Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика
Подождите немного. Документ загружается.
mm mumu
mmmumu
xxxx
11 2 2 11 2 2
11
2
22
2
11
2
22
2
222
vv
vv
+=+
+=+
;
2
.
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
Ðåøèâ ñèñòåìó, ìîæíî ïîëó÷èòü:
u
mm m
mm
x
xx
1
121 22
12
2
=
-+
+
()vv
;
u
mm m
mm
x
xx
2
212 11
12
2
=
-+
+
()vv
.
Ïðèìåð 2. Öåíòðàëüíûé àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð äâóõ øàðîâ
(ñì. ðèñ. 1.19).
Âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà:
mm mmu
xx
x11 2 2 1 2
vv+=+()
,
îòêóäà
u
mm
mm
x
xx
=
+
+
11 2 2
12
vv
()
.
Èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ øàðîâ
(
)
DWW W
mmu
mm
m
=-=
+
-+
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
=
=-
êê
21
12
2
11
2
22
2
222
vv
(
)
(
)
12
12
12
2
2
0
m
mm+
-<vv .
Àíàëîãèÿ â äèíàìèêå
Àíàëîãèþ â äèíàìèêå ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé
ìîæíî ïðîñëåäèòü ïî òàáë. 1.3.
Òàáëèöà 1.3
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå
Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû
Ìàññà, êã m Ìîìåíò èíåðöèè, êã·ì
2
I
z
Ñèëà, Í
r
F
, F
x
Ìîìåíò ñèëû, Í·ì
r
M
O
, M
z
Èìïóëüñ, êã·ì/ñ
r
p
, p
x
Ìîìåíò èìïóëüñà, êã·ì
2
/ñ
r
L
O
, L
z
31
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå
Çàêîíû èçìåíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû
d
d
r
r
p
t
F
i
e
i
=
å
d
d
p
t
F
x
i
e
i
x
=
å
d
d
r
r
L
t
M
O
O
e
i
i
=
å
d
d
L
t
M
z
z
e
i
i
=
å
Îñíîâíîå óðàâíåíèå äëÿ òåëà
ma F
Ci
e
i
xx
=
å
IM
zz z
e
i
i
e =
å
Ðàáîòà, Äæ
DDAFs=
t
DDAM
z
= j
Ìîùíîñòü, Âò
NF=
t
v NM
z
= w
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, Äæ
W
m
ê
=
v
2
2
W
I
z
ê
=
w
2
2
1.3. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå
Õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàíèé
Êîëåáàíèÿìè èëè êîëåáàòåëüíûìè äâèæåíèÿìè íàçûâàþòñÿ äâèæå-
íèÿ èëè ïðîöåññû, îáëàäàþùèå òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ ïîâòîðÿåìîñòè
âî âðåìåíè. Íàïðèìåð, ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òåëà, ïîäâåøåííîãî íà
ïðóæèíå, êà÷àíèå ìàÿòíèêîâ, êîëåáàíèÿ ñòðóíû, âèáðàöèè, ýëåêòðîìàã
-
íèòíûå êîëåáàíèÿ è äð.
Ðàçíîîáðàçíûå ïî ïðèðîäå, êîëåáàíèÿ ìîãóò èìåòü îáùèå çàêîíî
-
ìåðíîñòè è îïèñûâàòüñÿ îäíîòèïíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè.
Ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ïðè êîòîðûõ çíà÷åíèÿ ôè
-
çè÷åñêèõ âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ â ïðîöåññå êîëåáàíèé, ïîâòîðÿþòñÿ
÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Íàïðèìåð, ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà â ÷à
-
ñàõ, àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà â ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà.
Ïåðèîäîì êîëåáàíèé T íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìå
-
íè, ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî ïîâòîðÿþòñÿ çíà÷åíèÿ âñåõ âåëè÷èí, õàðàêòå
-
ðèçóþùèõ êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. [T]=ñ.
32
Îêîí÷àíèå òàáë. 1.3
×àñòîòà n — ÷èñëî êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè. Åäèíèöà ÷àñòî
-
òû — ãåðö:[n] = Ãö. ×àñòîòà — âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ïåðèîäó:
n =
1
T
.
