Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 4. Концепция иерархического управления 131

3. V

∩ V

max

= ∅, V

∩ V

min

≠ ∅.

Нормативный механизм

v*( )

max

min

VuU

VVuU

ÇÏ

обеспечивает выбор Ведомым стратегии u* ∈ U

, после чего

(u*,v*)∈C

ΩJmax

4. V

∩ V

max

= ∅, V

∩ V

min

= ∅.

Нормативный механизм

v*( )

max

min

VuU

обеспечивает выбор стратегии u* ∈ U

; решение игры (u*,v*) ∈ C

ΩJmax

Если же ∀v U

∩ U

(v) = ∅, то в возникающих соответствующих слу-

чаях 5–8 Ведущий выбирает механизм управления v*(u) аналогично слу-

чаям 1–4. Тогда Ведомый должен сравнить, что для него выгоднее:

если ∃u* ∈ U

(u*,v

(u*)) > J

(u,v

(u)), ∀u ∈ U

, то Ведомый вы-

бирает u* ∈ U

, при этом в случаях 5 и 6 решение (u*,v*) ∈ C

ΩJ

; иначе он

выбирает u

∈ U

Ju u Ju u

uU U

( , ( )) max ( , ( )),

нн

и (u

,v*) ∉ C

, т. е. задача иерархического управления динамической

системой не имеет решения.

Подчеркнем еще раз существенное предположение о том, что инте-

ресы Ведомого полностью описываются стремлением к максимизации

целевой функции J

. Поэтому в случаях 1–4 он всегда выбирает u* ∈ U

и применять на деле стратегию наказания (которая может оказаться не-

выгодной) Ведущему не приходится. В случаях 3–4, 7–8 Ведущий может

попытаться найти стратегию

(u) ∈ V

: ∃u* ∈ U

(u*,v

(u*)) > J

(u,v

(u)), ∀u ∈ U

Если такая стратегия существует, то результат Ведущего улучшается по

сравнению с механизмом поощрения/наказания, а решение игры

(u*,v

(u*)) ∈ C

ΩJ

(в случаях 7–8 — если для Ведомого выбор u* выго-

ден). Заменять стратегию v

на v

не обязательно, поскольку она все рав-

но не реализуется при экономически разумном Ведомом.

Адаптивный механизм регулирования.

Схему адаптивного механизма регулирования можно представить сле-

дующим образом. В цикле по t = 1, 2, ..., T:

— генерируется значение ξ(t);

132 Иерархическое управление устойчивым развитием

— Ведомый находит оптимальную на шаге t стратегию

ut gtxt ut

ut U t t

*( ) max ( , ( ), ( ));

() (,( ))

Î-

Arg

(4.2.61)

— Ведущий вычисляет x(t) = x(t – 1) + f(t,x(t – 1),u*(t),ξ(t));

— Ведущий выбирает корректирующее воздействие

*( )

,() ,

(), () .

txt

0 W

(4.2.62)

Смысл правила (4.2.62) заключается в том, что если оптимальное на

шаге t управление Ведомого ведет к нарушению условия (4.2.1), то Веду-

щий воздействует на область допустимых управлений Ведомого U = U(v)

так, чтобы новое оптимальное управление на шаге t + 1 переводило УДС

в область Ω или хотя бы приближало к ней.

Рассмотрим в качестве примера модель эксплуатации биоресурсов,

записав ее в виде

= v(t) → max (4.2.63)

v(t) ∈ V(t) (4.2.64)

Jctut

uii

=

() () max

(4.2.65)

au t b t t j m

ij i j j

( ) ( ) ( ), ,...,£+ =

(4.2.66)

(t) ≥ 0, i=1,...,n (4.2.67)

(t) = f(x

(t)) – u

(t) (4.2.68)

(0) = x

(4.2.69)

(t) ≥ x

кр.

, i=1,...,n, t=0,1,...,T – 1. (4.2.70)

Здесь x(t) = (x

(t),...,x

(t)) — векторная фазовая переменная (напри-

мер, биомасса сообщества); u(t) = (u

(t),..., u

(t)) — вектор «сбора урожая»

(управление Ведомого на шаге t); b

(t) — технологические ограничения

j-го типа для Ведомого на шаге t; v

(t) — дотации Ведущего на ослабление

этих ограничений (управление Ведущего на шаге t); a

— эффективность

j-го технологического способа применительно к i-му виду биоресурсов;

Глава 4. Концепция иерархического управления 133

(t) — цена единицы i-го вида биоресурсов на шаге t; x

кр.

