Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
241
11)
( )
2
ch
1 cosec
x
y x x
x
= + − .
Ответ
:
(
)
3 2
1 cos
sh 2sh
cosec
sin
x x
x x x
x
x x
−
−
+ − ;
12)
2
2
ch
1
x
y x x
x
= +
+
.
Ответ
:
(
)
(
)
( )
2
2
2 ln2 1 1
2 ch sh
1
x
x
x x x x
x
+ −
+ −
+
;
13)
ch 1
ln arctg
3
x
y x x
x
= + ⋅ .
Ответ
:
2 2
sh ch 1 arctg ln
3
1
x x x x x
x
x x
−
+ +
+
;
14)
sh
arcsin
2
x
x
y x x= ⋅ + .
Ответ
:
(
)
2
2
2 ch ln2 sh
arcsin
2
1
x
x
x x
x
x
x
− ⋅
+ +
−
;
15)
cos cth cosec
y x x x x
= + ⋅ .
Ответ:
2 2
cos 2 sin sin ch sh cos
2
sh sin
x x x x x x x
x
x x
− + ⋅ ⋅
−
⋅
.
3. Бесконечная, левая и правая производные функции в точке
Приведем пример функции непрерывной, но не дифференцируемой в
точке. Пусть требуется вычислить производную функции
(
)
y x x
=
в точке
0
0
x
=
.
Бесконечная производная функции в точке
( )
0
0
lim
x
y
y x
x
∆ →
∆
′
= = ∞
∆
,
Уравнение касательной к графику
(
)
y y x
=
:
0
x x
=
(
касательная
⊥
оси
Ox)
Односторонние производные
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0
0 0
0
0
lim lim
x x x
y x y x y x x y x
y x
x x x
+
− →+ ∆ →+
− +∆ −
′
= =
− ∆
– правая
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0
0 0
0
0
lim lim
x x x
y x y x y x x y x
y x
x x x
−
− →− ∆ →−
− +∆ −
′
= =
− ∆
– левая
Для
того
чтобы
∃
(
)
0
y x
′
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
(
)
(
)
0 0
y x y x
+ −
′ ′
= .
Тогда
(
)
(
)
(
)
0 0 0
y x y x y x
+ −
′ ′ ′
= = .
242
Вычислим левую и правую производные в нуле:
( )
0 0
0 lim lim 1
x x
x
x
y
x x
−
→− →−
−
′
= = = −
,
( )
0 0
0 lim lim 1
x x
x
x
y
x x
+
→+ →+
′
= = =
.
Так как
(
)
(
)
0 0
y x y x
+ −
′ ′
≠
, то
(
)
0
y
′
не существует. Геометрически это
означает, что график функции
y x
=
не имеет касательной в точке (0, 0).
Обучающая задача. Найти
(
)
0
y
±
′
для
( )
2
cos , 0
1, 0.
x x
y x
x x
<
=
+ ≥
Решение: Заметим, что функция
(
)
y x
непрерывна в нуле, так как
(
)
0
0 lim cos 1
x
y x
→−
− = =
,
( )
(
)
2
0
0 lim 1 1
x
y x
→+
+ = + =
,
( )
(
)
2
0
0 1 1
x
y x
=
= + =
и
(
)
(
)
(
)
0 0 0
y y y
− = + =
. Вычислим
(
)
0
y
±
′
.
Первый способ:
( )
(
)
(
)
2
0 0
0
0
cos 1
0 lim lim 1 cos
2
x x
x
y x y
x x
y x
x x
−
→− →−
→
−
−
′
= = = − =
∼
2
0 0
2
lim lim 0
2
x x
x
x
x
→− →−
−
−
= = =
.
( )
(
)
2
0 0
1 1
0 lim lim 0
x x
x
y x
x
+
→+ →+
+ −
′
= = =
.
Так как
(
)
(
)
0 0 0
y y
− +
′ ′
= =
, то
(
)
0 0
y
′
=
.
Второй способ:
( ) ( )
0
0
0 cos sin 0
x
x
y x x
−
=
=
′
′
= = − =
,
( )
( )
2
0
0
0 1 2 0
x
x
y x x
+
=
=
′
′
= + = =
.
y
x 0
y x
=
243
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания из первого и второго уровня).
