Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 141

троль отсутствуют. Тогда коалиция Ведущего и Ведомого совместно

максимизирует по всем трем переменным p,q,u функцию выигрыша

Jcpuc puMuU

LF L F L

=+--() (,).1 r

Очевидно, что u* = a, при этом

01££-qa*.

Поэтому достаточно решить задачу



Jp accp p

LF L F

() ( ) max, ,=-££01

откуда

Таким образом, при c

> c

равновесия убеждения имеют вид (1,q*,a),

а выигрыш коалиции составляет

;

при

равновесия убеждения

суть (0,q*,a), а выигрыш коалиции равен

ca q a

,* .01££-

При втором подходе предполагается, что механизм контроля сохра-

няется даже при переходе к убеждению. Тогда коалиция Ведущего и Ве-

домого должна максимизировать функцию

Jcpuc pu

MuU

LF L F L

=+--

-()

()()

(, ).1

Снова очевидно, что u*=a, q*=0, поэтому достаточно решить задачу



Jp accp

LF L F

() ( ) max, ,=--

££

откуда находим подозрительную на экстремум точку

pacc

*(( )).

=- -

Поскольку



JJpacc

LF L F

() , ( *) ( ( )) ,

00 1

==--

то при

ac c

()-<1

максимум



()

достигается при p = p* и ра-

вен

--(( )),

ac c

а равновесие убеждения есть (p*,0,a), а при

ac c

()-³1

максимум



()

достигается при p = 0 и равен 0, а равно-

весие убеждения есть (0,0,a).

Методы принуждения и побуждения (чистые или комбинированные)

могут дополняться манипуляцией Ведущего. Это явление можно опре-

делить следующим образом: «Когда Б не осознает намерения А оказать

на него влияние, а А способен заставить Б действовать в соответствии

со своими желаниями, то мы можем сказать, что имеем дело со случаем

манипуляции» (Easton 1958:179). Таким образом, при манипуляции спо-

собность обеспечить подчинение объекта управления связана со спо-

собностью субъекта управления утаивать от него какую-то информацию

(Ледяев 2000:294).

В модели (5.1.1)–(5.1.4) механизм манипуляции заключается в наме-

ренном искажении Ведущим передаваемой Ведомому информации о воз-

действии на функцию выигрыша p и/или воздействии q на множество

142 Иерархическое управление устойчивым развитием

допустимых управлений Ведомого U(q). Причина манипуляции состоит

в следующем: для того, чтобы принудить или побудить Ведомого выбирать

управления, отвечающие устойчивому развитию (гомеостазу), Ведущему

зачастую приходится жертвовать своими интересами. Например, при-

менение стратегии наказания в механизме побуждения может привести

к нулевому выигрышу Ведущего, введение квот в механизме принужде-

ния требует затрат на контроль их исполнения, и т. п. Если же Ведущий

выберет выгодную для себя стратегию, то оптимальный ответ Ведомого

на нее вполне может нарушить требования гомеостаза.

Поэтому Ведущий передает Ведомому информацию о фиктивном ме-

ханизме управления, оптимальный ответ на применение которого удов-

летворяет условию гомеостаза, а после реализации Ведомым этого опти-

мального ответа выбирает в действительности более выгодное для себя

управление.

В свою очередь, контригра Ведомого состоит в нарушении налагаемых

Ведущим административных или экономических ограничений. Более

точно, Ведомый может сообщить Ведущему о принятии одной стратегии,

а в действительности реализовать другую, более выгодную для себя.

Исключение контригры требует от Ведущего дополнительных затрат

на контроль за соблюдением налагаемых ограничений. Очевидно, вели-

чина этих затрат должна быть тем больше, чем более жесткими являются

ограничения. Разумеется, метод убеждения в силу своей кооперативной

природы исключает как возможность манипуляции Ведущего, так и кон-

тригру Ведомого.

Более общая классификация моделей иерархического управления ус-

тойчивым развитием, учитывающая два основания классификации: ме-

тоды управления и типы игр по Гермейеру (см.параграф 1.2) — приведена

в таблице 5.1.1. Модели 1 и 5 рассматриваются как основные для методов

принуждения и побуждения соответственно, поскольку наиболее точно

отражают их природу, однако возможны и остальные варианты.

