Валишев М.Г., Повзнер А.А. Лекции по колебаниям и волнам
Подождите немного. Документ загружается.
31
5.10.2. Резонансные кривые для амплитуды напряжения на
конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе.
Явление резонанса
Исследуем функцию
()
ω
Cm
U (5.67) для различных значений угловой частоты
внешнего напряжения
ω .
1.
ω=0:
()
2
0
2
0
1
0 ω
ω
====
m
Cm m
U
UU
LC LC
,
т.е. постоянное напряжение, подаваемое в контур, представляет собой
напряжение на конденсаторе или все резонансные кривые для частоты
ω
,
равной нулю (
ω0= ), выходят из одной точки.
2.
∞→ω
:
2
0
ω
→→
m
Cm
U
U
LC
,
т.е. при больших частотах внешнего воздействия все резонансные кривые
стремятся к нулю. Это связано с тем, что система не успевает за изменениями
внешнего воздействия и амплитуда колебаний в контуре уменьшается.
3.
Р
ω=ω
. Найдем угловую частоту
P
ω
, при которой зависимость
(
)
c.т
ωU
имеет максимальное значение. Оно будет наблюдаться в том случае, когда
выражение под знаком квадратного корня в формуле (5.67) будет
минимальным. Поэтому
⇒=
′
ωβ+ω−ω 0)4)((
2222
2
0
2
2
0
2β−ω=ω
P
. (5.69)
Подставляя
P
ω
в формулу (5.67), для максимального значения амплитуды
напряжения на конденсаторе получим
()
p
3
ω
βω
=
m
Cm
U
U
LC
. (5.70)
Величина
Р
ω
получила название резонансной частоты. В условиях малого
затухания (Q >>1) для частоты
Р
ω
=
ω
можно записать
() ()
2
0
pp
3
ω
ω,ω
ω
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
Cm m m Cm m
UUQUQU U, (5.71)
т.е. амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе во много
раз превышает амплитуду внешнего напряжения, подаваемого в контур. Это
явление получило название
явления резонанса. Под резонансом понимают
явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных
свободных незатухающих колебаний системы.
На рис. 5.17,а приведены резонансные кривые
(
)
ω
Cm
U для идеального
колебательного контура (
0, 0R ==
β
) и для двух значений сопротивления R в
нем (
12
RR >
, т.е.
21
ββ> ). При этом считается, что индуктивность L катушки и
электроемкость C конденсатора контура не изменяются, т.е. частота
0
ω при
этом остается неизменной.
32
Можно отметить, что для идеального колебательного контура максимум
резонансной кривой
()
ω
Cm
U приходится на частоту ω , равную
0
ω (
0
ωω
=
),
причем максимальное значение при этом стремится к бесконечности
(рис.5.17,а). При увеличении сопротивления
R
контура коэффициент затухания
β
увеличивается, а максимальное значение
(
)
p
ω
Cm
U и частота
Р
ω
, на которую
он приходится, уменьшаются (рис. 5.17,а).
Рис. 5.17
В случае механической системы резонансную кривую
)(ω
m
х для амплитуды
смещения груза (м.т.) от положения равновесия можно получить, используя
табл. аналогий 5.1:
tFFtUU
mm
ω=→ω= coscos
хвнешвнеш
;
2222
2
0
4)(
)()(
ωβ+ω−ω
=ω→ω
m
F
xq
m
mm
;
k
F
x
m
m
=)0(
;
0)( →
∞
→
ω
m
x
. (5.72)
() () ()
p
33
ωω ω
2 βω 2 βω
==→=
mm
mp Cm mp
UF
qCU x
Lm
. (5.73)
Графики резонансных зависимостей
m
х от
ω
при различных значениях
коэффициента затухания
β
, т.е. при различных значениях коэффициента r
сопротивления среды, и постоянной частоте
0
ω
приведены на рис .5.17,б.
