Вотинов Г.Н., Перминов А.В. Физика

Подождите немного. Документ загружается.

qU q

===

22 2

. (3.57)

Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

Âûðàçèì ýíåðãèþ çàðÿæåííîãî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ÷åðåç õàðàê

òåðèñòèêè ïîëÿ â çàçîðå ìåæäó îáêëàäêàìè. Ïîäñòàíîâêà (3.52) â (3.57)

ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ

CU SU

V== =

22 2 2

ee ee ee

Â ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå ïîëå îäíîðîäíî. Ïîýòîìó ýíåðãèÿ ðàñïðå

äåëåíà ïî îáúåìó êîíäåíñàòîðà ðàâíîìåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, â åäèíèöå

îáúåìà ïîëÿ ñîäåðæèòñÿ ýíåðãèÿ

w ==

Eee

Ñ ó÷åòîì (3.37) ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

w ===

222

EEDD

. (3.58)

Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷å-

ñêîãî ïîëÿ.

Ñîîòíîøåíèå (3.58) ïîëó÷åíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîëå îäíîðîäíî.

Îäíàêî îíî áóäåò ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.

Çíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè â êàæäîé òî÷êå, ìîæíî íàéòè ýíåðãèþ ïîëÿ,

çàêëþ÷åííóþ â ëþáîì îáúåìå V. Äëÿ ýòîãî íóæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë:

òò

wdd

. (3.59)

3.2. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê

Õàðàêòåðèñòèêè è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà

Ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ýëåê

òðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Íîñèòåëÿìè òîêà ìîãóò áûòü ýëåêòðîíû, à òàêæå ïî

ëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå èîíû, ò. å. àòîìû èëè ìîëåêóëû, ïîòåðÿâ

121

øèå ëèáî ïðèñîåäèíèâøèå ê ñåáå îäèí èëè íåñêîëüêî ýëåêòðîíîâ. Çà ïî

ëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ

ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ.

Íîñèòåëè òîêà íàõîäÿòñÿ â áåñïîðÿäî÷íîì òåïëîâîì äâèæåíèè

(v ~10

ì/ñ). ×åðåç âîîáðàæàåìóþ ïëîùàäêó ïåðåíîñèòñÿ â îáîèõ íà

ïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâûé çàðÿä, è òîê îòñóòñòâóåò. Ïðè íàëè÷èè ýëåêòðè

÷åñêîãî ïîëÿ íà õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå íàêëàäûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå

äâèæåíèå íîñèòåëåé — âîçíèêàåò òîê (ïîäîáíî òîìó, êàê â ãàçå íà õàîòè

÷åñêîå òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë íàêëàäûâàåòñÿ èõ óïîðÿäî÷åííîå

äâèæåíèå — âåòåð).

Îòíîøåíèå çàðÿäà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç íåêîòîðóþ âîîáðàæàåìóþ ïî

âåðõíîñòü (íàïðèìåð, ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà), êî âðåìåíè

ïðîõîæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé è íàçûâàåòñÿ ñèëîé òîêà:

. (3.60)

Òîê, íå èçìåíÿþùèéñÿ ñî âðåìåíåì, íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì.

Åäèíèöåé ñèëû òîêà ÿâëÿåòñÿ àìïåð (À).

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ìîæåò áûòü ðàñïðåäåëåí ïî ñå÷åíèþ, ÷åðåç êîòî-

ðîå îí òå÷åò, íåðàâíîìåðíî. Â ýòîì ñëó÷àå áîëåå äåòàëüíî òîê ìîæíî

îõàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé âåëè÷èíû

, íàçûâàåìîé ïëîò-

íîñòüþ òîêà. ×òîáû îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü òîêà â íåêîòîðîé òî÷êå ïðî-

ñòðàíñòâà, íóæíî âçÿòü â ýòîé òî÷êå ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó

, ïåð-

ïåíäèêóëÿðíóþ ê íàïðàâëåíèþ óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ íîñèòåëåé òî-

êà. Ðàçäåëèâ ñèëó òîêà dI, òåêóùåãî ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó, íà

, ïîëó÷èì

ìîäóëü ïëîòíîñòè òîêà (À/ì

. (3.61)

Çà íàïðàâëåíèå âåêòîðà

ïðèíèìàåòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè

óïî

ðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ íîñèòåëåé òîêà.

