Волков В.Л. Моделирование процессов и систем в приборостроении

Подождите немного. Документ загружается.

купности высказанных мнений. Результаты эксперимента показали приемле-

мую сходимость оценок экспертов после пяти туров опроса.

Метод Дельфи первоначально был предложен О. Хелмером как итера-

тивная процедура при проведении мозговой атаки, которая помогает снизить

влияние психологических факторов при проведении повторных заседаний и

повысить объективность результатов. Дельфи-процедуры стали основным

средством повышения объективности экспертных опросов с использованием

количественных оценок при оценке деревьев цели и при разработке сценариев.

Процедура Дельфи-метода:

1) в упрощенном виде организуется последовательность циклов мозго-

вой атаки;

2) в более сложном виде разрабатывается программа последовательных

индивидуальных опросов обычно с помощью вопросников, исключая контак-

ты между экспертами, но предусматривающая ознакомление их с мнениями

друг друга между турами; вопросники от тура к туру могут уточняться;

3) в наиболее развитых методиках экспертам присваиваются весовые ко-

эффициенты значимости их мнений, вычисляемые на основе предшествующих

опросов, уточняемые от тура к туру и учитываемые при получении обобщен-

ных результатов оценок.

Первое практическое применение метода Дельфи к решению некоторых

задач Министерства обороны США во второй половине 40-х годов показало

его эффективность и целесообразность распространения на широкий класс

задач, связанных с оценкой будущих событий.

Недостатки метода Дельфи:

1) значительный расход времени на проведение экспертизы, связанный с

большим количеством последовательных повторений оценок;

2) необходимость неоднократного пересмотра экспертом своих ответов

вызывает у него отрицательную реакцию, что сказывается на результатах экс-

пертизы.

Морфологические методы. Основная идея морфологических методов —

систематически находить все «мыслимые» варианты решения проблемы или

реализации системы путем комбинирования выделенных элементов или их

признаков.

Метод морфологического ящика (ММЯ) нашел наиболее широкое рас-

пространение. Идея ММЯ состоит в определении всех «мыслимых» парамет-

ров, от которых может зависеть решение проблемы, и представлении их в виде

матриц-строк, а затем в определении в этой морфологической матрице-ящике

всех возможных сочетаний параметров по одному из каждой строки. Получен-

ные варианты могут затем подвергаться оценке и анализу с целью выбора наи-

лучшего. Морфологический ящик может быть не только двумерным.

Для организационных систем, систем управления такой многомерный

ящик, практически невозможно построить. Поэтому, используя идею морфо-

логического подхода для моделирования организационных систем, разрабаты-

вают языки моделирования или языки проектирования, которые применяют

для порождения возможных ситуаций в системе, возможных вариантов реше-

ния и нижних уровней иерархической структуры как при моделировании

структуры целей, так и при моделировании организационных структур. При-

мерами таких языков служат: системно-структурные языки (язык функций и

видов структуры, номинально-структурный язык), язык ситуационного управ-

ления, языки структурно-лингвистического моделирования.

Уровни описания систем. При создании и эксплуатации сложных систем

требуется проводить многочисленные исследования и расчеты, связанные с:

1) оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем;

2) выбором оптимальной структуры системы;

3) выбором оптимальных значений ее параметров.

Такие исследования возможны лишь при наличии математического опи-

сания процесса функционирования системы, т. е. ее математической модели.

Сложность реальных систем не позволяет строить для них «абсолютно»

адекватные модели. Математическая модель описывает лишь некоторый уп-

рощенный объект, в котором представлены лишь основные явления, входящие

в реальный объект, и лишь главные факторы, действующие на реальную сис-

тему.

Какие явления считать основными и какие факторы главными — сущест-

венно зависит от назначения модели, от того, какие исследования с ее помо-

щью предполагается проводить. Поэтому процесс функционирования одного и

того же реального объекта может получить различные математические описа-

ния в зависимости от поставленной задачи.

Так как математических моделей сложной системы может быть сколько

угодно много и все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то

рассмотрение задач на каком-либо одном уровне абстракции позволяет дать

ответы на определенную группу вопросов, а для получения ответов на другие

вопросы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстрак-

ции.

Лингвистический уровень описания систем — наиболее высокий уровень

абстрагирования. Из него как частные случаи можно получить другие уровни

абстрактного описания систем более низкого ранга.

