Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика

Подождите немного. Документ загружается.

Ïðîäîëüíûå âîëíû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäàõ, â êîòîðûõ âîç

íèêàþò óïðóãèå ñèëû ïðè äåôîðìàöèè ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ,ò.å.

â òâåðäûõ, æèäêèõ è ãàçîîáðàçíûõ òåëàõ. Ïîïåðå÷íûå âîëíû ìîãóò ðàñ

ïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäå, â êîòîðîé âîçíèêàþò óïðóãèå ñèëû ïðè äåôîðìà

öèè ñäâèãà, ò. å. ôàêòè÷åñêè òîëüêî â òâåðäûõ òåëàõ; â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ

âîçíèêàþò òîëüêî ïðîäîëüíûå âîëíû, à â òâåðäûõ òåëàõ — êàê ïðîäîëü

íûå, òàê è ïîïåðå÷íûå.

Óïðóãàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå åé

êîëåáàíèÿ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè. Íà ðèñ. 1.31 ïðåäñòàâëåíà

ãàðìîíè÷åñêàÿ ïîïåðå÷íàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ v

âäîëü îñè x, ò. å. ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ìåæäó ñìåùåíèåì x ÷àñòèö ñðå

äû, ó÷àñòâóþùèõ â âîëíîâîì ïðîöåññå, è ðàññòîÿíèåì x äî ýòèõ ÷àñòèö

(íàïðèìåð, ÷àñòèöû Â) îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé äëÿ êàêîãî-òî ôèêñèðî

âàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè t.

Ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè

÷àñòèöàìè, êîëåáëþùèìèñÿ â îäè-

íàêîâîé ôàçå, íàçûâàåòñÿ äëèíîé

âîëíû l (ñì. ðèñ. 1.31). Äëèíà âîëíû

ðàâíà òîìó ðàññòîÿíèþ, íà êîòîðîå

ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà (îïðåäåëåí-

íàÿ ôàçà êîëåáàíèÿ) çà ïåðèîä:

l = vT, (1.144)

èëè

ln = v, (1.145)

ãäå n =1/T — ÷àñòîòà êîëåáàíèé.

Åñëè ðàññìîòðåòü âîëíîâîé ïðîöåññ ïîäðîáíåå, òî ÿñíî, ÷òî êîëåá

ëþòñÿ íå òîëüêî ÷àñòèöû, ðàñïîëîæåííûå âäîëü îñè õ, íî è ñîâîêóïíîñòü

÷àñòèö, ðàñïîëîæåííûõ â íåêîòîðîì îáúåìå, ò. å. âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿ

ÿñü îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé, îõâàòûâàåò âñå íîâûå è íîâûå îáëàñòè ïðî

ñòðàíñòâà. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, äî êîòîðûõ êîëåáàíèÿ äîõîäÿò

ê ìîìåíòó âðåìåíè t, íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ôðîíòîì.

Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîëåáëþùèõñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå, íà

çûâàåòñÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ. Âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé ìîæíî ïðî

âåñòè áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî, à âîëíîâîé ôðîíò â êàæäûé ìîìåíò âðå

ìåíè îäèí. Âîëíîâîé ôðîíò òàêæå ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ.

Â ïðèíöèïå, âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü ëþáîé ôîðìû, à â ïðî

Ðèñ. 1.31

ñòåéøåì ñëó÷àå îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ïëîñêîñòåé, ïà

ðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó, èëè ñîâîêóïíîñòü êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Ñîîò

âåòñòâåííî, âîëíà íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé èëè ñôåðè÷åñêîé.

Óðàâíåíèå ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí. Âîëíîâîå óðàâíåíèå

Óðàâíåíèåì âîëíû íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå äàåò ñìåùåíèå

êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè êàê ôóíêöèþ åå êîîðäèíàò è âðåìåíè:

x = x(x, y, z, t).

Íàéäåì âèä ôóíêöèè x â ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåé

ñÿ âäîëü îñè x (ñì. ðèñ. 1.31). Â äàííîì ñëó÷àå âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè

ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè x, à òàê êàê âñå òî÷êè âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè êî

ëåáëþòñÿ îäèíàêîâî, òî ñìåùåíèå x áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò x è t,ò.å.

x = x(x, t).

Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ÷àñòèöó ñðåäû Â (ñì. ðèñ. 1.31), íàõîäÿùóþ-

ñÿ îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé íà ðàññòîÿíèè õ. Åñëè êîëåáàíèÿ òî÷åê, ëåæà-

ùèõ â ïëîñêîñòè õ = 0, îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé x(0, t)=A cos(wt + a), òî

÷àñòèöà ñðåäû Â êîëåáëåòñÿ ïî òîìó æå çàêîíó, íî åå êîëåáàíèÿ áóäóò îò-

ñòàâàòü ïî âðåìåíè îò êîëåáàíèé èñòî÷íèêà íà t, òàê êàê äëÿ ïðîõîæäå-

íèÿ âîëíîé ðàññòîÿíèÿ õ òðåáóåòñÿ âðåìÿ t = x/v, ãäå v — ñêîðîñòü ðàñ-

ïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òîãäà óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ÷àñòèö, ëåæàùèõ

â ïëîñêîñòè õ, èìååò âèä

(

)

(

)

(

)

xwaw

axt A t x A t x,cos cos=-+=-+

, (1.146)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x(x, t) ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé

âðåìåíè, íî è ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé êîîðäèíàòû õ.

Çàôèêñèðóåì êàêîå-ëèáî çíà÷åíèå ôàçû âîëíû:

wat

const

Âçÿâ äèôôåðåíöèàë ýòîãî âûðàæåíèÿ è ñîêðàòèâ íà w, ïîëó÷èì:

ddtx-=v 0

, îòêóäà

= v

Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü v ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â óðàâíåíèè

(1.146) åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ôàçû âîëíû, ïîýòîìó

åå íàçûâàþò ôàçîâîé ñêîðîñòüþ.

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè âîëí èñïîëüçóåòñÿ òàêæå âîëíîâîå ÷èñëî

k ==

, (1.147)

ñ ó÷åòîì êîòîðîãî óðàâíåíèþ (1.146) ìîæíî ïðèäàòü âèä

x(x, t)=A cos(wt – kx + a), (1.148)

ãäå (wt – kx + a) — ôàçà ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âîëíû, a — íà÷àëüíàÿ ôà

çà, çàâèñÿùàÿ îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà õ è t.

Óðàâíåíèå (1.148) íàçûâàþò óðàâíåíèåì ïëîñêîé âîëíû. Åñëè ïëî

ñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, òî

x(x, t)=A cos(wt + kx + a). (1.149)

Åñëè ïëîñêàÿ âîëíà (1.148) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå, íå ïîãëîùàþ-

ùåé ýíåðãèþ, òî àìïëèòóäà âîëíû À = const.

Ïîâòîðÿÿ õîä ðàññóæäåíèé äëÿ ïëîñêîé âîëíû, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîé âîëíû, âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè êîòîðîé èìåþò

âèä êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð, çàïèñûâàåòñÿ êàê

xwa(,) cos( )rt

tkr=-+

, (1.150)

ãäå r — ðàññòîÿíèå îò öåíòðà âîëíû äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè ñðåäû.

Â ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé âîëíû äàæå â ñðåäå, íå ïîãëîùàþùåé ýíåðãèþ,

àìïëèòóäà êîëåáàíèé íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à óáûâàåò ñ ðàññòîÿíèåì

ïî çàêîíó 1/r, ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ðàñïðîñòðàíÿåò

ñÿ ïî âñå áîëüøåé ïëîùàäè (S =4pr

Åñëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëí çàâèñèò îò èõ ÷àñòîòû, òî ýòî ÿâëåíèå

íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé âîëí, à ñðåäà, â êîòîðîé íàáëþäàåòñÿ äèñïåðñèÿ

âîëí,— äèñïåðãèðóþùåé ñðåäîé.