Уровень I
Найти
(
)
0
y
+
′
,
(
)
0
y
−
′
:
1)
( )
2
sin2 , 0
, 0
x x
y x
x x x
≤
=
+ >
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
1;
(
)
0
y
−
′
=
2;
2)
( )
3
1 , 0
cos2 , 0
x x
y x
x x
− <
=
≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
0;
(
)
0 0
y
−
′
=
;
3)
( )
2
2 , 0
1
, 0
1
x
x
y x
x
x
<
=
≥
+
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
0;
(
)
0
y
−
′
=
ln2
;
4)
( )
2
, 0
1, 0
x
e x
y x
x x
<
=
+ ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
0;
(
)
0
y
−
′
=
1;
5)
( )
2
1, 0
cos , 0
x x
y x
x x
− <
=
− ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
0;
(
)
0
y
−
′
=
0;
6)
( )
2
2 , 0
sin4 , 0
x x x
y x
x x
− <
=
≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
4;
(
)
0
y
−
′
=
–2;
7)
( )
( )
2
2 , 0
ln 1 2, 0
x x
y x
x x
− ≤
=
+ + >
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
1;
(
)
0
y
−
′
=
0;
8)
( )
1 2 , 0
3 , 0
x
x x
y x
x
− <
=
≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
ln3
;
(
)
0
y
−
′
=
–2;
9)
( )
2
1, 0
2 , 0
x
e x
y x
x x x
− <
=
− ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–2;
(
)
0
y
−
′
=
1;
10)
( )
1 sin , 0
1, 0
x x
y x
x x
+ <
=
+ ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
1;
(
)
0
y
−
′
=
1;
11)
( )
2
2, 0
2, 0
x
e x
y x
x x x
+ <
=
− + ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–1;
(
)
0
y
−
′
=
1;
244
12)
( )
2
1 tg , 0
1, 0
x x
y x
x x
+ <
=
− + ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
0;
(
)
0
y
−
′
=
1;
13)
( )
2
2
1
, 0
1
1, 0
x
y x x
x x x
− <
= +
+ − ≥
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
1;
(
)
0
y
−
′
=
0;
14)
( )
2
, 0
1, 0
x
e x
y x
x x
>
=
+ ≤
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
1;
(
)
0
y
−
′
=
0;
15)
( )
2
2
2 1, 0
, 0
x
x x
y x
e x
− ≤
=
− >
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–2;
(
)
0
y
−
′
=
0.
Уровень II
Найти
(
)
0
y x
+
′
,
(
)
0
y x
−
′
:
1)
2
3 2
y x x
= − +
,
0
0
x
=
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–3;
(
)
0
y
−
′
=
3;
2)
2
2 1 2
y x x
= − + +
,
0
1
x
= −
. Ответ:
(
)
1
y
+
′
− =
–5;
(
)
1
y
−
′
− =
–3;
3)
2
2 3
y x x
= + +
,
0
0
x
=
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
2;
(
)
0
y
−
′
=
–2;
4)
2
2 2
y x x
= − − +
,
0
2
x
=
. Ответ:
(
)
2
y
+
′
=
3;
(
)
2
y
−
′
=
5;
5)
2
2 3 1
y x x
= + − +
,
0
3
x
=
. Ответ:
(
)
3
y
+
′
=
8;
(
)
3
y
−
′
=
4;
6)
2
2 8
y x x
= − −
,
0
0
x
=
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–2;
(
)
0
y
−
′
=
2;
7)
2
2 3
y x x
= − −
,
0
0
x
=
. Ответ:
(
)
0
y
+
′
=
–2;
(
)
0
y
−
′
=
2;
8)
2
2 2 1
y x x
= − + +
,
0
2
x
= −
. Ответ:
(
)
2
y
+
′
− =
–6;
(
)
2
y
−
′
− =
–2;
9)
2
5 1
y x x
= + − +
,
0
5
x
=
. Ответ:
(
)
5
y
+
′
=
11;
(
)
5
y
−
′
=
9;
10)
2
1 1
y x x
= + + +
,
0
1
x
= −
. Ответ:
(
)
1
y
+
′
− =
–1;
(
)
1
y
−
′
− =
–3;
11)
2
2 5 1
y x x
= − + + −
,
0
5
x
= −
. Ответ:
(
)
5
y
+
′
− =
21;
(
)
5
y
−
′
− =
19;
12)
2
3 2 1
y x x
= − + + +
,
0
2
x
= −
. Ответ:
(
)
2
y
+
′
− =
7;
(
)
2
y
−
′
− =
1;
13)
2
2 1 8
y x x
= − − +
,
0
1
x
=
. Ответ:
(
)
1
y
+
′
=
0;
(
)
1
y
−
′
=
4;
14)
2
4 6
y x x
= − − +
,
0
4
x
=
. Ответ:
(
)
4
y
+
′
=
7;
(
)
4
y
−
′
=
9;
15)
2
2 4
y x x
= − + +
,
0
2
x
= −
. Ответ:
(
)
2
y
+
′
− =
–5;
(
)
2
y
−
′
− =
–3;
16)
2
2 3 5
y x x
= − − +
,
0
3
x
=
. Ответ:
(
)
3
y
+
′
=
11;
(
)
3
y
−
′
=
13.
