Валишев М.Г., Повзнер А.А. Лекции по колебаниям и волнам
Подождите немного. Документ загружается.
61
не равный нулю разброс по частотам ( ω2π/τ
∆
≈∆<∞), т.е. представляет собой
группу волн.
Вводят понятие
волнового пакета – это группа волн, занимающая в
каждый данный момент времени ограниченную область пространства
(рис. 6.10).
Рис. 6.10
Для описания движения волнового пакета вводят понятие
групповой
скорости
гр
х
как: 1) скорости движения центра волнового пакета; 2)
скорости движения максимального значения его амплитуды
(например,
точки В на рис. 6.10); 3)
скорости переноса энергии волнового пакета.
Для того чтобы записать формулу для групповой скорости волнового
пакета, поступим следующим образом:
1. Возьмем линейную среду, для которой выполняется принцип
суперпозиции, а именно, возмущение, возникающее в среде при
распространении группы волн, можно представить как сумму
возмущений, которые возникают в среде при распространении в среде
только одной волны этой группы.
Этот принцип суперпозиции позволяет
представить волновой пакет в виде суммы гармонических волн, частота
которых заключена в узком интервале частот (
00
ωω/2ωωω/2
−
∆<<+∆,
0
ωω∆<< ),
и модулей волновых чисел в интервале (
2/2/
0
kkkkk
∆
+
<
<
∆
−
,
0
kk <<∆ ), где под
0
ω можно понимать частоту этого волнового пакета.
2. Рассмотрим частный случай волнового пакета, состоящего из двух
гармонических волн одинаковой амплитуды с близкими значениями
циклических частот (
12
ω, ω ) и волновых чисел (
21
, kk ):
10
ω(ω ω/2)=−∆ ,
20
ω(ω ω/2)=+∆ и 2/
01
kkk
∆
−
=
, 2/
02
kkk
∆
+
=
,
причем
0
ωω∆<< ,
0
kk
<
<
∆
.
62
Складывая эти волны, можно получить
11 2 2
ξ(,) cos(ω ) cos(ω )=−+−=
ГР
х
t A tkx A tkx
00
cos((ω ω/2) ( /2) ) cos((ω ω/2) ( /2) )= −∆−−∆ + +∆−+∆ =AtkkxAtkkx
00
ω
2cos( )cos(ω)cos(ω)
22
∆∆
=− −=−
ГР
k
A t x t kx A t kx .
Первый сомножитель в этом выражении
изменяется значительно
медленнее
со временем t и координатой
x
, чем второй, и представляет собой
амплитуду
Г
Р
A волнового пакета
ω
2cos( )
22
∆∆
=−
ГР
k
AA tx
.
Максимальное значение амплитуды волнового пакета (оно соответствует
точке В на рис. 6.10) наблюдается при фазе колебаний, равной нулю, что
приводит к следующей формуле для групповой скорости
ω
0
22
∆∆
⎛⎞
−
=⇒
⎜⎟
⎝⎠
k
tx
гр
ω
υ
==
dx d
dt dk
,
(6.29)
где учтено, что интервалы
ω
∆
частот и модулей
k
∆
волновых векторов
являются малыми и поэтому их можно записать в виде
ωd и
dk
.
Полученная формула для групповой скорости (6.29) будет справедливой и в
общем случае.
3. Введем понятие дисперсии волн. Под явлением дисперсии волн
понимают зависимость фазовой скорости волны от частоты или длины
волны
( υυ(ω),υυ(λ)==).
Для линейной среды в отсутствии явления дисперсии (
υ/ λ 0 , υ/ ν 0==dd dd ),
все фазовые скорости волн, составляющих волновой пакет, будут одинаковы и
равны групповой скорости волнового пакета. Например, на рис. 6.10,а в разные
моменты времени положение точки С относительно центра волнового пакета и
относительно других составляющих этот пакет волн не изменяется:
хх
Г
Р
= .
4. Рассмотрим диспергирующие среды – это среды, в которых наблюдаются
явления дисперсии.
