Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
221
Определение 3.17.1. Нормалью
к
кривой
в
точке
(
)
(
)
0 0 0
,
M x y x
на
-
зывается
перпендикуляр
к
касательной
,
проведенной
в
этой
точке
.
Задача 2. Составить
уравнение
нормали
,
проведенной
к
графику
функции
в
точке
(
)
(
)
0 0 0
,
M x y x
.
По
(*)
уравнение
искомой
прямой
(
)
(
)
0 0
н
y y x k x x
− = −
,
tg
н
k
= ϕ
Выразим
угловой
коэффициент
нормали
через
угловой
коэффициент
касательной
.
0
90
ϕ= + α
⇒
(
)
( )
0
0
1 1
tg tg 90 ctg
tg
н
k
y x
= ϕ = +α = − α = − = −
′
α
⇒
( )
( )
( )
0 0
0
1
y y x x x
y x
− = − −
′
–
уравнение нормали к
графику
в
точке
(
)
(
)
0 0 0
,
M x y x
.
Замечание. Если
касательная
в
точке
(
)
(
)
0 0
,
x y x
параллельна
оси
Ох
,
то
(
)
0
0
y x
′
=
.
Тогда
(
)
0
y y x
=
–
уравнение касательной
,
0
x x
=
–
уравнение нормали
.
Задача 3. Точка
движется
в
плоскости
хОу
по
закону
(
)
( )
,
.
x x t
y y t
=
=
Найти
скорость
движения
в
некоторый
момент
времени
,
найти
величину
и
направление
скорости
при
0
t t
=
.
(
)
(
)
(
)
0 0 0
,
M x t y t
1)
(
)
(
)
(
)
,
v x t y t
′ ′
=
,
(
)
(
)
(
)
0
0 0
,
t t
v x t y t
=
′ ′
= ;
2)
величина
скорости
( ) ( )
2 2
t t
v x y
′ ′
= + ;
3)
направление
скорости
tg
t
x
t
y
y
x
′
′
ϕ= =
′
.
М
0
х
х
0
у
(
х
0
)
у
0
t
0
∼
М
0
х
у
0
ϕ
у
(
х
0
)
М
0
х
х
0
у
0
ϕ
222
Задача 4. Показать
,
что
если
луч
света
,
исходящий
из
точки
А
,
по
-
падает
в
точку
В
после
преломления
на
плоской
границе
раздела
двух
сред
,
то
оптическая
длина
этого
луча
меньше
оптической
длины
любого
другого
пути
,
соединяющего
точки
А
и
В
.
Решение
.
Не
нарушая
общности
постановки
задачи
,
можно
счи
-
тать
,
что
показатель
преломления
первой
среды
равен
единице
.
Для
опти
-
ческой
длины
L
ломаной
,
соединяющей
точки
А
и
В
,
имеем
cos cos
a b
L n= +
ϕ Ψ
.
При
этом
должно
выполняться
геометриче
-
ское
условие
,
вытекающее
из
закона
преломления
электромагнитной
волны
на
границе
раздела
двух
диэлектриков
:
tg tg const
a b
ϕ+ ψ =
,
которое
вы
-
ражает
постоянство
длины
проекций
КС
и
СМ
на
плоскость
раздела
сред
.
Для
нахождения
минимальной
оптической
дли
-
ны
пути
необходимо
,
чтобы
выполнялось
соотношение
0
dL
d
=
ϕ
,
причем
(
)
ψ =ψ ϕ
.
Из
дополнительного
условия
следует
,
что
( )
tg tg 0
d
a b
d
ϕ+ Ψ =
ϕ
.
Сопоставляя
два
соотношения
,
получим
закон
преломления
света
.
В
том
,
что
этот
закон
действительно
выражает
условие
минимума
оптической
длины
светового
луча
,
а
не
просто
условие
экстремума
,
можно
убедиться
,
исследуя
знак
второй
производной
2
2
d L
d
ϕ
(
проверить
самостоятельно
).
3.18. Практические задачи на оптимизацию
Схема построения математической модели
1.
По
содержанию
задачи
вводится
независимая
переменная
и
опре
-
деляются
её
границы
изменения
.
2.
Строится
искомая
(
целевая
)
функция
,
в
которой
все
выражения
связаны
с
независимой
переменной
.
3.
Определяются
критические
точки
целевой
функции
с
учетом
ус
-
ловий
задачи
.
4.
Исследуется
целевая
функция
на
локальный
или
глобальный
экс
-
тремум
.
n
= 1
a
K
М
С
b
φ
φ
ψ
ψ
B
223
Пример
.
