Трушков А.С. Учебно-методический комплекс по дисциплине Компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

Вариант 10. Провести исследование соотношения входных параметров m

тяги

, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответ-

ствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксиро-

вать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в перемен-

ных ( m

, F

тяги

Вариант 11. Разработать и исследовать усовершенствованную модель взле-

та ракеты, приняв во внимание, что реальные космические ракеты обычно двух-

и трехступенчатые и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.

Вариант 12. Промоделировать движение исследовательского зонда, снаб-

женного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» верти-

кально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель выключается,

над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 13. Промоделировать движение исследовательского зонда, снаб-

женного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» верти-

кально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над

зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю.

Вариант 14. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигате-

лем, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего не-

подвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на ко-

торой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической,

каплевидной и т.д.).

Вариант 15. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигате-

лем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего не-

подвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем дости-

жения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической,

каплевидной и т.д.).

Вариант 16. Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с

подводной лодки на стоящий вертикально над ней надводный корабль. Исследо-

вать связь между временем поражения цели и формой корпуса (сферической, по-

лусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 17. Построить траектории и найти временные зависимости гори-

зонтальной и вертикальной составляющих скорости и перемещения для тела мас-

сой 1 кг, брошенного под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с:

1) в воздухе; 2) в воде.

Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления

среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналити-

чески).

Вариант 18. Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и

максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления сре-

ды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически

и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры мето-

дом наименьших квадратов.

Вариант 19. Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под

углом

αα

α подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров вы-

ше нее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?

Вариант 20. Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополни-

тельном условии: акула движется.

Вариант 21. Промоделировать движение исследовательского зонда, «вы-

стреленного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом рас-

крывается тормозной парашют, затем зонд плавно движется до земли.

Вариант 22. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное

время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать

связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием

по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевид-

ной и т.д.).

Вариант 23. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем,

установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося про-

тиволодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной

глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сфериче-

ской, полусферической, каплевидной и т.д.).

Пример выполнения лабораторной работы

Задание. Торпеда, снабженная

разгонным двигателем, нацеливается с

лежащей на дне подводной лодки на

поражение движущегося надводного

корабля. Пуск торпеды производится в

момент прохождения корабля над лод-

кой. Исследовать связь между глубиной

залегания лодки, временем поражения

цели, условиями поражения (энерго-

вооруженностью двигателя и парамет-

рами старта).

Система уравнений имеет вид:







































































−

−−

−





















































+−

−−

−





















































+−

−−

−

ρρ

ρπµ

πµπµ

πµ

cS5,0k,r6k,v

vvkk

21yx

x21

ПЛ

начальное

направление

движения торпеды

→

→→

→

αα

→

→→

→

Для полного определения задачи Коши задаем начальные условия сле-

дующим образом:

(0) = v

cos

αα

, v

(0) = v

sin

αα

, x(0) = 0, y(0) = 0.

Вычисления прекращаются, когда координата y достигнет величины глу-

бина залегания торпеды L.

Вычисления организуем в макросе Visual Basic for Applications (VBA),

текст которого с комментариями приведен ниже. На рис. 1 приведен вид рабо-

чего листа табличного процессора MS Excel с таблицей ввода исходных данных

и вывода результатов счета.

' Инструкция об обязательном объявлении переменных

Option Explicit

' Объявление именованной константы

Const pi = 3.1415926

' Объявление объектовых переменных

' ID – массив исходных данных

' Rez – массив результатов

Dim ID As Object

Dim Rez As Object

' Объявление переменных

' Vx, Vy, x, y – проекции скорости, траекторные координаты

' Vn, alfa, r, Ro – начальная скорость и угол старта, радиус торпеды, плотность воды

' mu, c – динамическая вязкость, коэффициент лобового соротивления

' m, F – масса торпеды, тяга двигателя

' g, L – ускорение свободного падения, глубина залегания торпеды

' Vk, h – скорость корабля, шаг интегрирования

' k1, k2 – линейный и квадратный коэффициент сопротивления

' t, Lk – время, расстояние смещения корабля

Dim Vx As Double, Vy As Double, x As Double, y As Double

Dim Vn As Double, alfa As Double, r As Double, Ro As Double

Dim mu As Double, c As Double, m As Double, F As Double

Dim g As Double, L As Double, Vk As Double, h As Double

Dim k1 As Double, k2 As Double, t As Double

Dim Lk As Double

' Функции для вычисления компонент вектора правых частей (П11)