Для этих сред между групповой скоростью волнового
пакета и фазовой скоростью составляющих его волн можно получить
следующую формулу связи
2
ω υ υ υ 2π 2π υ
υωυ υ , λυλ
λλ λ
⋅+⋅
===⋅= =+ == =− =−
ГР
ddkdkd d
kkkdkd
dk dk dk d
,
ωυυ
υυυλ
λ
==+ =−
ГР
ddd
k
dk dk d
. (6.30)
Из выражения (6.30) видно, что при наличии явления дисперсии
(
υ/ λ 0 , υ/ ν 0≠≠dd dd ) фазовые скорости х волн будут отличаться от групповой
скорости волнового пакета. При этом различают два случая: 1)
нормальная
дисперсия (
υ/ λ 0 , υ/ ν 0><dd dd ) наблюдается для тех сред, для которых
фазовая скорость волн будет превышать групповую скорость:
хх
Г
Р
> . Так,
63
например, на рис. 6.10,б фиксированное значение фазы волны для точки С
перемещается внутри волнового пакета к его конечной точке А, т.е.
хх
C
Г
Р
> );
2)
аномальная дисперсия ( υ/ λ 0 , υ/ ν 0
<
>dd dd ) наблюдается в тех случаях,
когда фазовая скорость волн, составляющих волновой пакет, будет меньше
групповой скорости:
хх
Г
Р
< (фиксированное значение фазы волны для точки С
перемещается внутри волнового пакета к начальной точке D).
Явление нормальной дисперсии наблюдается для прозрачных сред, а
аномальной дисперсии – для сред, поглощающих излучение. Причем, для сред
с большим коэффициентом поглощения групповая скорость не вводится Это
связано с тем, что в таких средах волновой пакет
резко изменяет свою форму, а
потеря энергии, приводит к тому, что понятие групповой скорости, как
скорости переноса энергии утрачивает свой смысл.
Понятие групповой скорости используется в методах измерения скоростей
распространения волн. Именно она фигурирует при измерении дальности в
гидро- и радиолокации, в методах зондирования ионосферы, в системах
управления космическими объектами
и т.д. Отметим, что, согласно теории
относительности, групповая скорость всегда меньше скорости света в вакууме
(
х c
ГР
< ).
6.1.7. Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах
Звуковыми волнами называют упругие волны, распространяющиеся в газах,
жидкостях и твердых телах. В газах и жидкостях эти волны являются
продольными, а в твердых телах они могут быть как продольными, так и
поперечными.
Под
звуковыми волнами в узком смысле этого слова понимают также
волны с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Иначе их называют
слышимым звуком.
Эти волны, воздействуя на ухо человека, вызывают звуковые ощущения.
Звуковые волны с частотами ниже 16 Гц называют
инфразвуком, а от 20 кГц
до
13
10 Гц – ультразвуком.
Ультразвук. Верхний предел по частотам для ультразвука достигается тогда,
когда упругую среду нельзя рассматривать как сплошную, т. е. нельзя
пренебрегать ее молекулярным строением. Это будет происходить в том
случае, когда длина
л ультразвуковой волны будет сопоставима с
межмолекулярными расстояниями в данной среде. Поэтому верхний порог по
частотам в жидкости будет составлять порядка
9
10 Гц , а в твердом теле
13
10 Гц .
Для газов верхний порог достигается тогда, когда длина волны ультразвука
будет сопоставима со средней длиной свободного пробега молекул.
Для генерации ультразвуковых волн используют механические и
электромагнитные излучатели. Механические излучатели (воздушные и
жидкостные свистки и сирены) имеют недостаток в том, что они излучают
широкой спектр частот и отличаются нестабильностью частоты и
амплитуды.
В магнитострикционных излучателях (генерируются частоты до 200 кГц) для
64
возбуждения волн используют изменение размеров тела в переменном
магнитном поле. В пьезоэлектрических излучателях (до 50 МГц) используется
обратный пьезоэлектрический эффект – пластина из пьезоэлектрика совершает
вынужденные колебания в переменном электрическом поле.