В
данный
шар
с
радиусом
4
вписать
цилиндр
,
имеющий
наибольшую
боковую
поверхность
.
1)
Пусть
х
–
радиус
основания
,
2 2
P r x
= π = π
,
2
H AC
=
,
2
2 2 16
BA AC x
= = −
;
2)
2 2
.
2 2 16 4 16
бок
S P H x x x x
= ⋅ = π ⋅ − = π −
,
0 ≤ x ≤4;
3)
0
S
′
=
,
( )
2
2
2 2
4 16 2
1
4 16 4 2
2 16 16
x
S x x x
x x
π −
′
= π − + π ⋅ − =
− −
,
2
16 2 0
x
− =
,
1
2 2
x = ,
2
2 2
x = −
(
х
2
не
удовлетворяет
условию
).
Следовательно
,
2 2
x = – локальный
максимум. Целевая функция имеет на промежутке
(
)
0,4
единственный
экстремум. Так как х не может принимать значения х = 0, х = 4 (в соот-
ветствии с практическими соображениями), значит, данный шар имеет
наибольшую боковую поверхность при
2 2
x = .
4 2 2 16 8 32
наиб
S
= π⋅ − = π
.
3.19. Формула Тейлора и ее приложения
3.19.1. Формулы Тейлора и Маклорена
Формула Тейлора позволяет приближать некоторую функцию
(
)
y y x
=
, дифференцируемую n раз, к многочленам n-ной степени.
Задача. Пусть функция
(
)
y y x
=
n раз дифференцируема в не-
которой области. Найти многочлен по степеням
(
)
0
x x
−
, где
0
x
D
∈
, такой
чтобы в точке
0
x
совпадали значения функции и многочлена, а также значе-
ния их производных до n-ного порядка включительно.
Решение. Пусть
(
)
y f x
=
n раз дифференцируема в области D.
Искомый многочлен имеет вид
( )
( ) ( ) ( )
2
0 1 0 2 0 0
...
n
n n
P x a a x x a x x a x x
= + ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − , (3.19.1)
где
1 2, ,
,
n
a a a
⋯
– неизвестные коэффициенты.
u
А
В
С
О
x
у
’
у
2 2
+
4
224
По условию
0
x
D
∈
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
2
0 0 0 1 1 2 0 3 0
2
0 0 0 2 2 3 0 4 0
0 0 0 3 3 0
,
, 2 3
2 , 2 6 4
3! , 3! 8
.............................................
n
n n
n n
n n
y x P x y x a
y x P x y x a P a a x x a x x
y x P x y x a P a a x x a x x
y x P x y x a P a x x
= ⇒ =
′ ′
′ ′
= ⇒ = = + − + − +
′′ ′′
′′ ′′
= ⇒ = = + − + − +
′′′ ′′′
′′′ ′′′
= ⇒ = = + − +
⋯
⋯
⋯
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
....... ...........................................
! , !
n n n n
n n n n
y x P x y x n a P n a= ⇒ = =
(
)
0 0
a y x
⇒
=
;
(
)
1 0
a y x
′
=
;
(
)
0
2
2
y x
a
′′
= ;
(
)
0
3
3!
y x
a
′′′
= ; …;
(
)
( )
0
!
n
n
y x
a
n
⇒
= .
Подставляя
0 1 2
, , , ,
n
a a a a
…
в (3.19.1), получим
( )
( ) ( )( )
(
)
( )
0 0 0 0
...
!
n
n
n
y
P x y x y x x x x x
n
′
= + − + + − . (3.19.2)
Многочлен
(
)
n
P x
называют многочленом Тейлора для функции
(
)
f x
.
С помощью многочлена Тейлора можно находить приближенные
значения функции с определенной степенью точности.
Точность вычислений зависит от разности
(
)
(
)
(
)
n n
R x y x P x
= −
. (3.19.3)
(
)
n
R x
– погрешность, допускаемая при замене
(
)
y x
многочленом.
(
)
n
R x
называют остаточным членом. Очевидно, что
( )
( ) ( )( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
0 0 0 0
0
0
2!
... .
!
n
n
n
y x
y x y x y x x x x x
y x
x x R x
n
′′
′
= + − + ⋅ − +
+ + ⋅ − +
(3.19.4)
Формулу (3.19.4) называют формулой Тейлора.
Для оценки
(
)
n
R x
существует несколько формул. Получим две наи-
более используемые формулы.