245
Уровень III
Найдите
(
)
1
y
±
′
и
(
)
1
y
±
′
−
для
(
)
1 1
y x x x
= − + +
.
Ответ:
(
)
1
y
+
′
=
2;
(
)
1
y
+
′
− =
0
(
)
1
y
−
′
=
0;
(
)
1
y
−
′
− =
–2.
Домашнее задание
1. Выучить таблицу производных, правила дифференцирования.
Изучить теорему о производной сложной функции; примеры с использова-
нием логарифмической производной.
2. Исходя из определения производной, найти
(
)
y x
′
, если
1)
(
)
2
y x x
=
,
0
1
x
=
. Ответ: 2;
2)
(
)
2
2 3
y x x x
= −
,
0
1
x
=
. Ответ: 1;
3. Найдите
(
)
y x
′
, если
а)
3 3
2 4
3
(3 6 )
y x x x
= + ⋅ .
Ответ
:
(
)
3
2
3
2 3 ) 5
x x
⋅ +
;
б
)
cos
1 sin
x
y
x
=
+
.
Ответ
:
1
1 sin
x
−
+
;
в
)
(
)
3
2
2ln 3
x
y x x x= ⋅ − .
Ответ
:
( )
3 3
2 5
5 2
2ln 3 3 ln3
3
x x
x x x
x
− + −
;
4.
Найти
(
)
0
y
+
′
,
(
)
0
y
−
′
:
( )
(
)
3
ln 1 2 1, 0
, 0
x
x x
y x
e x
− + <
=
≥
.
Ответ
:
(
)
0
y
+
′
=
3;
(
)
0
y
−
′
=
-2.
5.
Выдать
каждому
свой
вариант
из
внеаудиторной
контрольной
работы
.
II. Производная сложной функции. Логарифмическая производная
1. Производная сложной функции
(
)
(
)
y y u x
=
.
Если
(
)
u u x
=
дифференцируема
в
точке
0
x
,
(
)
y y u
=
дифференцируема
в
точке
(
)
0 0
u u x
= ,
то
(
)
(
)
(
)
0 0 0
y x y u u x
′ ′ ′
= ⋅ .
5
x
y e
=
⇒
u
y e
=
,
5
u x
=
,
5
4
5
x
y e x
′
= ⋅
246
Обучающая задача. Найти производные
следующих
функций
:
1
0
.
(
)
5 2
tg 3 1
y x
= +
;
2
0
.
2
2
3
ln
2 ch
2
z
e
y
z
=
+
.
Решение
:
Дифференцируем
сложные
функции
.
Предварительно
за
-
пишем
их
в
более
удобном
для
дифференцирования
виде
.
1
0
.
( )
( )
( )
5
2
2
tg 3 1
y x x= + ,
( )
( )
( )
( )
( )
3
2 2
2
5
tg 3 1 tg 3 1
2
y x x x
′
′
= + ⋅ + =
( )
( )
( )
3
2 2
2
2 2
5 1
tg 3 1 3 1
2
cos 3 1
x x
x
′
= + ⋅ ⋅ + =
+
( )
( )
3
2
2
2 2
5 1
tg 3 1 6
2
cos 3 1
x x
x
= + ⋅ ⋅
+
.
2
0
.
