Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика

Подождите немного. Документ загружается.

îòêóäà âèäíî, ÷òî ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâè

æåíèÿ ìîëåêóëû ïðîïîðöèîíàëüíà àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå:

ê ïîñò ìîë

, (2.19)

à äëÿ ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè

ñð.êâ

ìîë

33kT

. (2.20)

Òîëüêî ïîñòóïàòåëüíî äâèæóòñÿ ëèøü îäíîàòîìíûå ìîëåêóëû. Äâóõ-

è ìíîãîàòîìíûå ìîëåêóëû, êðîìå ïîñòóïàòåëüíîãî, ìîãóò ñîâåðøàòü òàê

æå âðàùàòåëüíîå è êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèÿ. Ýòè âèäû äâèæåíèÿ ñâÿçàíû

ñ íåêîòîðûì çàïàñîì ýíåðãèè, âû÷èñëèòü êîòîðûé ïîçâîëÿåò çàêîí î ðàâ

íîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìî-

ëåêóëû. Ïðè ëþáîì ÷èñëå ñòåïåíåé ñâîáîäû (ñì. ðàçä. 1.1) ìîëåêóëû

òðè — ïîñòóïàòåëüíûå, ïðè÷åì íè îäíà èç íèõ íå èìååò ïðåèìóùåñòâà ïå-

ðåä äðóãèìè. Íà òðè ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ ýíåð-

ãèÿ, ðàâíàÿ

32kT

, ñëåäîâàòåëüíî, íà êàæäóþ ïîñòóïàòåëüíóþ ñòåïåíü

ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ 1/2kT.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè êèíåòè÷å-

ñêîé ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ìîëåêó-

ëû ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ

1/2kT.

Åñëè ìåæäó àòîìàìè â ìîëåêóëå äåéñòâóåò êâàçèóïðóãàÿ ñèëà, òî

ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ïðè êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè ñðåäíåå çíà÷åíèå êè

íåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ïîòåíöèàëüíîé, ïîýòîìó

êîëåáàòåëüíàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû îáëàäàåò óäâîåííîé ýíåðãåòè÷åñêîé åì

êîñòüþ.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ìîëåêóëû ïîëó÷àåòñÿ âûðà

æåíèå

ìîë

, (2.21)

ãäå i — ñóììà ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùàòåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà

êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû:

iN N N=+ +

ïîñò âðàù êîëåá

. (2.22)

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå 1000 Ê ñâÿçè ìåæäó

àòîìàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê æåñòêèå.

Äëÿ ìîëåêóë ñ æåñòêîé ñâÿçüþ ìåæäó àòîìàìè i ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì

ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû (ïîñòóïàòåëüíûõ è âðàùàòåëüíûõ).

Çàêîí Ìàêñâåëëà ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà

ïî ñêîðîñòÿì

Â ðåçóëüòàòå ìíîãîêðàòíûõ ñîóäàðåíèé ñêîðîñòü êàæäîé ìîëåêóëû

èçìåíÿåòñÿ ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíèþ. Îäíàêî èç-çà õàîòè÷åñêîãî äâè

æåíèÿ ìîëåêóë âñå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè,

ò. å. â ëþáîì íàïðàâëåíèè â ñðåäíåì äâèæåòñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî

ìîëåêóë. Ñîãëàñíî ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè, êàê áû íè èçìå

íÿëèñü ñêîðîñòè ìîëåêóë ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ, ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêî

ðîñòü (2.20) ìîëåêóë ãàçà ìàññîé m â ãàçå, íàõîäÿùåìñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâ

íîâåñèÿ ïðè T = const, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî

â ãàçå, íàõîäÿùåìñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, óñòàíàâëèâàåòñÿ íåêîòîðîå

ñòàöèîíàðíîå, íå ìåíÿþùååñÿ ñî âðåìåíåì ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî

ñêîðîñòÿì, ïîä÷èíÿþùååñÿ âïîëíå îïðåäåëåííîìó çàêîíó. Ýòîò çàêîí

òåîðåòè÷åñêè âûâåäåí Äæ. Ìàêñâåëëîì.