Теорема 3.19.1. Если функция
(
)
y x
(n + 1) раз дифференцируема в
точке
0
x D
∈
, то
( )
( )
(
)
0
0
n
n
R x x x= − .
225
Доказательство.
1. По условию существует
(
)
y x
′
. Следовательно, по теореме о свя-
зи предела и бесконечно малой функции имеем
(
)
(
)
( )
( )
0
0 1
0
y x y x
y x x
x x
−
′
= +α
−
, (3.19.5)
где
(
)
1 0
0
x
α →
при
0
x x
→
.
Так как
∃
также и
(
)
0
y x
′′
(
)
(
)
{ }
0
1 0 1
x
x x C
′
⇒
∃α
⇒
α ∈
. Но
(
)
0
1
lim 0
x x
x
→
α =
, значит,
(
)
1 0
0
x
α =
.
Из равенства (3.19.5)
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 1 0 1 1
y x y x y x x x x x x P x R x
′
= + ⋅ − +α ⋅ − = +
, (3.19.6)
Но
(
)
1 0
0
x
α =
, следовательно,
(
)
(
)
(
)
1 1 0 0
0
R x x x x x
=α − = ⋅ −
.
2. Так как существует
(
)
1 0
x
′
α
, то (по аналогии с п. 1)
( )
( ) ( )( )
( )
( )
1 1 0 1 0 0 2 0
x x x x x x x x
′
α = α + α − + α ⋅ −
, (3.19.7)
где
(
)
2 0
0
x
α =
.
Вычислим
(
)
1 0
x
′
α
. Продифференцируем дважды равенство (3.19.6):
( )
( )
( )
( )
( )
0 1 0 1
y x y x x x x x
′
′ ′
= +α ⋅ − +α
;
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 0 1 1 1 0 1
2
y x x x x x x x x x x
′′ ′ ′ ′′ ′
′′
=α ⋅ − +α +α =α ⋅ − + α
.
Тогда
( ) ( ) ( )
(
)
0
0 1 0 1 0
2
2
y x
y x x x
′′
′
′′ ′
= α ⇒ α = .
Подставляя
(
)
1 0
x
′
α
в (3.19.7), будем иметь
( )
(
)
( )
( )
( )
0
1 0 2 0
2
y x
x x x x x x
′′
α = ⋅ − +α ⋅ − .
Подставим полученный результат в (3.19.6):
( )
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
0
0 0 0 0 2 0 0
2 2
0
0 0 0 0 2 0
2
2
y x
y x y x y x x x x x x x x x x
y x
y x y x x x x x x x x
′′
′
= + ⋅ − + ⋅ − +α ⋅ − ⋅ − =
′′
′
= + − + ⋅ − + α ⋅ − =
(
)
(
)
2 2
P x R x
= +
, (3.19.8)
где
(
)
(
)
(
)
2
2 2 0
R x x x x
=α ⋅ − .
Так
как
(
)
2 0
0
x
α =
,
( )
( )
(
)
2
2 0
0R x x x= − .
226
Рассуждая
аналогичным
образом
для
функции
(
)
2
x
α
,
будем
иметь
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 0 2 0 0 3 0
x x x x x x x x
′
α = α + α ⋅ − + α ⋅ − ⇒
( )
(
)
0
2 0
3!
y x
x
′′′
′
α = .
Тогда
( )
(
)
( )
( )
( )
0
2 0 3 0
3!
f x
x x x x x x
′′′
′′
α = ⋅ − +α ⋅ − .
Подставим
это
выражение
в
(3.19.8):
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
0 0 0
3 3
0
0 3 0 3 3
2
.
3!
y x
y x y x y x x x x x
y x
x x x x x P x R x
′′
′
= + − + − +
′′′
+ − +α − = +
(3.19.9)
Так
как
(
)
3 0
0
x
α =
,
то
( )
( )
(
)
3
3 0
0R x x x= − .
Продолжая
указанную
процедуру
,
далее
будем
иметь
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 0
n
n n
y x P x x x x
−
−
= +α − ,
где
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0
1 0 1 0 0
!
n
n n n n n
y x
x y x P x x x x P x x x x
n
− −
α = ⇒ = +α − = +α −
.
Так
как
(
)
0
0
n
x
α =
,
то
( )
( )
(
)
0
0
n
n
R x x x= − .
Теорема
доказана
.
Определение 3.19.1. Остаточный
член
( )
( )
(
)
0
0
n
n
R x x x= −
называ
-
ется
остаточным членом, записанным в форме Пеано
.
