Волков А.Ф., Лумпиева Т.П. Лабораторный практикум по физике

Подождите немного. Документ загружается.

Колебания и волны Описания лабораторных работ

Лабораторная работа № 67

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы – рассчитать коэффициент затухания, логарифмический

декремент затухания, время релаксации и добротность физического маятника.

Приборы и принадлежности: физический маятник с визирной рамкой, два

воздушных и один жидкостный успокоители, ванна с водой, секундомер.

Общие положения

В реальных физических системах, участвующих в колебательном движе-

нии, всегда присутствуют силы сопротивления. Действие этих сил уменьшает

энергию системы. Уменьшение энергии приводит к затуханию колебаний, т.е.

уменьшению амплитуды колебаний. При малых скоростях сила сопротивления

пропорциональна скорости:

vrF

−

(1)

где r – коэффициент сопротивления среды. В этом случае амплитуда колебаний

изменяется по закону:

eAtA

)(

−

, (2)

где А

– амплитуда в начальный момент времени;

β – коэффициент затухания.

Для характеристики степени затухания используют следующие величины:

1. Коэффициент затухания (β) – скалярная физическая величина, характери-

зующая степень затухания. Чем больше коэффициент затухания, тем быст-

рее уменьшается амплитуда. Для механических колебаний

=β

, где m –

масса маятника.

Время релаксации (τ) – время, в течение которого амплитуда колебаний

уменьшается в e раз (e – основание натурального логарифма). Время релак-

сации связано с коэффициентом затухания соотношением:

=τ

. (3)

Логарифмический декремент затухания (λ) – безразмерная физическая вели-

чина, численно равная натуральному логарифму отношения амплитуд, от-

стоящих друг от друга на период:

)(

TtA

=λ

. (4)

Логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания связаны

соотношением:

, (5)

где Т – период колебаний.

191

Колебания и волны Описания лабораторных работ

4. Добротность колебательной системы (Q) – безразмерная физическая вели-

чина, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний систе-

мы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за один период

ΔW:

π=

)(

, (6)

где )()(

WW +−=Δ .

Для малых затуханий

=Q . (7)

Большим значениям Q соответствуют слабые затухания.

Описание лабораторной установки и методики эксперимента

Установка для определения характеристик затухающих механических коле-

баний изображена на рис. 1

1 − физический маятник;

2 − винт для крепления воздушных успокои-

телей (демпферов);

3 − воздушный успокоитель (демпфер);

4 − жидкостный успокоитель (демпфер);

5 − визирная рамка;

6 − ванночка с водой.

Период колебаний определяется по формуле:

T =

, (8)

Рисунок 1

где t − время, за которое маятник совершает N

полных колебаний.

Для нахождения коэффициента затуха-

ния β воспользуемся законом изменения ам-

плитуды. Прологарифмируем правую и левую

часть уравнения (2):

tAtA β−

ln)(ln

Отсюда

tAA )(lnln

−

=β , (9)

где t – это время, в течение которого амплитуда уменьшилась от значения А

до

значения А.

Остальные характеристики рассчитывают по формулам (3), (5) и (7).

192

Колебания и волны Описания лабораторных работ

Подготовка к работе

(ответы представить в письменном виде)

Какова цель работы?

Какие величины в работе измеряются непосредственно?

Запишите формулы, по которым в этой работе рассчитываются период коле-

баний, коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания,

время релаксации и добротность физического маятника. Поясните смысл

обозначений.

Выполнение работы

1. Установить ванночку с водой так, чтобы визирная рамка маятника в состоя-

нии покоя находилась на нулевом делении линейки.

Отклонить маятник без демпфера от положения равновесия на А

=20 см.

Отпустив маятник и одновременно включив секундомер, измерить время t и

сосчитать число полных колебаний N, за которое амплитуда уменьшится

примерно вдвое. Записать значение амплитуды А(t). Опыт повторить дваж-

ды.

Закрепить на маятнике малый воздушный демпфер с помощью винта 2. Про-

вести измерения согласно п. 2, 3.

Заменить малый воздушный демпфер на большой демпфер. Провести изме-

рения согласно п. 2,3.

Снять большой воздушный демпфер и закрепить жидкостный демпфер на

нижнем конце маятника. Провести измерения согласно п. 2, 3.

Оформление отчета

1. Расчеты

1. Рассчитать период Т затухающих колебаний по формуле (8) для каждого

опыта. Для каждого демпфера найти среднее значение периода.

Рассчитать коэффициент β затухания колебаний по формуле (9) для каждого

опыта. Для каждого демпфера найти среднее значение коэффициента зату-

хания.

Рассчитать время релаксации τ колебаний по формуле (3) для каждого опы-

та. Для каждого демпфера найти среднее значение времени релаксации.