— критическое

значение биомассы i-го вида.

Ведущий должен обеспечить выполнение условия экологического им-

ператива (4.2.70) на каждом шаге t; после этого он может дополнительно

решать оптимизационную задачу (4.2.63)–(4.2.64). Ведомый на каждом

шаге решает задачу линейного программирования (4.2.65)–(4.2.67), ко-

торая является параметрической по отношению к управлению Ведуще-

го v

(t).

Из (4.2.68) и (4.2.70) получаем

= {u(t): u

(t) ≤ f(x

(t)) – x

кр.

, i=1,...,n}. (4.2.71)

Приведем задачу (4.2.65)-(4.2.67) путем введения дополнительных пе-

ременных к каноническому виду и запишем ее в векторной форме с оче-

видными обозначениями (Угольницкий и др. 2000):

) → max (4.2.72)

= b

+ v

(4.2.73)

≥ 0 . (4.2.74)

Пусть u

) — базисное решение (4.2.73)–(4.2.74) такое, что u

(0) —

оптимальное решение (4.2.62)–(4.2.64). Обозначим A

= (B

), где B

—

базис решения u

(0); I

— множество индексов базисных переменных;

= B

-1

; z

= B

-1

; Δt = B

-1

. Тогда

(0) + Z

(0) = z

;

) + Z

) = z

+ Δ

откуда в силу u

) = 0 получаем

) = u

(0) + Δ

Так как оценки при небазисных переменных не зависят от v

, то u

)

остается оптимальным решением при всех v

∈ V

. Если i ∉ I

, то u

) = 0,

иначе u

) = u

(0) + Δ

. Тогда условие u

∈ U

принимает вид

≤ f(x

(t)) – x

кр.

– u

(0),

откуда можно найти ограничения на v

–1

≤ f(x

(t)) – x

кр.

– u

(0). (4.2.75)

Таким образом, для решения задачи иерархического управления ди-

намической системой Ведущий должен решить задачу математического

программирования (4.2.63), (4.2.64), (4.2.75).

Более общая модель ИУДС имеет вид:

H = < N, A, ℘, ∑, {U

}

i∈N

, {J

}

i∈N

>, (4.2.76)

134 Иерархическое управление устойчивым развитием

где N — множество действующих субъектов; А — бинарное отношение на

N; ℘ — множество разбиений (коалиционных структур) на N; ∑ — управ-

ляемая динамическая система; U

— множество стратегий управления i-го

субъекта; J

— функция выигрыша i-го субъекта, определенная на множе-

стве ситуаций U

× U

× ... × U

Предполагаются выполненными следующие свойства (аксиомы):

А1 — иерархия: бинарное отношение А является строгим порядком;

А2 — стратификация: каждое разбиение S ∈℘ является упорядочен-

ным;

А3 — целеустремленность (экономическая рациональность): каждый

субъект i∈N стремится к максимизации своей функции выигрыша J

На множестве всех подмножеств (коалиций) множества N можно опре-

делить характеристическую функцию по Нейману-Моргенштерну

v( ) max min ( , ), ,

KJuuKN

iKNK

NK NK

=Î

(4.2.77)

где u

— набор стратегий участников коалиции К, u

N\K

— набор стратегий

участников дополнительной коалиции N\K.

Рассмотрение модели (4.2.76) при условии выполнения аксиом А1–

А3 с дополнительной характеристической функцией (4.2.77), которая

является супераддитивной, позволяет объединить три известные конст-

рукции:

1) ориентированный граф без контуров и петель D = (N,A) с заданным

множеством упорядоченных разбиений его вершин ℘, характери-

зующий организационную структуру управления динамической

системой;

2) игру N лиц в нормальной форме G = < N, {U

}

i∈N

, {J

}

i∈N

>, моде-

лирующую динамическую систему как совокупность независимых

рационально действующих индивидов;

3) игру в форме характеристической функции Г

= < N,v >, позволяю-

щую описывать возникновение коалиций и кооперативные прин-

ципы распределения.

