Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Округлив длины сторон, приведенные в табл. 91, до целого мет-

ра, взяв углы треугольников из табл. 87 и приняв в качестве ис-

ходных координаты пункта У, а также длину и дирекционный угол

стороны 1. 2 (см. табл. 85), вычислим по формулам прямой геоде-

зической задачи координаты вновь определяемых пунктов, округ-

лив их значения до целого метра (табл. 93).

Используя эти координаты, вычислим поправки AS по форму-

ле (11.17) за редукцию длин сторон на плоскость (табл. 94). По-

скольку в данном случае влияние третьего члена формулы (11.17)

на величину поправки AS пренебрегаемо мало, то в табл. 94 он

опущен. Из табл. 94 видно, что в данной сети и второй член фор-

мулы (11.17) также мал, в чем можно убедиться, вычислив по-

правку AS без него.

Таблица 94

Вычисление поправок за редукцию длин сторон

на плоскость В

= 53°22'; /'= 1,22668ХЮ~

Сторо-

на

Расстояния

на эллип-

соиде

5, м

ы -

км

,1^1

= \y

-y

км

Д*/2

«о

+ II

Поправки

Sf'Q,

1.5

5365,45

43,511

4,978

1893,2

2,1

1895,3

0,125

1.6

7481,31 44,510

6,976 1981,1

4,1

1985,2 0,182

2.3

7598,36

47,487

7,026

2255,0

4,1

2259,1

0,211

2.5

5407,77

44,987

2,026

2023,8

0,3

2024,1 0,134

3.4

5496,57

52,000

2,001

2704,0

0,3

2704,3

0,182

3.5

5430,50

48,500

5,000

2352,2

2,1

2354,3 0,157

3.6

7450,46

49,499

3,002

2450,2 0,8

2451,0

0,224

4.5

7615,67

49,500 7,001

2450,2

4,1

2454,3

0,229

4.6 5281,25

50,500

5,003 2550,2

2,1

2552,3

0,165

5.6

5107,69

46,999 1,998

2208,9

0,3

2209,2

0,138

В тех случаях, когда сеть трилатерации расположена на краю

шестиградусной зоны, а длины сторон трилатерации составляют

несколько десятков километров, поправки AS будут достаточно

велики и, чтобы обеспечить необходимую точность их определения,

эти поправки следует вычислять в два приближения. Первое при-

ближение делается так, как сказано выше. Вычислив поправки AS'

из первого приближения и исправив ими длины сторон треуголь-

ников (s'=S + AS'), вторично вычислим координаты пунктов сети

и с новыми координатами еще раз :по формуле (11.17) вычислим

поправки AS —AS". Исправив этими поправками длины сторон

треугольников (S

= S + AS

), получим их значения на плоскости

с требуемой точностью.

§ 60. Составление таблицы длин сторон, приведенных

к центрам знаков и редуцированных на плоскость

Заключительным этапом предварительных вычислений в три-

латерации является составление таблицы длин сторон, приведен-

ных к центрам знаков и редуцированных на плоскость.

189

Таблица 126 Таблица 127

Редуцирование длин сторон на плоскость и вычисление их

уравненных значений

Сторона

Длина сто-

роны на эл-

липсоиде

5, м

Поправки

AS, м

Длина стороны

на плоскости

s'=S+AS. м

Поправка

из уравни-

вания v

Уравненные сто-

роны s^s'+f, м

1.2

7611,74

1.5

5365,45

0,12

5365,57

+0,01

5365,58

1.6

7481,31

0,18

7481,49

—0,01

7481,48

2.3

7598,36 0,21

7598,57

—0,01

7598,56

2.5

5407,77

0,13

5407,90

+0,01

5407,91

3.4

5496,57

0,18

5496,75

+0,01

5496,76

3.5

5430,50

0,16

5430,66

+0,02

5430,68

3.6

7450,46

0,22

7450,68

—0,02

7450,66

4.5

7615,67

0,23

7615,90

—0,02

7615,88

4.6

5281,25

0,16

5281,41

+0,01

5281,42

5.6

5107,69

0,14

5107,83

+0,02

5107,85

Имея длины сторон треугольников на поверхности референц-эл-

липсоида S (см. табл. 91) и поправки AS к их значениям (табл.

95), вычислим длины сторон, приведенные к центрам знаков и на

плоскость, по формуле

s'=S + Л5 = 5(1 +f'Q). (11.19)

Сводная табл. 95 длин сторон на плоскости является основ-

ным документом при дальнейшем уравнивании трилатерации и

должна быть тщательно проверена во вторую руку. Последние

две графы табл. 95 заполняют после решения нормальных уравне-

ний и вычисления поправок сторон.