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке означает, что

имеется некоторое предложение (формула), построенное на правилах данного

языка. Предполагается, что эта формула содержит варьируемые переменные,

которые только при определенном их значении делают высказывание истин-

ным.

Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляют

«термы» (имена предметов, члены предложения и т. д.) — высказывания, с

помощью которых обозначают объекты исследования, а ко второму — «функ-

торы» — высказывания, определяющие отношения между термами.

Отображение множества состояний источника во множество состояний

носителя информации называется способом кодирования, а образ состояния

при выбранном способе кодирования — кодом этого состояния.

Эвристика — это прием, позволяющий сокращать количество просмат-

риваемых вариантов при поиске решения задачи. Причем этот прием не гаран-

тирует наилучшее решение.

В настоящее время бурно развивается эвристическое программирование

— программирование игровых ситуаций, доказательства теорем, перевода с

одного языка на другой, дифференциальной диагностики, распознавания обра-

зов, нечеткой логики, нейронных структур.

Выбор подходящего метода формального описания при изучении той или

иной реальной системы является всегда наиболее ответственным и трудным

шагом в теоретико-системных построениях.

1.1. Основные понятия марковских систем

Система массового обслуживания (СМО) – структура из обслуживающих

каналов, потоков заявок и очередей [7].

Источником является входящий поток заявок (интенсивность потока - λ).

Имеется также исходящий поток (интенсивность исходящего потока - µ).

Процесс обслуживания в СМО характеризуется числом каналов - n, сред-

ним числом занятых каналов -k, производительностью - µ).

Дисциплина обслуживания характеризуется правилами, по которым дей-

ствуют системы массового обслуживания (СМО). Дисциплина может быть: в

порядке поступления, случайно, fifo, lifo, с приоритетом – абсолютным или

относительным.

По условиям ожидания СМО подразделяются на системы с отказами или

системы с очередью. По условиям организации очереди: с ограниченной оче-

редью, с ограниченным временем пребывания в очереди. По месту нахожде-

ния источников заявок: закрытые – источник в системе и оказывает на нее

влияние, открытые – вне системы и не оказывает влияния. По фазам: однофаз-

ные – один этап обслуживания, многофазные – два и более этапов. По числу

каналов: одноканальные, многоканальные.

Потоки событий. Каждому событию соответствует момент t, в который

это событие произошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток

событий – независимая последовательность моментов t.

Поток событий подразделяются по случайности: регулярные – Т - const,

случайные – Т - случайное время; по постоянности вероятностных свойств:

стационарные, нестационарные; по связи будущего поведения с прошлым: с

последействием, без последействия; по числу заявок в одном событии: орди-

нарные –событию соответствует одна заявка, неординарные - событию соот-

ветствует случайное число заявок.

Марковским системам характерны марковские процессы, которые имеют

важное свойство – отсутствие последействия. Изучение таких систем прово-

дится для определения их вероятностных характеристик. Вероятности состоя-

ний таких ситем характеризуют их эффективность и экономическую целесо-

образность.

При моделировании марковских систем используются типовые структу-

ры: одно- и много канальные системы, системы с ограниченной и неограни-

ченной очередью, системы с ограниченным временем ожидания.

2. Динамические процессы и их свойства

Основные сведения по процессам в задачах моделирования представлены

в предыдущем издании “Моделирование процессов и систем” [1]. Здесь при-

водятся наиболее важные положения для практических приложений, связан-

ных с моделированием.

2.1. Теорема проецирования

Для физически реализуемого сигнала, не принадлежащего пространству

базисных функций, существует его представление

( ), принадлежащее этому

пространству [5]:

(

)

(

)

, (2.1)

Здесь [

(

)

− ]⊥

(ортогонально всем f

), а норма

(

)

−

≤

(

)

−

, (2.2)

где

(

)

– произвольный сигнал, принадлежащий пространству базисных

функций.

2.2. Импульсная теорема

Если наивысшая частота в спектре процесса Х(t) не больше ω

, то функ-

ция X(t) определяется последовательностью своих дискретных значений в мо-

менты, отстоящие друг от друга не более чем на π/ω

с. [8]:

(

)

( ∙ )

[ω

( − )]

( − )

∞

, (2.3)

где dt - период дискретности (dt=π/ω

); ω

- предельная круговая частота про-

цесса X(t); k - номер точки отсчета.

