Трушков А.С. Учебно-методический комплекс по дисциплине Компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования Московской области

ГОУ ВПО МО

«Коломенский государственный педагогический институт»

Кафедра информатики

Учебно-методический комплекс

по дисциплине

«КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

050202 – Информатика

Коломна

2008

УДК 004 (075.8)

ББК 32.97я 73

У 91

Рекомендовано к изданию

редакционно-издательским советом

ГОУ ВПО МО «КГПИ»

Рецензент:

С.Ю. Знатнов

Зав. кафедрой информатики, к.ф.н., доцент

У 91. Учебно-методический комплекс по дисциплине «Компьютерное мо-

делирование»/ сост.: А.С.Трушков – Коломна: КГПИ, 2008. – 76 с.

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Компьютерное моделирова-

ние» разработан в соответствии с требованиями к обязательному минимуму со-

держания основной образовательной программы подготовки учителя по специ-

альности 050202 – «Информатика» на основе Государственного образова-

тельного стандарта и опыта преподавания дисциплины «Компьютерное моде-

лирование» на физико-математическом и экономическом факультетах в течение

3 лет.

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Компьютерноге моделирова-

ние» предназначен для студентов всех форм обучения на физико-

математическом и экономическом факультетах Коломенского государственно-

го педагогического института, обучающихся по специальности 050202 – «Ин-

форматика»

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В настоящее время моделирование составляет неотъемлемую часть со-

временной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно

приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам.

Абстрактное моделирование с помощью компьютеров стало обной из ин-

формационных технологий, исключительно мощной в познавательном плане.

Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие

возможности для осознания связи информатики с математикой и другими нау-

ками – естественными и социальными.

Необходимо отметить, что процесс моделирования требует проведения

математических вычислений, которые в подавляющем большинстве случаев

являются весьма сложными. Для разработки программ, позволяющих модели-

ровать тот или иной процесс, от обучающихся потребуется не только знание

конкретных языков программирования, но и владение методами вычислитель-

ной математики. При изучении данного курса представляется целесообразным

использовать пакеты прикладных программ для математических и научных

расчетов, ориентированных на широкие круги пользователей.

Цели дисциплины:

- изучение методов компьютерного моделирования;

- подготовка учителя по соответствующим разделам программы изучения

математики, физики и экономики в средней школе, в том числе в профильных

классах, в сочетании с проведением факультативных и внеаудиторных занятий.

Задача дисциплины – формирование у будущего учителя представлений

о методах решения задач детерминированных и стохастических задач матема-

тики, физики, технологии и экономики с помощью численных и аналитических

методов решения алгебраических и дифференциальных уравнений и систем,

имитационных и стохастических вычислительных экспериментов.

Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательную, научно-

методическую и культурно-воспитательную профессиональную деятельность,

ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессиональ-

ной деятельности:

в области учебно-воспитательной деятельности:

- осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной

программой;

- планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и

разделов программы и в соответствии с учебным планом;

- использование технических средств обучения, информационных и ком-

пьютерных технологий;

- организация и проведение внеклассных мероприятий;

в области научно-методической деятельности:

- выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-

методических объединений;

- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и по-

вышения своей квалификации;

в области культурно-просветительной:

- формирование общей культуры учащихся.

2. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

В том числе

аудиторных

№

п/п

Раздел, тема

Всего

часов

Всего

Лекции

Лабор.

работы

Семин.

и прак.

занятия

Самостоятель-

ная работа

I Введение - 2 2 - - 2

II Информационные модели - 2 2 - - 2

III Основные понятия математи-

ческого моделирования

- 2 2 - - 2

IV Технология мате

матического

моделирования и ее этапы

- 2 2 - - 2

V Алгебраические модели и про-

блемы визуализации

- 2 2 - - 2

VI Примеры математических мо-

делей в физике, химии, биоло-

гии, социологии

- 2 2 - - 2

VII

Моделирова

ние процессов

движения

- 22 6 16 - 16

VIII

Моделирование явлений и про-

цессов в приближении сплош-

ной среды

- 20 6 14 - 16

Принципы стохастического

моделирования

- 4 4 - - 2

Стохастическое моделирование

в задачах оптимизации

- 18 4 14 - 16

XI Моделирование процессов мас-

сового обслуживания

- 10 4 6 - 6

XII

Моделирование в задачах оп-

тимального управления и при-

нятия решений

- 20 6 14 - 16

Итого 190 106 42 64 - 84

3. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

I. Введение

Цели и задачи моделирования. Понятие "модель". Натурные и абстракт-

ные модели. Связь компьютерного моделирования с другими отраслями знания.

