

0,0432

1/150

0,0025

0,00204 0,0026

140

0,0274

0,0211

0,0266

1/200 0,0015

0.00120 0,00

lfi

0,0183

0,0144

0,0180

1 300

0,0008

0.00080 0,0008

В случае, например, цилиндра

или

призмы

для

точек, рас-

положенных

по

оси, направление вектора

совпадает

направ-

лением

оси, и

поэтому

(1-9)

откуда

Величина

κ'

носит название кажущейся восприимчивости,

или

восприимчивости формы,

отличие

от κ,

которая называется

истинной восприимчивостью,

или

восприимчивостью материала.

Как видно,

(1.10)

где N — скалярная величина, различная

для

различных точек.

Наименьшее значение

имеет

средней части цилиндра,

где

J имеет максимальное значение.

Это уравнение применимо

не

только

цилиндру,

но и к лю-

бой форме тела, если рассматривать намагниченность

«ней-

тральной»

ее

части,

где J

имеет максимальное значение.

Уравнение

(1.9)

показывает,

что

намагниченность породы

не может быть больше

хН

приближается

этому значению

лишь

при

малых значениях коэффициента

Численные значения коэффициентов размагничивания

для

любых форм,

за

исключением шара

эллипсоида, находятся

экспериментальным путем,

и в

зависимости

от

способа опреде-

ления

они

получают разные значения

для

одной

и той же

формы.

В табл.

приведены значения

N для

эллипсоидов

различ-

ным отношением полуосей

β,

полученных теоретически,

и для

цилиндров

с тем же

отношением диаметра основания

длине,

Таблица

Основные явления ферромагнетизма

[Гл.

найденные экспериментально двумя методами — магнитометри-

ческим N

и баллистическим N

Из этой таблицы видно, что с увеличением длины магнита

при постоянстве диаметра коэффициент размагничивания умень-

шается и делается равным коэффициенту размагничивания эл-

липсоида таких же размеров.

ГЛАВА II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИИ

§ 1. Элементарные носители ферромагнетизма

Современная теория ферромагнитных явлений основывается

иа том факте, что все элементарные частицы обладают собст-

венными магнитными моментами, которые при некоторых усло-

виях могут принимать направление, совпадающее с направле-

нием действующего на него магнитного поля.

Мысль о том, что намагниченное тело представляет собой

совокупность элементарных магнитиков, обладающих неизмен-

ными магнитными моментами, ориентированными по направле-

нию поля, высказывалась еще в первой половине XIX в. такими

физиками, как Ампер и Вебер. Позднее, во второй половине

того же века, более подробно развил это предположение Юинг

[99],

предложив свою теорию ферромагнетизма. В дальнейшем

эта мысль никем не оспаривалась и уже в двадцатых годах

настоящего столетия получила не только теоретическое, но и

экспериментальное подтверждение. Однако механизм поворота

магнитиков по направлению поля долгое время оставался мало

понятным.

В настоящее время установлено, что элементарным носите-

лем ферромагнетизма является спин электрона, обладаю-

щий, помимо механического момента, собственным магнитным

моментом, равным магнитному моменту орбиты электрона с

квантовым числом п=\. Этот момент μ, называемый магнетоном

Бора, выражается через мировые константы в виде

где е — заряд и m — масса электрона, h — постоянная Планка,

— скорость света, и численно равен μ = 9,27· Ю

-21

СГС.

У всех атомов периодической системы, за исключением ато-

мов ферромагнитных элементов Fe, Ni, Со, Gd, магнитные мо-

менты спинов взаимно компенсируются, а в случае нечетного

числа их обусловливают парамагнитные свойства атомов.

38 Основы теории ферромагнитных явлений

[Гл.

Опыт показывает, что ферромагнитные свойства у элементов

существуют лишь до некоторой температуры, называемой точ-

кой Кюри, выше которой ферромагнетики переходят в пара-

магнетики. Следовательно, при температуре точки Кюри теп-

ловая энергия движения атомов становится больше энергии

связи, удерживающей спин в направлении магнитного поля.

Для железа точка Кюри 7V=1073°K, и поэтому энергия

связи Ε между двумя спинами должна быть не меньше, чем

Е= kT

, где k

—

постоянная Больцмана, равная 1,37· Ю

-16

эрг/град. Численно эта энергия, как легко видеть, имеет значе-

ние

(2.1)

Энергия же, сообщенная магнетону внешним полем Я,

равна μ/7. При Я = 10

э эта энергия Ε = 9· 10'

эрг, т. е. на

три порядка ниже тепловой. Поэтому при отсутствии другого

какого-либо источника энергии установить спины в направле-

нии магнитного поля действием одного только магнитного поля,

достижимой в настоящее время величины, невозможно.

Подтверждением этого положения служит явление парамаг-

нетизма. В атомах парамагнетика, как указывалось выше, число

спинов нечетное, и поэтому по крайней мере один из них является

некомпенсированным, но для установки всех спинов в направле-

нии поля, как показывает опыт, потребовалось бы поле порядка

нескольких миллионов эрстед.