2.3. Случайные процессы

Все полезные сигналы и помехи в технических кибернетических систе-

мах являются в общем случае случайными (стохастическими). Рассматривая

процессы неслучайными (детерминированными), мы в определенной мере

пренебрегаем их случайными свойствами [9].

Случайные процессы определяются их основной харатеристикой - функ-

цией плотности распределения f(X,t), но исследование случайных процессов с

ее помощью - непростая задача, поэтому для большинства практических задач,

с определенной степенью допущений, пользуются статистическими характе-

ристиками. К ним относятся: математическое ожидание M(t), дисперсия Dx,

корреляционная функция R(τ), спектральная функция S(w).

Также особенностью практических задач при моделировании процессов

является использование гауссовских процессов, имеющих нормальный закон

распределения. Кроме того, весьма важным для удобного математического

моделирование является понятие белого шума - это случайный процесс с рав-

номерным распределением спектра мощности во всем диапазоне частот (с по-

стоянной интенсивностью).

Из свойств случайных процессов, дающих практически реализуемые при

моделировании соотношения, необходимо выделить следующие [9].

1. Прохождение процесса через линейную динамическую систему. При

прохождении случайного сигнала через линейную динамическую систему

(ДС) изменяются его характеристики: математическое ожидание, корреляци-

онная функция, спектральная плотность, взаимокорреляционная функция,

взаимоспектральная плотность. При обозначении линейного преобразования

оператором L{t} или в частотной области W(jw) выходной процесс определя-

ется выражениями y(t)=L{x(t)}, Y(jw)=W(jw)X(jw). На основании свойств мате-

матического ожидания и корреляционной функции имеем изменение этих ха-

рактеристик в виде M[L{X}]=L{M[X]}, Ry(τ)=LL'{Rx(τ)}, где L' - линейное

преобразование по времени t+r. Изменение спектральной плотности определя-

ется в частотной области: Sy(w)=Sx(w)|W(jw)|

, где W(jw) - амплитудно-

фазочастотная характеристика системы. Взаимоспектральная плотность про-

цессов X и Y имеет вид Sxy(jw)=Sx(w)W(jw), Syx(jw)=Sx(w)W(-jw). На основе

этих свойств определяется формирующий фильтр процесса.

2. Формирующий фильтр - это линейная ДС, на входе которой белый

шум с интенсивностью Q, а на выходе сигнал со спектральной плотностью

Sg(w)=QWg(jw)Wg(-jw), где Wg(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристи-

ка фильтра.

При исследовании результатов моделирования процессов и систем важ-

ным является умение практического определения статистических характери-

стик, в первую очередь математического ожидания, и на его основе - корреля-

ционной и спектральной функций. Поскольку в рамках корреляционной тео-

рии процессов в курсе моделирования исследуются стационарные эргодиче-

ские процессы, то в основе статистического оценивания лежит эргодическая

теорема, которая утверждает, что возможно вычисление математического

ожидания не только по множеству, но и по времени.

При использовании эргодической теоремы процессы представляются

дискретными значениями, взятыми через промежутки времени X(t

)=X(k) на

основании импульсной теоремы. В этом случае интеграл в формуле математи-

ческого ожидания вычисляется через сумму. Расчетные формулы статистиче-

ских характеристик имеют вид.

Математическое ожидание

(

)

(

)

(

2.4

)

Корреляционная функция

(

)

−

(

)

(

)

(

2.5

)

где r=0,1,...,m - шаг (m≤0,2n); dt - период дискретности.

Спектральная функция

(

)

(

−1

)

(

2.6

)

Дисперсия находится через корреляционную функцию или спектральную

плотность:

(

)

(

2.7

)

3. Модели динамических систем и процессов

В современной математике используется представление динамических

процессов и систем дифференциальными уравнениями в пространстве состоя-

ний. Такое описание процессов и систем позволяет легко проводить их цифро-

вое моделирование, используя конечно-разностное представление и проекти-

ровать универсальные алгоритмы обработки информации с целью дальнейше-

го оптимального оценивания параметров систем и процессов [10]. Оптималь-

ные оценки небходимы для организации управления в системах автоматиче-

ского управления современными методами, а в информационно-

измерительных системах для получения достоверных данных об измеряемых

физических величинах, для прогнозирования поведения исследуемых явлений

и систем, повышения отказоустойчивости обработки информации [11].