Óðàâíåíèå ëþáîé âîëíû åñòü ðåøåíèå íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëü

íîãî óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìîãî âîëíîâûì. Äëÿ ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðà

íÿþùåéñÿ âäîëü îñè õ, âîëíîâîå óðàâíåíèå èìååò âèä

xtv

. (1.151)

Ýíåðãèÿ óïðóãèõ âîëí. Âåêòîð Óìîâà

Áåãóùèìè íàçûâàþòñÿ âîëíû, êîòîðûå ïåðåíîñÿò â ïðîñòðàíñòâå

ýíåðãèþ. Åñëè ïîãëîùåíèåì ýíåðãèè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ïðåíåá

ðå÷ü, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé W ÷àñòèö ñðåäû öåëè

êîì îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì èçëó÷åíèåì èñòî÷íèêà (ñì. ñîîòíîøå

íèå (1.96)):

ãäå m — ìàññà ñðåäû, âîâëå÷åííîé â êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ. Ýòà ýíåð

ãèÿ ïåðåäàåòñÿ ÷àñòèöàì ñðåäû îò èñòî÷íèêà è ðàñïðåäåëåíà â ïðîñòðàí

ñòâå íåðàâíîìåðíî. Ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé

âîëíîé,

<>= =w

Arw

, (1.152)

ãäå r — ïëîòíîñòü ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà,

r =

Èòàê, ñðåäà, â êîòîðîé âîçíèêàåò âîëíà, îáëàäàåò äîïîëíèòåëüíûì

çàïàñîì ýíåðãèè. Ýòà ýíåðãèÿ äîñòàâëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé

â ðàçëè÷íûå òî÷êè ñðåäû ñàìîé âîëíîé, ñëåäîâàòåëüíî, âîëíà ïåðåíîñèò

ñ ñîáîé ýíåðãèþ. Êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîå âîëíîé ÷åðåç íåêî-

òîðóþ ïîâåðõíîñòü â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè Ô

÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü:

. (1.153)

Ïîòîê ýíåðãèè — ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, ðàçìåðíîñòü êîòîðîé ðàâíà

ðàçìåðíîñòè ýíåðãèè, äåëåííîé íà ðàçìåðíîñòü âðåìåíè, ò. å. ñîâïàäàåò

ñ ðàçìåðíîñòüþ ìîùíîñòè: [Ô] = Âò.

Ïîòîê ýíåðãèè â ðàçíûõ òî÷êàõ ñðåäû ìîæåò îáëàäàòü ðàçëè÷íîé èí

òåíñèâíîñòüþ. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïåðåíîñà ýíåðãèè â ðàçíûõ òî÷êàõ

ïðîñòðàíñòâà ââîäèòñÿ âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ïëîòíîñòüþ ïî

òîêà ýíåðãèè

. Ýòîò âåêòîð äëÿ óïðóãèõ âîëí íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì

Óìîâà. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà Óìîâà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðåíîñà

ýíåðãèè, à åãî ìîäóëü ðàâåí ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âîëíîé çà åäèíèöó

âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëî

æåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñ

ïðîñòðàíåíèÿ âîëíû (ðèñ. 1.32):

== = =

j = wv

. (1.154)

Èòàê, âåêòîð Óìîâà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ

îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè íà âåêòîð ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ

âîëíû.

Èíòåíñèâíîñòü âîëíû J — ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé

âîëíîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëîæåííóþ

ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû:

JA=< > =wv v

. (1.155)

Èíòåðôåðåíöèÿ âîëí

Ïðè îäíîâðåìåííîì ðàñïðîñòðàíåíèè íåñêîëüêèõ âîëí êîëåáàíèÿ

÷àñòèö ñðåäû îêàçûâàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììîé êîëåáàíèé, êîòîðûå

ñîâåðøàëè áû ÷àñòèöû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè êàæäîé èç âîëí â îòäåëüíî-

ñòè, ò. å. âîëíû ïðîñòî íàêëàäûâàþòñÿ îäíà íà äðóãóþ, íå âîçìóùàÿ äðóã

äðóãà. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè (íàëîæå-

íèÿ) âîëí.

Â ñëó÷àå, êîãäà êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå îòäåëüíûìè âîëíàìè

â êàæäîé èç òî÷åê ñðåäû, îáëàäàþò ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç, âîëíû íà

çûâàþò êîãåðåíòíûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî êîãåðåíòíûìè ìîãóò áûòü ëèøü

âîëíû, èìåþùèå îäèíàêîâóþ ÷àñòîòó. Â áîëåå øèðîêîì ñìûñëå ïîä êî

ãåðåíòíîñòüþ ïîíèìàþò ñîãëàñîâàííîå ïðîòåêàíèå äâóõ è áîëåå êîëåáà

òåëüíûõ èëè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ.

