Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика

Подождите немного. Документ загружается.

Îáû÷íî ýëåêòðîíû è ïðîòîíû èìåþòñÿ â ðàâíûõ êîëè÷åñòâàõ è ðàñïðå

äåëåíû â òåëå ñ îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ. Â ýòîì ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóì

ìà çàðÿäîâ â ëþáîì ýëåìåíòàðíîì îáúåìå òåëà ðàâíà íóëþ, âñëåäñòâèå ÷åãî

êàæäûé òàêîé îáúåì (è òåëî â öåëîì) îêàçûâàþòñÿ íåéòðàëüíûìè.

Âñÿêèé çàðÿä îáðàçóåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ, ïî

ýòîìó îí ÿâëÿåòñÿ öåëûì êðàòíûì e:

q = ±Ne. (3.1)

Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ìîæåò èìåòü òîëüêî äèñêðåòíûå (ò. å.

ðàçäåëåííûå êîíå÷íûìè ïðîìåæóòêàìè) çíà÷åíèÿ, ãîâîðÿò, ÷òî ýòà âåëè

÷èíà êâàíòóåòñÿ, ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä êâàíòóåòñÿ.

Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ìîãóò âîçíèêàòü è èñ÷åçàòü. Îäíàêî âñåãäà

âîçíèêàþò èëè èñ÷åçàþò îäíîâðåìåííî äâà îäèíàêîâûõ çàðÿäà ðàçíûõ

çíàêîâ.

Ïðèìåð 1. Ýëåêòðîí è ïîçèòðîí (àíòèýëåêòðîí) ïðè âñòðå÷å àííè-

ãèëèðóþò, ò. å. ïðåâðàùàþòñÿ â íåéòðàëüíûå ÷àñòèöû, íàçûâàåìûå ãàì-

ìà-ôîòîíàìè. Ïðè ýòîì èñ÷åçàþò çàðÿäû +e è–e.

Ïðèìåð 2. Â õîäå ïðîöåññà, íàçûâàåìîãî ðîæäåíèåì ïàðû,ãàì-

ìà-ôîòîí ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðó ÷àñòèö —

ýëåêòðîí è ïîçèòðîí.

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿ-

äà: ñóììàðíûé çàðÿä ýëåêòðè÷åñêè èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû íå ìîæåò

èçìåíÿòüñÿ.

Çàêîí Êóëîíà

Òî÷å÷íûé çàðÿä — çàðÿæåííîå òåëî, ðàçìåðàìè êîòîðîãî ìîæíî ïðå

íåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè äî äðóãèõ òåë.

Çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ óñòàíîâèë ýêñïåðèìåí

òàëüíî Øàðëü Îãþñòåí Êóëîí â 1785 ã. ñ ïîìîùüþ èçîáðåòåííûõ èì

êðóòèëüíûõ âåñîâ: ñèëà F âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ íåïîäâèæíûõ òî÷å÷íûõ

çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ â âàêóóìå, íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé

çàðÿäû, ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíàì çàðÿäîâ q

èq

è îáðàòíî ïðîïîð

öèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó íèìè:

||||

, (3.2)

ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè

k =×910

Í·ì

/Êë

101

Äëÿ âåêòîðà ñèëû, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû

ïåðâîãî çàðÿäà íà âòîðîé (ðèñ. 3.1) ïîëó÷àåòñÿ ñî

îòíîøåíèå

r12

, (3.3)

ãäå

— åäèíè÷íûé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð,

Ïóñòü êðîìå çàðÿäà q èìåþòñÿ åùå çàðÿäû q

, q

,…,q

(ðèñ. 3.2). Òî

ãäà ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà

, ñ êîòîðîé íà q äåéñòâóþò âñå N çàðÿäîâ, îï

ðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

. (3.4)

Ôîðìóëà (3.4) îòðàæàåò ïðèíöèï ñóïåðïîçè-

öèè ñèë è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îïûòíûõ ôàêòîâ.