( )
1
3
2
2 2
2
2 2
1 1
ln ln ln ln 2 ch
3 3 2
2 ch 2 ch
2 2
z z
z
e e z
y z e
z z
= = = − + =
+ +
2 2
ln 2 ch
3 3 2
z z
= − +
,
( )
2 2 2 2 1
ln 2 ch 2 ch
3 3 2 3 3 2
2 ch
2
z z
y z
z
′
′
′
= − + = − ⋅ ⋅ + =
+
2 2 1 2 2 1 1 2 1 1
sh sh sh
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
2 ch 2 ch 2 ch
2 2 2
z z z z
z z z
′
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
+ + +
.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
1)
(
)
3
ln tg3
y x
= . Ответ:
2
3
2
3sin6 ln tg3
x x
;
247
2)
(
)
2
arctg sh2
y x
=
.
Ответ
:
(
)
2
4ch2 arctg sh2
1 sh 2
x x
x
⋅
+
;
3)
( )
3
1
ctg sh
y
x
=
.
Ответ
:
( )
2
3 ch
2 sin sh
x
x x
⋅
⋅
;
4)
( )
(
)
3
ch ln 1 2
y x
= − . Ответ:
( )
(
)
( )
(
)
3 ch ln 1 2 sh ln 1 2
x x
− − ⋅ − ;
5)
(
)
5
sh 1 cos
y x
= +
. Ответ:
(
)
(
)
4
5sh 1 cos ch 1 cos sin
2
x x x
x
− + ⋅ +
;
6)
2
ln tg
2
x
π+
. Ответ:
2lntg
2
2 sin2
2 2
x
x x
π+
π+ π+
;
7)
3
sh
x x
y e
+
= .
Ответ
:
(
)
3
sh 2
1 3sh ch
2
x x
e x x
x
+
+ ⋅
;
8)
(
)
3
2 2
ln 5
y x x
= + .
Ответ
:
( )
( )
3
2
2
2
3
2 2 5 ln 5
3 5
x x x
x x
+ +
+
;
9)
lnarccos 1 sh
y x
= − .
Ответ
:
2
ch
2 1 sh 2sh sh arccos 1 sh
x
x x x x
− ⋅ − ⋅ −
;
10)
(
)
3 sh
tg 2
x
y = .
Ответ
:
(
)
(
)
2 sh sh
2 sh
3tg 2 ch 2 ln2
2 cos 2
x x
x
x
x
⋅ ⋅ ⋅
⋅
;
11)
3
2
sh 1
1
x
y
x
= +
+
.
Ответ
:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
3sh 1 ch 1 1
1 1
2 1 1
x x
x
x x
x x x
+ ⋅ + ⋅ −
+ +
+ +
;
12)
(
)
tg 1
ch 2
x
y
+
= .
Ответ
:
(
)
tg 1 tg 1
2
sh 2 2 ln2
2 1 cos 1
x x
x x
+ +
⋅ ⋅
+ ⋅ +
;
248
13)
5
1
ch
3
x
y = .
Ответ
:
5
1
ch
5
7
1
5 3 ln3 sh
2
x
x
x
⋅ ⋅ ⋅
− ;
14)
2
1
tg 1 sh
y
x
= +
.
Ответ
:
2 2
1 1
2tg 1 sh ch
1
cos 1 sh
x x
x
x
− + ⋅
⋅ +
;
15)
2
sh 1
2
x x
y
− −
= .
Ответ
:
( )
( )
2
sh 1
2
2
2 ln2 ch 1 4 1
4
x x
x x x x
x x x
− −
⋅ ⋅ − − −
−
− ⋅
.
2. Логарифмическая производная
Вычисление
производной
часто
упрощает
предварительное
лога
-
рифмирование
функции
.
Обучающая задача. Найти
производные
функций
:
1
0
.
( ) ( )
3 5
4
2
1 2 3
x
y
x x
+
=
− +
.
Решение
:
Логарифмируем
функцию
,
используя
свойства
логарифма
( ) ( ) ( )
1 3
ln ln 2 ln 1 5ln 2 3
2 4
y x x x
= + − − − +
.
Дифференцируем
теперь
это
равенство
( ) ( )
1 3 5
2
2 2 4 1 2 3
y
y x x x
′
= − − ⋅ ⇒
+ − +
( ) ( )
1 3 10
2 2 4 1 2 3
y y
x x x
′
= − −
+ − +
.
Окончательно
имеем
( ) ( )
( ) ( )
3 5
4
2 1 3 10
2 2 4 1 2 3
1 2 3
x
y
x x x
x x
+
′
= ⋅ − −
+ − +
− ⋅ +
.