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

И ИНФОРМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ

Основываясь на проведенном анализе методов иерархического управ-

ления, устойчивого развития, иерархического управления динамически-

ми системами, можно сформулировать синтетическую концепцию иерар-

хического управления устойчивым развитием. Целостное отражение этой

концепции возможно лишь в рамках динамической модели, описываю-

щей процесс развития иерархически управляемой системы и позволяю-

щей учесть требование динамической согласованности. Исследование

такой модели требует применения методологии прикладного систем-

ного анализа на основе имитационного моделирования. Однако в ме-

тодических целях удобнее начать изложение со статической модели, до-

пускающей более наглядное представление концепции и формулировку

принципов оптимальности. Именно, методы иерархического управления

(принуждение, побуждение, убеждение) формализуются как специфиче-

ские виды равновесия по Штакельбергу, обеспечивающие выполнение

условия гомеостаза различными способами.

Существует двусторонняя связь между мониторингом и иерархиче-

ским управлением устойчивым развитием динамических систем. С од-

ной стороны, мониторинг поставляет необходимую для решения задачи

иерархического управления информацию. С другой стороны, передавае-

мые на верхние иерархические уровни управления данные мониторинга

представляют собой стратегии субъектов нижних уровней, что обусловли-

вает возможность оппортунистического поведения последних. Поэтому

необходимо иерархическое управление мониторингом, которое является

неотъемлемой частью иерархического управления устойчивым развитием

динамической системы в целом.

5.1. СТАТИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ

Основываясь на проведенном анализе методов иерархического управ-

ления, устойчивого развития, иерархического управления динамиче-

скими системами, можно сформулировать синтетическую концепцию

136 Иерархическое управление устойчивым развитием

иерархического управления устойчивым развитием. Целостное отраже-

ние этой концепции возможно лишь в рамках динамической модели, опи-

сывающей процесс развития иерархически управляемой системы и по-

зволяющей учесть требование динамической согласованности. Однако

в методических целях удобнее начать изложение со статической модели,

допускающей более наглядное представление концепции и формулиров-

ку принципов оптимальности.

Рассмотрим теоретико-игровую модель иерархического управления

устойчивым развитием в простейшей статической форме, включающей

двух игроков: Ведущего (субъект управления верхнего уровня, обознача-

ется индексом L) и Ведомого (субъект управления нижнего уровня, обо-

значается индексом F). Модель имеет вид:

Jpqu gpqu MuU

LL L

(,,) (,,) (, ) max=- r

(5.1.1)

pPqQÎÎ,;

(5.1.2)

Jpqu

(,,) max

(5.1.3)

uUqÎ ().

(5.1.4)

Вектор управляющих воздействий Ведущего разбивается на два под-

вектора: p — вектор управлений побуждения, q — вектор управлений при-

нуждения; P,Q — соответствующие множества допустимых управлений.

Таким образом, стратегия Ведущего есть пара (p,q). Через u обозначается

стратегия Ведомого (воздействие на объект управления), U(q) — множест-

во допустимых стратегий Ведомого. В соответствии с концепцией иерар-

хического управления устойчивым развитием, посредством управлений

побуждения p Ведущий воздействует на функцию выигрыша Ведомого

, а посредством управлений q — на его множество допустимых стра-

тегий U(q). Условие

выражает требование гомеостаза, поскольку

требование гомеостаза

"Î ÎtTxtX

[, ]: ()0

для управляемой динамической

системы

dx dt f x t u t/((),())=

при естественных условиях эквивалентно

требованию

"Î ÎtTutU

[, ]: () .0

Для обеспечения его реализации вводит-

ся функция r(, )

,uU

=Î

>Ï

и штрафная сколь угодно большая кон-

станта M. Таким образом, максимизация функции выигрыша Ведущего

возможна лишь при выполнении условия гомеостаза

Î .

Частная

функция выигрыша Ведущего без учета требования гомеостаза обозна-

чена через g

. В модели используются два предположения:

A1.

∅.

A2.

$Î Î ¹

pPqQArg J pquU

uUq

,:sup(,,)\

()

∅.