Âî ìíîãèå ôîðìóëû ýëåêòðîäèíàìèêè âõî-

äèò ìíîæèòåëü 4p, ïîýòîìó k èíîãäà óäîáíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå

(

)

k = 14

, ãäå

=8,85·10

–12

Ô/ì — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿí-

íàÿ. Ðàöèîíàëèçîâàííàÿ çàïèñü çàêîíà Êóëîíà:

. (3.5)

Âñÿêèé çàðÿä âîçáóæäàåò â îêðóæàþùåì åãî ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðî

ñòàòè÷åñêîå ïîëå, êîòîðîå ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â òîì, ÷òî íà ïîìåùåííûé

â êàêóþ-ëèáî åãî òî÷êó çàðÿä äåéñòâóåò ñèëà.

Ìîæíî óâèäåòü àíàëîãèþ çàêîíà Êóëîíà (3.2) è çàêîíà âñåìèðíîãî

òÿãîòåíèÿ (1.29). Çàðÿäû âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ýëåêòðîñòàòè÷å

ñêîãî ïîëÿ òàêæå, êàê ìàññû âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ãðàâèòàöè

îííîãî ïîëÿ.

Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ

Èññëåäóåì ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà q ñ ïîìîùüþ òî

÷å÷íîãî ïðîáíîãî çàðÿäà

(ðèñ. 3.3). Â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Êóëîíà,

íà ïðîáíûé çàðÿä áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà

102

Ðèñ. 3.1

Ðèñ. 3.2

=¢

Îòíîøåíèå

íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû çà

ðÿäà

, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè

êîé ïîëÿ. Íàïðÿæåííîñòü

ýëåêòðè÷åñêîãî ïî

ëÿ ÷èñëåííî ðàâíà ñèëå, äåéñòâóþùåé íà åäèíè÷

íûé òî÷å÷íûé çàðÿä. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà

ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñèëû, äåéñòâóþùåé

íà ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä:

. (3.6)

Åäèíèöà èçìåðåíèÿ íàïðÿæåííîñòè â ÑÈ — âîëüò íà ìåòð:

[]

E = Âì

Èç ñîîòíîøåíèé (3.4) è (3.6) ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿ ñêëàäûâàþòñÿ, íå âîç-

ìóùàÿ äðóã äðóãà:

. (3.7)

Ýòî ñëåäñòâèå íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè íàïðÿæåííî-

ñòåé.

Ïðèìåð. Èç çàêîíà Êóëîíà (3.5) è îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè (3.6)

ìîæíî íàéòè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà:

ròî÷

. (3.8)

Ïîëå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè âåêòîð

îäèíàêîâ â êàæäîé òî÷êå.

Ðàáîòà ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà. Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ

çàðÿäîâ

Ïóñòü òî÷å÷íûé çàðÿä

, íàõîäÿùèéñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷

íîãî çàðÿäà q, ïåðåìåñòèëñÿ âäîëü íåêîòîðîé òðàåêòîðèè èç ïîëîæåíèÿ 1

â ïîëîæåíèå 2 (ðèñ. 3.4). Íàéäåì ðàáîòó A

, ñîâåðøàåìóþ ïðè ýòîì íàä

çàðÿäîì

ñèëàìè ïîëÿ, â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ. Íà çàðÿä

äåéñòâóåò

ñèëà

103

Ðèñ. 3.3

Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ýòîé ñèëû

dd dAF

=× =

®®

ãäå

— ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùå

íèå çàðÿäà

. Èç ðèñ 3.4 âèäíî, ÷òî

ler

×=

— ïðèðàùåíèå ðàññòîÿ

íèÿ ìåæäó çàðÿäàìè. Äëÿ ðàáîòû íà

ó÷àñòêå 1–2 ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå

01 02

pe pe pe

, (3.9)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà ñèëû çàâèñèò íå îò ïóòè, ïî êîòîðîìó ïåðåìå-

ùàëñÿ çàðÿä

, à ëèøü îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèé çàðÿäà. Ðà-

áîòà ïî ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ðàâíà íóëþ (ò. å. ñèëà Êóëî-

íà ïîòåíöèàëüíà):

FqE×=

×=

®®

òò

dd0

E ×=

. (3.10)

Âûðàæåíèå

E ×

íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé âåêòîðà

ïî êîíòóðó

Ñîîòíîøåíèå (3.10) âûðàæàåò òåîðåìó î öèðêóëÿöèè âåêòîðà

öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ëþ

áîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ.