Теорема 3.19.2. Если
(
)
(
)
( )
0
1
0
,
n
x
y x C x D
+
∈ ∈
,
то
остаточный
член
в
формуле
Тейлора
имеет
вид
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
1
0
1 !
n
n
n
y c
R x x x
n
+
+
= ⋅ −
+
,
где
0
x c x
< <
.
Доказательство
.
В
теореме
3.19.1
было
показано
,
что
при
соблю
-
дении
её
условий
выполняется
равенство
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 1 0 1 1
y x y x y x x x x x x P x R x
′
= + − +α − = +
.
227
Оценим функцию
(
)
1
R x
с помощью теоремы Лагранжа:
1.
(
)
[ ]
0
1
;
x x
x C
α ∈
, так как существует
(
)
y x
′′
.
2.
(
)
( )
0
1
;
x x
x C
′
α ∈
, так как существует
(
)
0 0
,
y x x D
′
∈
, следовательно,
на отрезке
[
]
0
;
x x
выполняется условие теоремы Лагранжа. Учитывая, что
(
)
1 0
0
x
α =
, получим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 0 1 1 0
x x x c x x
′
α =α −α = α −
, где (см. теоре-
му 3.19.1)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
2
1 1 1
1 1 1 0 1 0
2 2 2
y c y c y c
c x x x R x x x
′′ ′′ ′′
′
α = ⇒ α = − ⇒ = − .
Проведем аналогичные рассуждения для произвольного n:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
n
n n n n
y x P x R x P x x x x
= + = + α − .
Оценивая
(
)
n
x
α
по теореме Лагранжа, будем иметь
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
n n n n n
x x x c x x
′
α =α −α =α −
, где
(
)
0
,
n
c x x
∈
.
Из теоремы 3.19.1 имеем
( )
(
)
(
)
( )
1
1 !
n
n
n n
y c
c
n
+
′
α =
+
.
Таким
образом
,
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
0
1 !
n
n
n
y c
x x x
n
+
α = ⋅ −
+
,
тогда
( ) ( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
1
0 0
1 !
n
n n
n
n n
y c
R x x x x x x
n
+
+
=α − = −
+
.
Теорема
доказана
.
Определение 3.19.2.
Остаточный
член
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
1
0
1 !
n
n
n
y c
R x x x
n
+
+
= −
+
,
где
(
)
0
,
c x x
∈
называется
остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.
Доказательство теорем 3.19.1, 3.19.2 обязательно для студентов,
претендующих на получение оценки «9» или «10»
.
Теорема 3.19.3. Если
(
)
lim 0
n
n
x D
R x
→∞
∈
=
,
то
формула
Тейлора
позволяет
(
)
y x
заменить
приближенно
на
(
)
n
P x
,
причем
(
)
n
R x
-
погрешность
при
-
ближения
.
При
n = 1
получаем
из
формулы
Тейлора
формулу
приближения
функции
с
помощью
дифференциала
1-
го
порядка
.
При
x
0
= 0
формула
Тейлора
принимает
вид
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
2
0 0
0 0 ...
2! !
n
n
n
y y
y x y y x x x R x
n
′′
′
= + ⋅ + + + + (3.19.10)
Формулу
(3.19.10)
называют
формулой Маклорена
.
228
3.19.2. Применение формулы Маклорена
1
0
. Разложение функций
sin
y x
=
,
cos
y x
=
,
x
y e
=
по формуле
Маклорена.
I.
sin
y x
=
(
)
0 0
y
=
cos
y x
′
=
(
)
0 1
y
′
=
sin
y x
′′
= −
(
)
0 0
y
′′
=
cos
y x
′′′
= −
(
)
0 1
y
′′′
= −
(
)
sin
IY
y x
=
(
)
( )
0 0
IY
y
=
…………… ……………
( )
( )
( )
3 5 2 1
1
sin ... 1
3! 5! 2 1 !
n
n
n
x x x
x x R x
n
−
+
= − + − + − +
−
( )
( )
( )
1
2 1
1
sin 1
2 1 !
k
k
n
n
k
x
x R x
k
+
−
=
= − +
−
∑
.
II.
cos
y x
=
(
)
0 1
y
=
sin
y x
′
= −
(
)
0 0
y
′
=
cos
y x
′′
= −
(
)
0 1
y
′′
= −
sin
y x
′′′
=
(
)
0 0
y
′′′
=
(
)
cos
IY
y x
=
(
)
( )
0 1
IY
y
=
…………… ……………
( )
( )
( )
2 4 2 2
1
cos 1 ... 1
2! 4! 2 2 !
n
n
n
x x x
x R x
n
−
+
= − + + + − +
−
( )
( )
( )
1
2 2
1
cos 1
2 2 !
k
k
n
n
k
x
x R x
k
+
−
=
= − +
−
∑
.