Моделирование в естественных и технических науках. Информационные моде-

ли, имеющие приложение в информационных системах. Вербальные языковые

модели. Инструментальное использование базовых универсальных программ-

ных средств. Вычислительный эксперимент. Графическое моделирование. Спе-

циализированные прикладные вычислительные технологии в сочетании с тех-

ническим обеспечением натурного эксперимента.

II.

Информационные модели

Понятие об информационной модели. Объекты и их связи. Основные

структуры в информационном моделировании. примеры информационных мо-

делей.

III. Основные понятия математического моделирования.

Понятие о математической модели. Различные подходы к классификации

математических моделей: по отраслям наук, по применяемому математическо-

му аппарату, по общим закономерностям моделирования. Дескриптивные (опи-

сательные) модели, например, движение кометы. Оптимизационные модели:

максимизация прибыли производства за счет выбора оптимального плана (за-

дача линейного программирования), оптимизация теплового режима двигателя

за счет выбора его технических характеристик. Многокритериальные модели,

например, оптимизация характеристик системы массового обслуживания с ан-

тагонистическими целевыми установками субъектов процесса. Игровые моде-

ли: игры с природой (например, марковский процесс), парная игра с нулевой

суммой. Имитационные модели в естественных и технологических науках: мо-

делирование процессов тепло- и массопереноса, упругости, прочности, химиче-

ской кинетики. Стохастические модели в естествознании, экономике, социоло-

гии.

IV. Технология математического моделирования и ее этапы

Определение целей моделирования: определение стуктуры, свойств, за-

конов развития и взаимодействия исследуемого объекта с окружающим миром

(понимание); определение оптимальных способов управления объектом при за-

данных целях и критериях; прогнозирование последствий реализации заданных

способов и форм воздействия на объект. Формирование вербальной модели

объекта с помощью выделения основных характеристик и воздействий на объ-

ект. переход от вербальной формулировки к математической модели. Выбор

метода исследования. Разработка алгоритма и отладка программы для ЭВМ.

Численный эксперимент, анализ результатов, верификация и эксплуатация мо-

дели.

V. Алгебраические модели и проблемы визуализации

Модели чистого рождения и гибели. Общие демографические модели.

Динамика биологической системы "хищник-жертва". Модель процесса распро-

странения эпидемий. Графическая визуализация алгебраических моделей. Ис-

пользование инструментальных средств табличного процессора MS Excel для

создания интерфейса моделирующей программы. Программное проектирование

интерфейса из макроса VBA с использованием средств объектно-

ориентированного программирования.

VI. Примеры математических моделей в физике, химии,

биологии, социологии

Модель движения материальной точки Аристотеля и Ньютона. Модель

Солнечной системы Птолемея, Коперника, Кеплера. Простейшая

демографическая модель. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.

Простейшая модель боевого взаимодействия Ланчестера. Модель процесса

распространения эпидемий. Модель динамики численности биологических

популяций. Модель поведения динамической системы, описываемой

разностным логистическим уравнением. Модель относительных движений в

классической механике. Модель остывания нагретых тел в атмосфере.

Математическую модель процесса загрязнения воды. Модель колебательных

процессов в физике. Моделирование динамики биологической системы

"хищник-жертва". Моделирование динамики биологической системы

конкурирующих популяций.

VII. Моделирование процессов движения

Свободное падение тела с учетом сопротивления среды. Движение тела,

брошенного под углом к горизонту. Законы подобия. Движение тела с пере-

менной массой. Движение небесных тел. Обезразмеривание системы уравнений

движения. Движение заряженных частиц в электростатическом поле точечных

источников. Движение заряженных частиц в плоском электростатическом по-

ле.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации для системы дифферен-

циальных уравнений 1-го порядка. Правило Рунге оценки точности получаемо-

го приближенного решения.

Применение среды программирования Visual Basic for Applications (VBA)

для решения задач моделирования движения. Проектирование пользователь-

ского интерфейса для задач движения. Особенности реализации динамической

графики для задач движения в табличном процессоре MS Excel на основе рас-

четного макроса VBA.

VIII. Моделирование явлений и процессов в приближении

сплошной среды

Классификация уравнений математической физики. Постановка простей-

ших краевых задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных

производных. Метод конечных разностей. Норма сеточной функции. Коррект-

ность разностной схемы. Эквивалентность скорости сходимости и порядка ап-

проксимации для корректных краевых задач. Правило Рунге практической

оценки погрешности разностной схемы.