Åñëè öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîé õàðàêòåðèñòèêè íåêîòîðîãî ïîëÿ ðàâíà

íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîëå ïîòåíöèàëüíî (óñëîâèå ïîòåíöèàëüíîñòè).

Ðàáîòà ïîòåíöèàëüíûõ ñèë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê óáûëü ïî

òåíöèàëüíîé ýíåðãèè (ñì. (1.83)):

= W

ï1

– W

ï2

. (3.11)

Ñîïîñòàâèâ (3.9) è (3.11), ïîëó÷èì äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, êî

òîðîé îáëàäàåò çàðÿä

â ïîëå çàðÿäà q, âûðàæåíèå

104

Ðèñ. 3.4

const=

Íà áåñêîíå÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè çàðÿäû íå âçàèìîäåéñòâóþò, ñëå

äîâàòåëüíî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðè r = ¥ äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü:

. (3.12)

Âûðàæåíèå (3.12) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âçàèìíóþ ïîòåíöèàëüíóþ

ýíåðãèþ çàðÿäîâ q è

, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè r.

Ïîòåíöèàë

Ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà

j =

(3.13)

íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû çàðÿäà

è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ õàðàê-

òåðèñòèêè ïîëÿ çàðÿäà q. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì ïîëÿ

â äàííîé òî÷êå.

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q

îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

òî÷

, (3.14)

ãäå r — ðàññòîÿíèå îò çàðÿäà äî äàííîé òî÷êè ïîëÿ.

Ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ñèñòåìîé çàðÿäîâ, ðàâåí àëãåáðàè÷å

ñêîé ñóììå ïîòåíöèàëîâ, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç çàðÿäîâ â îòäåëüíîñòè:

jj=

. (3.15)

Èç îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà (3.13) ñëåäóåò, ÷òî çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ

â òî÷êå ïîëÿ ñ ïîòåíöèàëîì j, îáëàäàåò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé

= q j. (3.16)

Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòó ñèë ïîëÿ íàä çàðÿäîì q ìîæíî âûðàçèòü ÷å

ðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ:

105

= W

ï1

– W

ï2

= q(j

– j

) = qU, (3.17)

ãäå U — íàïðÿæåíèå, U =j

-j

=-Dj.

Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íàä çàðÿäîì ñèëàìè ïîëÿ, ðàâ

íà ïðîèçâåäåíèþ çàðÿäà íà óáûëü ïîòåíöèàëà.

Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ïîòåíöèàëà (è íàïðÿæåíèÿ) — âîëüò:

[j]=[U] = Â. Îäèí âîëüò ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëó â òàêîé òî÷êå, äëÿ

ïåðåìåùåíèÿ â êîòîðóþ èç áåñêîíå÷íîñòè çàðÿäà, ðàâíîãî îäíîìó êóëî

íó, íóæíî ñîâåðøèòü ðàáîòó â îäèí äæîóëü:1Â=1Äæ/1 Êë.

Â ôèçèêå ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ åäèíèöåé ðàáîòû è ýíåðãèè, íàçûâàåìîé

ýëåêòðîíâîëüòîì (ýÂ) è ðàâíîé ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ íàä

ýëåìåíòàðíûì çàðÿäîì e ïðè ïðîõîæäåíèè èì ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ

â îäèí âîëüò:

1ýÂ=1,6·10

–19

Êë·1Â=1,6·10

–19

Äæ.

Â áûòó æå èñïîëüçóåòñÿ åäèíèöà ðàáîòû êÂò·÷:

1êÂò·÷=3,6·10

Äæ.

Ñâÿçü íàïðÿæåííîñòè è ïîòåíöèàëà

Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ìîæíî îïèñàòü ëèáî ñ ïîìîùüþ âåêòîð-

íîé âåëè÷èíû

(ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ), ëèáî ñ ïîìîùüþ ñêà-

ëÿðíîé âåëè÷èíû j (ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ). Î÷åâèäíî,

÷òî ýòè âåëè÷èíû äîëæíû áûòü êàê-òî ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì.

Ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âäîëü íåêîòîðîãî íàïðàâëåíèÿ

íà îòðåçîê

ñèëû ïîëÿ ñîâåðøàò íàä íèì ðàáîòó

dddAqE qE=×=

Èíà÷å ýòó ðàáîòó ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óáûëü ïîòåíöèàëà:

(

)

dd dAq q=- =- ¶ ¶jjll

Ïðèðàâíÿâ îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ðàáîòû, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

(

)

qE q

llldd=- ¶ ¶j

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

l=-¶ ¶j

. (3.18)

106

Òàêèì îáðàçîì, ïðîåêöèÿ âåêòîðà

íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå

ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëà íà åäèíèöó äëèíû âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ.

Âçÿâ â êà÷åñòâå íàïðàâëåíèÿ êîîðäèíàòíûå îñè x, y, z, ïîëó÷èì âû

ðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà

=-¶ ¶j

. (3.19)

Äëÿ îäíîðîäíîãî ïîëÿ èëè äëÿ îöåíî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ìîæíî çàïèñàòü:

, (3.20)

îòêóäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíîé åäèíèöà èçìåðåíèÿ «âîëüò íà ìåòð».

Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîëåé

Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ìîæíî èçîáðàçèòü ñ ïîìîùüþ ñèëîâûõ ëè

íèé è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé.

Ñèëîâûå ëèíèè — âîîáðàæàåìûå ëèíèè, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì â êà-

æäîé òî÷êå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè â ýòîé òî÷-

êå ïîëÿ. Îíè íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûõ è çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöà-

òåëüíûõ çàðÿäàõ, íå ïåðåñåêàþòñÿ.

Ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü (ëèíèÿ) — ïîâåðõíîñòü (ëèíèÿ)

ðàâíîãî ïîòåíöèàëà.

Íà ðèñ. 3.5 èçîáðàæåíû ñèëîâûå (ñïëîøíûå) è ýêâèïîòåíöèàëüíûå

(ïóíêòèðíûå) ëèíèè äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà (à), îòðèöà-

òåëüíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà (á) è äèïîëÿ (â).

Äèïîëü — ñèñòåìà äâóõ ðàâíûõ ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî

çíàêó çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà ìàëîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà.

Ïîòîê íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òåîðåìà Ãàóññà

Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê âåêòîðà

÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ dS ñ

íîðìàëüþ

(ðèñ. 3.6)

ddddF

EnSE SES=× = =cos a

, (3.21)

ãäå

— íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè (âíåøíÿÿ äëÿ çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé).

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè S ïîòîê Ô âåêòîðà

ES=

. (3.22)

107

Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

(3.8). Ëèíèè ïîëÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåíòðàëüíî-ñèììåò

ðè÷íóþ ñèñòåìó ðàäèàëüíûõ ïðÿìûõ, íàïðàâëåííûõ îò çàðÿäà, åñëè îí

ïîëîæèòåëåí, è ê çàðÿäó, åñëè îí îòðèöàòåëåí

(ñì. ðèñ. 3.5, à è á).

Ðàññìîòðèì âîîáðàæàåìóþ ñôåðè÷åñêóþ

ïîâåðõíîñòü ðàäèóñîì r, â öåíòðå êîòîðîé ïî

ìåùàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé òî÷å÷íûé çàðÿä q.

Â êàæäîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè

(

)

Eqr

= 14

. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåê

òîðà

÷åðåç ïîâåðõíîñòü

ES ES

=== =

108

Ðèñ. 3.5

Ðèñ. 3.6

Ýòî âûðàæåíèå íå çàâèñèò îò ðàäèóñà ïîâåðõíîñòè r. Ýòî îçíà÷àåò,

÷òî ÷èñëî ëèíèé ïîëÿ íà ëþáîì ðàññòîÿíèè îò çàðÿäà îäíî è òî æå. Îòñþ

äà âûòåêàåò, ÷òî ëèíèè íèãäå, êðîìå çàðÿäà, íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷è

âàþòñÿ; íà÷àâøèñü íà ïîëîæèòåëüíîì çàðÿäå, îíè çàêàí÷èâàþòñÿ íà îò

ðèöàòåëüíîì çàðÿäå (â íàøåì ñëó÷àå íà áåñêîíå÷íîñòè). Èñòî÷íèêàìè

ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ìîãóò ñëóæèòü òîëüêî çàðÿäû, ïðè÷åì ìîù