§ 61. Число и виды независимых условных уравнений

в трилатерации

Задача уравнивания трилатерации возникает при наличии в

ней избыточно измеренных сторон и азимутов. Общее число услов-

ных уравнений в трилатерации может быть вычислено по фор-

муле

S = N* —2k, (11.20)

где N* = k

+ k

—число измеренных сторон и азимутов в сети

(подчеркнем — измеренных, но не вычисленных по координатам

исходных пунктов); k — число вновь определяемых пунктов.

В свободной сети, при отсутствии в ней избыточных азимутов,

число независимых условных уравнений равно числу избыточно

измеренных сторон. Оно равно числу полюсных условий в анало-

гичной по построению сети триангуляции и может быть вычислено

по формуле

£ =

/> —

2л + 3, (11.21)

где р — число всех сторон, а п — число всех пунктов в сети три-

латерации. В данном случае вычисления по формуле (11.21) дадут

•190

тот же результат, что и вычисления по формуле (11.20), что мо-

жет служить контролем.

Если в свободной сети трилатерации измерены еще и дополни-

тельные азимуты, то число независимых условных уравнений сле-

дует вычислять по формуле (11.20), так как формула (11.21) дает

заниженный на число дополнительных азимутов результат. В три-

латерации число избыточных измерений, а следовательно, и число

условных уравнений существенно меньше, чем в такого же вида

сети триангуляции.

Простейшими фигурами трилатерации, в которых возникает по

одному условному уравнению, являются геодезический четырех-

угольник и центральная система. Поэтому в свободной сети трила-

терации, не имеющей избыточных азимутов, число условных урав-

нений равно числу содержащихся в ней центральных систем с раз-

ными полюсами и геодезических четырехугольников, вместе

взятых.

Условные уравнения, возникающие в трилатерации, составля-

ют сначала в угловой форме, а затем поправки в углы заменяют

поправками в стороны, используя формулы (11.22).

В геодезическом четырехугольнике с измеренными сторонами

(рис. 48) возникает условие равенства углов, суть которого заклю-

чается в том, что сумма углов ai и «2, вычисленных с использова-

нием уравненных сторон треугольников 123 и 134, должна быть

равна углу 'аз, полученному по уравненным сторонам третьего тре-

угольника 124, т. е. должно соблюдаться условие

i +

—

= 0.

При использовании измеренных сторон треугольников это ра-

венство нарушится и возникнет условное уравнение, которое в уг-

ловой форме запишется в виде

(а

) + (а

) — (а

) + w = 0,

где w

---

а/ + а

' — а

a'i — углы, вычисленные с использованием измеренных сторон тре-

угольников.

Остается заменить поправки в углы поправками в длины сто-

рон.

191

Для стороны а треугольника ABC (рис. 49) напишем

2=,ь

+с

—2bccosA.

Дифференцируя это выражение по всем переменным а

с, А

и переходя к конечным приращениям, получим формулу, устанав-

ливающую связь между поправками в углы и поправками в сто-

роны. Написав аналогичные выражения для остальных сторон

треугольника и выполнив те же операции, получим дифференци-

альные формулы, устанавливающие связь между поправками уг-

лов и поправками сторон:

(А")

= ^

[(а)

(b)

cos С -

(с)

cos В];

Р"

(В")

[(b) — (a) cos С

—

(с)

cos А];

(С") =

[(с)

(a)

cos В -

(b)

cos А],

(11,22)

где р" = 206 265, hj — высота треугольника, опущенная на противо-

лежащую сторону из вершины / угла (j=A

В, С), поправка ко-

торого определяется.

Высоты треугольника вычисляются по формулам:

Ь,д =

sin В =

sin

С;

Лд = a sin С = с sin Л; I (11.23)

Hq~

sin В =

sin А. I

Применительно к обозначениям углов и сторон, указанных на

рис. 48, условное уравнение геодезического четырехугольника

после замены по формулам (11.22) поправок в углы поправками

в стороны запишется в окончательном виде

Vi (%) + v

(

) + v

)

+ v

)

+ w = 0, (11.24)

где

VI =

ha*

« =

(ifer

COSV3

'-^r

COSV2

')-

Для центральной системы (рис. 50) условное уравнение состав-

ляют сначала в угловой форме, как условие горизонта:

где

(Yi) + (V

) + (Тз) + (V4) + (Тб) + w = 0,

4-1

192

Углы у' вычисляют с использованием измеренных сторон тре-

угольников.