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 137

Первая гипотеза означает, что условие гомеостаза достижимо. Соглас-

но второй гипотезе, при некоторых значениях управляющих воздействий

Ведущего (например, при p = q = 0) интересы Ведомого ведут к наруше-

нию требования гомеостаза, поэтому иерархическое управление устой-

чивым развитием необходимо.

Решениями иерархической игры (5.1.1)–(5.1.4) служат три вида рав-

новесий (Угольницкий 2005).

Определение 1. Равновесием принуждения в игре (5.1.1)–(5.1.4) назы-

вается ситуация (p,q,u) такая, что

Jpqu p

comp

(,,) (),³ g

(5.1.5)

comp

zRps

pJpszpP

Rpq Arg

() sup inf (,,), ;

(,) sup

(,)

(

=Î

Î qq

Jpqu

)

(,,).

Обозначим множество равновесий принуждения через Comp

(p).

Утверждение 1. Пусть Q — компакт, g

(p,q,u) непрерывна по q. Тогда

"Î

¹Æ$ Î Ì

Comp p q Arg g p q u U q U

() * sup (,,): (*) .

Доказательство. В силу компактности Q и непрерывности g

(p,q,u) по

q имеем

Arg g p q u

sup ( , , ) .

¹Æ

Пусть

$Î Ì

qArg gpquUq U

*sup(,,):(*).

Тогда "ÎpP

RpqUqU uRpquU

(,*) (*) (,*)(, ) ,ÌÌ"Î =r 0

откуда "ÎpP

J pqu g pqu g pqu p pqu C

comp

(,*,) (,*,) sup (,,) () (,*,)== ³Î

g oomp p

().

Пусть теперь

"Î

qArgsup

gpqu

(,,)

справедливо

Uq U

()\ .¹Æ

В силу

модельной гипотезы А2 имеем

$Î Î ¹ÆpPqQRpqU

,:(,)\ .

Поэтому

inf ( , , ) ( ) : ( ) .

(,)uRpq

comp

Jpqu M p pPCompp

=- < $ Î =Æg

Определение 2. Равновесием побуждения в игре (5.1.1)–(5.1.4) называ-

ется ситуация (p,q,u) такая, что

Jpqu q

imp

(,,) (),³ g

(5.1.6)

imp

uRrq

qJrqu() sup inf (,,).

(,)

138 Иерархическое управление устойчивым развитием

Обозначим множество равновесий побуждения через Imp

(q).

Утверждение 2. Пусть P — компакт, g

(p,q,u) непрерывна по p. Тогда

"ÎqQ

Imp

(q)

¹Æ

$ Î " Î $ Î >

p Arg g pqu z U q U u U J pqu J pqz

LLLFF

sup (,,): ()\ : (,,) (,,)..

Доказательство. В силу компактности P и непрерывности g

(p,q,u) по

p имеем

Arg g p q u

sup ( , , ) .

¹Æ

Пусть

$Î "Î $Î >

p Arg g pqu z U q U u U J pqu J pqz

LLLFF

sup (,,): ()\ : (,,) (,,).

Тогда

"ÎqQ

Rpq U u Rpq uU

(,) (,)(, )Ì"Î =r 0

" Î " ÎqQuRpq(,)

J pqu g pqu g rqu q

imp

(,,) (,,) sup (,,) ()== ³

Î(,,)pqu

Imp

(q).

Пусть теперь

"Î "Î $Î £

q Q p Arg g pqu z U q U J pqu

LLF

sup (,,) ()\ : (,,)

£ Jpqz

(,,).

Тогда

Rpq U

(,)\ ¹Æ

=-<

inf ( , , ) ( )

(,)uRpq

imp

Jpqu M qg

Imp

(q) = Æ.

Определение 3. Равновесием убеждения в игре (5.1.1)–(5.1.4) называ-

ется ситуация (p,q,u) такая, что

( )( , , ) supsup sup ( )( , , ).

()

JJpqu JJrsz

rPsQzUs

+= +

ÎÎÎ

(5.1.7)

Обозначим множество равновесий убеждения через Conv.

Утверждение 3. Пусть P,Q,U компактны, g

(p,q,u), g

(p,q,u) непре-

рывны. Тогда Conv ≠ Æ.

Доказательство этого утверждения очевидно.