Öèêëè÷åñêàÿ (êðóãîâàÿ) ÷àñòîòà w — ÷èñëî êîëåáàíèé çà 2p åäèíèö
âðåìåíè, [w] = ðàä/ñ:
w =2pn.
×àñòíûì ñëó÷àåì ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷å
-
ñêèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ñîâåðøàþùèåñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà èëè êî
-
ñèíóñà.
Ïóñòü íåêîòîðàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êî
-
ëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü íåêîòîðîé
îñè x.  ýòîì ñëó÷àå åå êîîðäèíàòà ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó:
xA t=+cos( )wa
.
Êîîðäèíàòó ìàòåðèàëüíîé òî÷êè x íàçûâàþò ñìåùåíèåì èç ïîëîæå-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ. A = x
max
— àìïëèòóäà êîëåáàíèé, j = wt + a — ôàçà êî-
ëåáàíèé, a — íà÷àëüíàÿ ôàçà. Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí A è a îïðåäåëÿþòñÿ èç
íà÷àëüíûõ óñëîâèé â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå. Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà w
ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû.
Ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì.
Ïðîñòåéøåé ìîäåëüþ ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàíèå
ïðîåêöèè x êîíöà ðàäèóñà-âåêòîðà
r
r
òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè
ðàäèóñà A ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w
0
(ðèñ. 1.20). Òàêîå ïðåäñòàâ
-
ëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íàçûâàþò âåê
-
òîðíîé äèàãðàììîé. Óãîë ïîâîðîòà ìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ: j = w
0
t + a.
Ïðîåêöèÿ æå êîíöà ðàäèóñà-âåêòîðà òî÷êè ìå
-
íÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:
(
)
xA t=+cos wa
0
. (1.89)
Ñâîáîäíûìè íàçûâàþòñÿ òàêèå êîëåáàíèÿ,
êîòîðûå ïðîèñõîäÿò â ñèñòåìå, íå ïîäâåðæåí
-
íîé äåéñòâèþ ïåðåìåííûõ âíåøíèõ ñèë. Ïðè
-
33
Ðèñ. 1.20
ìåðîì ìîãóò ñëóæèòü êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, îäíîêðàòíî âûâåäåííîãî èç
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Åñëè ñèñòåìà êîíñåðâàòèâíà, òî â íåé íå ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèÿ ýíåð
-
ãèè (äèññèïàöèè).
Íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå â êîíñåðâà
-
òèâíîé ñèñòåìå.
Ñêîðîñòü ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ
(
)
vv
x
x
t
At t==- += ++
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
d
d
wwa wa
p
00 0
2
sin cos
max
, (1.90)
ãäå
Aw
0
= v
max
— àìïëèòóäà ñêîðîñòè. Èç ñðàâíåíèÿ (1.89) è (1.90) ñëå
-
äóåò, ÷òî ñêîðîñòü îïåðåæàåò ñìåùåíèå ïî ôàçå íà
p
2
(ðèñ. 1.21).
Óñêîðåíèå ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ
(
)
a
t
x
t
At
x
at
x
x
===
=- + =
=- =
=+
d
d
d
d
2
v
2
0
2
0
0
2
0
wwa
w
w
cos
cos
max
(
)
ap+ ,
(1.91)
ãäå
Aaw
0
2
=
max
— àìïëèòóäà óñêî-
ðåíèÿ. Èç ñðàâíåíèÿ (1.89) è (1.91)
ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå îïåðåæàåò
ñìåùåíèå ïî ôàçå íà p, ò. å. óñêîðå
-
íèå è ñìåùåíèå ìåíÿþòñÿ â ïðîòè
-
âîôàçå (ñì. ðèñ. 1.21).
Èç óðàâíåíèÿ (1.91) òàêæå âèä
-
íî, ÷òî
ax
x
=-w
0
2
èëè
d
d
2
x
t
x
2
0
2
0+=w
. (1.92)
Ñîîòíîøåíèå (1.92) íàçûâàþò
äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì êî
-
ëåáàíèé (ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþ
-
ùèõ). Ôóíêöèÿ (1.89) ÿâëÿåòñÿ ðå
-
øåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ.