íîñòü ýòèõ èñòî÷íèêîâ ðàâíà q/e

Îáîáùèâ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà çà

ðÿäîâ ëþáîãî çíàêà, ïðèõîäèì ê òåîðåìå Ãàóññà: ïîòîê âåêòîðà íàïðÿ

æåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü

ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàêëþ÷åííûõ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè çà

ðÿäîâ, äåëåííîé íà e

ES q==

. (3.23)

Äëÿ çàðÿäà, ðàñïðåäåëåííîãî ïî òåëó íåêîòîðûì îáðàçîì, èñïîëüçó-

åòñÿ ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.

Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà r (Êë/ì

) — çàðÿä â åäèíèöå îáúåìà,

ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà s (Êë/ì

) — çàðÿä íà åäèíèöå ïëîùà-

äè, ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà t (Êë/ì) — çàðÿä íà åäèíèöå äëèíû:

r =

;

s =

;

t =

. (3.24)

Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïîëÿ çàðÿæåííûõ òåë,

îáëàäàþùèõ ýëåìåíòàìè ñèììåòðèè: ïîëå áåñêîíå÷íîé îäíîðîäíî çàðÿ

æåííîé ïëîñêîñòè; ïîëå îäíîðîäíî çàðÿæåííîãî áåñêîíå÷íîãî öèëèíä

ðà; ïîëå îäíîðîäíî çàðÿæåííîé ñôåðû èëè øàðà.

Ïðèìåð 1. Ïîëå áåñêîíå÷íîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè

ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà s îêàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì

(ðèñ. 3.7, à):

E =

. (3.25)

Ïðèìåð 2. Ïîëå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ðàâíîìåðíî çàðÿ

æåííûõ ïëîñêîñòåé ñ ïîâåðõíîñòíûìè ïëîòíîñòÿìè çàðÿäà s è -s

(ðèñ. 3.7, á) ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè (3.7). Ìåæ

109

äó ïëîñêîñòÿìè ïîëÿ èìåþò îäèíà

êîâîå íàïðàâëåíèå, ñëåâà è ñïðà

âà — ïðîòèâîïîëîæíûå. Òàêèì îá

ðàçîì, íàïðÿæåííîñòü îêàçûâàåòñÿ

îòëè÷íîé îò íóëÿ òîëüêî ìåæäó

ïëîñêîñòÿìè:

E =

. (3.26)

Ïðèìåð 3. Ïîëå ðàâíîìåðíî

çàðÿæåííîé ñôåðû ðàäèóñîì R îêà

çûâàåòñÿ òàêèì æå, êàê è ó òî÷å÷

íîãî çàðÿäà âíå ñôåðû (ðèñ. 3.7, â).

Âíóòðè ïîëå îòñóòñòâóåò (òàê êàê

òàì íåò çàðÿäîâ è ñèëîâûì ëèíèÿì

íåãäå áûëî áû îêàí÷èâàòüñÿ).

Ïóñòü q — çàðÿä ñôåðû, òîãäà

åñëè

(3.27)

Ñ èñïîëüçîâàíèåì (3.18) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü ïîòåí-

öèàëà îò ðàññòîÿíèÿ âíå ñôåðû áóäåò òàêàÿ æå, êàê ó òî÷å÷íîãî çàðÿäà.

Âíóòðè ïîòåíöèàë òàêîé æå, êàê íà ïîâåðõíîñòè, òàê êàê âíóòðè ïîëÿ

íåò:

åñëè

(3.28)

Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêàõ

Äèýëåêòðèêè (èçîëÿòîðû) — âåùåñòâà, â êîòîðûõ çàðÿäû íå ìîãóò ïå

ðåìåùàòüñÿ óïîðÿäî÷åííî. Çàðÿäû â äèýëåêòðèêå ìîãóò ñìåùàòüñÿ èç ñâî

èõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ëèøü íà ìàëûå ðàññòîÿíèÿ, ïîðÿäêà àòîìíûõ.

Àòîìû è ìîëåêóëû ñîñòîÿò èç ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÿäåð

è äâèæóùèõñÿ âîêðóã íèõ îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ ýëåêòðîíîâ

110

Ðèñ. 3.7