Мощные излучатели ультразвука способны вызывать явление
кавитации в
жидкостях – это явление, при котором в среде за счет больших амплитуд
звукового давления возникают внутренние разрывы сплошной среды. Они
имеют вид мельчайших пузырьков, исчезновение которых сопровождается
кратковременным возрастанием давления до сотен и даже до тысяч атмосфер.
Поэтому ультразвук обладает дробящим действием, а именно, разрушает
находящиеся в жидкостях твердые тела,
живые организмы, крупные молекулы
и т.д. Это явление широко используется в технике для ускорения различных
процессов, для получения более однородной структуры металла и т.д.
Ультразвук также широко применяется в методах неразрушающего контроля
за качеством изготовления различных твердых изделий, в гидроакустике и
гидролокации – ультразвуковые волны являются единственным видом волн,
хорошо распространяющихся в морской воде.
Инфразвук. Источником инфразвука являются шумы атмосферы и моря (к
ним можно отнести ветер, грозовые разряды), сотрясения и вибрации в земной
коре от самых разнообразных источников, а также взрывы, орудийные
выстрелы, автомашины и т.д.
Эти волны из-за большой длины волны слабо поглощаются веществом, и
поэтому они могут распространяться на большие
расстояния, их можно
использовать для определения места сильных взрывов, землетрясений, с их
помощью можно предсказывать цунами и т. д.
Инфразвук оказывает неблагоприятное воздействие на состояние человека
из-за появления при таких частотах резонансных явлений в организме человека.
Скорость упругих волн. С учетом того, что при распространении в среде
упругой волны кинетическая и потенциальная энергии колебаний частиц среды
одинаковы, из формул (6.10), (6.11) можно получить для скорости звуковой
волны в твердом теле следующее выражение
⇒ωρ=
2222
2
1
2
1
VAkЕVA
.
хсЕ= , (6.31)
а в газе и жидкости
хсK= . (6.32)
Напомним, что для поперечных волн, которые распространяются только в
твердой среде, вместо модуля Юнга записывают модуль сдвига G:
хсG= . (6.33)
Упругие свойства жидкой и твердой среды, которые описываются модулем
объемной упругости К жидкости, модулями Е Юнга и модулем сдвига G,
слабо зависят от давления и температуры, поэтому скорости упругих волн в них
практически остаются постоянными.
65
Для газов ситуация становится другой. При выводе формулы для скорости
упругих волн необходимо рассмотреть два случая.
1. При больших частотах упругих волн процесс деформации малых объемов
газа протекает быстро, без теплообмена, что соответствует адиабатическому
процессу (уравнение адиабатного процесса
constPV
γ
=
), и для скорости упругой
волны в газах можно получить следующую формулу:
υγ=
R
TM. (6.34)
Согласно выражению (6.34), скорость упругой волны зависит от температуры
газа, его молярной массы и коэффициента Пуассона γ, равного отношению
молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме
VP
CC=
γ
(в формуле (6.34) буквой
R
обозначена газовая постоянная).
2. При низких частотах упругих волн процесс деформации в газе протекает
медленно, изотермически (уравнение изотермического процесса
constPV =
), и
поэтому в формулу (6.34) не войдет коэффициент Пуассона
г
:
х
R
TM=
. (6.35)
Для воздуха
1, 4=
γ
, что приводит к различию в частотах, рассчитанных по
формулам (6.34) и (6.35) в 1,18 раза.
Нужно отметить, что для частот, соответствующих звуковым волнам
(слышимому звуку), справедлива формула (6.34), т.е. практически отсутствует
явление дисперсии (скорость звука постоянна для всех частот этого диапазона).
Если подставить в формулу (6.34) значения молярной массы воздуха
(
0,029 кг/мольM = ) и температуру
300 КТ =
, то получим значение скорости
звуковой волны (
υ 347 м/c= ), которое соответствует экспериментальному
значению при давлении воздуха в одну атмосферу.
Оказывается, что скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в
жидкостях меньше, как правило, чем в твердых телах. Обычно скорость звука
является постоянной величиной для данного вещества при заданных внешних
условиях и не зависит от частоты волны и
ее амплитуды.