Function Vxp(Vx As Double, Vy As Double) As Double

Vxp = (F / Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2) - k1 - k2 * _

Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2)) * Vx / m

End Function

Function Vyp(Vx As Double, Vy As Double) As Double

Vyp = (F / Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2) - k1 - _

k2 * Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2)) * Vy / m - g

End Function

Function xp(Vx As Double) As Double

xp = Vx

End Function

Function yp(Vy As Double) As Double

yp = Vy

End Function

' Процедура для реализации метода Рунге-Кутта

Sub Расчет()

' Объявление переменных

' i – счетчик шагов цикла

' kvx1, kvy1, kx1, ky1 – компоненты вектора k

в (П9)

' kvx2, kvy2, kx2, ky2 – компоненты вектора k

в (П9)

' kvx3, kvy3, kx3, ky3 – компоненты вектора k

в (П9)

' kvx4, kvy4, kx4, ky4 – компоненты вектора k

в (П9)

Dim i As Integer

Dim kvx1 As Double, kvx2 As Double, kvx3 As Double, kvx4 As Double

Dim kvy1 As Double, kvy2 As Double, kvy3 As Double, kvy4 As Double

Dim kx1 As Double, kx2 As Double, kx3 As Double, kx4 As Double

Dim ky1 As Double, ky2 As Double, ky3 As Double, ky4 As Double

' Связывание объектовой переменной ID с диапазоном исходных данных листа Расчет

Set ID = Worksheets("Расчет ").Range("A2:A13")

' Связывание объектовой переменной Rez с диапазоном результатов расчета листа Расчет

Set Rez = Worksheets("Расчет").Range("A17:F10000")

' Обнуление содержания объектовой переменной Rez

Rez.ClearContents

' Присвоение значений исходным данным из объектовой переменной ID

Vn = ID(1)

alfa = ID(2)

alfa = alfa * pi / 180

r = ID(3)

Ro = ID(4)

mu = ID(5)

c = ID(6)

m = ID(7)

F = ID(8)

g = ID(9)

L = ID(10)

Vk = ID(11)

h = ID(12)

' Вычисление линейного и квадратного коэффициентов сопротивления (П1)

k1 = 6 * pi * mu * r

k2 = c * pi * r ^ 2 * Ro / 2

' Вычисление начальных условий (П2)

Vx = Vn * Cos(alfa)

Vy = Vn * Sin(alfa)

x = 0

y = 0

t = 0

Lk = 0

' Вывод результатов в начальный момент времени

i = 1

Rez(1, 1) = t

Rez(1, 2) = x

Rez(1, 3) = y

Rez(1, 4) = Vx

Rez(1, 5) = Vy

Rez(1, 6) = Lk

' Начало цикло вычислений, который заканчивается, когда координата y превысит

' глубину залегания

Do Until y > L

' Вычисление компонент векторов k1 – k4 по (П9) и (П11)

kvx1 = Vxp(Vx, Vy)

kvy1 = Vyp(Vx, Vy)

kx1 = xp(Vx)

ky1 = yp(Vy)

kvx2 = Vxp(Vx + kvx1 * h / 2, Vy + kvy1 * h / 2)

kvy2 = Vyp(Vx + kvx1 * h / 2, Vy + kvy1 * h / 2)

kx2 = xp(Vx + kvx1 * h / 2)

ky2 = yp(Vy + kvy1 * h / 2)

kvx3 = Vxp(Vx + kvx2 * h / 2, Vy + kvy2 * h / 2)

kvy3 = Vyp(Vx + kvx2 * h / 2, Vy + kvy2 * h / 2)

kx3 = xp(Vx + kvx2 * h / 2)

ky3 = yp(Vy + kvy2 * h / 2)

kvx4 = Vxp(Vx + kvx3 * h, Vy + kvy3 * h)

kvy4 = Vyp(Vx + kvx3 * h, Vy + kvy3 * h)

kx4 = xp(Vx + kvx3 * h)

ky4 = yp(Vy + kvy3 * h)