4. Рассчитать логарифмический декремент затухания λ колебаний по формуле

(5) для каждого опыта. Для каждого демпфера найти среднее значение лога-

рифмического декремента затухания.

Рассчитать добротность колебательной системы Q по формуле (7) для каж-

дого опыта. Для каждого демпфера найти среднее значение добротности.

2. Защита работы

(ответы представить в письменном виде)

Какие колебания называются затухающими? Запишите уравнение затухаю-

щих колебаний. Нарисуйте схематичный график затухающих колебаний.

Дайте определение основных характеристик затухающих колебаний.

На основании полученных данных сделайте вывод о влиянии демпферов на

характеристики затухающих колебаний.

193

Колебания и волны Описания лабораторных работ

ПРОТОКОЛ

измерений к лабораторной работе № 67

Выполнил(а)_____________________ Группа__________________

№

п/п

Наличие

демпфера

см

А(t),

см

Без демпфера

Малый

воздушный

Большой

воздушный

Жидкостный

Дата________ Подпись преподавателя___________________

194

Колебания и волны Описания лабораторных работ

Лабораторная работа № 68

ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

МЕТОДОМ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

Цель работы – измерить скорость звука в воздухе методом интерферен-

ции.

Приборы и принадлежности: генератор звуковых колебаний; установка,

предназначенная для создания разности хода звуковых волн.

Общие положения

Интерференция – это явление наложения когерентных волн, в результате

которого колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют

друг друга. При этом происходит перераспределение энергии волнового поля, и

образуются устойчивые во времени максимумы или минимумы интенсивности

колебаний. Волны называются когерентными, если они имеют одинаковую час-

тоту и приходят в данную точку пространства с не изменяющейся со временем

разностью фаз.

Если волны, распространяющиеся от источников S

и S

(рис. 1), коге-

рентны, то амплитуда результирующего колебания в точке М будет опреде-

ляться разностью фаз между ними в этой

точке.

Рисунок 1

Уравнение волны, распространяю-

щейся от источника S

, имеет вид

()

⎟⎜

⎝

−π=−ω=ξ

1111

2coscos

AkxtA

()

⎠

⎞⎛

а от источника S

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−π=−ω=ξ

2222

2coscos

AkxtA .

Найдем разность фаз этих волн:

,22

π=

−

π=ϕ−ϕ=ϕΔ

где

− разность хода.

xxx −=Δ

Если

=Δ mx

где m − любое целое число, то в точке M волны будут

друг друга усиливать, т.е. в точке М наблюдается интерференционный макси-

мум.

Если

)12(

+=Δ mx

то в точке M волны будут друг друга ослаблять, т.е.

в точке М наблюдается интерференционный минимум.

195

Описания лабораторных работ Колебания и волны

В частности, если когерентные волны

)cos(

kxtA −ω

, имеющие одинаковую амплитуду, распространяются на-

встречу друг другу, то образуется стоячая волна. Уравнение этой волны:

)cos(

kxtA +ω=ξ

=ξ cos)(coscos2

Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны равна нулю, назы-

ваются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучно-

стями (рис. 2).

Расстояние l между соседними узлами, так

же как и расстояние между соседними пучностя-

ми равно половине длине волны:

пучности

узлы

Рисунок 2

=l , (1)

где

λ − длина волны.

Длина волны связана с частотой

ν и скоро-

стью

v распространения волны соотношением

=λ

(2)

Подставив соотношение (2) в (1), получим формулу для расчета скорости

звука в воздухе:

2v . (3)

Описание экспериментальной установки

Установка, предназначенная для измерения скорости звука в воздухе пред-

ставляет собой изогнутую трубу А, в кото-

рую входит подобная ей труба В меньшего

сечения (рис. 3). Труба В может переме-

щаться относительно трубы А. В одном

колене трубы А сделано отверстие, соеди-

ненное при помощи трубки с телефоном,

подключенным к генератору звуковых ко-

лебаний. В другом колене трубы сделаны

отверстия, соединенные с наушниками.

Звуковой генератор вызывает колебания

мембраны телефона с определенной частотой; звуковая волна той же частоты,

попадая в трубу А, разветвляется; часть ее распространяется по одному колену,

часть по другому. Накладываясь при встрече, эти волны интерферируют.

Рисунок 3

Выдвигая или вдвигая трубу В, можно добиться того, чтобы вблизи отвер-

стий, соединенных с наушниками, находился интерференционный максимум

или интерференционный минимум. Частота колебаний определяется по звуко-

196

Колебания и волны Описания лабораторных работ

вому генератору. Расстояние l между ближайшими минимумами (или макси-

мумами) измеряется по шкале на установке.

Подготовка к работе

(ответы представить в письменном виде)

Какова цель работы?

Какие величины Вы будете измерять непосредственно?

Запишите формулу, по которой в данной работе рассчитывается скорость

звука. Поясните смысл обозначений.

