Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
231
(
)
( )
4 4 4 4
4
4 4
0 0
1 1 1
1 1
4 8 24
lim lim .
3 3
x x
x x x o x
o x
x x
→ →
+ − +
= = + =
5)
( )
1
0
1 1
lim
x
x
e x
x
−
→
+ −
=
1 ( ) ( )
2 2
0 0 0
( )
1 1 1
2
lim lim lim .
2
x x
o x o x
x x x
x
o x
e e e
x x x
− + + +
→ → →
+
⋅ − −
= = = =
6)
(
)
2 2
lim 2 2 .
x
x x x x x x
→∞
+ − + +
Введем
замену
x=1/t,
тогда
t→ 0
при
x→∞,
поэтому
будем
иметь
( )
2 2 2
0 0
1 1 2 1 1 1 1
lim 2 lim 1 2 2 1 1
t t
t t
t t t t
t t t
→ →
+ − + + = + − + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
1 2 1
1
2 4 4 2 4
lim lim lim .
4
t t t
t t t t t
t t o t o t o t
t t t
→ → →
+ − − − + + + − + − +
= = = = −
7)
1
4
3 2 12
lim 1
2
x
x
x
e x x x
→∞
− + − + =
3 3
9 9
1 1 1 1 1 1
lim .
6 8 6
4
x
x o x o
x x
x x
→∞
= + + + − + + =
Упражнение.
Вычислить
( )
4 3
0
2
2
lim
9
ln 1 3 3
2
x
x x
x x x
→
+
+ − +
.
4
0
. Вычисление производных произвольного порядка с помощью
формулы Тейлора
1)
Вычислить
(
)
( )
15
f x
от
( )
7
cos
3
x
f x x=
в
точке
x = 0.
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
0
1 1 1 1
1 1
2
2 2 2 2
1 2 4 2 1 1
2 2! 2 2!
lim
t
t t
t o t t o t
t
t
→
− −
+ + + − + + + +
= =
232
(
)
(
)
2 4
3 4 13 15
7 7 7
2 4 6 8
3 3
cos 1 ...
3 2! 4!
3 2! 3 4! 3 6! 3 8!
x x
x x x x x
x x x
= − + − = − + − + −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
…
,
так как
(
)
15
15
(0) 15!
f c
= ⋅
, то
( )
15
8
15!
(0)
3 8!
f = .
2) Найти
( )
2
1
( 2), ( ) .
4 8
n
f f x
x x
− =
+ +
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
0
2
1 1 1 1 1
( 1)
4 4
4 8 ( 2) 4
1
n
n
x
x
n
x x x
∞
+
+
=
= = ⋅ = − =
+ + + +
+
∑
( )
2
2 1
0
( 1)
( 2)
2
n
n
n
n
x
∞
+
=
−
= +
∑
. Тогда
( )
2 2 1
2( 1)
1
, 0, 1,2,...
2
n
n n
n
c c n
−
+
−
= = =
( )
2
(2 1)
2
2( 1)
( 1) (2 )!
( 2) (2 )! , ( 2) 0.
2
n
n
n
n
n
n
f c n f
−
+
− ⋅
− = = − =
3.20. Графическое дифференцирование (интегрирование)
(информация для самостоятельного изучения)
Задача 1. Дан график функции
(
)
y y x
=
. Найти график ее произ-
водной.
x
8
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
y = y
(
x
)
y
’(
x
)
y
A
0
x
233
1. Разбивают интервал на части точками (x
1
, x
2
, x
3
, …).
2. В точках с абсциссами x
1
, x
2
, x
3
, … строят касательные к графику
функции
(
)
y y x
=
.
3. На оси абсцисс берут точку А с координатами (–1, 0). Проводят
через точку А прямые, параллельные полученным касательным.
4. Производные в точках равны тангенсу углов между осью Ох и
касательной, а тангенсы равны отрезкам, отсекаемым от оси ординат пря-
мыми, проходящими через точку А.
Задача 2. По графику производ-
ной
y
′
выяснить вид графика функции у
на промежутке [0, 5], если у(0) = – 1.
Из графика
y
′
видно, что знаки
y
′
на интервале (0, 5) распределены следующим образом:
Исследуем функцию на выпуклость
( )
y y
′
′′ ′
=
(
)
4,5
x
∈
,
0
y
′′
=
,
0
y
′
=
2
x
=
– точка перегиба.
y”
y
x
+
+
–
–
0
2
3
1
0
4
5
∩
∪
y
y
'
x
–
+
–
+
-
0
2
3
1
–
4
5
x
min
= 1, x
max
= 3
0
1
2
3
4 5
–1
х
у
’
1
2
3 4
5
0
–1
у
х
234
ВЫВОДЫ
К понятию производной приводит задача:
−
−−
− вычисления скорости в данный момент времени при неравномер-
ном движении,
−
−−
− о проведении касательной к плоской кривой в некоторой ее точке,
−
−−
− об определении силы тока в данный момент времени, если заряд
распределен неравномерно во времени и т.п.