Приведем некоторые примеры числовых значений для скоростей звуковых
волн в газах, жидкостях и твердых телах. Для воздуха, кислорода и водорода
при нормальных условиях (
0
0Ct = Р=1 атм) скорость звука составляет 331 м/с,
316 м/с и 1284 м/с соответственно. Для воды при температуре
0
0Ct = скорость
звука равна 1402 м/с, а при температуре
0
20 Ct = -1490 м/с.
Для твердой среды скорость распространения продольных волн всегда больше
скорости распространения поперечных волн. Для никеля скорость продольной
волны составляет 5630 м/с, поперечной – 2960 м/с, а скорость звука в стержне
из никеля определяется не только характеристиками вещества, но и его
геометрическими параметрами и равна (4785-4973) м/с.
Измерение скорости
звука используется для изучения различных свойств
вещества (сжимаемость газов, модули упругости твердых тел). Изменение
скорости звука и ее зависимости от разных параметров позволяют исследовать
зонную структуру полупроводников, наличие малых примесей в газах и
жидкостях и т.д.
66
6.1.8. Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн
Под
эффектом Доплера понимают изменение частоты, регистрируемой
приемником волны, связанное с движением источника и приемника. Впервые
теоретически этот эффект в акустике и оптике был обоснован австрийским
физиком К. Доплером в 1842 г.
Рассмотрим вывод формулы, определяющей частоту упругой волны,
воспринимаемой приемником, на примере двух частных случаев.
1. В среде
находятся неподвижные источник и приемник звуковых волн
.
Испускаемые источником волны частоты
0
ν
и длины волны
00
ν=
λ
υ
, двигаясь
со скоростью
υ
, достигают приемника и создают в нем колебания такой же
частоты
00
ν =
υ
λ
(рис. 6.11,а). 2. Источник и испускаемая им волна движутся
вдоль оси Ох. Приемник движется к ним навстречу.
Отметим, что скорость
волны
υ зависит только от свойств среды и не зависит от движения приемника
и источника. Поэтому движение источника при постоянной частоте
0
н
излучаемых им колебаний приведет к изменению только длины волны.
Действительно, источник за период колебаний
0
Т пройдет расстояние
0
х
ИСТ
Т , а
по закону сложения скоростей волна отойдет
от источника на расстояние
0
)( Т
ИСТ
υ−υ , и поэтому ее длина волны
0
(- )
ИСТ
=
λ
υυ ν
будет меньше
0
λ
(рис.6.11,б).
По отношению к приемнику волна в соответствии с законом сложения
скоростей будет двигаться со скоростью
)(
ПР
υ
+
υ
и для неизменной длины
волны
λ
частота
ν
колебаний, воспринимаемых источником, изменится и
будет равна
0
ν
υ−υ
υ
+
υ
=
λ
υ
+
υ
=ν
ИСТ
ПРПР
.
Если источник и приемник будут удаляться друг от друга, то тогда в
формуле для частоты
н
нужно изменить знаки. Следовательно, единая формула
для частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении
источника и приемника по одной прямой, будет выглядеть следующим
образом:
0
ν
υυ
υ
±
υ
=ν
ИСТ
ПР
∓
. (6.36)
Из этой формулы следует, что для наблюдателя, находящегося, например на
станции, частота звукового сигнала приближающегося поезда (υ
ПР
=0, υ
ИСТ
>0)
будет больше, а при удалении от станции меньше. Если, например, взять
скорость звука υ=340 м/с, скорость поезда υ=72 км/ч и частоту звукового
сигнала ν
0
=1000 Гц (такая частота хорошо воспринимается человеческим ухом,
причем ухо различает звуковые волны с разностью частот, большей 10 Гц),
тогда частота сигнала, воспринимаемого ухом будет изменяться в пределах
67
Рис. 6.11
0
ν
υυ
υ
=ν
ИСТ
∓
=
340
1000 1063; 944Гц.