Таким образом, приходим к необходимости предположить

существование у ферромагнетиков внутренней энергии, ответст

венной за ориентировку спинов в одном направлении.

Подробное изложение современной теории для пара и фер-

ромагнетизма можно найти в специальных курсах С. В. Вонсов-

ского и Я. С. Шура [14], Р. Бозорта [7], П. Блэкетта [89],

Е. С. Боровика и А. С. Мильнера [8].

§ 2. Внутренняя обменная энергия ферромагнетиков

Гипотеза о внутренней энергии ферромагнетиков впервые

была высказана Вейссом [153] еще в 1907 г. Вейсс предположил,

что ферромагнетик при переходе через точку Кюри из области

высоких температур к более низким под действием внутреннего

поля самопроизвольно (спонтанно) намагничивается

до насыщения. Однако, чтобы объяснить существование намаг-

ниченного состояния ферромагнетика и зависимость намагни-

ченности / от внешнего поля Я, Вейссу пришлось допустить, что

спонтанная намагниченность Js ограничивается

§ 21

Внутренняя обменная энергия

лишь небольшими областями (объемами), которые по отноше-

нию друг к другу могут ориентироваться так, что в целом ферро-

магнетик оказывается немагнитным, т. е. магнитный момент его

где Vi — объем области спонтанного намагничивания. Эти

области получили название доменов.

Таким образом, с этой точки зрения ферромагнетик, каза-

лось бы, ничем не отличается от парамагнетика, так как у обоих

носителями магнитных свойств являются элементарные магни-

тики: у парамагнетиков — спин электрона, а у ферромагнети-

ков-домен, состоящий из очень многих спинов.

Однако это отличие и представляет собой существенную

разницу между спиновой и доменной структурами.

Спин вместе с атомом принимает участие в тепловом дви-

жении, тогда как домен в целом остается неподвижным. По-

этому для ориентировки магнитных моментов доменов по на-

правлению поля не нужно преодолевать энергии теплового дви-

жения, а энергия связи между доменами на много порядков

ниже энергии теплового движения. Этим и объясняется тот

факт, что ферромагнетики можно намагничивать вплоть до на-

сыщения в слабых полях.

Предположение Вейсса было чистой гипотезой, не нашедшей

себе физического объяснения, и лишь квантовая теория, пред-

ложенная Френкелем [103] и Гейзенбергом [108], дала строгое

физическое истолкование этой гипотезы.

Внутренняя энергия, благодаря которой спины устанавли-

ваются параллельно друг другу, по квантовой теории является

энергией электростатического взаимодействия между спинами,

обусловленной особыми некулоновскими силами, получившими

название обменных, а сама энергия — обменной. Величина по-

следней определяется в квантовой механике обменным ин-

тегралом, зависящим от взаимного расположения атомов

в кристаллической решетке. Этот интеграл может иметь как

положительное, так и отрицательное значение в зависимости от

расстояния между ядрами атомов. Если интеграл, а следова-

тельно и обменная энергия, имеет положительное значение, то

спины устанавливаются параллельно, если же отрицательное —

то антипараллельно. В первом случае мы имеем явление ферро-

магнетизма, а во втором — парамагнетизма. На рис. 22 пред-

ставлена кривая зависимости обменной энергии, вычисленная

Бете,

в зависимости от расстояния между ядрами, выраженного

в долях диаметра орбиты электрона.

Основы теории ферромагнитных явлений

[Гл.

Рис. 22. Зависимость обменной энер-

гии от расстояния между ядрами (по

Бете).

На кривой отмечены элементы периодической системы, кото-

рым соответствуют данные координаты кривой: обменная энер-

гия и расстояние между ядром. Как видно, положительную

энергию имеют лишь четыре элемента Fe, Со, Ni и Gd, обла-

дающие ферромагнитными свойствами.

Исходя из чисто термодинамических соображений, что в

устойчивом состоянии любое тело обладает минимумом свобод-

ной энергии F, можно установить связь внутренней энергии,

обусловливающей спонтан-

ную намагниченность, с ве-

личиной этой намагничен-

ности / и температурой 7\

Свободная энергия F вы-

ражается формулой F = U—

—ST, где U — внутренняя

энергия тела, 5 — его энтро-

пия.

Энергия U должна быть

функцией намагниченности

Js,

причем функцией чет-

ной, так как U не зави^

сит от направления Js', по-

этому Вейсс предположил, что U пропорционально Js

, т. е.

—

CJs

Коэффициент пропорциональности можно выразить

через величину насыщения Jso при абсолютном нуле,

где

до—энергия при

Js=Jso.

Если обозначить через N число

спинов в единице объема, то =В будет представлять энер-

гию,

приходящуюся на одну пару спинов, и, следовательно,

Подставляя эти значения в формулу для U и принимая

во внимание, что U должна быть отрицательной, получим

(2.2)

где В>0 и /=

Jso

Энтропия, по закону Больцмана, S = k\n W, вероятность же

W представляет собой число возможных способов осуществле-

ния состояния, при котором г спинов направлено вправо, а

/ — влево, что приводит к выражению

при этом