Необходимо уметь формировать математические модели различного типа

(динамические модели кибернетических систем, процессов) с дальнейшей их

реализацией (исследованием) на ПЭВМ путем вычислительного эксперимента.

Одним из методов получения математической модели системы или процесса

является идентификация.

Идентификацией динамической системы (процесса) называется получе-

ние или уточнение по экспериментальным данным математической модели

(числовых параметров) этой системы или процесса, выраженной посредством

того или иного математического аппарата.

Идентификация в современном представлении использует аппарат сто-

хастических матричных дифференциальных уравнений (или разностных урав-

нений) и аппарат матричных линейных преобразований.

В общем случае в технике динамической системой называется физиче-

ское устройство или совокупность взаимодействующих устройств, в которых

протекающие процессы определяются начальными состояниями этих уст-

ройств, взаимосвязями между ними и приложенными к системе воздействия-

ми. Состояние динамической системы во времени и пространстве характери-

зуется переменными, принимающими в каждый момент времени определен-

ные числовые значения. Используются следующие основные математические

модели в пространстве состояний.

Непрерывная детерминированно-стохастическая динамическая система

(ДС) − это система, описываемая линейными дифференциальными уравнения-

ми первого порядка состояния и линейным уравнением выхода. В матричном

виде:

X′ (t)=AХ(t)+BU(t)+DV(t), Y(t)=CX(t), (3.1)

где Х(t) - n-мерный вектор состояния системы; V(t) - r-мерный вектор гауссов-

ских шумов с нулевым средним и корреляционной матрицей E[V(t)V

(t)]=Q(t)

(Е - оператор математического ожидания); Y(t) - m-мерный вектор выхода; A,

B, D - матрицы состояния (матрицы коэффициентов); С - матрица линейного

преобразования размера m×n.

Дискретная детерминированно-стохастическая ДС − это система, описы-

ваемая линейными разностными уравнениями первого порядка состояния и

дискретным уравнением выхода. Матричный вид соответствует уравнениям:

Х(k+1)=FХ(k)+GU(k)+TV(k), Y(k)=CX(k), (3.2)

где F, G, T, - переходные матрицы. Матрицы F, G, T вычисляются через A, B, D

в виде: F=I+Aψdt, G=ψBdt, T=ψDdt, где

...,

)!1(62

+++=Ψ

(3.3)

где I - единичная матрица; dt - период дискретности системы (процесса). Пе-

риод дискретности dt выбирается исходя из полосы пропускания ДС в соот-

ветствии с импульсной теоремой.

Детерминированной является ДС, у которой отсутствуют шумы возму-

щения и нет стохастических процессов (или всеми этими факторами можно

пренебречь). У чисто стохастической ДС отсутствует детерминированный век-

тор входных сигналов. Детерминировано-стохастическая система содержит

как детерминированные воздействия, так и стохастические процессы.

Объектами наблюдения являются информационные процессы (ИП), объ-

екты управления (ОУ), датчики первичной информации (ДПИ), исполнитель-

ные устройства (ИУ). Первичной моделью объекта наблюдения типа ИП явля-

ется спектральная или корреляционная функция. Первичной моделью объекта

наблюдения типа ОУ, ДПИ, ИУ является дифференциальное уравнение (или

эквивалентная передаточная функция), связывающя вход и выход. Модель

объекта наблюдения, или в более общем случае, ДС определяется структурной

схемой, приведенной на рисунке 3.1, где X -

вектор состояния системы; U - вектор входа;

V - вектор возмущения (или формирующих

белых шумов для стохастических сигналов);

Y - вектор выхода. Связь векторов U, V, Y, X

определяется соотношениями (3.1), (3.2).

Датчик первичной информации - элемент устройства, преобразующий

информацию о физической величине в сигнал, удобный для использования и

обработки. Он задается дифференциальным уравнением или передаточной

функцией. Передаточной функцией ДПИ является отношение преобразования

Лапласа выходного процесса ДПИ к преобразованию Лапласа входного про-

цесса при нулевых начальных условиях.