5.10.3. Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре,
для амплитуды скорости материальной точки в механической системе
Запишем формулу (5.68) для амплитуды силы тока
)(
ω
m
I в наиболее удобном
виде
2
2
2
2
0
4
)(
β+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω−ω
=ω
L
U
I
m
m
,
и исследуем эту зависимость для различных значений
ω
.
1.
ω=0 : 0)0( =
m
I , т.е. постоянный электрический ток через цепь, содержащую
конденсатор, не протекает.
33
2.
∞→ω
:
0)( →
ω
→∞→ω
L
U
I
m
m
.
3. Максимум функции )(ω
m
I наблюдается тогда, когда подкоренное выражение в
знаменателе будет минимальным, т.е. первое слагаемое в подкоренном
выражении должно быть равным нулю. Поэтому максимум
)(ω
m
I соответствует
частоте
0P
ω
ω
= , а само максимальное значение будет равно
R
U
I
m
m
=ω )(
0
. (5.74)
На рис. 5.18 приведены резонансные кривые )(
ω
m
I в случае идеального
колебательного контура (
0, 0R ==
β
) и для двух разных значений сопротивления
R
в нем (
12
RR >
, т.е.
12
β
β
>
) при постоянном значении
0
ω . Как видно,
максимум функции с увеличением
R
уменьшается, а его смещение по оси
частот
ω
не происходит.
Используя табл. аналогий 5.1, можно записать формулы, описывающие
резонансные кривые для амплитуды колебаний скорости
()
υω
m
тела (м.т.) в
механической системе:
() ()
()
2
22 2
0
ω
ωυ
m ωω 4βω
→=
−+
m
mm
F
I
ω
, (5.75)
0
ωω=
p
:
()
0
щ
m
m
F
r
υ
= . (5.76)
График
()
ω
m
υ
для трех значений коэффициента сопротивления
(
)0,0
12
≠>= rrr ) среды приведены на рис. 5. 18,б. Эти графики аналогичны
графикам резонансных кривых
)(
ω
m
I .
Рис. 5.18
34
5.10.4. Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на
конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении
колебательного контура. Фазовые резонансные кривые
Перепишем формулы (5.64) для I и
C
U
в удобном виде
)
2
cos()sin(
π
+ψ−ω=ψ−ω−=
′
= tItIqI
mm
,
()
cos ωψ== −
CCm
q
UU t
C
,
и добавим к ним формулы для U
L
и U
R
:
)cos()
2
sin( π+ψ−ω=
π
+ψ−ω−== tUtU
dt
dI
LU
LmLmL
,
π
cos ωψ
2
⎛⎞
== −+
⎜⎟
⎝⎠
RRm
UIRU t .(5.77)
Найдем в соответствии с полученными формулами разность фаз колебаний
между силой тока
I
ϕ
и напряжениями на конденсаторе
C
ϕ
, индуктивности
L
ϕ
и
активного сопротивления
R
ϕ
:
()()
,
ππ
ωψ ωψ
22
⎛⎞
∆=−=−−−+=−
⎜⎟
⎝⎠
CI C I
tt
ϕϕϕ
, (5.78)
()( )
,
ππ
ωψπ ωψ
22
⎛⎞
∆=−=−+−−+=
⎜⎟
⎝⎠
LI L I
tt
ϕϕϕ
, (5.79)
()
(
)
(
)
,
ωψ ωψ 0∆=−=−−−=
RI R I
tt
ϕϕϕ
. (5.80)
Как следует из формул (5.78) – (5.80)
фаза колебаний напряжения на
конденсаторе отстает по фазе от колебаний
тока в цепи на π/2
, а фаза колебаний
напряжения на катушке опережает фазу
колебаний силы тока на π/2
. Фазы колебаний
напряжения на активном сопротивлении R и
силы тока в цепи совпадают
. Это наглядно
видно на векторной диаграмме, приведенной на
рис. 5.19.