Ïîëå âåêòîðà

ìîæíî èçîáðàçèòü ñ ïîìîùüþ ëèíèé òîêà, êîòîðûå

ñòðîÿòñÿ òàê æå, êàê è ëèíèè ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ëèíèè ïîñòîÿííî

ãî òîêà çàìêíóòû.

Åñëè çàäàíî ïîëå âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà, ìîæíî âû÷èñëèòü ñèëó òî

êà, òåêóùåãî ÷åðåç ëþáóþ âîîáðàæàåìóþ ïîâåðõíîñòü S. Äëÿ ýòîãî íóæ

íî ðàçáèòü S íà ýëåìåíòàðíûå ó÷àñòêè dS, ÷åðåç êîòîðûå òåêóò òîêè:

122

dd d dIjS jS jS

== =

cosa

Ïðîñóììèðîâàâ òîêè ÷åðåç âñå ïëîùàäêè, ïîëó÷èì ñèëó òîêà, òåêó

ùåãî ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S:

IjS

, (3.62)

ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà òîêà ðàâíà ïîòîêó âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ÷åðåç çà

äàííóþ ïîâåðõíîñòü.

Ïðèìåð. Â ìåòàëëàõ íîñèòåëÿìè òîêà ÿâ

ëÿþòñÿ ýëåêòðîíû (ðèñ. 3.15). Çíàÿ êîíöåíòðà

öèþ n (÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå

îáúåìà) è ñêîðîñòü óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ

íîñèòåëåé u, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ

ñèëû òîêà:

IneuS=

. (3.63)

Ñêîðîñòü óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ íîñèòåëåé òîêà u íåâåëèêà. Íà-

ïðèìåð, ó îäíîãî èç ëó÷øèõ ïðîâîäíèêîâ — ìåäè ïðè ïðåäåëüíî äîïóñ-

òèìîé òåõíè÷åñêèìè íîðìàìè ïëîòíîñòè òîêà îíà ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî

1 ìì/ñ.

Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ è ïîääåðæàíèÿ â ïðîâîäíèêàõ òîêà ïðîâîäèìîñòè

íà çàðÿæåííûå ÷àñòèöû äîëæíû äåéñòâîâàòü ñèëû, îáåñïå÷èâàþùèå èõ

óïîðÿäî÷åííîå ïåðåìåùåíèå â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè.

Êóëîíîâñêèå ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ

ïðèâîäÿò ê òàêîìó èõ ðàñïðåäåëåíèþ â ïðîâîäíèêå, ïðè êîòîðîì íàïðÿ

æåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà ðàâíà íóëþ, à ïîòåí

öèàëû âñåõ òî÷åê ïðîâîäíèêà îäèíàêîâû. Ïîýòîìó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå

ïîëå êóëîíîâñêèõ ñèë íå ìîæåò îáåñïå÷èòü ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî

òîêà â ïðîâîäíèêå.

Äëÿ òîãî ÷òîáû â ïðîâîäíèêå ìîã ñóùåñòâîâàòü ïîñòîÿííûé òîê ïðî

âîäèìîñòè, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:

à) íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ïðîâîäíèêå äîëæíà áûòü

îòëè÷íà îò íóëÿ è íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè;

á) öåïü ïîñòîÿííîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè äîëæíà áûòü çàìêíóòîé;

â) íà ñâîáîäíûå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ïîìèìî êóëîíîâñêèõ ñèë

äîëæíû äåéñòâîâàòü íåýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû, íàçûâàåìûå ñòîðîí

íèìè ñèëàìè. Ñòîðîííèå ñèëû ìîãóò áûòü ñîçäàíû èñòî÷íèêàìè òîêà.

123

Ðèñ. 3.15

Çà ñ÷åò ñòîðîííèõ ñèë ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû äâèæóòñÿ âíóòðè èñ

òî÷íèêà òîêà â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì äåéñòâèþ ñèë ýëåêòðî

ñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó íà êîíöàõ âíåøíåé öåïè ïîääåðæè

âàåòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ è â öåïè èäåò ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé

òîê. Ðàáîòà, êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óïîðÿäî÷åííîãî äâè

æåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìó

ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò ýíåðãèè èñòî÷íè

êà òîêà.

Ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà ïî ïðîâîäíèêó â ïðîöåññå ïðîòåêà

íèÿ ïî íåìó ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ñîâåðøàåòñÿ êóëîíîâñêèìè è ñòîðîí

íèìè ñèëàìè. Ïîëíàÿ ðàáîòà

AA A=+

êóë ñò

Ïîëíàÿ ðàáîòà, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìå

ùåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íà ó÷àñòêå

1–2 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïî êîòîðîé ïðîòåêàåò ïîñòî

ÿííûé òîê (ðèñ. 3.16),

AqA q Aq

êóë ñò

, ïðè

ýòîì

êóë

=-jj

(ñì. (3.17)).

Ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé

(ÝÄÑ), äåéñòâóþùåé íà ó÷àñòêå 1–2 öå-

ïè, íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ðàáîòå, êîòîðóþ

ñîâåðøàþò ñòîðîííèå ñèëû ïðè ïåðåìåùåíèè íà ó÷àñòêå 1–2 åäèíè÷íîãî

ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà (îò ìèíóñà ê ïëþñó âíóòðè èñòî÷íèêà òîêà):

=×

ñò

, (3.64)

ãäå

ñò

— íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ñòîðîííèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ âíóòðè èñ

òî÷íèêà òîêà.

Íà ðèñ. 3.16 òàêæå ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåí èñòî÷íèê òîêà; åãî õàðàê

òåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ ÝÄÑ (3.64).

Íàïðÿæåíèåì U

íà ó÷àñòêå öåïè 1–2 íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè

÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ïîëíîé ðàáîòå, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ êóëîíîâñêè

ìè è ñòîðîííèìè ñèëàìè ïðè ïåðåìåùåíèè âäîëü ó÷àñòêà öåïè åäèíè÷

íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2:

12 12

==-+()jj e

. (3.65)

124

Ðèñ. 3.16

Ó÷àñòîê öåïè, íà êîòîðîì íå äåéñòâóþò ñòîðîííèå ñèëû, íàçûâàåòñÿ

îäíîðîäíûì, èíà÷å — íåîäíîðîäíûì.

Çàêîí Îìà

Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèëà òîêà íà ó÷àñòêå öåïè ïðî

ïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåíèþ:

. (3.66)

Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè 1/R, ãäå R — ýëåêòðè÷åñêîå ñî

ïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà,[R] = Îì.

Âûðàæåíèå (3.66) îïðåäåëÿåò çàêîí Îìà (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ó÷àñòêà

öåïè).

Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà çàâèñèò îò ìàòåðèàëà ïðîâîäíèêà, åãî

ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû, ðàçìåðîâ è òåìïåðàòóðû. Äëÿ îäíîðîäíîãî öè

ëèíäðè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà äëèíîé

è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S

ñîïðîòèâëåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

= r

, (3.67)

ãäå r — óäåëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå, [r] = Îì·ì. Âåëè÷èíà,

îáðàòíàÿ óäåëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé ýëåêòðîïðî-

âîäíîñòüþ (ïðîâîäèìîñòüþ) ïðîâîäíèêà: g =1/r.

Íà ðèñ. 3.17 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ýëåêòðè÷åñêîå

ñîïðîòèâëåíèå â öåïè.

Ñëåäñòâèÿ:

1. Çàêîí Îìà äëÿ îäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè:

-jj

. (3.68)

2. Çàêîí Îìà äëÿ çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 3.18):

, (3.69)

ãäå r — âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà.

3. Íàïðÿæåíèå âî âíåøíåé öåïè (ñì. ðèñ. 3.18):

UIr

=-e

. (3.70)

125

Ðèñ. 3.17

Åñëè ïîëíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîäåðæèò

íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷

íèêîâ òîêà, òî e, äåéñòâóþùàÿ â öåïè, ðàâíà àë

ãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ îòäåëüíûõ èñòî÷íè

êîâ òîêà:

ee=

. (3.71)

4. Â êàæäîé òî÷êå ïðîâîäíèêà ñïðàâåäëèâ çàêîí Îìà â äèôôåðåíöè

àëüíîé (ëîêàëüíîé) ôîðìå:

jEE==

. (3.72)

Ïðàâèëà Êèðõãîôà

Â îñíîâå ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëåæàò äâà ïðà-

âèëà Êèðõãîôà, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü òîêè íà ó÷àñòêàõ öåïè.

Ðàçâåòâëåííàÿ öåïü — öåïü, ñîäåðæàùàÿ óçëû. Óçëàìè íàçûâàþòñÿ òî÷êè,

â êîòîðûõ ñõîäÿòñÿ áîëåå ÷åì äâà ïðîâîäíèêà. Ó÷àñòîê öåïè — öåïü ìåæ-

äó äâóìÿ óçëàìè. Êîíòóð — ëþáàÿ çàìêíóòàÿ öåïü â ðàçâåòâëåííîé öåïè.