Движением системы называется физический процесс изменения ее пере-

менных во времени и пространстве. Выходные переменные Y(t), управляющие

входные воздействия U(t) и возмущающие входные воздействия V(t) рассмат-

риваются в виде соответствующих векторов, которые записываются в виде

столбцовых матриц:

Y(t)=[y

, . . . , y

]

, U(t)=[u

, u

2 ,

. . . , u

]

, V(t)=[v

, v

, . . . , v

]

. (3.4)

Рисунок 3.1.

Структурная схема ДС

3.1. Формирующий фильтр стохастического процесса

Исходной моделью стохастического процесса является спектральная

плотность, но для практического использования в алгоритмах обработки ин-

формации, а также для их численного и графического исследования при моде-

лировании используют вторичные модели в виде передаточной функции фор-

мирующего фильтра и матричных линейных уравнений [1].

Передаточная функция Wg(s) формирующего фильтра определяется при

факторизации исходной спектральной плотности Sg(s)=Wg(s)Wg(-s)Q, где Q -

интенсивность шума на входе формирующего фильтра; Wg(s), Wg(-s) - дробно-

рациональные функции, нули и полюсы которых лежат соответственно в левой

и правой комплексных полуплоскостях. Учитывая дробно-рациональность

спектральной плотности, функцию Sg(w) записывают в факторизованном виде:

Sg(w)=C(s/j)/D(s/j)=B(s)/A(s)·B(-s)/A(-s). Из этого соотношения имеем

)1(...

...

)1(...

sasaa

sbsbb

saa

sbb

sdsdd

scscc

−++−

⋅

−++−

(3.5)

При факторизации спектральной плотности используется следующий ал-

горитм. С учетом (3.5), где Q=1 − интенсивность входного белого шума

фильтра, задача факторизации решается составлением аналитических выраже-

ний B(s)B(-s), A(s)A(-s) и систем уравнений относительно b

и a

путем сравне-

ния коэффициентов выражений C(s/j) и B(s)B(-s), а также D(s/j) и A(s)A(-s).

Ниже приведены расчетные соотношения для коэффициентов a

При n=1 a

=(d

)

1/2

, a

=(d

)

1/2

При n=2 a

=(d

)

1/2

, a

=(2a

-d

)

1/2

, a

=(d

)

1/2

При n>2 система уравнений решается итерационным методом:

− для n=3 a

=(d

)

1/2

, a

=(d

+2a

)

1/2

, a

=(2a

-d

)

1/2

, a

=(d

)

1/2

;

− для n=4 a

=(d

)

1/2

, a

=(2d

-d

)

1/2

, a

=(2a

-d

)

1/2

, a

=(d

-2a

+2a

)

1/2

=(d

)

1/2

Для специалистов разных отраслей важным является умение на практике

формировать модель динамического процесса высокого порядка в виде пере-

даточной функции.

Решение задачи по нахождению передаточной функции формирующего

фильтра возможно выполнить с помощью программы факторизации спек-

тральной плотности. Пример такой программы на языке Pascal представлен в

[1] на стр.74-75. Эта программа как один из модулей входит в состав многоце-

левой операционной оболочки CAD-MS [9]. Более мобильное программное

обеспечение реализуется на основе стандартных электронных таблиц Microsoft

Excel.

Рассмотрим, как с помощью инструмента Excel решить задачу формиро-

вания модели динамического процесса, в случае если задано дробно-

рациональное выражение спектральной плотности процесса g(t) высокого по-

рядка (не менее шестого).

3.1.1. Пример факторизации спектральной плотности на основе Excel

Спектральная плотность исследуемого процесса задана в виде дробно-

рационального выражения

(

)

Заданной спектральной плотности соответствует формирующий фильтр с

дробно-рациональной передаточной функцией

(

)

Полином числителя B(s) и полином знаменателя A(s) формирующего

фильтра для процесса с заданной спектральной плотностью представляются

через нули и полюсы выражения Sg(s) в соответствии со схемой Горнера.

∏

−=++

)(...

psbsbb

∏

−=++

)(...

ssasaa

, (3.6)

125

25625

)(

, или через s:

125

25625

)/(

+−

jsS

где p

, s

- соответственно нули и полюсы выражения S

(s), находящиеся в ле-

вой комплексной полуплоскости (с отрицательными вещественными частями).