' Вычисление значений переменных на новом слое по (П9)

Vx = Vx + h * (kvx1 + 2 * kvx2 + 2 * kvx3 + kvx4) / 6

Vy = Vy + h * (kvy1 + 2 * kvy2 + 2 * kvy3 + kvy4) / 6

x = x + h * (kx1 + 2 * kx2 + 2 * kx3 + kx4) / 6

y = y + h * (ky1 + 2 * ky2 + 2 * ky3 + ky4) / 6

' Вычисление новых значений времени, смещения корабля и номера строки

' вывода результатов

t = t + h

Lk = t * Vk

i = i + 1

' Вывод результатов в текущий момент времени

Rez(i, 1) = t

Rez(i, 2) = x

Rez(i, 3) = y

Rez(i, 4) = Vx

Rez(i, 5) = Vy

Rez(i, 6) = Lk

' Оператор конца цикла

Loop

End Sub

Результаты расчета показывают, что для приведенных исходных данных

время движения торпеды до поверхности воды составило t = 5,4 с, за которое

корабль сместится на L

= 54 м. При этом координата торпеды в момент выхода

на поверхность составляет х = 94,691 м, то есть цель не поражена.

Используя разработанную программу, проведем серию расчетов по моде-

лированию изучаемого процесса.

1. Построим траекторию движения торпеды для разных углах старта.

Данные расчетов представлены на рис. 2. Из приведенных данных видно, что

начиная с некоторого угла старта, торпеда не достигает поверхности воды.

2. Проведем серию расчетов для углов старта

αα

от 90° до 80° через 1° и

трех значений тяги двигателя F = ( 30 кН, 50 кН, 100 кН ) для глубины залега-

ния L = 500 м. В расчетах определялись смещение x

вых

торпеды по оси Х на

момент выхода на поверхность воды и время движения t

вых

до поверхности. Ре-

зультаты расчетов приведены в таблице.

F = 30 кН F = 50 кН F = 100 кН

αα

°°

вых

0 11,7 0 8,9 0 6,2

57,6 11,8 24,4 8,9 14,0 6,2

123,1 12,2 49,3 9,0 27,9 6,2

219,8 13,3 73,6 9,0 42,8 6,3

- - 99,7 9,1 56,9 6,3

- - 126,3 9,2 71,1 6,3

- - 156,3 9,4 85,1 6,3

- - 187,7 9,6 101,3 6,4

- - 224,1 9,9 115,4 6,4

- - 262,0 10,2 129,4 6,4

- - 316,5 10,8 146,5 6,5

Из приведенной таблицы видно, что при малой энерговооруженности

двигателя и малых углах старта торпеда не достигает поверхности воды. По

данным проведенных расчетов построена номограмма определения угла старта

αα

торпеды при заданных тяге F двигателя при заданной глубине залегания

L = 500 м для трех значений скорости корабля v = ( 5 м/с, 10 м/с, 15 м/с ). Ве-

личина

αα

определяется как абсцисса пересечения графиков функций x

вых

(

αα

) и

(

αα

) (рис 3). Результаты обработки номограммы приведены в таблице.

v = 5 м/с v = 10 м/с v = 15 м/с

F = 30 кН

89,1 88,0 87,2

F = 50 кН

88,2 86,2 84,3

F = 100 кН

87,9 85,8 83,7

3. Оценим точность полученных результатов используя правило Рунге.

Для этого воспользуемся результатами расчетов предыдущего пункта при

F = 100 кН и

αα

= 80

°°

. Рассмотрим результаты расчета параметров задачи на

момент времени t = 6 c, полученные при расчете с шагом h = 0,1 с и h = 0,05 с и

оценим абсолютную точность полученных результатов по формуле Рунге, учи-

тывая 4-ый порядок точности используемого метода:

)2/h(y)h(y

)2/h(d

−

−−

−

≈

≈≈

≈

Относительную погрешность определим по формуле:

%100

)2/h(d

⋅

⋅⋅

⋅=

δδ

Результаты расчетов представлены в таблице.

x, м y, м v

, м/с v

, м/с

h = 0,1

130,725 466,604 30,685 77,034

h = 0,1

134,764 465,432 31,602 76,667

d(h/2)

0,1303 0,0378 0,02958 0,01183

δδ

, %

0,097 0,0082 0,094 0,015

Таким образом, точность выполненных расчетов не менее 0,1 %.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Лабораторная работа № 2

"Моделирование движения небесных тел и заряженных частиц"

Задания к лабораторной работе

1) Выписать математическую модель, определить состав набора входных

параметров и их конкретные числовые значения.

2) Произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных па-

раметров.

3) Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования,

обращая особое внимание на форму представления результатов.

4) Разработать самостоятельно программу интегрирования системы обыкно-

венных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

5) Произвести отладку и тестирование полной программы.

6) Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

7) Качественно проанализировать результаты моделирования.

8) Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

• титульный лист (название работы, исполнителя, группу и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различной форме);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1. Найти траекторию движения тела массой 1 г, несущего заряд

величиной q = 10

-2

К, в поле заряда величиной Q = 5

⋅

⋅⋅

⋅

-2

К. Начальное расстоя-

ние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 10

-1

м/с и направлена под уг-

лом 30° к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов

одного знака.

Вариант 2. В условиях предыдущей задачи провести моделирование для

случая зарядов разных знаков.

Вариант 3. Разработать модель движения практически невесомой заряжен-

ной частицы в электрическом поле, созданном системой двух фиксированных в

пространстве заряженных тел, в случае когда заряженные тела находятся в одной

плоскости и в ней же находится движущаяся частица.

Вариант 4. Разработать модель движения практически невесомой заряжен-

ной частицы в электрическом поле, созданном системой четырех фиксированных

в пространстве заряженных тел, в случае когда заряженные тела находятся в од-

ной плоскости и в ней же находится движущаяся частица.

Вариант 5. Имеется неподвижная

заряженная частица с зарядом Q и экран.

В точке А экрана находится мишень. При

каких соотношениях величины началь-

ной скорости v

движущейся частицы

(заряд q) и угла прицеливания

αα

она по-

падет в мишень? Расстояния обозначены

на рисунке. Заряды частиц — разных

знаков.

Вариант 6. То же условие, что и в пре-

дыдущей задаче, но расположение частиц и

экрана соответствует приведенному рисунку;

заряды частиц имеют одинаковые знаки.

Вариант 7. Промоделировать движение заряженной частицы между пла-

стинами плоского конденсатора. Поле конденсатора считать однородным, началь-

ная скорость частицы направлена параллельно пластинам. Частицу считать прак-

тически невесомой.

Вариант 8. Промоделировать движение легкого (практически невесомого)

заряженного тела сферической формы между горизонтальными пластинами плос-

кого конденсатора с учетом сопротивления воздуха, находящегося между пласти-

нами.

Вариант 9. Легкая заряженная частица падает вертикально вниз (под влия-

нием силы тяжести) на одноименно заряженную пластину (начальная скорость

обеспечивает движение вниз независимо от соотношения силы тяжести и силы

электростатического отталкивания). Промоделировать движение частицы, считая

поле, созданное пластиной, однородным.

Вариант 10. Легкая заряженная частица влетает в однородное поле, создан-

ное горизонтально расположенными пластинами конденсатора. Промоделировать

ее траекторию, учитывая силу тяжести и электростатическую силу.

Вариант 11. То же, что и в предыдущем варианте, но пластины конденсато-

ра расположены вертикально.

Вариант 12. То же, что и в варианте 11, то пластины конденсатора распо-

ложены наклонно.

Вариант 13. Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную

систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. =

1,5

⋅

⋅⋅

⋅

м ~ расстояние от Земли до Солнца) скорость (v = 10 км/с) направлена под

углом

αα

= 30° к оси «комета —Солнце». Является ли эта траектория замкнутой?

Если «да», то сколько длится для нее период полета?

Вариант 14. В условиях предыдущей задачи подобрать то значение угла

αα

при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v

фиксирована).

Вариант 15. В условиях задачи из варианта 14 подобрать то значение ско-

рости v, при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (угол

αα

фиксирован).

Вариант 16. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость вто-

рого закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траек-

тории.

Вариант 17. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость

третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой

траектории.