34
Ðèñ. 1.21
Îïðåäåëèì ñèëó, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîé ïðîèñõîäÿò ãàðìîíè÷åñêèå
êîëåáàíèÿ òåëà ìàññîé m âäîëü îñè x. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ñ ó÷å
-
òîì (1.91)
Fma mx kx
xx
==- =-w
0
2
. (1.93)
Ñèëû òèïà (1.93), ïðîïîðöèîíàëüíûå ñìåùåíèþ òåëà èç ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, íåçàâèñèìî îò èõ ïðèðîäû íàçûâàþò êâàçèóïðóãèìè. Êîýô
-
ôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
km= w
0
2
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êâà
-
çèóïðóãîé ñèëû. Ïîä äåéñòâèåì êâàçèóïðóãîé ñèëû òèïà (1.93) òåëî
áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó (1.89).
Êâàçèóïðóãàÿ ñèëà îáóñëîâëèâàåò íàëè÷èå ó òåëà ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè
(
)
W
kx kA
t
ï
== +
22
2
0
22
cos wa
. (1.94)
Êîëåáëþùååñÿ òåëî îáëàäàåò òàêæå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé
(
)
W
mmA
t
ê
== +
v
22
0
2
2
0
22
w
wasin
. (1.95)
Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (ýíåðãèÿ êîëåáàíèé)
WW W
kA m mA
=+= = =
êï
22 2
0
2
22 2
v
max
w
. (1.96)
Ìàÿòíèêè
Ìàÿòíèê — òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âäîëü
èëè âîêðóã íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé îñè.
Ïðóæèííûé ìàÿòíèê — òåëî, ïðèêðåïëåííîå ê ïðóæèíå è ñïîñîá
-
íîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âäîëü íåêîòîðîé îñè.
Åñëè òàêîé ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî â ïîëîæåíèè
ðàâíîâåñèÿ óäëèíåíèå ïðóæèíû îòëè÷íî îò íóëÿ: Dx = d (ðèñ. 1.22), ñèëà
òÿæåñòè óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîé óïðóãîñòè:
mg = kd. (1.97)
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, ñ ó÷åòîì (1.97):
(
)
ma mg F mg k x kx
x
x
=+ =-+=-
óïð
d
.
35
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
a
x
t
x
=
d
d
2
2
, ïðè
-
õîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ
-
íåíèþ êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìà
-
ÿòíèêà:
d
d
2
2
0
x
t
k
m
x+=
. (1.98)
Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà
(1.92), ãäå w
0
— öèêëè÷åñêàÿ ÷àñ
-
òîòà êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿò
-
íèêà (ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáà
-
íèé),
w
0
=
k
m
. (1.99)
Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.89). Ïåðèîä êî-
ëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà
T
m
k
==
2
2
0
p
w
p
. (1.100)
Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê — èäåàëèçèðîâàííàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿ-
ùàÿ èç íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòè, íà êîòîðîé ïîäâåøåíî òåëî,
ìàññà êîòîðîãî ñîñðåäîòî÷åíà â îä
-
íîé òî÷êå è êîòîðîå ìîæåò ñîâåð
-
øàòü êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñè
-
ëû òÿæåñòè.
Äîñòàòî÷íî õîðîøèì ïðèáëè
-
æåíèåì ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìàÿò
-
íèêó ñëóæèò íåáîëüøîé òÿæåëûé
øàðèê, ïîäâåøåííûé íà äëèííîé
òîíêîé íèòè (ðèñ. 1.23, à).
Ìîìåíò èíåðöèè øàðèêà ìàñ
-
ñîé m íà íèòè äëèíîé
l
îòíîñèòåëü
-
íî ãîðèçîíòàëüíîé îñè z, ïðîõîäÿ
-
ùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà,
36
Ðèñ. 1.22
Ðèñ. 1.23
Im
z
= l
2
.
Îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ïðè êîëåáàíèÿõ âî
-
êðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè z) áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü óãëîì j, îáðàçîâàí
-
íûì íèòüþ ñ âåðòèêàëüþ. Âîçíèêàþùèé ïðè ýòîì ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè
ñòðåìèòñÿ âåðíóòü ñèñòåìó â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (åãî äåéñòâèå àíàëî
-
ãè÷íî äåéñòâèþ êâàçèóïðóãîé ñèëû (1.93)):
Mmg
z
=- l sin j
,
ãäå
l sinj
— ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè.