Таблица 5.1.1

Методы решения задачи

иерархического управления устойчивым развитием

Без обратной

связи (Г

)

С обратной

связью (Г

)

Со встречной

обратной связью (Г

)

Принуждение Модель 1 (основной

вариант)

Модель 2 Модель 3

Побуждение Модель 4 Модель 5 (основной

вариант)

Модель 6

Убеждение Модель 7

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 143

Модель 1 (принуждение без обратной связи)

pconstqQuUq=ÎÎ,,();

qUq UJq Jqu

uUq

*: (*) , (*) supinf (,).

()

Ì=

Модель 2 (принуждение с обратной связью)

pconstqQuUq

=ÎÎ,,();

qUq UJq Jqu

uUq

*: (*) , (*) sup inf (,).

()

Ì=

Модель 3 (принуждение со встречной обратной связью)

pconstqQ uUq

=ÎÎ,,();

qUq UJq Jqu

uUq

*: (*) , (*) sup inf (,).

()

Ì=

Модель 4 (побуждение без обратной связи)

qconstpPuRp=ÎÎ,,();

Rp u U J pu J py y U

() { : (,) (,), };=Î ³ "Î

pRp UJp Jpu

uRp

*: (*) , (*) supinf (,).

()

Ì=

Модель 5 (побуждение с обратной связью)

qconstpPuRp

=ÎÎ,,();

Rp uUJpuu Jpyy yU

() { : ((),) ((),), };=Î ³ "Î

pRp UJp Jpu

uRp

*: (*) , (*) supinf (,).

()

Ì=

Модель 6 (побуждение со встречной обратной связью)

qconstpP uRp

=ÎÎ,,();

RpuUJpupJpypyU

( ) { : ( ( , ( ))) ( ( , ( ))), };=Î ³ "Îpp

p Rp UJp Jpu

uRp

*: ( ( *)) , ( *) sup inf ( , ).

()

p Ì=

Модель 7 (убеждение)

qQpPuUqÎÎÎ,,();

144 Иерархическое управление устойчивым развитием

(*,*.*): (*) ;

()(*,*,*)supsup(

,()

pq u Uq U

JJpqu

qQpPuUq

ÎÎÎ

JJJpqu

+ )( , , ).

Общая модель иерархического управления устойчивым развитием ди-

намической системы имеет следующий вид:

JgpquxMxX

ttttt



(,,,) (, ) max,r

(5.1.10)

∈ P

, q

∈ Q

;

JgpuxMxX

tttt



(,,) (, ) max,r

(5.1.11)

∈ U

);

= f(x

t-1

), x

, t=1,2,...,T. (5.1.12)

Пояснения к модели (5.1.10)–(5.1.12) удобно представить в виде сле-

дующей таблицы (табл. 5.1.2). Здесь и всюду далее в тексте работы будем

предполагать, что максимумы J

, J

достигаются.

Целью Ведущего в модели (5.1.10)–(5.1.12) является выполнение ус-

ловия

∈ X

, t=1,...,T, (5.1.13)

интерпретируемого как требование гомеостаза динамической системы

с вектором состояния х.

Запись условия гомеостаза (5.1.13) с помощью штрафной функции

ρ(x

) из (5.1.10) позволяет четко определить, что выполнение усло-

вия (5.1.13) является непреложной целью Ведущего. Очевидно, при на-

рушении этого условия хотя бы на одном шаге говорить о максимизации

функции выигрыша Ведущего не приходится. Вместе с тем, при непре-

менном выполнении условия (5.1.13) Ведущий стремится дополнительно

максимизировать свой доход, описываемый функцией g

. Таким образом,

функция g

дает критерий оптимальности Ведущего на шаге t, а итоговое

значение функции выигрыша J

позволяет сравнивать различные пути

достижения устойчивого развития и выбирать из них наилучший в смыс-

ле максимального суммарного дохода Ведущего за период Т.

В общем случае Ведомый также имеет цель (выполнение условия

∈ X

, t=1,...,T), формализуемую с помощью штрафной функции

ρ(x

) в соотношении (5.1.11). Однако на практике эта цель обыч-

но отсутствует (X

≡R

), и дальше она упоминаться не будет. Смысл ие-

рархического управления устойчивым развитием состоит именно в том,

что Ведомый зачастую стремится лишь к максимизации своего текущего

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 145

Таблица 5.1.2

Обозначения в общей модели иерархического управления устойчивым развитием динамической системы