Ïåðåä ïðèìåíåíèåì ïðàâèë Êèðõãîôà íà ó÷àñòêàõ öåïè ïðîèçâîëü-

íûì îáðàçîì óêàçûâàþòñÿ íàïðàâëåíèÿ òîêîâ.

Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà (ïðàâèëî óçëîâ): àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà

òîêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå, ðàâíà íóëþ:

= 0

, (3.73)

ïðè ýòîì òîêó, òåêóùåìó ê óçëó, ïðèïèñûâàåòñÿ îäèí çíàê, à òîêó, òåêó

ùåìó îò óçëà,— äðóãîé çíàê.

Óðàâíåíèå (3.73) ìîæíî íàïèñàòü äëÿ âñåõ N óçëîâ. Îäíàêî íåçàâè

ñèìûìè áóäóò òîëüêî (N – 1) óðàâíåíèå.

Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà (ïðàâèëî êîíòóðîâ): äëÿ ïðîèçâîëüíîãî,

ìûñëåííî âûäåëåííîãî â ðàçâåòâëåííîé öåïè, çàìêíóòîãî êîíòóðà àë

ãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé òîêîâ íà ó÷àñòêàõ öåïè íà èõ ñîïðî

òèâëåíèå ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ òîêà â ýòîì æå

êîíòóðå:

kk k

åå

= e

, (3.74)

126

Ðèñ. 3.18

ïðè ýòîì ïðåäâàðèòåëüíî âûáèðàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îáõî

äà ïî êîíòóðó (íàïðèìåð, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå), òîêàì è ÝÄÑ ïðèïèñûâà

þòñÿ çíàêè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì íàïðàâëåíèåì îáõîäà.

Åñëè äëÿ êàêîãî-ëèáî òîêà áóäåò ïîëó÷åíî îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå,

ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè îí òå÷åò â íàïðàâëåíèè, ïðî

òèâîïîëîæíîì óêàçàííîìó.

Óðàâíåíèå (3.74) ìîæíî ñîñòàâèòü äëÿ âñåõ çàìêíóòûõ êîíòóðîâ, êî

òîðûå ìîæíî âûäåëèòü â äàííîé öåïè. Îäíàêî íåçàâèñèìûìè áóäóò

óðàâíåíèÿ òîëüêî äëÿ òåõ êîíòóðîâ, êîòîðûå íåëüçÿ ïîëó÷èòü íàëîæåíè

åì íà íèõ äðóãèõ êîíòóðîâ.

×èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ ïî ïåðâîìó è âòîðîìó

ïðàâèëàì Êèðõãîôà, ðàâíî êîëè÷åñòâó òîêîâ, òåêóùèõ íà ðàçíûõ ó÷àñò

êàõ öåïè. Ïîýòîìó åñëè çàäàíû ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèÿ, òî ìîãóò áûòü âû

÷èñëåíû âñå òîêè.

Çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà

Ïðîâîäíèê ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìó òîêà íàãðåâàåòñÿ. Äæîóëü

è íåçàâèñèìî îò íåãî Ëåíö óñòàíîâèëè ýêñïåðèìåíòàëüíî, ÷òî êîëè÷åñò-

âî âûäåëèâøåéñÿ â ïðîâîäíèêå òåïëîòû ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ñîïðîòèâ-

ëåíèþ, êâàäðàòó ñèëû òîêà è âðåìåíè:

QIRt=

Åñëè ñèëà òîêà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì, òî

QIRt

. (3.75)

Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü P — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ â ïðî

âîäíèêå â åäèíèöó âðåìåíè:

IR==

. (3.76)

Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Îìà ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü:

PIRIU

===

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âåðíî, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âñÿ ýíåðãèÿ ïðåîá

ðàçóåòñÿ â òåïëî.