Можно говорить о скорости накопления биомассы, о скорости хими-
ческой реакции, скорости нагревания и остывания тела, скорости переме-
щения потоков жидкости или воздуха. Таким образом, к производной при-
водят многочисленные задачи из различных областей теории и практики, в
которых требуется определить скорость изменения процесса.
Действие нахождения производной называется дифференцировани-
ем. Общее правило дифференцирования дает возможность получить гото-
вые формулы для нахождения производных основных элементарных
функций. Используя это правило, а затем правило дифференцирования
сложной функции, получены формулы для вычисления производной слож-
ной функции.
Среди многих задач, решаемых с помощью производных, наиболее
важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с
ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения производ-
ственных функций. Задача об организации производственного процесса с
целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с
поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенство-
ванию методов отыскания наибольших (наименьших) значений. Решени-
ем таких задач занимается особая ветвь математики – линейное програм-
мирование.
Большую роль при изучении функциональной зависимости (а значит,
процесса) играет формула Тейлора, которая позволяет исследование диф-
ференцируемой функции свести к работе с многочленом.
235
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Учебно-информационный блок
для проведения практических занятий
Тема занятия Тип занятия
Кол-во
час
I. Производные элементарных функций.
Таблица производных. Производные сум-
мы, произведения и частного. Бесконечная,
левая и правая производные функции в
точке
Повторение и обобщение
имеющихся знаний. Усвоение и
закрепление изученного на
лекции нового материала
2
II. Производная сложной функции. Ло-
гарифмическая производная
Углубление и расширение
полученных знаний. Усвоение
нового материала. Текущий
контроль
2
III. Дифференцирование параметрически
заданных и неявных функций. Производ-
ные высших порядков
Усвоение и закрепление но-
вого материала. Текущий кон-
троль
2
IV. Касательная и нормаль к графику
функции. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях
Углубление и расширение
полученных знаний. Обобще-
ние и применение полученных
знаний. Текущий контроль
2
V. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа Усвоение и закрепление ново-
го материала. Текущий контроль
2
VI. Правило Лопиталя (неопределенно-
сти вида
0
0 , ,
0
∞
⋅∞
∞
,
степенные
неопреде
-
ленности
0
0 , ,1
∞ ∞
∞
)
Усвоение
и
закрепление
но
-
вого
материала
.
Применение
полученных
знаний
.
Текущий
контроль
2
VII.
Условия
возрастания
и
убывания
функций
.
Достаточные
условия
локально
-
го
экстремума
.
Нахождение
наибольших
и
наименьших
значений
функции
на
отрезке
.
Выпуклость
и
вогнутость
.
Точки
перегиба
Углубление
,
обобщение
,
сис
-
тематизация
и
применение
по
-
лученных
знаний
2
VIII.
.
Вертикальные
и
наклонные
асим
-
птоты
графика
функции
.
Общая
схема
ис
-
следования
и
построения
графика
функции
Повторение
и
обобщение
имеющихся
знаний
.
Усвоение
и
закрепление
нового
материала
.
Текущий
контроль
2
IX.
Физические
и
механические
при
-
ложения
дифференциального
исчисления
Углубление
,
обобщение
,
сис
-
тематизация
и
применение
по
-
лученных
знаний
.
Текущий
контроль
2
X.
Дифференциалы
высших
порядков
.
Формула
Тейлора
,
ее
приложение
к
при
-
ближенным
вычислениям
Углубление
,
обобщение
,
сис
-
тематизация
и
применение
по
-
лученных
знаний
Итоговый
контроль
2
236
Используемая литература
1. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Буг-
ров, С.М. Никольский. – М. : Наука, 1980.
2. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гу-
сак. – Мн. : Навука і тэхніка, 1991.
3. Задачник по курсу математического анализа: учеб. пособие для студ.
заочных отделений физ.-мат. факультетов педин-тов / Н.Я. Виленкин,
К.А. Бохан, И. А. Марон и др.; под ред. Н.Я. Виленкина. – М. : Про-
свещение, 1971.
4. Методические указания по типовому расчету по теме «Исследование
функции одной переменной и построение ее графика» курса «Высшая
математика» / Е.А. Куприянович. – Новополоцк: НПИ, 1990.
5. Методическое пособие с трехуровневыми заданиями для организации
самостоятельной работы студентов всех специальностей по теме «Диф-
ференциальное исчисление функции одной переменной» / В.С. Вакуль-
чик, В.А. Жак, В.М. Кулага, Н.В. Цывис, Ф.Ф. Яско. – В 2-х частях.