Модель теплопроводности тонкого стержня. Дифференциальное уравне-

ние 2-го порядка в частных производных параболического типа и его физиче-

ский смысл. Аппроксимация дифференциального уравнения разностной схемой

Кранка-Николсона. Понятие шаблона разностной схемы. Понятие о неявной

разностной схеме. Сведение разностных уравнений к системе линейных алгеб-

раических уравнений с трехдиагональной матрицей и ее решение методом про-

гонки. Условия устойчивости разностной схемы Кранка-Николсона. Различные

формы граничных условий и их физический смысл. Особенности численного

решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных

параболического типа в VBA. Анимация процесса теплопроводности в тонком

стержне инструментальными средствами табличного процессора MS Excel на

основе решения, полученного в макросе VBA.

Модель плоской стационарной теплопроводности. Дифференциальное

уравнение 2-го порядка в частных производных эллиптического типа и его фи-

зический смысл. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Аппроксимация про-

изводных на нижнем итерационном слое для разностной схемы "крест". Поня-

тие о явной разностной схеме. Погрешность разностной схемы "крест". Метод

простой итерации для решения полученной системы линейных алгебраических

уравнений. Особенности численного решения дифференциального уравнения 2-

го порядка в частных производных эллиптического типа в VBA.

Модель колебаний упругой струны. Дифференциальное уравнение 2-го

порядка в частных производных гиперболического типа и его физический

смысл. Аппроксимация дифференциального уравнения трехслойной явной раз-

ностной схемой. Правило Куранта устойчивости явных разностных схем. Осо-

бенности численного решения дифференциального уравнения 2-го порядка в

частных производных гиперболического типа VBA.

IX. Принципы стохастического моделирования

Имитационная модель со стохастическими исходными данными. Понятие

об оптимизации стохастических моделей. Алгоритмы розыгрыша случайных

величин. Датчик случайных чисел. Розыгрыш дискретной случайной величины.

Розыгрыш непрерывной случайной величины на основе с заданным законом

распределении на основе датчика случайных чисел. Розыгрыш равномерно рас-

пределенной случайной величины. розыгрыш экспоненциальной случайной ве-

личины. Розыгрыш нормально распределенной случайной величины.

Оценка выходных параметров имитационной стохастической модели. То-

чечное и интервальное оценивание средних за n циклов реализации моделей

значений выходных параметров. Понятие о риске операции. Зависимость га-

рантированного значения целевой функции от риска операции в задачах мини-

мизации и максимизации. Использование встроенных функций табличного

процессора MS Excel для обработки результатов имитационного стохастиче-

ского эксперимента. Интервальная оценка единичных реализаций выходных

параметров на основе эмпирической функции распределения. Точечная и ин-

тервальная оценка вероятностей допустимых значений дискретной случайной

величины.

X. Стохастическое моделирование в задачах оптимизации

Задача линейного программирования (ЗЛП). Симплекс-метод решения

ЗЛП. Стохастические модели линейного программирования. Понятие о неопре-

деленности данных. Технология решения детерминированной и стохастической

ЗЛП с помощью пакета программ "Компьютерное моделирование". Точечное и

интервальное оценивание средних за n циклов реализации модели значений оп-

тимального плана и целевой функции. Зависимость гарантированного значения

целевой функции от неопределенности данных и риска операции.

Транспортная модель линейного программирования. Транспортная мо-

дель с транзитом. Этапы решения транспортной задачи: введение фиктивных

пунктов для сведения задачи к замкнутой модели, определения начального до-

пустимого плана перевозок методом северо-западного угла, метод потенциалов

для определения включаемой в базис переменной, построение цикла для опре-

деления исключаемой из базиса переменной. Технология решения детермини-

рованной и стохастической транспортной задачи с помощью пакета программ

"Компьютерное моделирование". Точечное и интервальное оценивание средних

за n циклов реализации модели значений оптимального плана перевозок и ми-

нимальных транспортных расходов. Точечная и интервальная оценка вероятно-

стей попадания маршрутов транспортной сети в план перевозок. Зависимость

предельного уровня транспортных расходов от риска операции. Минимизация

суммарных расходов на гарантирование предельных транспортных расходов и

снижение неопределенности данных.

XI. Моделирование процессов массового обслуживания

Основы теории массового обслуживания. Основные компоненты моделей

массового обслуживания. Входные и выходные потоки в системах массового

обслуживания (СМО). Стохастические процессы чистого рождения и чистой

гибели. Формализации СМО – обозначения Кендалла. Формулы Эрланга для

операционных характеристик СМО. Модель СМО с параллельным обслужива-

нием и ограниченной длиной очереди, ее структурные характеристики. Сум-

марный коэффициент эффективности СМО. Технология моделирования про-

цесса массового обслуживания с помощью пакета программ "Компьютерное

моделирование". Оптимизация СМО за счет подбора оптимальных структуреых

характеристик системы. Оценка операционных характеристик системы по ре-

зультатам имитационного стохастического эксперимента.

XII. Моделирование в задачах оптимального управления

и принятия решений

Основные понятия теории марковских процессов. Матрица переходных

вероятностей. Марковские цепи. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Классифи-

кация Марковских цепей. Теорема о конечных (финальных) распределениях

марковских процессов. Марковские процесса принятия решений. Понятие об

управлении и стратегии в марковском процессе. Максимизация среднего ожи-

даемого дохода. Модель динамического программирования с конечным числом

этапов. Метод полного перебора при оптимизации марковского процесса на

бесконечном горизонте планирования. Метод итераций по стратегиям при оп-

тимизации марковского процесса на бесконечном горизонте планирования.

Расчет среднего одношагового дохода в бесконечном марковском процессе по

заданной стационарной стратегии. Технология моделирования марковского

процесса с помощью пакета программ "Компьютерное моделирование". То-

чечное и интервальное оценивание среднего ожидаемого дохода в зависимости

от числа шагов в марковском процессе. Зависимость гарантированного средне-

го ожидаемого дохода от числа шагов марковского процесса риска операции.

Определения предельного уровня изменения элементов матрицы дохода для га-

рантированного перехвата управления в марковском процессе.

Понятие о теории игр. Правила игры. Стратегия в игре. Парная игра с ну-

левой суммой. Принцип минимакса. Парная игра с седловой точкой. Решение

игры в чистых стратегиях. Смешанная стратегия в парной игре. Сведение пар-

ной игры с нулевой суммой к паре двойственных задач линейного программир-

рования. Технология решения парной игры с нулевой суммой с помощью сим-

плекс-метода и прямое имитационное моделирование инры на заданное число

ходов с помощью пакета программ "Компьютерное моделирование". Расчет це-

ны игры по заданным смешанным стратегиям сторон. Парная игра с нулевой

суммой в условиях частичной информированности одной из сторон о действиях

другой стороны. Определение доли информированности по результатам имита-

ционного стохастического эксперимента.

4. ЗАДАНИЯ, ВАРИАНТЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторная работа № 1

"Движение тел в среде с учетом трения"

Задания к лабораторной работе

1) Выписать математическую модель, определить состав набора входных

параметров и их конкретные числовые значения.

2) Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирова-

ния, обращая особое внимание на формы представления результатов.

3) разработать самостоятельно программу интегрирования системы обык-

новенных дифференциальных уравнений с оценкой точности расчетов.

4) Произвести отладку и тестирование разработанной программы.

5) Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

6) Качественно проанализировать результаты моделирования.

7) Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

- титульный лист (указать название работы, исполнителя, номер группы и

т.д.);

- постановку задачи и описание модели;

- результаты тестирования программы;

- результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных фор-

мах).

Варианты заданий

Вариант 1. Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая

парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть пара-

шют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую

10 м/с)?

Вариант 2. Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного

сечения парашюта, чтобы скорость приземления была безопасной.

Вариант 3. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками

(массой, формой) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды

на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы

квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

Вариант 4. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками

(массой, формой) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на

характер движения. Скорость движения должна быть достаточно большой, чтобы

линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на боль-

шей части пути).

Вариант 5. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстре-

ленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зон-

дом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 6. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстре-

ленного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке

траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на зем-

лю.

Вариант 7. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное вре-

мя, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследо-

вать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса

(сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 8. Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине,

сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать

связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сфери-

ческой, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 9. Провести моделирование взлета ракеты при значениях пара-

метров m

= 2

⋅

⋅⋅

⋅

кг, m

кон

= 2

⋅

⋅⋅

⋅

кг,

αα

= 2

⋅

⋅⋅

⋅

кг/с, F

тяги

= 4

⋅

⋅⋅

⋅

Н. Ответить на

вопрос, достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой косми-

ческой скорости 7,8 км/с?