Для инженерного применения используется вычисление полиномов фор-

мирующего фильтра с ипользованием инструмента электронных таблиц Excel

“Поиск решения” или “Циклические ссылки”. Эти инструменты, как известно,

позволяют решать неявные задачи определения параметров математического

функционала итерационными алгоритмами при задании ряда ограничений на

параметры.

При n=4 выражение D(s/j)= A(s) A(-s) приобретает вид

=(a

s+a

)(a

-a

s+a

-a

). (3.7)

Уравнения для вычисления неизвестных коэффициентов для этого случая

представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Уравнения для факторизации спектральной плотности

−

Применение инструмента электронных таблиц Excel “Поиск решения”.

В электронной таблице Excel исходные данные (коэффициенты полино-

мов C(s), D(s)) размещаются, например, в ячейках B3:B9 (см. рисунок 3.4). По-

иск решения производится в изменяемых ячейках I5:I9. Целевые уравнения

для поиска решения запрограммированы в ячейках C3:G3.

Рисунок 3.2. Поиск решения для коэффициентов полинома

Формулы для расчета в ячейках представлены на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3. Формулы для поиска решения

Настройка инструмента “Поиск решения” представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4. Окно настройки параметров “Поиск решения”

Выбор метода “Поиск решения” произведен в окне параметров (рис. 3.5).

Рисунок 3.5. Окно выбора метода “Поиск решения”

Правильность полученного решения подтверждается выполнением

системы уравнений коэффициентов (см. B3:B9 и C3:G3 (на рисунке 3.2)).

3.2. Модели датчиков первичной информации

Датчики первичной информации, измеряющие динамические параметры

объектов наблюдения, кроме внешних воздействий, характеризуются конст-

руктивными силами, проявляющимися только во время динамического движе-

ния и зависящими только от технических параметров ДПИ.

Свободным движением (или собственным движением) называется дина-

мика ДПИ под влиянием конструктивных сил, которая описывается диффе-

ренциальным уравнением (или системой) без правой части.

Вынужденным движением называется динамика ДПИ под влиянием

внешних сил (входного воздействия g(t) или возмущения v(t)), которая описы-

вается дифференциальным уравнением (или системой) с правой частью.

К конструктивным силам относятся:

1) позиционные силы, зависящие от обобщенных координат ДПИ;

2) диссипативные силы, зависящие от первых производных обобщенных

координат (скоростей) ДПИ;

3) инерционные силы, зависящие от вторых производных обобщенных

координат (ускорений) ДПИ.

Датчики первичной информации, измеряющие параметры движения объ-

ектов наблюдения, кроме инерционной силы, в качестве конструктивных сил

могут иметь: 1) только позиционную силу; 2) только диссипативную силу; 3)

обе силы вместе.

3.2.1. Пример составления динамической модели датчика

Рассмотрим движение рамки гальванометра при измерении тока. На

рамку вокруг оси Y действуют следующие силы:

1) сила, пропорциональная протекающему по рамке току − C*i при взаи-

модействии постоянного тока с магнитным полем постоянного магнита, внут-

ри которого находится рамка (входное воздействие);

2) противодействующая сила пружины, пропорциональная углу поворота

рамки и коэффициенту жесткости пружины: − k

жa

(позиционная сила);

3) противодействующая сила демпфирования, пропорциональная угловой

скорости движения рамки: − K

da/dt, где K

− коэффициент демпфирования

(диссипативная сила);

4) противодействующая сила инерции, пропорциональная ускорению

движения рамки и ее моменту инерции: − J(d

a/dt

) (инерционная сила).

В каждый момент времени соблюдается правило механики: равенство

нулю суммы моментов, действующих на рамку вокруг оси вращения. Матема-

тически это имеет вид:

J a"+ K

a' + K

a = C i. (3.8)

Поделив обе части уравнения на J, получим

a" + 2hw

a' + w

a = C i, (3.9)

где w

=(K

/J)

1/2

- частота собственных колебаний; h=0,5K

/(K

1/2

− отно-

сительный коэффициент затухания (демпфирования) ДПИ.

Свободное движение ДПИ, определяемое конструктивными силами, со-

ответствует фундаментальному дифференциальному уравнению

a" + 2hw

a' + w

a = 0. (3.10)

Получена математическая модель движения рамки гальванометра в виде

дифференциального уравнения 2-го порядка. Эта модель является непрерыв-

ной, линейной, стационарной.