На ней указаны амплитуды векторов
напряжений на отдельных участках
электрической цепи. При этом фаза колебания силы тока в контуре
принимается равной нулю, т.е. амплитуда вектора силы тока располагается
вдоль оси
Ox
.
На такой диаграмме вектор амплитуды внешнего напряжения
m
U ,
подаваемого в колебательный контур, можно представить как сумму векторов
амплитуд напряжений (
C
U ,
L
U
,
R
U
) на разных его участках. Это позволяет
записать следующую формулу для модуля вектора амплитуды внешнего
напряжения (например, для частот
0
ω
ω
<
, рис. 5.20,а):
22
)(
RLmCmm
UUUU +−=
, (5.81)
из которой с учетом формул (5.19) и (5.20) (
2
, ω, ω
m
Cm Lm m Rm m
q
UULqURq
C
== =
)
можно получить выражение (5.65) для зависимости амплитуды колебания
заряда от частоты внешнего напряжения
Рис.5.19
35
()
()
2
2
2
22222
0
ωω ωω4βω
⎛⎞
=− + = −+
⎜⎟
⎝⎠
m
mmmm
q
ULqRqqL
C
()
2
22 22
0
ωω 4βω
=
−+
m
m
U
q
L
.
Рис. 5.20
Под фазовыми резонансными кривыми понимают, например, зависимости
разности фаз
,ВНЕШ C
ϕ
∆ между внешним напряжением
ВНЕШ
U и напряжением
C
U
на конденсаторе, разности фаз
,ВНЕШ I
ϕ
∆
между внешним напряжением
ВНЕШ
U
и
силой тока I в контуре от частоты
щ внешнего напряжения. Наиболее
интересными из них являются зависимости
(
)
,
щ
ВНЕШ I
ϕ
∆ , так как они позволяют
выяснить эффективность поступления энергии в контур (колебательную
систему). В соответствии с формулами (5.64) и (5.66) для разности фаз
,ВНЕШ C
ϕ
∆
и
,ВНЕШ I
ϕ
∆ можно записать
()
,
ωωψψ∆=−−=
ВНЕШ C
tt
ϕ
,
,
ππ
ωωψ ψ
22
⎛⎞
∆=−−+=−=
⎜⎟
⎝⎠
ВНЕШ I
tt
ϕ
ϕ
. (5.82)
Отметим, что разность фаз
,ВНЕШ I
ϕ
∆ для цепей переменного тока обозначают
буквой
ϕ
:
,ВНЕШ I
ϕ
ϕ
∆=.
На рис. 5.21 приведены фазовые резонансные кривые
)(
,
ω
ϕ
СВНЕШ
∆
и
() ()
,
ωω∆=
ВНЕШ I
ϕϕ
, построенные по формулам (5.66) и (5.82) при значениях
параметра
в :
21
β0,β β 0=>≠.
Рис. 5.21
36
Из них следует, что внешнее напряжение опережает по фазе напряжение на
конденсаторе на угол
ψ . На векторной диаграмме это означает, что вектор
амплитуды
m
U располагается выше вектора амплитуды
Cm
U (рис. 5.20 а,б,в).
Причем угол
ш изменяется от нулевого значения для частоты щ, равной нулю
(
ω0= ), до значения равного р при частоте внешнего напряжения стремящегося
к бесконечности (
ω→∞
, рис. 5.21,а). При резонансе амплитуды векторов
внешнего напряжения
m
U и напряжения на конденсаторе
Cm
U взаимно
перпендикулярны (см. рис. 5.20,б), что приводит к разности фаз между ними,
равной
π
2
(
,
π
ψ
2
∆==
ВНЕШ C
ϕ
, Рис. 5.21,а).