340 20
×=
∓
Если источник и приемник движутся со скоростями, направленными под
углом к соединяющей их прямой, то тогда для расчета частоты
ν
,
воспринимаемой приемником, нужно брать проекции их скоростей на эту
прямую (рис. 6.11,в):
2
0
1
1(υυ)сosθ
νν
1(υυ)cosθ
±
=
∓
ПР
ИСТ
. (6.37)
Эффект Доплера наблюдается и для электромагнитных волн. Но в отличие от
упругих волн, ЭМВ могут распространяться в отсутствии среды, в вакууме.
Следовательно, для ЭМВ не имеет значения скорость движения источника и
68
приемника относительно среды. Для ЭМВ необходимо рассматривать
относительную скорость движения источника и приемника, учитывать при этом
преобразования Лоренца и замедление хода времени в движущейся системе
отсчета.
Рассмотрим
продольный эффект Доплера. Выведем формулу для
частоты ЭМВ, фиксируемой приемником, в частном случае – источник и
приемник движутся навстречу друг другу в направлении соединяющей их
прямой. Пусть имеются две И.С.О. – неподвижная И.С.О. К (в ней находится
неподвижный приемник ЭМВ) и движущаяся относительно нее вдоль
совпадающих осей координат Ох и Ох′
И.С.О. К′ (в ней находится
неподвижный источник ЭМВ) (рис. 6.12,а).
Рис. 6.12
Рассмотрим, что наблюдается в И.С.О. К и К'.
1. И.С.О. К′. Источник ЭМВ неподвижен и находится в начале оси координат
Ох′ (рис. 6.12,а). Он излучает в И.С.О. К′ ЭМВ с периодом
0
'ТТ= , частоты
00
ν' ν 1==Т и длины волны
0
''cT cT==
λ
.
Приемник движется, но его движение не влияет на изменение частоты
принимаемого сигнала. Это связано с тем, что, согласно второму постулату
С.Т.О., скорость ЭМВ относительно приемника будет всегда равна с, и поэтому
частота принимаемой приемником волны в И.С.О. К' будет также равна
0
ν
,
2. И.С.О. К. Приемник ЭМВ неподвижен, а источник ЭМВ движется в
направлении оси Ох со скоростью
υ
. Поэтому для источника необходимо
учесть релятивистский эффект замедления времени. Это означает, что период
волны, излучаемой источником в этой инерциальной системе отсчета, будет
больше периода волны в И.С.О.
K
′
(
22
0
'/ 1 υ/ '
=
−>=TT c T T).
Для длины волны
л
, излучаемой источником в направлении приемника,
можно записать
0
22 2 2
'(υ)
λ( υ) ( υ)
1 υ1υ/
−
=− =− =
−−
Т c
сТс T
с c
.
Это выражение позволяет для периода Т и частоты
н воспринимаемой
приемником ЭМВ в И.С.О. К, записать следующие формулы:
0
22
λ(1υ)
с
1
υ
−
==
−
с
ТТ
с
0
1 υ
νν
1 υ
+
⇒=
−
с
с
, (6.38)
где учтено, что скорость ЭМВ относительно приемника в И.С.О. К равна с.
69
В случае удаления источника и приемника необходимо в формуле (6.38)
изменить знаки. При этом фиксируемая приемником частота излучения будет
уменьшаться по сравнению с частотой волны, излучаемой источником, т.е.
наблюдается красное смещение спектра видимого света.
Как видно, в выражение (6.38) не входит скорость источника и приемника по
отдельности, входит только скорость их
относительного движения.
Для ЭМВ также наблюдается
поперечный эффект Доплера, который
связан с эффектом замедления времени в движущейся инерциальной системе
отсчета. Возьмем момент времени, когда скорость источника ЭМВ будет
перпендикулярна линии наблюдения (рис. 6.12,б), тогда движение источника к
приемнику не происходит и поэтому длина излучаемой им волны не изменяется
(
0
λλ' '== =cT cT ). Остается только релятивистский эффект замедления времени
0
22
λ1
1 υ
==
−
ТТ
с
с
,
22
0
νν1υ/=−c . (6.39)
Для поперечного эффекта Доплера изменение частоты будет существенно
меньше, чем для продольного эффекта Доплера. Действительно, отношение
частот, найденных по формулам (6.38) и (6.39), для продольного и поперечного
эффектов будет значительно меньше единицы:
22
(1 ν/ ) 1
−
<<c .