Ìàêñâåëë ïðåäïîëàãàë, ÷òî ãàç ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà N îäèíàêî-

âûõ ìîëåêóë (îíè íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè õàîòè÷åñêîãî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ

ïðè îäèíàêîâîé òåìïåðàòóðå) è ÷òî ñèëîâûå ïîëÿ íà ãàç íå äåéñòâóþò.

Çàêîí Ìàêñâåëëà îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ f (v), íàçûâàåìóþ

ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì.

Åñëè ðàçáèòü äèàïàçîí ñêîðîñòåé ìîëåêóë íà ìàëûå èíòåðâàëû, ðàâ

íûå dv, òî íà êàæäûé èíòåðâàë ñêîðîñòè áóäåò ïðèõîäèòüñÿ íåêîòîðîå

÷èñëî ìîëåêóë dN(v), èìåþùèõ ñêîðîñòü, çàêëþ÷åííóþ â ýòîì èíòåðâà

ëå. Ôóíêöèÿ f (v) îïðåäåëÿåò îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî ìîëåêóë dN (v)/N, ñêî

ðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â èíòåðâàëå [v, v +dv] (èëè âåðîÿòíîñòü dP òîãî,

÷òî ñêîðîñòü ìîëåêóëû ïðèíàäëåæèò äàííîìó èíòåðâàëó):

f==

()

. (2.23)

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìîëåêóëà èìååò êàêóþ-ëèáî ñêîðîñòü, ðàâíà

åäèíèöå:

f ()vvd

. (2.24)

Óñëîâèå (2.24) íàçûâàþò óñëîâèåì íîðìèðîâêè.

Ïðèìåíÿÿ ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, Ìàêñâåëë íàøåë ôóíêöèþ

f(v) — çàêîí äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì

(ðèñ. 2.2):

() expvv

ìîë

, (2.25)

ãäå k — êîýôôèöèåíò Áîëüöìàíà; A — êîíñòàíòà, íàéäåííàÿ èç óñëî

âèÿ íîðìèðîâêè (2.24), áåñêîíå÷íûé âåðõíèé ïðåäåë äëÿ ñêîðîñòè

â êîòîðîì îïðàâäàí ââèäó ìàëîñòè ïîäûíòå

ãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ áîëüøèõ ñêîðî

ñòåé,

ìîë

Ñêîðîñòü, ïðè êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-

ëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì

ìàêñèìàëüíà, íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîé

ñêîðîñòüþ v

âåð

. Çíà÷åíèå íàèáîëåå âåðîÿòíîé

ñêîðîñòè ìîæíî íàéòè, èññëåäîâàâ íà ìàêñè-

ìóì ôóíêöèþ (2.25):

âåð

ìîë

22kT

. (2.26)

Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû <v> (ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ñêî-

ðîñòü) è ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ñêîðîñòè <v

> îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîð

ìóëàì èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé:

v v v vvv==

¥¥

òò

Nfdd() ()

vvvv

f ()d

Ïðîèçâåäÿ âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü:

v ==

88kT

ppm

ìîë

, (2.27)

Ðèñ. 2.2

ìîë

, (2.28)

îòêóäà äëÿ ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå

(2.20).

Ïðèâåäeííûå õàðàêòåðíûå ñêîðîñòè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â ñëå

äóþùèõ ïðîïîðöèÿõ:

âåð

: <v> : v

ñð.êâ

= 1 : 1,13 : 1,22.

Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî ñêîðîñòÿì (2.25), ìîæíî, íàïðè

ìåð, îöåíèòü ÷èñëî ìîëåêóë, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â ïðîèçâîëüíîì

èíòåðâàëå [v

, v

DNNf=

()vv

, (2.29)

ãäå N — îáùåå ÷èñëî ìîëåêóë.

Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà

Ïðè âûâîäå çàêîíà Ìàêñâåëëà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëü-

íîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî íà ìîëåêóëû ãàçà âíåøíèå

ñèëû íå äåéñòâóþò. Ïîýòîìó ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü, ÷òî ìîëåêóëû ðàâíî-

ìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî îáúåìó ñîñóäà; òåìïåðàòóðà âåçäå îäèíàêîâà.