Из другой фазовой резонансной кривой следует, что фаза внешнего
напряжения для частот
0
ωω> отстает от фазы тока в контуре на угол
ϕ
(рис.5.21,б). Для частот
0
ωω> фаза внешнего напряжения опережает на угол
ϕ
фазу колебаний силы тока в контуре и при увеличении частоты щ стремится к
значению, равному
р
2
. При резонансе (
0
ωω
=
,.
LmCm
UU
=
) фаза колебаний силы
тока и внешнего напряжения совпадают, т.е.
(
)
0
ω0
=
ϕ
и вектора амплитуд
m
U и
m
I направлены одинаково, вдоль оси
Ox
(рис. 5.21,б).
При этом энергия поступает в контур согласованно с колебаниями в ней.
Действительно, учитывая выполнение условий малого затухания (Q >>1) и
формулы (5.64) и (5.66) запишем
p
0
ωω ω=≅:
pp
22
0p
2βω ω
π
tgψ1ψ
ωω β 2
=
=⇒≅
−
;
tItII
mm
ω
=
ψ−ω−= cos)sin( , tUU
m
ω
=
cos
ВНЕШ
.
Такое поступление энергии в контур при резонансе приводит к большим
амплитудам колебаний, их числовые значения определяются диссипацией
(рассеянием) энергии системы, т. е. коэффициентом затухания
β
(формула
(5.70)).
При частотах
ω
, больших или меньших
0
ω (
00
ωω,ωω
<
< ) амплитуда
вынужденных колебаний даже в отсутствии диссипации энергии (
β0= ) будет
уменьшаться, она определяется расстройкой резонанса (
0
ωω
−
), т.е. разностью
частот
ω
и
0
ω .
Можно отметить, что с использованием таблицы аналогий можно построить
фазовые резонансные кривые для разности фаз между скоростью колебаний
тела и действующей на него внешней силой в случае механической системы и
т.д.
37
5.10.5. Переменный электрический ток
Переменный электрический ток также представляет собой вынужденные
колебания силы тока, напряжения, происходящие в электрической цепи под
действием напряжения, вырабатываемого генератором переменного тока на
электростанциях. Электрическая цепь в этом случае представляет собой
колебательный контур (см. рис. 5.3,
tUU
m
ω
=
cos
ВНЕШ
) и поэтому здесь
применимы формулы, которые были получены в § 5.10.1 –
§ 5.10.4.
Простейшей моделью генератора переменного тока
является рамка площади S, содержащая N витков, которая
вращается равномерно в магнитном поле с угловой
частотой
ω
(рис. 5.22). Для максимальной ЭДС
индукции
im
ε
, наводимой в такой рамке, можно получить
следующее выражение:
Рис. 5 22
()
cos ωωsinω
′
′
=− =− =
i
NФ NBS t NBS t
ε
,
ω=ε NBS
im
. (5.83)
Отметим, что линейная частота переменного тока в России составляет 50 Гц.
Перечислим вопросы и понятия, которые вводят для описания
переменного тока в электрической цепи.
1. Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на
конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении электрической
цепи
.
Как уже было отмечено раньше (см. § 5.10.4), фаза колебаний напряжения на
конденсаторе отстает по фазе от колебаний тока в цепи на π/2, а фаза колебаний
напряжения на катушке опережает фазу колебаний силы тока на π/2. Фазы
колебаний напряжения на активном сопротивлении R и силы тока в цепи
совпадают.