Заменив в соответствии с формулами (11.22) поправки в углы

поправками в стороны, окончательно получим

V (h) + V (*) + V

(*з)

+ V (*) + V to) + (ri) +

+ К W + Ьз (r

) + U (г

) + К (r

) + w = о, (11.25)

- ^-(^г+^гг)-

Здесь п — число треугольников в центральной системе.

В несвободной сети трилатерации кроме условий геодезическо-

го четырехугольника и центральной системы могут возникнуть еще

условия дирекционных углов (сумм

углов) и условия координат (абсцисс

и ординат). Базисные условия (усло-

вия жестких сторон) в трилатерации

не возникают; в формулах (11.22) по-

правки к исходным сторонам прини-

мают равными нулю.

Число условий дирекционных углов

равно числу исходных дирекцион-

ных углов без одного, т. е.

Гд = ^д— 1. (11.26) РИС.50

Число координатных условий (абсцисс и ординат) определяет-

ся по формуле

= 2 (k

x y

— 1), (11.27)

где k

— число раздельных групп исходных пунктов, отстоящих

одна от другой не менее чем на две измеренные стороны. При

этом отдельная группа исходных пунктов может состоять как из

одного пункта, так и из нескольких смежных пунктов с заданны-

ми координатами.

Условные уравнения дирекционных углов (сумм углов), абс-

цисс и ординат составляют сначала в угловой форме, как в триан-

гуляции, а затем поправки углов выражают через поправки сто-

рон, используя формулы (11.22).

Общее число условных уравнений в несвободной трилатерации

определяется по формуле (11.20).

Условные уравнения дирекционных углов могут возникнуть и в

свободной трилатерации, если в ней кроме исходного дирекционно-

го угла определены из измерений дополнительные азимуты сто-

рон. Число условий дирекционных углов определяется по форму-

ле (11.26). Общее число условных уравнений в свободной трила-

терации с избыточно измеренными азимутами вычисляется по фор-

13—2296

193

муле (11.20). Кроме того, оно может быть получено как сумма

значений, даваемых формулами (11.21), (11.26) и (11.27).

В качестве примера определим число условных уравнений в не-

свободной сети, изображенной на рис. 51, в которой измерено три

стороны (#* = 3), а число определяемых

пунктов равно единице (k=\). Согласна

формуле (11.20) получим

S = N* — 2k = 3

— 2

= 1.

В этой сети возникает одно условное

уравнение дирекционных углов, которое в

угловой форме имеет вид

(Ci) + (C

) + o;«0

где w

-•=

С/ + С/ — (а

— а

Здесь ai и а

— дирекционные углы ис-

ходных сторон; С' 1 и

С'2

— углы, вычислен-

ные с использованием измеренных сторон

треугольников.

Заменив по формулам (11.22) поправки в углы поправками в

стороны и приняв во внимание то, что поправки (Ь\) и (Ь

) к ис-

ходным сторонам Ь

и Ъ

равны нулю, получим условное уравне-

ние в окончательном виде:

-£г

{si)+s

) - (^г

cos cos А

§ 62. Пример уравнивания свободной сети трилатерации

коррелатным способом

В качестве примера возьмем сеть трилатерации, изображенную'

на рис. 46. Уравнительные вычисления включают:

1) определение числа и вида независимых условных уравнений

в сети;

2) вычисление углов и высот треугольников;

3) составление условных уравнений и весовых функций;

4) составление и решение нормальных уравнений коррелат;

5) вычисление поправок в измеренные стороны;

6) вычисление уравненных сторон и углов треугольников;

7) оценку точности уравненных элементов сети;

8) вычисление окончательных координат пунктов. Составление

каталога координат.

Определение числа и вида независимых условных уравнений

Сеть трилатерации (см. рис. 46) состоит из шести пунктов, из

которых четыре определяемых; в ней 11 сторон, в том числе 10 из-

меренных непосредственно.

Число независимых условных уравнений в сети определим по

формуле (11.21):

S = р — 2п +

= 11 —12 +

194

и проконтролируем по формуле (11.20):

S = N* —2k= 10 — 8 2.

В данной сети возникает одно условное уравнение геодезиче-

ского четырехугольника и одно центральной системы. В дальней-

шем будем полагать, что линии измерены равноточно.