Ïðè íàëîæåíèè äâóõ (èëè áîëåå) êîãåðåíòíûõ âîëí â ðàçíûõ òî÷êàõ

ïðîñòðàíñòâà ïîëó÷àåòñÿ óñèëåíèå èëè îñëàáëåíèå ðåçóëüòèðóþùåé

âîëíû â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôàçàìè ýòèõ âîëí. Ýòî ÿâëå

íèå íàçûâàåòñÿ èíòåðôåðåíöèåé âîëí.

Ðàññìîòðèì äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ îò òî÷å÷íûõ èñòî÷íè

êîâ O

è O

, êîëåáëþùèõñÿ ñ ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç (òàêèå èñòî÷íè

êè íàçûâàþò, êàê è ïîðîæäàåìûå èìè âîëíû, êîãåðåíòíûìè). Îïðåäå

Ðèñ. 1.32

ëèì ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå â êàêîé-ëèáî òî÷êå ñðåäû ïðè óñëîâèè,

÷òî îáà êîëåáàíèÿ, âûçûâàåìûå êàæäîé èç âîëí â îòäåëüíîñòè, èìåþò

îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå.

Ïóñòü ôàçû êîëåáàíèé èñòî÷íèêîâ O

è O

ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

(wt + a

)è(wt + a

). Òîãäà êîëåáàíèå â äàííîé òî÷êå áóäåò ðàâíî ñóììå

êîëåáàíèé:

(x, t)=A

cos(wt – kr

+ a

(x, t)=A

cos(wt – kr

+ a

ãäå A

è A

— àìïëèòóäû âîëí â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå; k — âîëíîâîå

÷èñëî; r

è r

— ðàññòîÿíèÿ îò èñòî÷íèêîâ âîëí äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.

Â òî÷êàõ, îïðåäåëÿåìûõ óñëîâèåì

(

)

(

)

kr r m

12 1 2

2-- - =±aa p

, m = 0, 1, 2, …, (1.156)

êîëåáàíèÿ óñèëèâàþò äðóã äðóãà è ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû w ñ àìïëèòóäîé (A

+ A

Óñëîâèå (1.156) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñè-

ìóìà.

Â òî÷êàõ, äëÿ êîòîðûõ

(

)

(

)

kr r n

12 1 2

-- - =± +

aa p

, n = 0, 1, 2, …, (1.157)

êîëåáàíèÿ îñëàáëÿþò äðóã äðóãà è ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ

ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì ñ àìïëèòóäîé |A

– A

|. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êî

ãäà A

= A

, êîëåáàíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ áóäóò îòñóòñòâîâàòü.

Ñòîÿ÷èå âîëíû

Îñîáûì ñëó÷àåì èíòåðôåðåíöèè ÿâëÿþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû — ýòî êî

ëåáàòåëüíûé ïðîöåññ, íàáëþäàþùèéñÿ ïðè íàëîæåíèè äâóõ âñòðå÷íûõ

âîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè è ÷àñòîòàìè.

Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêèå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ íàâñòðå÷ó

äðóã äðóãó âäîëü îñè õ â ñðåäå áåç çàòóõàíèÿ, ïðè÷åì îáå âîëíû õàðàêòå

ðèçóþòñÿ îäèíàêîâûìè ÷àñòîòàìè è àìïëèòóäàìè (ñì. ñîîòíîøåíèÿ

(1.148) è (1.149)). Êðîìå òîãî, íà÷àëî êîîðäèíàòû x è îòñ÷åò âðåìåíè t

âûáåðåì äëÿ ïðîñòîòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû a

= a

= 0. Òîãäà ñîîòâåò

ñòâåííî óðàâíåíèÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ïîëîæèòåëüíîãî

íàïðàâëåíèÿ îñè õ, è âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ åé íàâñòðå÷ó, áóäóò

èìåòü âèä:

(x, t)=A cos(wt – kx),

(x, t)=A cos(wt + kx).