2. Емкостное X
C
, индуктивное X
L
, активное R, реактивное X и полное Z
сопротивления цепи
. В соответствии с законом Ома для однородного участка
цепи по формулам (5.67) можно ввести емкостное X
C
и индуктивное X
L
сопротивления
mm
qI ω= ,
mRm
RIU
=
,
()
1
ω
ω
== =
m
Cm m c m
q
UqXI
CC
,
(
)
(
)
2
ωω ω
=
==⇒
Lm m m L m
ULq Lq XI
1
ω
=
c
X
C
, ω
=
L
X
L . (5.84)
Они характеризуют способность катушки и конденсатора оказывать
препятствие протеканию переменного электрического тока. Как видно из
формул (5.84), при возрастании частоты переменного тока емкостное
сопротивление X
C
будет уменьшаться, т.е. конденсатор оказывает меньшее
препятствие протеканию тока, а индуктивное сопротивление X
L
будет
38
возрастать - катушка оказывает большее препятствие протеканию
переменного тока. Постоянный ток через участок цепи, содержащий
конденсатор, не протекает (
ω =0:
∞
=
C
X ). Индуктивное сопротивление
катушки в этом случае будет равно нулю (
ω =0:
0
=
L
X
), т.е. катушка не
оказывает препятствия протеканию постоянного тока. Сопротивление R,
которое было введено ранее в разделе постоянный ток, называется здесь
активным сопротивлением.
Учитывая введенные сопротивления, перепишем формулу (5.68) для
резонансной кривой амплитуды силы тока в контуре следующим образом:
Z
U
RX
U
RXX
U
L
U
I
mm
CL
mm
m
=
+
=
+−
=
ωβ+ω−ω
ω
=
2222
2222
2
0
)(
4)(
,
где введены реактивное X и полное Z сопротивления цепи
CL
XXX −
=
,
22
RX
I
U
Z
m
m
+==
. (5.85)
3. Мощность, потребляемая электрической цепью. Учитывая разность фаз
колебаний силы тока и внешнего напряжения в электрической цепи
2
))
2
(()(
π
−ψ=
π
+ψ−ω−ω=ϕ−ϕ=ϕ tt
IВНЕШ
,
для мгновенной мощности, потребляемой электрической цепью, получим
)cos(cos
ВНЕШ
ϕ
−
ω
ω
== ttUIIUP
mm
.
Ввиду малого периода колебаний переменного тока (
0.02 cT = ) многие
приборы измеряют усредненные по времени значения мощности
()
2
cos ω cos ω cos ω cos si n ω cosω si n=−=+=
mm mm
PIU t t IU t t t
ϕϕϕ
ϕ
cos
2
1
mm
UI=
. (5.86)
Согласно векторной диаграмме (см. Рис. 5.21,а,б,в)
RIUU
mRmm
=
=
ϕ
cos
, (5.87)
что приводит к следующему выражению для усредненной мощности
RIUIP
mmm
2
2
1
2
1
==〉〈
. (5.88)
4. Эффективные (действующие) значения силы тока и напряжения. Эти
величины для гармонических колебаний вводятся по формулам
,
22
mm
ЭФ ЭФ
I
U
IU
==. (5.89)
Их введение позволяет переписать формулу (5.88) без коэффициента ½,
что является удобным при записи формул для средней мощности и
количества теплоты в случаях переменного и постоянного тока
ЭФ ЭФ
PIU= ,
2
ЭФ
PIRt= .
Отметим, что многие амперметры и вольтметры измеряют эффективные
(действующие) значения силы тока и напряжения.
5. Коэффициент мощности. Входящий в формулу (5.86) коэффициент cos
ϕ
называют коэффициентом мощности. В соответствии с выражениями (5.85) и
(5.87) для него можно записать
39
Z
R
=
ϕ
cos
, (5.90)
т.е. он равен отношению активного R и полного Z сопротивлений
электрической цепи.
Коэффициент мощности показывает зависимость мощности, выделяемой в
электрической цепи переменного тока, от разности фаз колебаний силы тока в
ней и внешнего напряжения, поступающего в цепь. Так, если реактивное
сопротивление цепи будет равно нулю (
0
=
X
,
R
Z
=
), то тогда cos 1
ϕ
=
и
электрическая цепь полностью потребляет поступающую в нее энергию. При
отсутствии же в цепи активного сопротивления (R=0,
cos
ϕ
=0) электрическая
цепь энергии не потребляет. Это приводит к тому, что энергия, поступающая в
цепь, передается по проводам обратно к источнику энергии, что приводит к ее
потерям в подводящих проводах за счет выделения джоулевого тепла. На
практике стремятся увеличить
cos
ϕ
до максимально возможных значений
(обычно
cos
ϕ
>0,85).