Ïðèìåíèì îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
(1.65) äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
(ñì. ðèñ. 1.23, à):
IM
zz
e =
å
,
èëè
mmgll
2
ej=- sin
.
Îãðàíè÷èâøèñü ðàññìîòðåíèåì ìàëûõ êîëåáàíèé, ìîæíî ïîëîæèòü
sin jj»
. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
e
j
=
d
d
2
2
t
, ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà:
d
d
2
2
0
j
j
t
g
+=
l
. (1.101)
Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà (1.92) îòíîñèòåëüíî óãëà ïîâîðîòà (óãëî
-
âîãî ñìåùåíèÿ):
d
d
2
2
0
2
0
j
wj
t
+=
, (1.102)
ãäå w
0
— öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,
w
0
=
g
l
. (1.103)
Ïåðèîä êîëåáàíèé
T
g
= 2p
l
. (1.104)
37
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.102) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
jj w a=+
max
cos( )
0
t
, (1.105)
ãäå j
max
è a îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê — òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ïîä äåéñòâèåì ñè
-
ëû òÿæåñòè ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, íå ïðîõîäÿ
-
ùåé ÷åðåç åãî öåíòð ìàññ (ðèñ. 1.23, á).
Ïðèìåíèì îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
(1.65) äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:
Imgb
z
ej=- sin
,
ãäå I
z
— ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè z, ïðî
-
õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà; b — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïîäâåñà äî öåí
-
òðà ìàññ; bsinj — ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè.
Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî ìàëûå îòêëîíåíèÿ (
sin jj»
), ïðèõîäèì ê äèô-
ôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà:
d
d
2
2
0
j
j
t
mgb
I
z
+=
. (1.106)
Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà (1.102) îòíîñèòåëüíî óãëà ïîâîðîòà (óãëî-
âîãî ñìåùåíèÿ), ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.105). Ïðè ýòîì
w
0
— öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,
w
0
=
mgb
I
z
. (1.107)
Ïåðèîä êîëåáàíèé
T
I
mgb
z
= 2p
. (1.108)
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (1.104) è (1.108) ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàòåìà
-
òè÷åñêèé ìàÿòíèê ñ äëèíîé íèòè
L
I
mb
z
=
(1.109)
áóäåò èìåòü òàêîé æå ïåðèîä êîëåáàíèé, êàê è äàííûé ôèçè÷åñêèé ìàÿò
-
íèê. Âåëè÷èíó L íàçûâàþò ïðèâåäåííîé äëèíîé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííàÿ äëèíà ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà L — ýòî äëèíà
38
òàêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, ïåðèîä êîëåáàíèé êîòîðîãî ñîâïàäà
-
åò ñ ïåðèîäîì êîëåáàíèé äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Òî÷êà íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êó ïîäâåñà ñ öåíòðîì ìàññ, óäà
-
ëåííàÿ íà ðàññòîÿíèå ïðèâåäåííîé äëèíû îò îñè âðàùåíèÿ, íàçûâàåòñÿ
öåíòðîì êà÷àíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ñì. ðèñ. 1.23, á,ò.O¢).
Ïî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà ìîæåò áûòü ïðåä
-
ñòàâëåí â âèäå
II mb
zz
C
=+
2
, (1.110)
ãäå
I
z
C
— ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð ìàññ è ïàðàëëåëüíîé îñè âðàùåíèÿ z; b — ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè.
Ïîäñòàâèâ (1.110) â (1.109), ïîëó÷àåì
L
I
mb
b
z
C
=+
, (1.111)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî L > b, òàê ÷òî òî÷êà ïîäâåñà è öåíòð êà÷àíèÿ ëåæàò ïî
ðàçíûå ñòîðîíû îò öåíòðà ìàññ. Åñëè ìàÿòíèê ïîäâåñèòü çà öåíòð êà÷à-
íèÿ
¢
O
, òî ïåðèîä êîëåáàíèé íå èçìåíèòñÿ.