Возможно также комбинированное применение Ведущим методов

принуждения и побуждения. В этом случае возникают равновесия при-

нуждения/побуждения, для которых

Jpqu q

imp

(,,) sup (),³

(5.1.8)

и равновесия побуждения/принуждения, для которых

Jpqu p

comp

(,,) sup ().³

(5.1.9)

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 139

Таким образом, методы иерархического управления формализуют-

ся как решения иерархической игры (равновесия принуждения, побу-

ждения, убеждения). Если Ведомый благожелателен к Ведущему, то inf

в формулах (5.1.5) и (5.1.6) можно заменить на sup, а неравенство — на

строгое равенство.

В случае эколого-экономической предметной области модель (5.1.1)-

(5.1.4) допускает следующую интерпретацию: u — воздействие Ведомого

на природную среду (добыча природных ресурсов, выброс загрязняющих

веществ); U

— область стратегий Ведомого, отвечающих экологическим

требованиям; q — административно-законодательные управления Веду-

щего типа принуждения (предельно допустимые концентрации и нор-

мы выброса загрязняющих веществ, квоты вылова рыбы, правила рубки

леса и т. п.); p — экономические воздействия Ведущего типа побуждения

(штрафы, налоги, кредиты, субсидии и.т. п.). Дополнительно к модель-

ным гипотезам А1 и А2 принимаются следующие предположения.

pPqQ

Jpq i mj

300

00 1 1

:;;,

( , , ) , ,..., ; ,...

£"Î Î

== = ,,.n

Согласно гипотезе А3, Ведомому выгодно увеличение его воздействия

на природную среду и невыгодно увеличение налогов (штрафов) Ведущим

(так трактуется побуждение без ограничения общности). В отсутствие воз-

действия на природную среду Ведомый получает нулевой доход.

Agpqu gpu gpq

:(,,) (,) (,);=-

³=



ggp

ijij

1122

0000000;;;;(,);lim(,qqgpq

imjn

)lim(,) ,

,..., ; ,..., .

==¥

1

Здесь функции g

и g

неотрицательны, непрерывны и дифференцируе-

мы по обоим аргументам. Функция g

описывает доход Ведущего и возрас-

тает как при увеличении p («налоговой ставки»), так и при увеличении u

(«налоговой базы»). Функция g

описывает затраты Ведущего на контроль

выполнения его управляющих воздействий (преодоление контригры Ве-

домого), которые возрастают как с ростом p, так и с ростом q. Значения

p = q = 1 интерпретируются как стратегии наказания Ведомого Ведущим,

причем в этом случае предельные затраты Ведущего равны бесконечности

(т. е. реализация стратегий наказания экономически невозможна).

Рассмотрим упрощенную версию модели (5.1.1)–(5.1.4) для случая

эколого-экономической системы, удовлетворяющую гипотезам А1–А4.

140 Иерархическое управление устойчивым развитием

Jcpuu

qpu

MuU

LL L

-()

()

()(())

(, ) max;

010 1££ £ £qpu;();

Jc puu

=- (()) max;1

01 001££- = ££uqU aa

;[,]; .

Имеем при принуждении

comp

zRps

pcpzz

spz

() sup inf [ ()

()

()( ())

(,)

££

MMzU

cp s s

sp s

sps

r(, )]

sup [ ( )

()

()( ())

=---

---

££01

111

rr(,)]

sup [ ( )

()

()( ()

111

=---

---

-££

cp s s

sp s

sps

))

]()

()

(())

,=-

cpa a

apa

т. е. равновесие принуждения есть (p,1-a,a). При p=0 получаем

comp

() ,=-

т. е. бескорыстный Ведущий обеспечивает устой-

чивое развитие с постоянными затратами на преодоление контригры

Ведомого.

В случае побуждения имеем

imp

zRpq

pcpzz

qpz

() sup inf [ ()

()

()(())

()

(,)

--=

MzU

cqa

r(, )]

[

()

],1

т. е. равновесие побуждения есть

(

()

,,).1

cqa

При q = 0 полу-

чим

imp

caca() ( ).02=-

Это выражение неотрицательно при

12/

т. е. возможность получения дохода Ведущим зависит от же-

сткости экологических требований.

При моделировании перехода к убеждению можно использо-

вать два подхода. В первом, более простом случае можно считать, что

контригра Ведомого невозможна по определению и затраты на кон-