Íà ñàìîì äåëå ìîëåêóëû ãàçà âñåãäà íàõîäÿòñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåì-

ëè. Åñëè áû íå áûëî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, òî âñå ìîëåêóëû àòìîñôåðíîãî

âîçäóõà óïàëè áû íà Çåìëþ, à åñëè áû íå áûëî òÿãîòåíèÿ, òî àòìîñôåð-

íûé âîçäóõ ðàññåÿëñÿ áû ïî âñåé Âñåëåííîé. Òÿãîòåíèå è òåïëîâîå äâè

æåíèå ïðèâîäÿò ãàç â ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì åãî êîíöåíòðàöèÿ è äàâëå

íèå óáûâàþò ñ âûñîòîé.

Ïóñòü èäåàëüíûé ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè â îäíîðîä

íîì ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Äàâëåíèå ãàçà íà âûñîòå h îáóñëîâëåíî âåñîì

âûøåëåæàùèõ ñëîåâ. Îáîçíà÷èì ð äàâëåíèå íà âûñîòå h, òîãäà äàâëåíèå

íà âûñîòå h +dh ðàâíî ð +dp, ïðè÷åì åñëè dh > 0, òî dp < 0, òàê êàê âåñ

âûøåëåæàùèõ ñëîåâ àòìîñôåðû, à ñëåäîâàòåëüíî, è äàâëåíèå ñ âûñîòîé

óáûâàþò. Ðàçíîñòü äàâëåíèé ð è p +dp ðàâíà âåñó ãàçà, çàêëþ÷åííîìó

â îáúåìå âåðòèêàëüíîãî öèëèíäðà ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ, ðàâíîé åäèíè

öå, è âûñîòîé dh:

p –(p +dp)=rgdh,

ãäå r — ïëîòíîñòü ãàçà íà âûñîòå h. Îòñþäà

dp = -rgdh. (2.30)

Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (2.13) âûðàçèì ïëîòíîñòü

ãàçà è, ïîäñòàâëÿÿ â (2.29), ïîëó÷èì ïðèðàùåíèå äàâëåíèÿ:

ddp

h=-

, èíòåãðèðóÿ êîòîðîå (ïîëàãàÿ T = const) ïî âûñîòå îò 0 äî

h, ïîëó÷èì:

òò

, èëè

, (2.31)

ãäå ð è ð

— äàâëåíèÿ ãàçà íà âûñîòàõ h è h =0.

Ôîðìóëà (2.31) íàçûâàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé. Èç íåå ñëåäóåò, ÷òî

äàâëåíèå óáûâàåò ñ âûñîòîé ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó.

Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü âûñîòó h ñ ïîìî-

ùüþ áàðîìåòðà. Ñïåöèàëüíî ïðîãðàäóèðîâàííûé áàðîìåòð äëÿ íåïî-

ñðåäñòâåííîãî îòñ÷åòà âûñîòû íàä óðîâíåì ìîðÿ íàçûâàþò àëüòèìåò-

ðîì. Åãî øèðîêî ïðèìåíÿþò â àâèàöèè, ïðè âîñõîæäåíèè íà ãîðû.

Ïðåîáðàçóÿ â âûðàæåíèè (2.31) ïîêàçàòåëü ñòåïåíè (ïîäåëèâ íà ÷èñ-

ëî Àâîãàäðî), ïîëó÷àåì

mgh

ìîë

, (2.32)

ãäå m

ìîë

gh = e

— ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû íà âûñîòå h.

Ïðè T = const äàâëåíèå p ïðîïîðöèîíàëüíî êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë n

(ñì. (2.14)), ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî:

nn n

mgh

kT kT

ìîë ï

, (2.33)

ãäå n è n

— êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë íà âûñîòàõ h ¹ 0èh = 0 ñîîòâåòñò

âåííî.

Áîëüöìàí ïîêàçàë, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå (2.33) ñïðàâåäëèâî íå òîëüêî

â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñèë çåìíîãî òÿãîòåíèÿ, íî è â ëþáîì ïîòåíöèàëü

íîì ïîëå ñèë äëÿ ñîâîêóïíîñòè ëþáûõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ

â ñîñòîÿíèè õàîòè÷åñêîãî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå

(2.33) íàçûâàþò çàêîíîì Áîëüöìàíà.