Вычисление углов и высот треугольников

В треугольнике с измеренными сторонами а, Ь, с противолежа-

щие углы вычисляют по формулам (11.1). Сумма их должна быть

равна 180°. Высоты НА, НЕ и Не, опущенные из вершин треугольни-

ка на противолежащие стороны, могут быть

вычислены по формулам (11.23).

Результаты вычислений углов и высот

треугольников по этим формулам приведе-

ны в табл. 96. Длины измеренных сторон

(на плоскости) выписаны из табл. 95. Коси-

нусы и синусы углов треугольников вычис-

ляют с 7—8 десятичными знаками.

При уравнивании линейных и линейно-

угловых сетей принято поправки к измерен-

ным сторонам выражать в дециметрах. Для

этого при вычислении поправок в углы по

формулам (11.22) коэффициенты надо

уменьшить в 10 раз, что и сделано в табл.

96. Последние две графы в табл. 96 запол-

няют после решения системы нормальных

уравнений. РИС. 52

Составление условных уравнений и весовых функций

Условное уравнение геодезического четырех-

угольника согласно обозначениям на рис. 52 запишем сначала

в угловой форме

(»!) + (а

)

— (ос

)

= о,

где

= а/ + а

' —а

Углы а вычислим с использованием измеренных сторон тре-

угольников.

В соответствии с формулами (11.22) напишем

(cxi) = Р"/Ч [(3.4) - cos Pi (3.5)

— cos

i (4.5)];

(og = P74 [(4.6)- cos P

(4.5)- cos

(5.6)1;

) = p7ha

[(3.6) -cos P

(3.5) - cos (5-6)].

Сделав замену поправок в углы поправками в стороны и выра-

зив поправки сторон в дециметрах, условному уравнению прида-

дим окончательный вид

(3.4) + v

(4.6) + v

(3.6) + v

(3.5) + v

(4.5) + v

(5.6) + w

= 0,

13*

195

Таблица 109

Вычисление углов

высот треугольников

Треуголь-

ник

Вершина

Измеренные

стороны

t |

Ь, . м

Квадраты

длин сторон,

Косинусы

углов

Углы

Синусы

углов

Высоты,

Р"

10ft

И")

(В»)

(С)

Уравненные

углы

Косинусы

углов

Синусы

углов

И")

(В»)

(С)

7611,74

5365,57

5407,90

57 938 586

28 789 341

29 245 382

0,0016566

0,7093005

0,7037302

89°54'18,30"

44 49 19,08

45 16

22,62

0,9999986

0,7049062

0,7104673

3812,С6/06

5407,89/89

5365,56/56

5,411

3,814

3,844

-0,65

+0,34

+0.31

89°54'17,65"

44 49 19,42

45 16

22,43

180 00

00,00

2 0,00

180 00

00,00

5407,90

7598,57

5430,66

29 245 382

57 738 266

29 492 068

0,7025882

0,0170112

0.6995419

45 21

53,92

89 01 31,03

45 36

35,06

0,7115967

0,9998553

0,7145916

5429,87/87

3864,44/44

5407,12/12

3.799

5,338

3,815

+0,45

-1,37

+0,92

45 21

54,37

89 01

29,66

45 36

35,98

180 00 00,01

0,00

180 00 00,01

5430,66

5496,75

7615,90

29 492 068

214

261

58 001 933

0,7013896

0.6924М0

0,0285484

45 27 41,03

46 10

28,30

88 21

50,67

0,7127781

0,7214524

0,9995924

5494,51/51

5428,45/45

3917,96/96

3,754

3,800

5,265

+М5

+0,82

— t ,98

45 27 42,18

46 10 29,12

88 21

48,69

180 00

00,00

—0,01

179 99

59,99

7615,90

5281,41

5107,83

001

933

27 893 292

26 089 927

—0,0744853

0,7223332

0,7434274

94°16'17,94

43 45 09,17

41 58

32,88

0,9972221

0,6915452

0,6688167

3532,30/30

5093,64/64

5266,74/74

5,839

4,049

3,916

—2,30

+ 1,03

+ 1,27

94°16'15,64"