Поперечный эффект Доплера был подтвержден экспериментально, что еще
раз доказало справедливость специальной теории относительности.
Приведенные здесь доводы в пользу формулы (6.39) не претендуют на
строгость, но они дают правильный результат. В общем случае, для
произвольного угла
и между линией наблюдения и скоростью движения
источника
υ
, можно записать следующую формулу
22
0
1 υ/
νν
υ
1cos
−
=
+
c
c
θ
, (6.40)
где угол
θ - это угол между линией наблюдения и скоростью движения
источника см. (рис. 6.12, б).
Поперечный эффект Доплера отсутствует для упругих волн в среде. Это
связано с тем, что, для определения частоты волны, воспринимаемой
приемником, берутся проекции скоростей на прямую, соединяющую источник
и приемник см. (рис. 6.11,в), а замедление времени для упругих волн
отсутствует.
Эффект Доплера находит широкое практическое применение, например для
измерения скоростей движения звезд, галактик по доплеровскому (красному)
смещению линий в спектрах их излучения; для определения скоростей
движущихся целей в радиолокации и гидролокации; для измерения
температуры тел по доплеровскому уширению линий излучения атомов и
молекул и т.д.
70
6.2. Электромагнитные волны
6.2.1. Волновые уравнения для электромагнитной волны (ЭМВ).
Уравнение плоской монохроматической ЭМВ.
В § 4.2.8 было отмечено, что из полной системы уравнений Максвелла
вытекает существование электромагнитного поля в виде ЭМВ. Покажем это на
конкретном примере. Пусть имеется однородная, изотропная пластина из
диэлектрика (рис. 6.13,а), заполняющая полупространство (
0x ≥ , рис. 6.13,а).
Во всех точках плоскости уОz, на входе пластины создаются гармонические
колебания вектора напряженности электрического поля вдоль оси Оу
)0 ,cos ,0( tEEE
mУ
ω==
.Считается, что в пластине отсутствуют электрические
заряды (q=0) и токи проводимости (j
пр
=0), а значения относительных
диэлектрической и магнитной проницаемостей среды являются постоянными,
т.е. среда не является ферромагнитной и сегнетоэлектрической.
Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (формула
(4.67)):
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= k
y
E
x
E
j
z
E
E
E
i
z
E
y
E
EEE
zyx
kji
Erot
X
y
X
X
Z
y
Z
ZyX
)()()(
)( k
t
B
j
t
B
i
t
B
t
B
Z
y
X
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
−=
.
Из начальных условий и соображений симметрии для рассматриваемого
примера следует, что зависимости вектора
E
от координат у и z не будет, также
не будет составляющей вектора
E
вдоль оси Оz:
⇒=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0,0,0,0,0
y
E
z
E
E
E
z
E
y
E
XX
X
Z
y
Z
()
y
У
XZ
B
E
BB
kijk
xttt
∂
∂
∂∂
=
++ ⇒
∂∂∂∂
0,0 =
∂
∂
=
∂
∂
t
B
t
B
y
X
, const, const
X У
BB⇒= = ,
t
B
x
E
Z
y
∂
∂
−=
∂
∂
.
Оставим только зависящие от времени решения, так как только они приводят к
возникновению ЭМВ в среде, и в итоге получим одно скалярное уравнение
t
B
x
E
Z
y
∂
∂
−=
∂
∂
. (6.41)
Аналогично, из второго уравнения Максвелла можно записать
)(
00
k
t
E
j
t
E
i
t
E
k
x
B
j
x
B
Brot
Z
y
X
y
Z
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
µµεε=
∂
∂
+
∂
∂
−=
,
t
E
x
B
y
Z
∂
∂
µµεε=
∂
∂
−
00
. (6.42)
Возьмем частную производную по координате х от уравнения (6.41) и
частную производную по времени t от уравнения (6.42):
2
2
00
22
2
2
,
t
E
x
t
B
t
x
B
x
E
y
ZZ
y
∂
∂
µµεε=
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−=
∂
∂
,