Если
(
)
y y x
=
и
(
)
ln
y x
∃
,
то
( )
ln
y
y
y
′
′
=
–
логарифмическая
производная
.
( ) ( ) ( )
ln
y x y x y x
′
′
= ⋅
249
2
0
.
(
)
tg
2
1
x
y x= +
.
Решение
:
Функция
(
)
tg
2
1
x
y x= +
является
сложно
-
показательной
,
т
.
е
.
функцией
вида
( )
( )
(
)
x
y f x
ϕ
= .
Логарифмируя
функцию
,
используя
свойства
логарифма
и
формулу
( ) ( ) ( )
ln
y x y x y x
′
′
= ⋅
будем
иметь
( ) ( )
tg
2 2
2 2
1 2
1 ln 1 tg
cos 1
x
x
y x x x
x x
′
= + ⋅ ⋅ + + ⋅
+
.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
Уровень II
Найти
(
)
y x
′
,
если
1)
( )
arctg
sin
x
y x= .
Ответ
:
( )
arctg
2
lnsin arctg cos
sin
sin
1
x
x x x
x
x
x
⋅
+
+
;
2)
( )
cos2
ln
x
y x= .
Ответ
:
( )
cos2
cos2
ln 2sin2 lnln
ln
x
x
x x x
x x
− ⋅ +
⋅
;
3)
( )
2
1
tg
x
y x
−
= .
Ответ
:
( )
2
2
1
1
tg 2 lntg
sin cos
x
x
x x x
x x
−
−
⋅ +
⋅
;
4)
( )
ln
cos
x
y x= .
Ответ
:
( )
ln
1 ln sin
cos lncos
2 cos
x
x x
x x
x x
⋅
⋅ −
;
5)
( )
2
arcsin
3
1
x
y x= − .
Ответ
:
( )
(
)
( )
2
3
2 2
arcsin
3
3
2
2 ln 1
3 arcsin
1
1
1
x
x x
x x
x
x
x
⋅ −
⋅
− −
−
−
;
6)
( )
2
arcsin
x
e
y x= .
Ответ
:
( )
2
2
2
2
arcsin 2 lnarcsin
1 arcsin
x
x
e
x
e
x e x
x x
+
− ⋅
;
250
7)
( )
th
1
x
y x= + .
Ответ
:
( )
(
)
th
2
ln 1
th
1
1
ch
x
x
x
x
x
x
−
− +
−
;
8)
( )
tg
x
y c x
= .
Ответ
:
( )
lnctg
ctg
sin cos
2
x
x x
x
x x
x
−
⋅
;
9)
( )
1 2
ln
x
y x
+
= .
Ответ
:
( )
1 2
lnln 1 2
ln
ln
1 2
x
x x
x
x x
x
+
+
+
⋅
+
;
10)
( )
3
ctg2
x
y x
= .
Ответ
:
( )
3
3
2
2
ctg2 3 lnctg2
sin2 cos2
x
x
x x x
x x
−
⋅
;
11)
( )
sin
2
x
y x x= + .
Ответ
:
( )
(
)
( )
2
sin
2
2
cos ln
sin 1 2
2
x
x x x
x x
x x
x
x x
+
⋅ +
+ +
+
;
12)
( )
ln
sin4
x
y x= .
Ответ
:
( )
ln
sin4
sin4 4cos4 lnln
ln
x
x
x x x
x x
+
⋅
;
13)
( )
( )
2
cos 1
x
y x= − .
Ответ
:
( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
sin 1
cos 1 2 lncos 1
cos 1
x
x x
x x x
x
⋅ −
− − +
−
;
14)
( )
1
ln2
x
y x
= .
Ответ
:
( )
1
2 2
1 1
ln2 lnln2
ln2
x
x x
x x x
− +
;
15)
( )
2
1
arccos
x
y x
−
= .
Ответ
:
( )
(
)
2
2
1
2
1
arccos 2 arccos
1 arccos
x
x
x x x
x x
−
−
⋅ −
−
.
Уровень III
Найти
(
)
y x
′
функции
2
2
2
x x
x x
y x x= + + .
Ответ
:
( ) ( )
2
1 2
2
2 ln 1 2 ln2 ln 2 ln2 ln 1
x x
x
x x x x
x x x x x x
x
+
⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +
.