127

Ìîùíîñòü âñåé öåïè (äëÿ çàìêíóòîé öåïè âìåñòî U íóæíî âçÿòü e)

öåïè

= e

. (3.77)

Óäåëüíàÿ ìîùíîñòü (íà åäèíèöó îáúåìà)

jE j E

óä

== ==×

Ýòî — çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. Ñ ïîìîùüþ

(3.72) ìîæíî åãî ïåðåïèñàòü:

PjEj E

óä

== =rg

. (3.78)

3.3. Ìàãíåòèçì

Ìàãíèòíîå ïîëå. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå òîêè âçàèìîäåé-

ñòâóþò ìåæäó ñîáîé. Ýòî âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ïîëå,

íàçûâàåìîå ìàãíèòíûì. Íàçâàíèå ïðîèñõîäèò îò òîãî, ÷òî, êàê îáíàðó-

æèë â 1920 ã. Ýðñòåä, ïîëå, âîçáóæäàåìîå òîêîì, îêàçûâàåò îðèåíòèðóþ-

ùåå äåéñòâèå íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó. Â îïûòå Ýðñòåäà ïðîâîëîêà, ïî êî-

òîðîé øåë òîê, áûëà íàòÿíóòà íàä ìàãíèòíîé ñòðåëêîé, âðàùàþùåéñÿ íà

èãëå. Ïðè âêëþ÷åíèè òîêà ñòðåëêà óñòàíàâëèâàëàñü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê

ïðîâîëîêå. Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ òîêà âûçûâàëî ïîâîðîò ñòðåëêè â

ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.

Èç îïûòà Ýðñòåäà ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå èìååò íàïðàâëåííûé

õàðàêòåð è äîëæíî õàðàêòåðèçîâàòüñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé. Ýòó âåëè÷è

íó íàçâàëè ìàãíèòíîé èíäóêöèåé

Ìàãíèòíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò ýëåêòðè÷åñêîãî, íå îêàçûâàåò äåéñò

âèÿ íà ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä. Ñèëà âîçíèêàåò ëèøü òîãäà, êîãäà çàðÿä äâè

æåòñÿ. Ïðîâîäíèê ñ òîêîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëü

íóþ ñèñòåìó çàðÿäîâ, â êîòîðîé çàðÿäû îäíîãî çíàêà äâèæóòñÿ â îäíó

ñòîðîíó, à çàðÿäû äðóãîãî çíàêà — â ïðîòèâîïîëîæíóþ (ëèáî ïîêîÿò

ñÿ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåòñÿ äâèæóùèìèñÿ

çàðÿäàìè.

Èòàê, äâèæóùèåñÿ çàðÿäû (òîêè) èçìåíÿþò ñâîéñòâà îêðóæàþùåãî

èõ ïðîñòðàíñòâà — ñîçäàþò â íåì ìàãíèòíîå ïîëå. Ýòî ïîëå ïðîÿâëÿåòñÿ

â òîì, ÷òî íà äâèæóùèåñÿ â íåì çàðÿäû (òîêè) äåéñòâóþò ñèëû.

128

Ïîäîáíî òîìó, êàê äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìû èñ

ïîëüçîâàëè ïðîáíûé òî÷å÷íûé çàðÿä, äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ

áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîáíûé òîê, öèðêóëèðóþùèé â ïëîñêîì çàìêíó

òîì êîíòóðå î÷åíü ìàëûõ ðàçìåðîâ. Îðèåíòàöèþ

êîíòóðà â ïðîñòðàíñòâå áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü íà

ïðàâëåíèåì íîðìàëè

ê êîíòóðó, ñâÿçàííîé ñ íà

ïðàâëåíèåì òîêà ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà (ðèñ. 3.19).

Òàêóþ íîðìàëü ìû áóäåì íàçûâàòü ïîëîæèòåëüíîé.

Ïðè÷èíà èñïîëüçîâàíèÿ ïðîáíîãî êîíòóðà ñ òî

êîì ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëå, âîçáóæäàåìîå òîêîì, îêà

çûâàåò íà íåãî òàêîå æå îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå, êàê

è íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó: ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü êîíòóðà ðàçâîðà÷èâàåò

ñÿ â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ñåâåðíûé ïîëþñ ìàãíèòíîé ñòðåëêè. Ïðèìåì ýòî

íàïðàâëåíèå çà íàïðàâëåíèå ïîëÿ, ò. å. âåêòîðà

, â äàííîé òî÷êå.