Ñëîæèâ ýòè óðàâíåíèÿ, ïðåîáðàçîâàâ ðåçóëüòàò ïî ôîðìóëå äëÿ ñóì

ìû êîñèíóñîâ è ó÷òÿ, ÷òî k =2p/l, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñòîÿ÷åé âîëíû:

x = x

+ x

= 2Acos kx cos wt=2Acos(2px/l)cos wt. (1.158)

Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ñòîÿ÷åé âîëíû ïðî

èñõîäÿò êîëåáàíèÿ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòû w ñ àìïëèòóäîé

ñò

=|2À cos (2 px/l)|,

çàâèñÿùåé îò êîîðäèíàòû õ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.

Â òî÷êàõ ñðåäû, ãäå

2px/l=±mp, m = 0, 1, 2, …,

àìïëèòóäà êîëåáàíèé äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî 2À.

Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ ïó÷íîñòÿìè ñòîÿ÷åé âîëíû. Èç ýòîãî óñëîâèÿ ïî-

ëó÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò ïó÷íîñòåé:

ïó÷í

=±

, m = 0, 1, 2, …. (1.159)

Â òî÷êàõ ñðåäû, ãäå

2px/l = ±(m + 1/2)p, m =0,1,2,…,

àìïëèòóäà êîëåáàíèé îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ óçëàìè

ñòîÿ÷åé âîëíû. Òî÷êè ñðåäû, íàõîäÿùèåñÿ â óçëàõ, êîëåáàíèé íå ñîâåð

øàþò. Êîîðäèíàòû óçëîâ:

óçë

=± +

, m = 0, 1, 2, …. (1.160)

Èç ôîðìóë (1.159) è (1.160) ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ñî

ñåäíèìè ïó÷íîñòÿìè è äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè îäèíàêîâû è ðàâíû l/2.

Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïó÷íîñòüþ è óçëîì ñòîÿ÷åé âîëíû ðàâíî l/4.

Â îòëè÷èå îò áåãóùåé âîëíû, âñå òî÷êè êîòîðîé ñîâåðøàþò êîëåáà

íèÿ ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, íî ñ çàïàçäûâàíèåì ïî ôàçå, âñå òî÷êè

ñòîÿ÷åé âîëíû ìåæäó äâóìÿ óçëàìè êîëåáëþò

ñÿ ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè, ñ îäèíàêîâûìè ôà

çàìè. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óçåë ìíîæèòåëü

2A cos(2px/l) â óðàâíåíèè (1.158) ìåíÿåò ñâîé

çíàê, ïîýòîìó ôàçà êîëåáàíèé ïî ðàçíûå ñòîðî

íû îò óçëà îòëè÷àåòñÿ íà p, ò. å. òî÷êè, ëåæà

ùèå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò óçëà, êîëåáëþòñÿ

â ïðîòèâîôàçå. Îáðàçîâàíèå ñòîÿ÷èõ âîëí íà

áëþäàåòñÿ ïðè èíòåðôåðåíöèè áåãóùåé è îòðà

æåííîé âîëí. ×òî áóäåò íà ãðàíèöå îòðàæå

íèÿ — óçåë èëè ïó÷íîñòü, çàâèñèò îò ñîîòíîøå

íèÿ ïëîòíîñòåé ñðåä. Åñëè ñðåäà, îò êîòîðîé

ïðîèñõîäèò îòðàæåíèå, ìåíåå ïëîòíàÿ, òî â

ìåñòå îòðàæåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïó÷íîñòü

(ðèñ. 1.33, à), åñëè áîëåå ïëîòíàÿ — óçåë (ðèñ. 1.33, á). Â ñëó÷àå ñòîÿ÷åé

âîëíû ïåðåíîñà ýíåðãèè íå íàáëþäàåòñÿ.

1.5. Îñíîâû ãèäðîàýðîìåõàíèêè

Ãèäðîàýðîìåõàíèêà — ðàçäåë ìåõàíèêè, èçó÷àþùèé ðàâíîâåñèå

è äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ, èõ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ñîáîé è îáòå-

êàåìûìè èìè òâåðäûìè òåëàìè. Â äàííîì ðàçäåëå èñïîëüçóåòñÿ åäèíûé

ïîäõîä ê èçó÷åíèþ æèäêîñòåé è ãàçîâ.