Выполнение работы

1. Подключить установку к генератору (к клеммам ⊥ и 600 Ом). Включить

звуковой генератор в сеть. Подождать 2-3 мин, пока он прогреется.

2. Установить множитель частот на «х10». Поворотом лимба установить на

генераторе значение 120, что соответствует частоте 1200 Гц.

3. Одеть наушники. Регулятором на передней панели генератора установить

оптимальную громкость звука.

4. Выдвинуть трубу В до отказа. Перемещать трубу В в обратном направлении

до тех пор, пока громкость звука не станет минимальной. Записать деление

шкалы, напротив которого при этом стоит указатель.

5. Продолжая перемещать трубу В, определить по слуху следующий минимум.

Записать соответствующий номер n

деления шкалы.

6. Повторить измерения согласно пунктам 4, 5, увеличивая каждый раз часто-

ту на 200 Гц до 2200 Гц.

Оформление отчета

1. Расчеты

1. Для каждого опыта вычислить значения l:

l=n

−

2. По формуле (3) рассчитать скорость звука для каждого опыта при данной

температуре. Найти среднее значение скорости звука.

3. Рассчитать доверительный интервал как для прямых измерений.

4. Найти относительную погрешность измерений. Результат записать в стан-

дартном виде:

vvv

2. Защита работы

(ответы представить в письменном виде)

Какие волны называются звуковыми? От каких параметров зависит скорость

звука?

Какое явление использовалось для определения скорости звука? В чем оно

заключается?

Запишите условия максимумов и минимумов интерференции.

Сравните полученное значение скорости звука с табличным значением при

данной температуре и сделайте вывод о достоверности полученного резуль-

тата.

197

Описания лабораторных работ Колебания и волны

ПРОТОКОЛ

измерений к лабораторной работе № 68

Выполнил(а)_____________________ Группа__________________

№

п/п

ν,

Гц

см

м/с

среднее

Дата________ Подпись преподавателя___________________

198

Колебания и волны Описания лабораторных работ

Лабораторная работа № 69

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы – определить момент инерции симметричного тела относи-

тельно оси, проходящей через центр масс.

Приборы и принадлежности: физический маятник, имеющий форму коль-

ца; штангенциркуль; секундомер.

Общие положения

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под дейст-

вием силы тяжести колебания относительно неподвижной горизонтальной оси,

не проходящей через центр масс.

Отклоним маятник от положения равновесия на угол α. При этом возника-

ет момент силы тяжести М, возвращающий маятник в

положение равновесия (рис.1):

’

−

sinmg

mgd

, (1)

где m – масса маятника,

l – расстояние между точкой подвеса О и центром

масс С.

sin

d , где d – плечо силы тяжести mg.

Знак «−» поставили потому, что момент силы тя-

жести стремится уменьшить угол отклонения маятника.

Согласно основному закону динамики вращательного

движения

, (2)

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний,

ε – угловое ускорение маятника.

d α

=ε

. (3)

На основании формул (1), (2) и (3) можно записать:

α−=

sin

mgl

. (4)

Если угол отклонения мал (не превышает 3÷5°), то (α должен α≈αsin

быть выражен в радианах). Уравнение (4) в этом случае можно привести к виду:

=α+

mgl

. (5)

Введем обозначение:

mgl

=ω

, (6)

где

– циклическая частота собственных колебаний физического маятника.

Рисунок 1

199

Описания лабораторных работ Колебания и волны

Тогда

=αω+

. (7)

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических

колебаний. Его решение имеет вид:

(

)

00max

cos

, (8)

где – амплитуда колебаний, т.е. максимальный угол отклонения маятника;

max

– начальная фаза.

Период гармонических колебаний физического маятника:

mgl

T π=

= 2

. (9)

Описание экспериментальной установки и методики эксперимента

Физический маятник 1 представляет собой одно-

родное кольцо массой m (рис. 2). Значение массы указа-

но на кольце. Кольцо устанавливается на стержне с

опорной призмой 2. Из формулы (9) можно определить

момент инерции маятника относительно оси колебаний:

Рисунок 2

mglT

. (10)

Период колебаний рассчитывается по формуле

T =

, (11)

где t – время, в течение которого маятник совершает N полных колебаний.

Расстояние l от точки подвеса маятника до его центра масс

l =

, (12)

где d – внутренний диаметр кольца.

Момент инерции J

маятника относительно оси, проходящей через центр

масс, определим, используя теорему Штейнера:

mlJJ +=

. (13)

Отсюда

mlJJ −=

. (14)

Подготовка к работе

(ответы представить в письменном виде)

Какова цель работы?

Какие величины в работе измеряются непосредственно?

Запишите формулу, по которой в этой работе рассчитывается момент инер-

ции маятника относительно оси колебаний. Поясните смысл обозначений.

200