III.
x
y e
=
(
)
0 1
y
=
x
y e
′
=
(
)
0 1
y
′
=
…… ……….
(
)
n
x
y e
=
(
)
( )
0 1
n
y
=
( )
2 3
1 ...
2! 3! !
n
x
n
x x x
e x R x
n
= + + + + + +
,
( )
1
1
!
k
n
x
n
k
x
e R x
k
=
= + +
∑
.
229
Замечание. Аналогично
выводят
формулы
приближения
функций
( ) ( ) ( )
2 3
1
ln 1 ... 1
2 3
n
n
n
x x x
x x R x
n
−
+ = − + − + − + ,
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
1 1 2 1
1 1 ...
2! !
m
n
n
m m m m m m n
x mx x x R x
n
− − − − +
+ = + + + + + ,
( ) ( )
2 3
1
1 ... 1
1
n
n
n
x x x x R x
x
= − + − + + − +
+
.
Упражнение. Разложить
по
формуле
Маклорена
:
а
)
2
x
y xe
= ;
б
)
2
1
4
y
x
=
+
;
в
)
2
sin
y x
= .
2
0
. Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора
Приближение
с
помощью
дифференциала
дает
довольно
грубую
по
-
грешность
.
Если
требуются
более
точные
расчеты
,
то
используют
формулу
Тейлора
.
Пример
.
Вычислить
значение
е
с
точностью
0,01
ε =
.
Воспользуемся
формулой
Маклорена
:
( )
2 3
1 ...
2! 3! !
n
x
n
x x x
e x R x
n
= + + + + + + .
Тогда
,
( )
1 1 1 1
1 1 ... 1
2 3! 4! !
n
e R
n
= + + + + + + + .
По
условию
(
)
0,01
n
R x < .
Так
как
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
1
1
3
,
то
1 0,01
1 ! 1 ! 1 !
n
c
n
n n
y c
e
R x x R
n n n
+
+
= ⋅ = < <
+ + +
.
Определим
,
при
каком
n
выполняется
последнее
неравенство
.
1
n
=
,
3
1,5 0,01
2
= > ;
2
n
=
,
3 1
0,01
6 2
= > ;
4
n
=
,
3 1
0,01
5! 40
= > ;
230
5
n
=
,
3 1
0,004 0,01
6! 240
= ≈ < .
Тогда
1 1 1 1
1 1 2,717 2,72
2 3! 4! 5!
e = + + + + + ≈ ≈ .
3
0
. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (выделение
главной части)
Примеры
.
1)
2 2
6
0
sin 0
lim
0
x
x x
x
→
−
=
.
Применение
правила
Лопиталя
здесь
не
выгодно
(
пришлось
бы
«
ло
-
питалить
» 6
раз
!).
Применение
эквивалентных
бесконечно
малых
невозможно
,
т
.
к
.
2 2
0
sin
x
x x
→
∼
,
следовательно
,
(
)
2 2
sin
x x
−
имеет
более
высокий
порядок
ма
-
лости
,
чем
любая
из
эквивалентных
бесконечно
малых
.
( )
( )
( )
6 4 2
1
2 2 4 2
sin ... 1 0
3! 2 1 !
n
n
n
x x
x x x
n
−
+
−
= − + + − +
−
⇒
( )
( )
6 6
2 2 6
6
6 6 6
0 0 0
0
0
1
6 6
lim lim lim
6
x x x
x x
x x x
x
x x x
→ → →
− + +
= + =
.
2)
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
lim ln 1 lim 0 lim
2 2
2
x x x
x x x x
x x
x x
→∞ →∞ →∞
− + = − − + = =
3)
( )
2 4 2
2
4
4 4
0 0
1 0 1
cos 1
1
2! 4! 2
2
lim lim
24
x x
x x x
x
x
x
x x
→ →
− + + − +
− +
= = .
Задачи для самостоятельного изучения
4)
( )
1
2
2
2
4 4
0 0
1 1 cos
1 1 cos
lim lim
tg tg
x x
x x
x x
x x
→ →
− + ⋅
− + ⋅
= =
( )
( )
2 4 4
4
0
1 1
2 4
1
2 2
4
1 1 1
2 2 2 24
lim
x
x x
x x o x o x
x
→
⋅ −
− + + + − + +
= =