Õîòÿ ñâîéñòâà æèäêîñòåé è ãàçîâ âî ìíîãîì îòëè÷àþòñÿ, â ðÿäå ìå-

õàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé èõ ïîâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäèíàêîâûìè ïàðàìåò

ðàìè è èäåíòè÷íûìè óðàâíåíèÿìè.

Â ìåõàíèêå æèäêîñòè è ãàçû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñïëîøíûå, íåïðå

ðûâíî ðàñïðåäåëåííûå â çàíÿòîé èìè ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà.

Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ æèäêîñòåé è ãàçîâ ÿâëÿåòñÿ èõ òåêó

÷åñòü, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ìàëûìè ñèëàìè òðåíèÿ ïðè îòíîñèòåëüíîì äâè

æåíèè ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñëîåâ. Ïðè áåñêîíå÷íîì óìåíüøåíèè ñêîðîñòè

îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñëîåâ ñèëû òðåíèÿ ìåæäó íèìè ñòðåìÿòñÿ ê íó

ëþ. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ îòñóòñòâèå ñèë òðåíèÿ ïîêîÿ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ.

Ñòàòèêà æèäêîñòåé è ãàçîâ

Åñëè â ïîêîÿùóþñÿ æèäêîñòü ïîìåñòèòü òîíêóþ ïëàñòèíêó, òî ÷àñ

òè æèäêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåå, áóäóò äåéñòâîâàòü

íà êàæäûé åå ýëåìåíò DS ñ ñèëàìè DF. Ýòè ñèëû íåçàâèñèìî îò òîãî, êàê

Ðèñ. 1.33

ïëàñòèíêà îðèåíòèðîâàíà, áóäóò ðàâíû ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíû ïåð

ïåíäèêóëÿðíî DS, òàê êàê íàëè÷èå êàñàòåëüíûõ ñèë ïðèâåëî áû ÷àñòèöû

æèäêîñòè â äâèæåíèå.

Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ íîðìàëüíîé ñèëîé, äåéñòâóþ

ùåé ñî ñòîðîíû æèäêîñòè èëè ãàçà íà åäèíèöó ïëîùàäè, íàçûâàåòñÿ äàâ

ëåíèåì æèäêîñòè ð:

lim

. (1.161)

Åäèíèöà èçìåðåíèÿ äàâëåíèÿ — ïàñêàëü (Ïà). 1 Ïà = 1 Í/ì

.Äàâ

ëåíèå ìîæåò òàêæå èçìåðÿòüñÿ â àòìîñôåðàõ (àòì), ìèëëèìåòðàõ

ðòóòíîãî ñòîëáà (ìì. ðò. ñò.) è äðóãèõ åäèíèöàõ. Ïîëåçíî çíàòü ñâÿçü

ìåæäó íèìè:

1 àòì = 760 ìì. ðò. ñò. = 1,013·10

Ïà.

Äàâëåíèå ïðè ðàâíîâåñèè æèäêîñòåé (ãàçîâ) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó

Ïàñêàëÿ: äàâëåíèå â ëþáîì ìåñòå ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè èëè ãàçà îäèíà-

êîâî ïåðåäàåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, èíà÷å ãîâîðÿ, ñèëû, äåéñòâóþ-

ùèå ñî ñòîðîíû æèäêîñòè (ãàçà) íà ìàëåíüêóþ ïëàñòèíêó (ïëîùàäêó),

íå çàâèñÿò îò åå îðèåíòàöèè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.

Äàâëåíèå â æèäêîñòÿõ, íàõîäÿùèõñÿ â ñèëîâûõ ïîëÿõ (íàïðèìåð,

â ïîëå ñèëû òÿæåñòè), óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ãëóáèíîé. Äàâëåíèå, îáóñëîâëåí-

íîå âåñîì âåðõíèõ ñëîåâ æèäêîñòè, íàçûâàåòñÿ ãèäðîñòàòè÷åñêèì. Ïðè

ðàâíîâåñèè æèäêîñòè äàâëåíèå ïî ãîðèçîíòàëè âñåãäà îäèíàêîâî, èíà÷å

íå áûëî áû ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè â ñî-

ñòîÿíèè ïîêîÿ âñåãäà ãîðèçîíòàëüíà âäàëè îò ñòåíîê ñîñóäà. Åñëè æèä

êîñòü íåñæèìàåìà, òî åå ïëîòíîñòü íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ. Òîãäà ïðè ïî