Ñëîæåíèå êîëåáàíèé îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ è îäíîé
÷àñòîòû
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ òàêèì äâèæåíèåì, ïðè êî-
òîðîì òåëî ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ èëè íåñêîëüêèõ êîëåáàíèÿõ.
Íàïðèìåð, åñëè ãðóç ïîäâåøåí íà ïðóæèíå ê ïîòîëêó âàãîíà, òî ãðóç ñî-
âåðøàåò êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïîäâåñà, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü,
êîëåáëåòñÿ íà ðåññîðàõ âàãîíà. Òàêèì îáðàçîì, ãðóç ñîâåðøàåò äâèæåíèå,
ñêëàäûâàþùååñÿ èç äâóõ êîëåáà
-
íèé îäíîãî íàïðàâëåíèÿ.
Ïóñòü òåëî ó÷àñòâóåò îäíîâðå
-
ìåííî â äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëå
-
áàíèÿõ îäíîé ÷àñòîòû w
0
:
xA t
xA t
11 0 1
22 0 2
=+
=+
cos( ),
cos( ).
wa
wa
(1.112)
Ïðåäñòàâèì îáà êîëåáàíèÿ
ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ
r
A
1
è
r
A
2
íà
âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 1.24).
39
Ðèñ. 1.24
Ïîñòðîèì ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð
r
A
.
Ïðîåêöèÿ ýòîãî âåêòîðà íà îñü õ ðàâíà ñóììå ïðîåêöèé ñëàãàåìûõ âåê
-
òîðîâ:
õ = õ
1
+ õ
2
.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð
r
A
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòèðóþùåå êîëå
-
áàíèå. Ýòîò âåêòîð âðàùàåòñÿ ñ òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ w
0
, ÷òî è âåê
-
òîðû
r
A
1
è
r
A
2
, òàê ÷òî ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå áóäåò ãàðìîíè÷åñêèì
êîëåáàíèåì ñ ÷àñòîòîé w
0
, àìïëèòóäîé À è íà÷àëüíîé ôàçîé a:
(
)
xA t=+cos wa
0
. (1.113)
Èç ïîñòðîåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü:
(
)
AAA AA
AA
A
2
1
2
2
2
12 1 2
112 2
1
2=++ -
=
+
cos ;
sin sin
cos
aa
a
aa
a
tg
12 2
+ A cos
.
a
(1.114)
Ïðîàíàëèçèðóåì âûðàæåíèå (1.114) äëÿ àìïëèòóäû:
1) åñëè ðàçíîñòü ôàç îáîèõ êîëåáàíèé a
2
– a
1
= 0, òî àìïëèòóäà ðå-
çóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ À = À
1
+ À
2
;
2) åñëè a
2
– a
1
= ±p, ò. å. îáà êîëåáàíèÿ íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå, òî
À =|À
1
– À
2
|.
Åñëè ÷àñòîòû êîëåáàíèé õ
1
è õ
2
íåîäèíàêîâû, âåêòîðû
r
A
1
è
r
A
2
áóäóò
âðàùàòüñÿ ñ ðàçëè÷íîé ñêîðîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå ðåçóëüòèðóþùèé âåê
-
òîð
r
A
ïóëüñèðóåò ïî âåëè÷èíå è âðàùàåòñÿ ñ íåïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Ðåçóëüòèðóþùèì äâèæåíèåì â ýòîì ñëó÷àå áóäåò íå ãàðìîíè÷åñêîå
êîëåáàíèå, à íåêîòîðûé ñëîæíûé ïðîöåññ.
Áèåíèÿ
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà äâà ñêëàäûâàåìûõ ãàð
-
ìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ èìåþò îäèíàêîâóþ àì
-
ïëèòóäó è ìàëî îòëè÷àþòñÿ ïî ÷àñòîòå. Ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ïðè
ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
ñ ïóëüñèðóþùåé àìïëèòóäîé. Òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ áèåíèÿìè.
Ïîñêîëüêó ÷àñòîòû êîëåáàíèé íåñêîëüêî îòëè÷íû, âñåãäà ìîæíî
âûáðàòü íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè òàê, ÷òîáû íà÷àëüíûå ôàçû îáîèõ êîëå
-
40