5.10.6. Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и
применения резонанса в природе и технике
При резонансе энергия поступает в систему согласованно с колебаниями в
ней, постоянно увеличивая их амплитуду. В стационарном режиме большая
амплитуда колебаний поддерживается малыми поступлениями энергии в
систему, восполняющими потери энергии колебаний (нагрев проводников,
преодоление сил сопротивления, потери на излучение электромагнитных и
механических волн) за один период. В системе при резонансе
созданы наиболее
благоприятные условия для реализации свойственных системе свободных
незатухающих колебаний, и поэтому амплитуда колебаний резко возрастает.
Рассмотрим некоторые примеры проявления резонанса в природе.
Пример 1. Солдаты проходят по мосту строевым шагом, частота ударов ног о
поверхность моста может совпасть с собственной частотой колебаний моста
как колебательной системы, наступает явление резонанса, при котором
амплитуда колебаний моста постепенно нарастает и при больших числовых
значениях может привести к его разрушению.
Пример 2. Вентилятор плохо прикреплен к потолку и при своем вращении он
создает толчки на потолок, частота которых может совпасть с собственной
частотой колебаний комнаты (потолка) как колебательной системы, амплитуда
колебаний потолка нарастает и может привести к его обрушению.
Пример 3. Приборы на кораблях максимально утяжеляют (делают тяжелыми
подставки) и подвешивают на мягких пружинах (коэффициент жесткости для
них будет малым). В этом случае частота качки
К
ω
корабля будет больше
собственной частоты колебаний (
mк=ω
0
) приборов на пружинах и поэтому
резонанса не наступает.
40
Пример 4. В радиоприемниках на основе явления резонанса можно выделить
нужный сигнал из большого числа сигналов разных радиостанций,
поступающих на его приемную антенну (рис. 5.23,а). Пусть на вход
радиоприемника поступают сигналы малой амплитуды с различной несущей
частотой
ω
() ( )
(
)
(
)
(
)()
112 23 3
ω cos ω ω cos ω ω cos ω ...
=
+++
ВХОДА mm m
U U tU tU t
Для выделения сигнала с несущей частотой
1
ω
, необходимо добиться
равенства частоты
0
ω собственных свободных незатухающих колебаний
приемного контура и частоты
1
ω
(
0
ω
=
1
ω
). Тогда за счет явления резонанса
амплитуда сигнала с частотой
1
ω
на выходе конденсатора резко возрастает, а
амплитуды остальных сигналов останутся прежними (рис. 5.23,б показана
сплошной линией резонансная кривая, максимум которой приходится на
частоту
1
ω
)
Рис. 5.23
() ( )
(
)
(
)
(
)
(
)()
(
)
112 23 3 11
ωcosω ωcosω ωcosω ... ωcosω== + + +≈
ВХОДА Cm m m m
U U QU tU tU t QU t,
и тем самым происходит выделение сигнала с несущей частотой
1
ω
. Изменяя
электроемкость конденсатора, можно настроить приемный контур антенны на
несущую частоту
2
ω
(на рис. 5.22,б пик резонансной кривой смещается на
частоту
2
ω
).
5.11. Нелинейные системы. Автоколебания
1. Нелинейные системы. Под нелинейными системами понимают такие
колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них
процессов. В таких системах существуют нелинейные связи, например, между:
1) силой упругости
У
F
и смещением
x
груза относительно положения
равновесия. Это приводит к нарушению закона Гука и к зависимости
коэффициента к жесткости системы от смещения
x
, что изменяет собственную
частоту
0
ω колебаний системы; 2) электрическими зарядами конденсатора и
создаваемой ими напряженностью поля (сегнетоэлектрик между пластинами