Обозначение Математическое определение Эколого-экономическая интерпретация

,...,x

) ∈ R

Набор показателей состояния иерархически управляемой динамиче-

ской системы на шаге t

,...,u

) ∈ R

Набор управляющих воздействий Ведомого на шаге t

,...,p

) ∈ R

Набор управляющих воздействий Ведущего на функцию выигрыша

Ведомого на шаге t

,...,q

) ∈ R

Набор управляющих воздействий Ведущего на множество допустимых

стратегий Ведомого

f: R

×R

→ R

Правило изменения состояния динамической системы с учетом воз-

действия Ведомого

,...,x

) ∈ R

Известное начальное состояние динамической системы

0 < T ≤ ∞

Период иерархического воздействия на динамическую систему

, Q

⊂ R

; компактные

множества при t=1,...,T

Множества допустимых воздействий Ведущего, в общем случае ме-

няющиеся со временем

)

) ⊂ R

— компактное мно-

жество при t=1,...,T

Множество допустимых стратегий Ведомого, зависящее от воздейст-

вия Ведущего на данном шаге

×R

→R — не-

прерывная числовая функция

Величина дохода Ведущего на шаге t

146 Иерархическое управление устойчивым развитием

: R

×R

→R — непрерыв-

ная числовая функция

Величина дохода Ведомого на шаге t

r(,)

=Î

>Ï

Условная индикаторная функция, равная нулю, если на шаге t состоя-

ние динамической системы принадлежит заданному множеству Х,

и положительная в противном случае

> max

, q , u

Штрафная константа Ведущего

> max

p, u

Штрафная константа Ведомого

, J

∈ R; J

∈ R

Величины дохода Ведущего и Ведомого за период Т соответственно

, X

⊆ R

, X

⊆ R

t=1,...,T

Области фазового пространства, принадлежность которым вектора со-

стояния иерархически управляемой динамической системы является

целью Ведущего (Ведомого) на шаге t соответственно

Окончание табл. 5.1.2

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 147

выигрыша, в то время как задачей Ведущего является обеспечение гомео-

стаза на длительном (бесконечном) интервале времени.

Сложность модели (5.1.10)–(5.1.12) обусловливает необходимость ис-

пользования для ее исследования имитационного моделирования (sim-

ulation modeling) или компьютерной имитации (computer simulation) на

основе метода сценариев. Приведем определение Р. Шеннона: «Имита-

ционное моделирование есть процесс конструирования модели реальной

системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять

поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых

некоторым критерием или совокупностью критериев) различные страте-

гии, обеспечивающие функционирование данной системы. Таким обра-

зом, процесс имитационного моделирования мы понимаем как процесс,

включающий и конструирование модели, и аналитическое применение

модели для изучения некоторой проблемы» (Шеннон 1978:12).

Это определение позволяет трактовать имитационное моделирование

в широком смысле как процесс прикладного системного анализа, т. е.

комплексного использования математического моделирования, компью-

терной имитации и неформальных процедур для решения сложных прак-

тических задач управления динамическими системами (Горстко и Уголь-

ницкий 1996; Угольницкий 1999). Процесс прикладного системного

анализа можно отобразить с помощью следующей схемы (рис. 5.1.1).

В процессе прикладного системного анализа выделяются три этапа:

— концептуализация: системный анализ объекта, формулировка

целей и задач исследования, определение границ объекта, его

Рис. 5.1.1. Основные этапы и результаты прикладного системного анализа

148 Иерархическое управление устойчивым развитием

структуры и функций, обобщение сделанного в форме концепту-

альной модели;

— формализация: запись полученной концептуальной модели в виде

системы математических или иных формальных соотношений, ре-

шение задач идентификации, программная реализация формаль-

ной модели;

— работа с формальной моделью: аналитическое исследование, ма-

шинные имитационные эксперименты, интерпретация результатов

и их использование (Горстко и Угольницкий 1996; Угольницкий

1999).

Методология прикладного системного анализа на основе имитацион-

ного моделирования представляется едва ли не единственным инструмен-

том, позволяющим исследовать модель (5.1.10)–(5.1.10) в ее исходном,

полном виде. Чтобы использовать аналитические методы исследования,

модель (5.1.10)–(5.1.12) необходимо упростить.

Требование гомеостаза

"Î ÎtTxtX

[, ]: ()0

для управляемой динами-

ческой системы

dx dt f x t u t/((),())=

при естественных условиях эквива-

лентно требованию

"Î ÎtTutU

[, ]: () .0

Это замечание позволяет исклю-

чить из модели иерархического управления устойчивым развитием явное

описание динамики иерархически управляемой системы и тем самым

существенно упростить модель. В этом случае модель иерархического

управления устойчивым развитием принимает вид

Jpqu gpqu MuU

kkk k

(,,) [ ( , , ) ( , )] max=-

(5.1.14)

pPqQÎÎÎ(,), , ;01

(5.1.15)

Jpqu gpqu

kkk

(,,) ( , , ) max=

(5.1.16)

uUqk TÎÎ =( , ), ( ), ,..., .01 1

(5.1.17)

Здесь

— коэффициенты дисконтирования;

=( ,..., );

qq quu u

==( ,..., ); ( ,..., ).