ïåðå÷íîì ñå÷åíèè S ñòîëáà æèäêîñòè, åãî âûñîòå h è ïëîòíîñòè r âåñ

æèäêîñòè Ð = rgSh, à äàâëåíèå æèäêîñòè íà íèæíåå îñíîâàíèå

gSh

æèäê

== =

, (1.162)

ò. å. äàâëåíèå æèäêîñòè èçìåíÿåòñÿ ëèíåéíî ñ ãëóáèíîé.

Ïîëíîå äàâëåíèå â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìî

ñôåðíîãî è ãèäðîñòàòè÷åñêîãî:

p = p

+ rgh. (1.163)

Ñèëû äàâëåíèÿ íà íèæíèå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè ïîãðóæåííîãî â æèä

êîñòü (ãàç) òåëà áóäóò áîëüøå, ÷åì íà âåðõíèå, ïîýòîìó íà òåëî äåéñòâóåò

âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, îïðåäåëÿåìàÿ çàêîíîì

Àðõèìåäà: íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü

(ãàç), äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ýòîé æèäêîñòè

(ãàçà) íàïðàâëåííàÿ ââåðõ âûòàëêèâàþùàÿ ñè

ëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîé òåëîì æèäêîñòè

(ãàçà):

Aðõ

= rgV, (1.164)

ãäå r — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; V — îáúåì âû

òåñíåííîé òåëîì æèäêîñòè (ðèñ. 1.34).

Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè è Áåðíóëëè

Âîîáðàæàåìàÿ æèäêîñòü, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò ñèëû âíóòðåííåãî

òðåíèÿ, íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé.

Ëèíèÿìè òîêà íàçûâàþòñÿ òàêèå ëèíèè, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì ñîâ-

ïàäàþò ñ âåêòîðàìè ñêîðîñòè æèäêîñòè â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ

ïðîñòðàíñòâà.

Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè ìîãóò èçìå-

íÿòüñÿ ñî âðåìåíåì, òî è êàðòèíà ëèíèé òîêà òàêæå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ.

Åñëè âåêòîð ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îñòàåòñÿ ïîñòîÿí-

íûì, òî òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ èëè ñòàöèîíàðíûì. Ëèíèè

òîêà ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè ñîâïàäàþò ñ òðàåêòîðèÿìè ÷àñòèö.

×àñòü æèäêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ëèíèÿìè òîêà, íàçûâàåòñÿ òðóáêîé

òîêà (ðèñ. 1.35). Æèäêîñòü ïðè ñâîåì äâèæåíèè íå ïåðåñåêàåò ñòåíîê

òðóáêè òîêà, òàê êàê âåêòîð ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå íàïðàâëåí (ïî îïðå

äåëåíèþ) ïî êàñàòåëüíîé ê ëèíèÿì òîêà, èç êîòîðûõ ñîñòîèò òðóáêà òîêà.

Âîçüìåì òðóáêó òîêà íàñòîëüêî òîíêóþ, ÷òî

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ ñêîðîñòü ìîæíî ñ÷è

òàòü îäèíàêîâîé â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ñå÷åíèÿ.

Çà âðåìÿ Dt ÷åðåç ñå÷åíèå S òðóáêè òîêà ïðîòåêà

åò æèäêîñòü îáúåìîì, ðàâíûì SvDt.Åñëèæèä

êîñòü íåñæèìàåìà (ò. å. ïëîòíîñòü âñþäó îäèíà

êîâà è èçìåíÿòüñÿ íå ìîæåò), òî êîëè÷åñòâî æèä

êîñòè ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè ñå÷åíèÿìè S

è S

òðóáêè òîêà (ñì. ðèñ. 1.35) áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèç

ìåííûì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáúåìû æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé çà åäèíèöó

âðåìåíè ÷åðåç ïðîèçâîëüíûå ñå÷åíèÿ S

è S

, îäèíàêîâû: S

= S

Ðèñ. 1.35

Ðèñ. 1.34