ßâëåíèÿ ïåðåíîñà â ãàçàõ

Ïðè îòñóòñòâèè ðàâíîâåñèÿ â ãàçå âñåãäà èìååòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ

íåîäíîðîäíîñòü òåõ èëè èíûõ åãî ïàðàìåòðîâ — ïëîòíîñòè, äàâëåíèÿ,

òåìïåðàòóðû. Åñëè òàêîé ãàç ïðåäîñòàâèòü ñàìîìó ñåáå, òî õàîòè÷åñêîå

äâèæåíèå ìîëåêóë ïîñòåïåííî âûðàâíèâàåò ýòè íåîäíîðîäíîñòè è ãàç

ïðèõîäèò â ñîñòîÿíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.

ßâëåíèÿ âûðàâíèâàíèÿ ñîïðîâîæäàþòñÿ íàïðàâëåííûì ïåðåíîñîì

ðÿäà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: ìàññû, èìïóëüñà, ýíåðãèè è ò. ä.— è ïîýòîìó

íàçûâàþòñÿ ÿâëåíèÿìè ïåðåíîñà.

Ê ÿâëåíèÿì ïåðåíîñà îòíîñÿòñÿ äèôôóçèÿ (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíî

ñîì ìàññû), òåïëîïðîâîäíîñòü (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíîñîì ýíåðãèè)

è âíóòðåííåå òðåíèå èëè âÿçêîñòü (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíîñîì èìïóëü

ñà). Â îñíîâå âñåõ ÿâëåíèé ïåðåíîñà ëåæèò îäèí è òîò æå ìåõàíèçì: áåñ

ïîðÿäî÷íîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, íåïðåðûâíûå ñîóäàðå

íèÿ ìåæäó íèìè ïðèâîäÿò ê ïîñòîÿííîìó ïåðåìåøèâàíèþ ÷àñòèö è èç-

ìåíåíèþ èõ ñêîðîñòåé è ýíåðãèé. Åñëè â ãàçå ñóùåñòâóåò

ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåîäíîðîäíîñòü (ãðàäèåíò) ïëîòíîñòè, òåìïåðàòóðû

èëè ñêîðîñòè óïîðÿäî÷åííîãî ïåðåìåùåíèÿ îòäåëüíûõ ñëîåâ ãàçà, òî òå-

ïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë âûðàâíèâàåò ýòè íåîäíîðîäíîñòè. Òàêèì îá-

ðàçîì, ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà âîçíèêàþò âñëåäñòâèå íàëîæåíèÿ õàîòè÷åñêîãî

äâèæåíèÿ ìîëåêóë îêðóæàþùåé ñðåäû íà óïîðÿäî÷åííîå ïåðåìåùåíèå

ìîëåêóë â îòäåëüíûõ ñëîÿõ ãàçà.

Äèôôóçèÿ. Äèôôóçèÿ â ãàçå — ýòî ïðîöåññ ïåðåìåøèâàíèÿ ìîëåêóë,

ñîïðîâîæäàþùèéñÿ ïåðåíîñîì ìàññû èç ìåñò ñ áîëüøåé êîíöåíòðàöèåé

(ïëîòíîñòüþ) äàííûõ ìîëåêóë â ìåñòà ñ ìåíüøåé êîíöåíòðàöèåé ýòèõ

ìîëåêóë. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîöåññå äèôôóçèè ïåðåíîñèòñÿ ìàññà, à èç

ìåíÿþùåéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ãàçà r.

ßâëåíèå äèôôóçèè äëÿ õèìè÷åñêè îäíîðîäíîãî ãàçà ïîä÷èíÿåòñÿ çà

êîíó Ôèêà:

, (2.34)

ãäå

— ïëîòíîñòü ïîòîêà ìàññû âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðåäåëÿå

ìàÿ ìàññîé âåùåñòâà, äèôôóíäèðóþùåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäè

íè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè x:

; D — êîýôôè

öèåíò äèôôóçèè, [D]=ì

/ñ;

— ãðàäèåíò ïëîòíîñòè, ðàâíûé ñêîðîñòè

èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè íà åäèíèöó äëèíû x.

Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D ÷èñëåííî ðàâåí ïëîòíîñòè ïîòîêà ìàññû

ïðè åäèíè÷íîì ãðàäèåíòå ïëîòíîñòè.

Òåïëîïðîâîäíîñòü. Åñëè â îäíîé îáëàñòè ãàçà ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ

ýíåðãèÿ ìîëåêóë áîëüøå, ÷åì â äðóãîé, òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âñëåäñò

âèå ïîñòîÿííûõ ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë ïðîèñõîäèò ïðîöåññ âûðàâíèâà

íèÿ ñðåäíèõ êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ìîëåêóë, ò. å., èíûìè ñëîâàìè, âû

ðàâíèâàíèå òåìïåðàòóð.

Ïåðåíîñ ýíåðãèè (â ôîðìå òåïëîòû) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ôóðüå:

=-l

, (2.35)

ãäå

— ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ïîòîêà âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðå-

äåëÿåìàÿ ýíåðãèåé, ïåðåíîñèìîé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ

ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè x:

; l — êîýôôèöèåíò

òåïëîïðîâîäíîñòè,[l] = Âò/(ì·Ê);

— ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû, ðàâíûé

èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû íà åäèíèöó äëèíû x.

Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè l ÷èñëåííî ðàâåí ïëîòíîñòè òåïëî-

âîãî ïîòîêà ïðè åäèíè÷íîì ãðàäèåíòå òåìïåðàòóðû.

Âíóòðåííåå òðåíèå (âÿçêîñòü). Âÿçêîñòü æèäêîñòè õàðàêòåðèçóåò òå

ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî, êîãäà îòäåëüíûå ñëîè

æèäêîñòè äâèæóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Íà ðèñ. 2.3 ïîêàçàíû óñëîâíî

âûäåëåííûå ñëîè, äâèæóùèåñÿ ñî

ñêîðîñòÿìè

rr r

vv v

=+d

Èìåííî ìåæäó òàêèìè ñëîÿìè

è âîçíèêàþò ñèëû òðåíèÿ. Ìåõà

íèçì ïîÿâëåíèÿ ýòèõ ñèë ìîæíî

ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Â ðåçóëüòàòå òåïëîâîãî äâèæåíèÿ

ìîëåêóëû æèäêîñòè ïåðåõîäÿò èç îäíîãî ñëîÿ â äðóãîé, ïåðåíîñÿ ïðè

ýòîì è èìïóëüñ óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ. Ïðè ýòîì èìïóëüñ óïîðÿäî

Ðèñ. 2.3

÷åííîãî äâèæåíèÿ ñëîÿ, êîòîðûé äâèæåòñÿ áûñòðåå, óìåíüøàåòñÿ, à èì

ïóëüñ ñëîÿ ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ óâåëè÷èâàåòñÿ, ò. å. ñëîé ñ áîëüøåé

ñêîðîñòüþ òîðìîçèòñÿ, à ñëîé ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ óñêîðÿåòñÿ. À ýòî è

îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó ñëîÿìè âîçíèêàþò ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ.

Îïûò ïîêàçàë, ÷òî ñèëà âíóòðåííåãî òðåíèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû ïî

âåðõíîñòè ñëîåâ S æèäêîñòè è îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè æèäêîñòè

ddv x

(â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ñêîðîñòè):

òð

. (2.36)

Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè h íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé âÿç

êîñòüþ (êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè æèäêîñòè). [h] = Ïà·ñ. Ñëåäîâà

òåëüíî,

òð

. Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè ÷èñëåííî

ðàâåí ñèëå âíóòðåííåãî òðåíèÿ, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïðè

ãðàäèåíòå ñêîðîñòè, ðàâíîì åäèíèöå.

Âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ñëîåâ ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ìîæ-

íî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì îò îäíîãî ñëîÿ ê äðóãîìó

â åäèíèöó âðåìåíè ïåðåäàåòñÿ èìïóëüñ, ðàâíûé ïî ìîäóëþ äåéñòâóþ-

ùåé ñèëå. Òîãäà âûðàæåíèå (2.36) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

=-h

, (2.37)

ãäå

— ïëîòíîñòü ïîòîêà èìïóëüñà âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðåäå-

ëÿåìàÿ ïîëíûì èìïóëüñîì, ïåðåíîñèìûì â åäèíèöó âðåìåíè âäîëü îñè x

÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòîé îñè:

()v

Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (2.34), (2.35) è (2.37), îïèñûâàþùèõ ÿâëå

íèÿ ïåðåíîñà, ñëåäóåò, ÷òî çàêîíîìåðíîñòè âñåõ ÿâëåíèé ïåðåíîñà ñõîä

íû ìåæäó ñîáîé.

Ðåàëüíûå ãàçû. Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà

Ïðè îïèñàíèè ñâîéñòâ ãàçîâ ìû ïîëüçîâàëèñü ìîäåëüþ èäåàëüíîãî

ãàçà, ìîëåêóëû êîòîðîãî íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿ

íèè, è èõ ðàçìåðàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

C óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ è ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû ïîâåäåíèå ðå

àëüíîãî ãàçà îòëè÷àåòñÿ îò ïîâåäåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, òàê êàê ñðåäíèå

ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè óìåíüøàþòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåí

íûì âçàèìîäåéñòâèå ìîëåêóë äðóã ñ äðóãîì. Êðîìå òîãî, ñóììàðíûé

îáúåì ñàìèõ ìîëåêóë ñòàíîâèòñÿ ñîèçìåðèìûì ñ îáúåìîì ñîñóäà, â êî

òîðîì íàõîäèòñÿ ãàç.

Èç áîëüøîãî ÷èñëà óðàâíåíèé, ïðåäëîæåííûõ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäå

íèÿ ðåàëüíûõ ãàçîâ, ñàìûì ïðîñòûì è âìåñòå ñ òåì äàþùèì äîñòàòî÷íî

õîðîøèå ðåçóëüòàòû, îêàçàëîñü óðàâíåíèå ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà

Âàí-äåð-Âààëüñà (1873).

Âàí-äåð-Âààëüñ ïðåäëîæèë âíåñòè ïîïðàâêè ê äàâëåíèþ è îáúåìó

â óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà (2.11):

(

)

VbRT+

, (2.38)

ãäå à è b — ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà, îïðåäåëÿåìûå äëÿ êàæäîãî

êîíêðåòíîãî ãàçà îïûòíûì ïóòåì.

Ïîïðàâêà

ê äàâëåíèþ, ïðèâîäÿùàÿ ê ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíî-

ãî äàâëåíèÿ íà ãàç, íàçûâàåìîãî âíóòðåííèì äàâëåíèåì, îáóñëîâëåíà

äåéñòâèåì ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà, à õàðàêòåðèçóåò ñè-

ëû ìåæìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿæåíèÿ.

Ïîïðàâêà b — ýòî ïîïðàâêà íà òàê íàçûâàåìûé íåäîñòóïíûé îáúåì,

ðàâíûé ó÷åòâåðåííîìó îáúåìó âñåõ ìîëåêóë.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî

VV= n

(

)

Vb RT+

-¢=

, (2.39)

ãäå

aa¢= n

bb¢= n

— ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà äëÿ n ìîëåé.

Èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ (2.39), ìîæíî ïîñòðîèòü èçîòåðìû. Òàê êàê

óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå òðåòüåé ñòå

ïåíè îòíîñèòåëüíî îáúåìà V, òî îíî äàåò îäíî èëè òðè âåùåñòâåííûõ

çíà÷åíèÿ V â çàâèñèìîñòè îò p è T.

Ãðàôè÷åñêè òåîðåòè÷åñêèå èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà ïðåäñòàâëå

íû íà ðèñ. 2.4, ãäå çàâèñèìîñòü p îò V äàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð.