Обозначим

P P PTраз Q Q QTразU q Uq Uq

TTTT

=´´ =´´ = ´´... ( ), ... ( ), ( ) ( ) ... ( ),

Rpq Rpq Rpq Rpq Arg gp

TTTkk

zUq

( , ) ( , ) ... ( , ), ( , ) sup (

()

=´´ =

,,,).qu

Тогда получаем множество равновесий принуждения в динамической

игре (5.1.14)–(5.1.17) в виде

Глава 5. Математическое и информационное моделирование 149

Comp p p q u q Q u U q J p q u p

comp

( ) {( , , ): , ( ): ( , , ) ( )},=ÎÎ ³g

comp

zR ps

pJpsz

() sup inf (,,);

(,)

множество равновесий побуждения в виде

Imp

(q)=

{( , , ): , ( ): ( , , ) ( )},pqu p P u U q J pqu q

imp

ÎÎ ³g

imp

zR rq

qJrqz

() sup inf (,,);

(,)

множество равновесий убеждения в виде

Conv pqu p P q Q u U q J J pqu

TTT

=ÎÎÎ+=

{(,,): , , ():( )(,,)

sup sup

ssQ zU q

JJrsz

ÎÎ

+sup ( )( , , )}.

()

Очевидно, что если выполнены предположения, сделанные в утвер-

ждениях 1–3 для статического случая, то равновесия принуждения, по-

буждения и убеждения существуют и в динамическом случае, причем

модель иерархического управления устойчивым развитием может быть

записана как в виде многошаговой игры (5.1.14)-(5.1.17), так и в виде

дифференциальной игры.

5.2. РОЛЬ МОНИТОРИНГА В ИЕРАРХИЧЕСКОМ

УПРАВЛЕНИИ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ

Для обеспечения целей устойчивого развития ИУДС Ведущему необ-

ходима информация о ее состоянии и изменениях состояния в процессе

деятельности. Ведомый также нуждается в информации для принятия ре-

шений. На базе полученной информации Ведущий и Ведомый оценивают

и прогнозируют состояние ИУДС. В экологических приложениях мони-

торинг Ведущего осуществляет Государственная служба наблюдений за

состоянием окружающей среды, а мониторинг Ведомого — экологические

службы предприятий. В организациях мониторинг Ведущего осуществ-

ляет руководство предприятия, а мониторинг Ведомого — руководители

подразделений и сотрудники. Таким образом, в общем случае в систему

мониторинга Ведущего входят наблюдения, оценка и прогноз состояния

ИУДС, воздействия Ведомого на ИУДС и состояния Ведомого.

Мониторинг Ведущего является основным, поскольку он обеспечива-

ет решение общесистемных задач управления. В свою очередь, Ведомый

наблюдает, оценивает и прогнозирует состояние УДС с позиции своих

150 Иерархическое управление устойчивым развитием

целей и задач (рис. 5.2.1). Здесь x

— информация Ведущего о состоя-

нии УДС; x

FSL

— информация Ведущего о воздействии Ведомого на УДС;

— информация Ведущего о состоянии Ведомого; x

— информация

Ведомого о состоянии УДС.

В соответствии с представленной на рис. 5.2.1 схемой мониторин-

га, модель иерархического управления динамической системой (5.1.1)–

(5.1.4) можно уточнить следующим образом:

Jgqpuxxx MuUx

L L SL FSL FL L SF

=-(, ,, , , ) (, ( )) max;r

(5.2.1)

qQx x x pPx x x

SLFSLFL SLFSLFL

ÎÎ(, , ); (, ,);

(5.2.2)

Jgqpux

FF SF

=(, ,, ) max;

(5.2.3)

uUx

Î ().

(5.2.4)

Как следует из модели (5.2.1)–(5.2.4), принятие решений в ИУДС су-

щественно зависит от информации, которой располагают Ведущий и Ве-

домый. С математической точки зрения модель (5.2.1)–(5.2.4) есть игра

с неполной информацией. Чем выше качество мониторинга, тем точнее

Рис. 5.2.1. Схема мониторинга в ИУДС