43 45 10,20

41 58 34,15

179 59

59,99

0,00 179 59

59,99

5107,83

7481,49

5365,57

26 089 927

55 972 693

28 789 341

0,7307986

—0,0199483

0,697''355

43 02

47,80

91 08 34,91

45 48

37,29

0,6825931

0,9998010

0,7170366

5364,50/50

3662,50/50

5106,81/81

3,845

5,632

4,039

+0,94

—1,49

+0,56

43 02

48,74

91 08

33,42

45 48

37,85

180 00

00.00

+0,01

180 00 00,01

5107,83

5430,66

7450,68

26 089 927

29 492 068

55 512 632

0,7280240

0,6846409

0,0012503

43 16

44,43

46 47

33,46

89 55 42,11

0.6855517

0,7288806

0,9999992

5430,66/66

5107,83/83

3723,00/00

3,798

4,038

5,540

+1,33

+ 1,45

—2,78

43 16

45,76

46 47 34,91

89 55

39,33

180 00

00,00

2 0,01

180 00

00,00

7450,68

5281,41

5496,75

55 512 632

27 893 292

214

261

0,0446993

0,7060709

0,6758772

87 26 18,36

45 05 01,94

47 28

39,70

0,9990008

0,7081411

0,7370143

3892,47/47

5491,26/26

5276,13/13

5,299

3,756

3,909

—2,01

+0,99

+1,02

87 26 16,35

45 05

02,93

47 28

40,72

180 00

00,00

2 0,00

| 180 00

00,00

где

Р" р _ _Р

I p" p" \

4= + \76^

cos

P*'~T0^

cospl

/ p" p" \

= +

005 Va

cos

) •

Используя данные, приведенные в табл. 96, вычислим коэффи-

циенты V/ и свободный член условного уравнения геодезического

четырехугольника (табл. 97).

Таблица 97

Вычисление коэффициентов

и свободного члена

условного уравнения

геодезического четырехугольника

Назва-

ние

попра-

вок

Коэффи-

циенты

УГЛЫ

«'г

Значения

углов

(3.4)

(3.5)

+3,800

+3,925

46°10'28,30"

43 45 09,17

(3.6)

(4.5)

—5,540

—5,675

а З

89 55 37,47

89 55 42,11

(4.6)

(5.6)

+4,049

+4,095

—4,64"

Условное уравнение геодезического че-

тырехугольника: 3,800(3.4) +3,925(3.5)—5,540

(3.6)—5,675(4.5) + 4,049(4.6) + 4,095(5.6)—

4.64"-0.

Таблица 98

Вычисление коэффициентов

и свободного члена

условного уравнения

центральной системы

Назва-

ние

попра-

вок

Коэффи-

циенты

Углы

y'i

Значения

углов

(1.5)

(1.6)

(2.3)

(2.5)

—7,924

+5,632

+5,338

-7,572

Y'I

v;«

89°54'18,30"

89 01 31,03

89 55 42,11

91 08 34,91

(3.5)

(3.6)

—7,783

+5,540

—360°

360 00 06,35

(5.6) —7,719

+6,35"

Условное уравнение центральной си»

стемы: —7,924(1.5) +5,632(1.6) +5,338(2.3) —

7,572(2.5)—7,783 (3.5)+ 5,540 (3.6)—7,719(5.6) +

+6,35" = 0.

Условное уравнение центральной системы со-

гласно обозначениям на рис. 53 запишем сначала в угловой фор-

ме в виде условия горизонта

где

(YI) + (Y

) + (Y

) + (Y4) + TT>2 = 0,

a>2

= Yi' + Y

'+Y3'+Y4'-360°.

Углы y'i вычисляют по измеренным сторонам треугольников.

Заменив поправки в углы поправками в стороны по формулам

(11.22) и учитывая, что поправка (1.2) в исходную сторону 1.2

197

равна нулю, получим условное уравнение в окончательном виде

v (2.3) + V (

) + V О.6) + (1.5) + (2.5) + (3.5) + (5.6) + = О,

где

Р" Р" Р"

—

1 о in -

2 - \0hy

9 Лз

~ I0hy

Л4

10fev

•

/ р" р" о \

Используя данные, приведенные в табл. 96, составим табл. 98

коэффициентов условного уравнения.

Составление весовой функции. В уравненной трилате-

рации определим среднюю квадратическую ошибку дирекционного

угла наиболее удаленной стороны 4.6. С этой целью необходимо

составить весовую функцию для данного дирекционного угла и

найти из решения системы нормальных уравнений его обратный

вес.

Весовую функцию составим сначала в угловой форме по анало-

гии с тем, как это принято в триангуляции. Из сети трилатерации

(см. рис. 46) выделим цепочку треугольников для передачи дирек-

ционного угла от направления 1.2 к направлению 6.4 (рис. 54) и

напишем в угловой форме

F = a

= а

+ С

- С

+ С

± 2 х 180°.

198