Ч. 1. – Новополоцк: ПГУ, 1999.
6. Методическое пособие с трехуровневыми заданиями для организации
самостоятельной работы студентов всех специальностей по теме «Диф-
ференциальное исчисление функции одной переменной» / В.С. Вакуль-
чик, В.А. Жак, В.М. Кулага, Н.В. Цывис, Ф.Ф. Яско. – В 2-х частях. Ч.
2. – Новополоцк: ПГУ, 1999.
7. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. – М.:
Наука, 1973.
8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С.
Пискунов. В 3 томах. Т. 1. – М.: Наука, 1978.
9. Пушкарева, Т. М. Дифференциальное исчисление функции одной пе-
ременной. Программированный задачник для студентов втузов / Т. М.
Пушкарева, Н. Н. Третьякова и др. – Мн. : Минский радиотехниче-
ский институт, 1989.
10. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. –
М.: Наука, 1986.
237
ОСНОВНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ СХЕМА II
I. Производные элементарных функций. Таблица производ-
ных. Производные суммы, произведения и частного. Бесконечная,
левая и правая производные функции в точке
1. Определение производной функции в точке. Функции, диффе-
ренцируемые в точке
Обучающая задача. Пользуясь только определением производной,
найти
1
0
.
(
)
8
f
′
для
(
)
3
f x x
= ,
Решение:
( ) ( )
( )
3 3 3
3 3 2 2
8 8
8 2
8 lim lim
8 8
x x
x x
f a b a b a ab b
x x
→ →
− −
′
= = = − = − + + =
− −
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
3 3
3 3
2 2
8 8
3 3
2 2 4
8
lim lim
8 2 4 8 2 4
x x
x x x
x
x x x x x x
→ →
− + +
−
= = =
− + + − + +
( )
3
2
8
3
1 1
lim
12
2 4
x
x x
→
= =
+ +
;
2
0
(повышенный уровень). Пользуясь только определением произ-
водной, найти
(
)
0
f
′
для
( )
1
1 cos sin , 0
0, 0.
x x
f x
x
x
− ⋅ ≠
=
=
.
Производной функции
(
)
f x
в
точке
0
x
называется
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0 0
,
lim lim
x x
f x x f x x f x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆ +∆ −
= =
∆ ∆
(
)
(
)
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
→
−
=
−
,
(
)
0
x x x
∆ = −
.
Обозначения
:
(
)
0
f x
′
,
(
)
0
y x
′
,
(
)
0
dy x
dx
.
Производная функции в нуле:
1.
( )
(
)
(
)
0
0
0 lim
x
f x f
f
x
→
−
′
= ;
2.
( )
(
)
(
)
0
0
0 lim
x
f x f
f
x
∆ →
∆ −
′
=
∆
;
3.
( )
0
0
sin
sin lim 1
x
x
x
x
x
→
=
′
= =
238
Решение:
( )
( ) ( )
0 0
1
1 cos sin 0
0
0 lim lim
x x
x
f x f
x
f
x x
→ →
− ⋅ −
−
′
= = =
2 2
б.м.
2
огр.
0 0
б.м.
2
огр.
1
sin 0, 0
1
sin
1 1
lim lim sin 0
2 2
1 cos , 0
2
x x
x x
x
x
x
x
x x
→ →
α = ⋅ → →
⋅
= = = ⋅ =
α
− α α →∼
0
3
. Найти по определению производную
(
)
0
y x
′
, если
(
)
2
1
y x x
= −
,
0
1
x
= −
(преподаватель у доски).
Исходя из определения производной, найти (самостоятельно, ка-
ждому свой вариант, два студента у доски выполняют свои задания):
1)
(
)
3
y x x
=
,
0
1
x
=
. Ответ: 3;
2)
(
)
y x x
= ,
0
1
x
=
. Ответ:
1
2
;
3)
(
)
lg
y x x
=
,
0
100
x
=
.
Ответ
:
1
100 ln10
;
4)
(
)
cos
y x x
=
,
0
0
x
=
.
Ответ
: 0;
5)
(
)
2
2
y x x x
= +
,
0
2
x
=
.
Ответ
: 6;
6)
( )
1
y x
x
= ,
0
1
x
=
. Ответ:
1
2
−
;
7)
(
)
x
y x e
=
,
0
1
x
=
. Ответ: е;
8)
(
)
2
2
y x x x
= −
,
0
1
x
=
. Ответ: 3;
9)
( )
2
1
y x
x
= ,
0
1
x
=
. Ответ: -2;
10)
( )
1
1
y x
x
=
+
,
0
0
x
=
. Ответ: –1;
11)
(
)
cos2
y x x
=
,
0
0
x
=
. Ответ: 0;
12)
(
)
3 2
y x x x
= −
,
0
1
x
=
. Ответ: 1;
13)
( )
1
y x
x
= −
,
0
2
x
=
. Ответ:
1
4
;
14)
(
)
ln
y x x
=
,
0
1
x
=
. Ответ: 1.