Èòàê, ïîìåñòèâ ïðîáíûé êîíòóð â ìàãíèòíîå ïîëå, ìû îáíàðóæèì,

÷òî ïîëå óñòàíàâëèâàåò êîíòóð ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëüþ âäîëü ïîëÿ. Åñ-

ëè êîíòóð ïîâåðíóòü òàê, ÷òîáû íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè è ïîëÿ íå ñîâïàäà-

ëè, âîçíèêàåò âðàùàþùèé ìîìåíò, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü êîíòóð â ðàâíî-

âåñíîå ïîëîæåíèå (ðèñ. 3.20). Çíà÷åíèå ìîìåíòà çàâèñèò îò óãëà a ìåæäó

íîðìàëüþ è íàïðàâëåíèåì ïîëÿ: âðàùàþùèé

ìîìåíò ñèë îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì

sin a, äîñòèãàÿ íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ M

max

ïðè

a = p/2, à ïðè a = 0 ìîìåíò ðàâåí íóëþ.

Âðàùàþùèé ìîìåíò çàâèñèò êàê îò

ñâîéñòâ ïîëÿ â äàííîé òî÷êå, òàê è îò ñâîéñòâ

êîíòóðà. Âíîñÿ â îäíó è òó æå òî÷êó ïîëÿ ðàç

íûå ïðîáíûå êîíòóðû, ìû îáíàðóæèì, ÷òî ïðè

ôèêñèðîâàííîì a âðàùàþùèé ìîìåíò ïðîïîð

öèîíàëåí ñèëå òîêà I â êîíòóðå è ïëîùàäè S

êîíòóðà è ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ôîðìû

êîíòóðà. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå ìàãíèòíîãî

ïîëÿ íà ïëîñêèé êîíòóð ñ òîêîì îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé

pIS

êîòîðóþ íàçûâàþò ìàãíèòíûì ìîìåíòîì êîíòóðà.

Êðîìå ñèëû òîêà I è ïëîùàäè S êîíòóð õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêæå îðèåí

òàöèåé â ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ìîìåíò ñëåäóåò ðàññìàòðè

129

Ðèñ. 3.19

Ðèñ. 3.20

âàòü êàê âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëî

æèòåëüíîé íîðìàëè

pISn

, (3.79)

ãäå

— åäèíè÷íûé âåêòîð. Åäèíèöû èçìåðåíèÿ: [p

] = À·ì

Íà ïðîáíûå êîíòóðû, îòëè÷àþùèåñÿ çíà÷åíèåì p

, äåéñòâóþò â äàí

íîé òî÷êå ðàçíûå ïî ìîäóëþ âðàùàþùèå ìîìåíòû Ì. Îäíàêî îòíîøå

íèå Ì/p

îêàçûâàåòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì a îäíèì è òåì æå. Ïîýòîìó

â êà÷åñòâå ìîäóëÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìîæíî ïðèíÿòü âåëè÷èíó, ðàâ

íóþ îòíîøåíèþ Ì

max

, (3.80)

ãäå Ì

max

— íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âðàùàþùåãî ìîìåíòà, ïîëó÷àþùååñÿ

ïðè a = p/2.

Èòàê, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ åñòü âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ìîäóëü êîòî-

ðîé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (3.80), à íàïðàâëåíèå çàäàåòñÿ ðàâíîâåñ-

íûì ïîëîæåíèåì ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè ê êîíòóðó ñ òîêîì.

Òîãäà ìîäóëü ìîìåíòà ñèë äëÿ ïðîèçâîëüíîãî óãëà áóäåò îïðåäå-

ëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì

M = p

Bsin a. (3.81)

Âåêòîð âðàùàþùåãî ìîìåíòà ñèë

ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðàì

, ïðè÷åì åãî íàïðàâëåíèå ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà:

êðàò÷àéøèé ïîâîðîò áóðàâ÷èêà îò

ïðèâåäåò ê ïîñòóïàòåëüíîìó ïå

ðåìåùåíèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó

(ñì. ðèñ. 3.20). Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð

ìîìåíòà ñèë

ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

MpB

=´

, (3.82)

ìîäóëü æå ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (3.81).

Â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.80) åäèíèöà Â, íàçûâàåìàÿ òåñëà (Òë), ðàâíà

ìàãíèòíîé èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ïîëÿ, â êîòîðîì íà ïëîñêèé êîíòóð

ñ òîêîì, èìåþùèé ìàãíèòíûé ìîìåíò 1 À·ì

, äåéñòâóåò ìàêñèìàëüíûé

âðàùàþùèé ìîìåíò, ðàâíûé 1 Í·ì.

Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êàê è äëÿ

ýëåêòðè÷åñêîãî, ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè: ïîëå

, ïîðîæäàå

130