Структурная схема более сложного (реального) ДПИ изображена на ри-

сунке 3.6.

Рисунок 3.6. Структурная схема реального ДПИ

На рисунке обозначено: W

чэ

(s) − передаточная функция чувствительного

элемента; W

(s) − передаточная функция преобразователя; W

(s) − передаточ-

ная функция усилителя; W

ио

(s) − передаточная функция исполнительного ор-

гана; W

ос

(s) − передаточная функция обратной связи; W

(s) − передаточная

функция выходного звена. Часто передаточные функции элементов ДПИ

имеют вид: W

чэ

(s)=k

чэ

;

/1 JssW =)(

; W

(s)=k

;

)1/(

èîèî

+=)( TsksW

; W

ос

(s)=k

ос

;

(s)=R

. Общая передаточная функция в этом случае имеет вид

)(

asasa

kkkJsTJs

Rkkk

осиоу

ниоучэ

Для приборных следящих систем прибор первичной информации часто

характеризуется структурной схемой, представленной на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7. Структурная схема приборной следящей системы

На рисунке обозначено: W

(s) − передаточная функция дополнительной

связи по управляющему сигналу; W

(s) − передаточная функция корректи-

рующего устройства (КУ); W

(s) − передаточная функция неизменяемой части.

3.2.2. Формирование модели датчика методом ЖЛАХ

Поскольку частотные характеристики разомкнутой цепи однозначно свя-

заны с передаточной функцией ДПИ, то в них входят все особенности, прису-

щие этой передаточной функции. Из теории, как правило, известны требова-

ния к желаемой логарифмической частотной характеристике (ЛЧХ) разомкну-

той системы, которая должна обеспечивать оптимальные характеристики ка-

чества переходного процесса (минимальное время переходного процесса, при-

емлемое перерегулирование и запас устойчивости). Для статических и астати-

ческих систем желаемая ЛЧХ (ЖЛАХ) определяется коэффициентом усиления

K, тремя частотами сопряжения w

, w

и частотой среза w

. Для примера

ЖЛАХ представлена на рисунке 3.8.

Выбранная методом ЖЛАЧ структура ДПИ (желаемая передаточная

функция разомкнутой системы), включает в себя как неизменяемую часть

структуры ДПИ, так и корректирующее устройство (КУ). При этом обеспече-

ние ЖЛАХ возможно путем выбора параметров КУ. Проектирование КУ за-

ключается в определении его передаточной функции с дальнейшей ее техни-

ческой реализацией или на аналоговых элементах, или в цифровом процессо-

ре. ЛАЧХ корректирующего устройства для случая последовательной коррек-

ции при Woc=1 определяется в виде (3.11).

Рисунок 3.8. Построение желаемой ЛЧХ (ЖЛАХ)

L{KWк(jw)}=L{KWp(jw)}-L{Wн(jw)}, (3.11)

где Wн(jw) - передаточная функция неизменяемой части ДПИ; KWp(jw) пере-

даточная функция разомкнутого ДПИ; L{KWp(jw)}=20lg{KWp(jw)} логариф-

мическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) разомкнутого ДПИ.

Аппроксимируем ЛАЧХ асимптотами, т.е. прямолинейными отрезками с

наклоном 0, 20, 40 дб/декаду. По точкам излома определяются постоянные

времени звеньев и затем составляется аналитическое выражение для переда-

точной функции КУ. Реализация найденной передаточной функции КУ вы-

полняется на пассивных элементах (преимущественно на емкостях и сопро-

тивлениях). При наличии в контуре ДПИ операционного усилителя КУ реали-

зуется также на RC-цепочках с использованием операционного усилителя.

Пример. Пусть ДПИ имеет структурную схему, представленную на ри-

сунке 3.6, где передаточные функции элементов ДПИ: W

чэ

(s)=m; W

(s)=

/1 Js ;

(s)=k

; W

ос

(s)=k

ос

; W

(s)=R

. Общая передаточная функция разомкнутой сис-

темы имеет вид

)(

sW =

где K = m k

ос

На рисунке 3.9 построена ЛАХ разомкнутой системы (график 1) и ЖЛАХ

(график 2).