Ïðè òåìïåðàòóðå

è äàâëåíèÿõ â ïðåäåëàõ îò

äî

óðàâíåíèå

(2.39) èìååò òðè âåùåñòâåííûõ êîðíÿ. Ðàçëè÷èå ìåæäó òðåìÿ âåùåñòâåí

íûìè ðåøåíèÿìè ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû óìåíüøàåòñÿ. Íà÷èíàÿ

ñ îïðåäåëåííîé äëÿ êàæäîãî âåùåñòâà òåìïåðàòóðû T

êð

, ïðè ëþáîì äàâ

ëåíèè âåùåñòâåííûì îêàçûâàåòñÿ òîëüêî îäíî ðåøåíèå. Òåìïåðàòóðà T

êð

íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé (òî÷êà Ê íà ðèñ. 2.4).

Ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå êðèòè÷åñêîé èçî

òåðìû èìåþò ôîðìó, áëèçêóþ ê ãèïåðáîëå

ðV = const è îïèñûâàþò ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿ

íèå âåùåñòâà (ïî÷òè èäåàëüíûé ãàç).

Ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå êðèòè÷åñêîé

èçîòåðìû èìåþò ñëîæíóþ ôîðìó è ìîãóò çà

õîäèòü äàæå â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ äàâëå

íèé.

Òàê ëè äåéñòâèòåëüíî âåäåò ñåáÿ ãàç? Îò

âåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ýêñïåðèìåíò. Äëÿ òîãî,

÷òîáû ïîëó÷èòü èçîòåðìó îïûòíûì ïóòåì,

íóæíî âçÿòü âåùåñòâî â ãàçîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè è íà÷àòü ìåäëåííî ñæè-

ìàòü (â ñîñóäå ñ ïîðøíåì), äåëàÿ îäíîâðåìåííî îòñ÷åòû äàâëåíèÿ è îáú-

åìà, à òàêæå ñëåäÿ çà òåì, ÷òîáû òåìïåðàòóðà âåùåñòâà îñòàâàëàñü ïîñòî-

ÿííîé. Ðåçóëüòàòû ïîäîáíûõ îïûòîâ ïðè òåìïåðàòóðå íèæå êðèòè÷åñêîé

ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.5. Âíà÷àëå ñ óìåíüøåíèåì îáúåìà äàâëåíèå ãàçà

ðàñòåò, ïðè÷åì õîä èçîòåðìû äîñòàòî÷íî õîðî-

øî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Âàí-äåð-Âààëüñà.

Îäíàêî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî îáúåìà V

, ýêñ-

ïåðèìåíòàëüíàÿ èçîòåðìà ïåðåñòàåò ñëåäîâàòü

óðàâíåíèþ (2.39). Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî çíà÷åíèÿ

îáúåìà, äàâëåíèå â ñîñóäå ïåðåñòàåò èçìåíÿòü-

ñÿ, ñàìî æå âåùåñòâî ïðè ýòîì ïåðåñòàåò áûòü

îäíîðîäíûì: ÷àñòü ãàçà êîíäåíñèðóåòñÿ â æèä

êîñòü. Ïðîèñõîäèò ðàññëîåíèå âåùåñòâà íà äâå

ôàçû: æèäêóþ è ãàçîîáðàçíóþ. Ïî ìåðå äàëü

íåéøåãî óìåíüøåíèÿ îáúåìà âñå áîëüøàÿ

÷àñòü âåùåñòâà ïåðåõîäèò â æèäêóþ ôàçó, ïðè÷åì ïåðåõîä ïðîèñõîäèò

ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, îáîçíà÷åííîì íà ðèñ. 2.5 p

í.ï

. Ïîñëå òîãî êàê

ïðîöåññ êîíäåíñàöèè âåùåñòâà â æèäêîñòü çàêàí÷èâàåòñÿ (ýòî ïðîèñõî

äèò ïðè äîñòèæåíèè îáúåìà V

), äàëüíåéøåå óìåíüøåíèå îáúåìà íà÷è

íàåò ñîïðîâîæäàòüñÿ áûñòðûì ðîñòîì äàâëåíèÿ. Ïðè ýòîì õîä èçîòåðìû

ñíîâà ïðèìåðíî ñëåäóåò óðàâíåíèþ Âàí-äåð-Âààëüñà (2.39). Âåùåñòâî

â ñîñòîÿíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ó÷àñòêó, ñíîâà áóäåò îäíîðîä

íûì, íî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íå ãàç, à æèäêîñòü.

Ðèñ. 2.4

Ðèñ. 2.5