239
2. Дифференцирование функции, заданной явно
Таблица производных
1.
(
)
1n n
u n u u
−
′
′
= ⋅ ⋅
;
2.
1
x
′
=
;
3.
( )
1
2
u u
u
′
′
= ⋅
;
4.
2
1 1
u
u
u
′
′
= − ⋅
;
5.
( )
sin cos
u u u
′
′
= ⋅
;
6.
( )
cos sin
u u u
′
′
= − ⋅
;
7.
( )
2
1
tg
cos
u u
u
′
′
= ⋅
;
8.
( )
2
1
ctg
sin
u u
u
′
′
= − ⋅
;
9.
(
)
ln
u u
a a a u
′
′
= ⋅ ⋅
;
10.
(
)
u u
e e u
′
′
= ⋅
;
11.
( )
1
log
ln
a
u u
u a
′
′
= ⋅
⋅
;
12.
( )
1
ln
u u
u
′
′
= ⋅
.
13.
( )
2
1
arcsin
1
u u
u
′
′
= ⋅
−
;
14.
( )
2
1
arccos
1
u u
u
′
′
= − ⋅
−
;
15.
( )
2
1
arctg
1
u u
u
′
′
= ⋅
+
;
16.
( )
2
1
arcctg
1
u u
u
′
′
= − ⋅
+
;
17.
( )
sh ch
u u u
′
′
= ⋅
;
18.
( )
ch sh
u u u
′
′
= ⋅
;
19.
( )
2
1
th
ch
u u
u
′
′
= ⋅
;
20.
( )
2
1
cth
sh
u u
u
′
′
= − ⋅
.
Обучающая задача. Найти производную функции
3
2 sin
tg
x
x
y e x
x
+
= −
Решение: Воспользуемся правилами дифференцирования и табли-
цей производных.
( )
( )
3
2 sin
tg
x
x
y x e x
x
′
+
′
′
= − =
Правила дифференцирования
1.
( )
u v u v
′
′ ′
± = ±
;
2.
( )
u v u v v u
′
′ ′
⋅ = + ;
3.
2
u u v v u
v
v
′
′ ′
−
=
;
4.
( )
cu cu
′
′
= ;
5.
( )
0
c
′
=
,
const
c
=
.
240
( )
( )
( ) ( )( )
2
3 tg 3 tg
2 sin 2 sin
tg
x x
x x x x
e x e x
x
′ ′
+ − +
′
′
= + − =
( )
2
2
1
tg 3
cos
2 sin 2 cos
tg
x x
x x
x
e x e x
x
− + ⋅
= + − .
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания).
Найдите
(
)
y x
′
:
1)
sin
3
x
x
y e x
x
= − . Ответ:
2
cos sin 2 1
3
2
x
x x x x
e
x
x
− +
− ⋅ ;
2)
ch
2 ln
x
x
y x
x
= + .Ответ:
2
sh ch 1
2 ln2 ln
x
x x x
x
x
x
+
+ ⋅ +
;
3)
sin
sh
x
x
y e x
x
= + . Ответ:
( )
2
sh ch
sin cos
2 sh
x
x x x
e x x
x x
−
+ +
⋅
;
4)
2
sh
ln
x
y x x
x
= + . Ответ:
( )
2
sh ch
2ln
x x x
x x x
x
⋅ −
+ + ;
5)
2
th
x
e
y x x
x
= + ⋅
.
Ответ
:
(
)
3
2
2 sh ch
2
x
e x
x x x
x
x
−
+
+ ;
6)
tg
ch
x
x
y e x
x
= + .
Ответ
:
( )
2 2
sin cos
ch sh
cos
x
x x x
e x x
x x
−
+ + ;
7)
2
sec
ln
x
y x x
x
= ⋅ + .
Ответ
:
( )
( )
2
cos sin
2ln 1
cos
x x x
x x
x x
−
+ − ;
8)
2
arcsin
ch
x
y x x
x
= ⋅ + .
Ответ
:
2
3 2
ch 2 sh 2 1 arcsin
2
1
x x x x x x
x
x x
+ − −
+
−
;
9)
( )
2
arcsin
3 2 th
x
y x x
x
= + + .
Ответ
:
2
2
3 2
2 1 arcsin 3 2
3th
ch
1
x x x x
x
x
x x
− − +
+ +
−
;
10)
(
)
2
1 sec sh arctg
y x x x x
= + + ⋅ .
Ответ:
(
)
( )
2
2 2
2 cos 1 sin
1 cos
cosec
cos sin
x x x x
x x
x
x x
+ +
−
+ − ;