Рисунок 3.9. Логарифмические частотные характеристики: 1) разомкнутой сис-

темы; 2) желаемой системы; 3) корректирующего устройства

ЛАХ корректирующего устройства находится путем вычитания из

ЖЛАХ характеристики разомкнутой системы (график 3). Передаточная функ-

ция КУ по его ЛАХ имеет вид

)1(

)(

sTk

где T

=1/w

; T

=1/w

Техническая реализация КУ выполняется на имеющемся в прямой цепи

операционном усилителе с использованием емкостей и сопротивлений (рису-

нок 3.10).

Рисунок 3.10. Схема КУ

Передаточная функция, полученного КУ

)(

sCR

где R

=1/w

; R

=1/w

3.3. Основные матричные модели

Для составления алгоритмов обработки информации, а также для иссле-

дования движения динамической системы первичную модель, представленную

передаточными функциями, преобразуют в матричную модель в пространстве

состояний (3.1) или (3.2). Такие преобразования могут быть выполнены раз-

личными методами [13].

Широкое распространение методов исследования динамических систем с

помощью координат (переменных) состояния в современной теории модели-

рования обусловлено как методическими соображениями, так и удобством

обозначений и простотой проведения анализа динамических свойств системы

векторно-матричными методами. С методической точки зрения появляется

возможность охарактеризовать динамическую систему понятием "состояния

системы", которому соответствует определенная точка в евклидовом про-

странстве с координатами, являющимися координатами состояния. В этом

случае поведение системы (движение), связанное с изменением во времени

координат состояния, представляется траекторией, описываемой этой точкой.

Применение векторов и матриц позволяет записывать в компактном виде, как

математические модели системы, так и их решения.

Независимо от физической природы координат состояния, считается, что

множество всех комбинаций x

образует некое пространство состояний, т.е.

фазовое пространство рассматриваемой системы. Изменение во времени со-

стояния системы определяется вектор-функцией X(t)=Х[x

(t),x

(t),...,x

(t)], яв-

ляющейся решением исходной системы уравнений вида (3.1). В каждый фик-

сированный момент времени X(t

) представляет собой точку фазового про-

странства R

Совокупность n линейно независимых векторов в фазовом пространстве

образует базис, а каждая компонента произвольного вектора состояния X явля-

ется проекцией этого вектора на соответствующий вектор базиса.

Поскольку координаты x

вектора состояния принимаются как некоторые

абстрактные величины, лишенные физического смысла, то их можно подвер-

гать различным линейным преобразованиям, и, в частности, изменению базиса

с помощью неособого преобразования Z=RX при

≠

det

соответствую-

щего переходу к новым фазовым координатам z

Например, произведя в уравнениях (3.1) замену переменных и учитывая,

что для неособенных преобразований Z=RX будет иметь место Z=R

-1

Z получа-

ем математическую модель линейного объекта в новом базисе:

, (3.12)

где A'=RAR

-1

, B'=RB, C'=CR

-1

Из сравнения уравнений следует, что переход к новому базису не отра-

жается на входных воздействиях U и выходных переменных Y, характеризую-

щих изменение величин, доступных наблюдению. Эквивалентность уравнений

состояния позволяет широко использовать указанные преобразования для при-

ведения уравнений состояния к виду, удобному для использования методов

матричного исчисления. Записанные уравнения состояния системы не единст-

венны и существуют различные комбинации координат состояния, полностью

характеризующих поведение динамической системы. Но при этом любые две

системы координат состояния должны быть связаны между собой однозначно.

3.3.1. Каноническое преобразование матричных моделей

Рассмотрим алгоритм преобразования одномерной матричной модели

X'=AX+Bu динамической системы к канонической форме следующего вида

[14]:

ZCYuBZA

' ;'' =+=

...

' ;

...

0...100

0...010

110

























−−−

−

ggg

где g

... g

n-1

- коэффициенты характеристического уравнения матрицы А.

Алгоритм преобразования.

1) Вычисляется квадратная матрица управляемости 2-го рода

S = [B|AB|...A

n-1

B].

2) Определяется матрица Ф с помощью следующего линейного преобра-

зования













−

=Φ

−1

1...0

......

...001

...000

Коэффициенты g

... g

n-1

в матрице Ф являются коэффициентами характе-

ристического уравнения матрицы А: