Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

211

Задача 9.1. Покажите сами, что функция F

(x + vt) тоже является реше-

нием волнового уравнения.

Свойство решений, выражаемое формулой (9.4) известно ка к принцип

суперпозиции и математически описывает явление интерференции волн

малой амплитуды (пример: стоячая волна на струне музыкального ин-

струмента, которая представляет собой суперпозицию волн: распростра-

няющихся к закрепленному концу струны: и волн, отраженных от это-

го конца). О волновом уравнении, допускающем принцип суперпозиции

(уравнение (9.3)) говорят как о линейном, а его решение (решение (9.4))

называют линейной волной, Подчеркнем, что скорость линейной волны

не зависит от ее амплитуды. (Обязательно найдите время вспомнить ли-

нейные колебания, вернувшись к предыдущим главам).

М.А. Миллер в своем замечательном эссе “Волны, волны, вол-

ны . . . ” [4] так пишет о значении принципа суперпозиции. “Мир,

в котором нас поселили, обладает хорошим универсальным свойством:

описание любого процесса, любого движения, любого явления допуска-

ет приблизительную линеаризацию в малом (im Kleine!). Следовательно,

в пределах такого приближения строго соблюдается Принцип Суперпо-

зиции (Принцип Сложения Движений!). И не просто соблюдается — он

господствует! Вне этого утверждения мы не в состоянии представить се-

бе ни арифметические, ни какие-нибудь обычные логические операции. Я

считаю (и не я один), что “явление суперпозиции явлений” (!) является

необходимым (!) условием (!) создания Интеллекта”.

Все сказанное выше можно суммировать определением волн, которое

принадлежит американскому физику и инженеру Джону Пирсу [5].

“Понятие волны — одно из величайших общих понятий физики. Че-

ловек сталкивается с волнами с незапамятных времен . . .

Современная физика полна волн: волны землетрясений, которые изу-

чаются сейсмологами; волнения и зыбь в океанах, озерах и прудах; волны

звука, распространяющиеся в воздухе; волны механических колебаний в

натянутых струнах или кристаллов к варца, используемых для стабили-

зации частоты радиопередатчика; электромагнитные волны, которые об-

разуют свет и которые радиопередатчики излучают, а радиоприемники

принимают, и, наконец, волны чего? — вероятности, быть может, которые

используются в квантовой механике для предсказаний поведения элек-

тронов, атомов и более сложных форм вещества.

Что же такое волны? Они не земля, вода или воздух; не сталь или жи-

ла струны, или кварц; они только распространяются в этих веществах . . .

212

Пожалуй, лучше спрашивать не что такое волны, а что можно ска-

зать о волнах. Тогда не будет недоразумений. Мы понимаем под волнами

некое состояние или некий процесс, которые могут быть описаны матема-

тически в общем виде, применимо к различным физическим системам”.

И все-таки . . .

§ 2. Что же такое волна?

Несколько определений. Давайте заглянем в книги, посвященные вол-

новым процессам. Начнем со школьного учебника по физике Г.Я. Мяки-

шева и Б.Б. Буховцева [6, c. 66–67], а потом уже посмотрим в сложные

книги.

“Что называе тся волной? Волной называется колебание, распростра-

няющееся в пространстве с те чением времени . . . . При распространении

волны происходит перемещение определенного состояния колеблющейся

среды, но не перенос вещества. Возникшие в одном месте колебания вол-

ны, например от брошенного ка м ня , передаются соседними участками и

постепенно распространяются во все стороны, вовлекая в колебательное

движение все новые и новые частицы среды. Течение же воды не возни-

кает: перемещается лишь форма ее поверхности”

Эти свойства понимал еще Леонардо да Винчи, который в пятнадца-

том веке очень образно писал о волнах: “Импульс гораздо быстрее воды,

потому что многочисленны случаи, когда волна бежит от места своего

возникновения, а вода не двигается с места, — наподобие волн образуе-

мых в мае на нивах течением ветров; волны к ажутся бегущими по полю,

между тем нивы со своего места не сходят” [7, c. 350].

В одной из лучших книг по колебаниям и волнам — книге Г.С. Го-

релика “Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оп-

тику” [8, c. 144] — находим: “Слово “волна” возникло задолго до того,

как родилась наука. Оно обозначает в своем первоначальном смысле, как

всем известно, то чередование движущихся следом друг за другом горбов

и впадин, которые видны почти всегда на поверхности моря или большого

озера; волны легко вызвать на гладкой поверхности пруда, если бросить

на нее камень или коснуться ее палкой. Проникновение слова “волна” в

акустику, а затем в оптику можно считать началом создания того единого

языка, о котором говорилось в главе 1”.

Далее в школьном учебнике описываются свойства волн и их х арактеристики: попе-

речные или продольные волны, скорость волн, энергия волн, длина волн, связь между

длиной волны, частотой и скоростью распространения волны

213

И там же: “В физике волнами или волной называют изменяющее-

ся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов

любой физической величины, например, плотности вещества, напряжен-

ности электрического поля, температуры.

Волной часто называют также всякое явление, при котором в про-

странстве происходит распространение кратковременного электрического

или механического “толчка” ”.

Ф.Крауфорд [9] дает следующее определение: “ . . . мы будем рассма-

тривать вынужденные коле ба ния открытых систем т.е. систем не имею-

щих внешних границ. Например, если кто-то играет на трубе, находясь

на воздушном шаре высоко над землей, то воздух можно считать откры-

той системой, если пренебречь эхом, т.е. о тражением от земли к трубе

. . . .

Волны, образованные внешним воздействием, приложенным к откры-

той среде, называются бегущими волнами: они “бегут” от создающего их

источника. Важное свойство бегущих волн заключается в том, что они

переносят энергию и импульс”.

Еще одно определение: “Волна — это распространение колебаний в

пространстве, происходящее с конечной скоростью . . . Критерием пере-

хода от колебательного движения к волновому может служить “условие

квазистационарности”: если характерные размеры системы L < c T (c —

скорость распро странения возмущения, T — время его заметного изме-

нения), о проце ссе можно говорить как о колебательном в системе с со-

средоточенными параметрами. В случае L > c T процесс нужно считать

волновым, а систему распределенной” [10, c. 8].

Во всех определениях фигурируют слова “коле ба ния”, “колебатель-

ный” и т.п. Но есть примеры того, когда волна есть, а колебаний нет.

Об истории коронации одной русской царицы. Вот одна из страниц

русской истории — 25 апреля 1742 года. В этот день состоялась коронация

императрицы Елизаветы, дочери Петра I, на русский престол. Будущая

императрица пожелала, что бы момент возложения патриархом короны на

ее голову был отмечен в новой столице России Петербурге выстрелом

пушки Петропавловской крепости. Но по тогдашним законам коронация

русск их царей проходила в Москве в Успенском соборе. Радио и телеви-

дения не было . . . . Но способ реализации желания Елизаветы нашли. На

всем примерно шестьсотпятиде сятикилометровом пути от собора в Моск-

ве до крепости в Петербурге на расстоянии прямой видимости (примерно

сто метров) друг от друга выстроили солдат. Понадобилось приблизи-

214

тельно шесть тысяч пятьсот человек; в руке у каждого был флажок. В

момент, когда корона коснулась головы Елизаветы, первый солдат взмах-

нул флажком, следующий повторил его действия, затем последовательно

все остальные. Минут через десять — двадцать известие о коронации

дошло до артиллериста в Петропавловской крепости, поскольку время

реакции человека составляет десятые доли секунды. Спрашивается, чт о

же переместилось из Москвы в Петербург?

Любой из солдат стоял на своем месте; правда, каждый взмахнул

флажком. На языке науки действие солдата (поднял и опустил руку с

флажком) означает изменение его состояния или фазы. Именно это из-

менение состояния (фаза) и перемещалось вдоль цепи солдат.

Тогда можно считать, что перемещения в пространстве изменения со-

стояния называется волной.

Еще определения. В очень серьезной в математическом смысле книге

Дж. Уизема “Линейные и нелинейные волны” [10] есть раздел, начина-

ющийся словами: “По-видимому, не существует единого строгого опре-

деления волн. Можно дать различные частные определения, но чтобы

охватить весь диапазон волновых процессов, предпочтительнее руковод-

ствоваться интуитивным понятием о волне как о любом различимом сиг-

нале, передающимся от одной части среды к другой с некоторой опреде-

ленной скоростью. Такой сигнал может быть возмущением любого вида,

например, максимумом какой-либо величины или резким ее изменением

при условии, что это возмущение четко выделено и что в любой заданный

момент времени можно определить его местонахождение. Этот сигнал мо-

жет искажаться, изменять свою величину и скорость, но при этом должен

оставаться различимым. Такое определение может показаться несколько

расплывчатым, но оно оказывается вполне приемлемым, а любая попытка

дать более строгое определение представляется слишком ограничитель-

ной, поскольку различным типам волн присущи различные характерные

черты”.

Наконец, как всегда заглянем в “Физическ ий энциклопедический сло-

варь” (М.,1960). В первом томе на странице 312 приводится следующее

определение: “Волны — возмущения, распространяющиеся с конечной

скоростью в пространстве и несущие с собой энергию.

Основная роль волн во всех физических явлениях состоит в том, что в

виде волн осуществляется перенос энергии без переноса вещества (хотя

последний и может иметь место как побочное явление)”.

215

Что можно сказать о свойствах волны? Наверное, хватит определений.

Их главная и общая для всех черта — подмена ответа на вопрос: “Что

такое волны?” ответом на другой вопрос: “А что можно сказать о свой-

ствах волн?”. Детальный ответ будет дан в последующих главах, а сейчас

ограничимся качественным описанием.

Волны, как и всякий движущийся объект, переносят энергию в про-

цессе своего распространения. Величина этой энергии разная и сильно

зависит от природы волн. Действительно, энергия морских волн, переме-

щающих при шторме огромные к аменные глыбы весьма велика, а у элек-

тромагнитных световых волн, идущих от Солнца и достигающих Земли —

сравнительно небольшая (мощность на один квадратный метр поверхно-

сти ∼ 1 кВт). Подумайте сами и приведите примеры волн с разной энер-

гией.

Подобно движущимся частицам, волны обладают импульсом, который

проявляется менее заметно, чем энергия волны.

В очень интересной книге [11, с. 432] есть восьмой очерк под назва-

нием “Солнцем полны паруса”, который начинае тся цитатой из научно —

фантастического расск аза Артура Кларка “Солнечный ветер” [12]. Вос-

пользуемся и мы этой цитатой.

“Протяните ладони к Солнцу. Что вы чувствуете? Тепло, конечно.

Но кроме него есть еще давление. Правда, такое слабое, что вы его не

замечаете. На площадь ваших ладоней приходится всего около одной

миллионной унции. Но в космосе даже такая малая величина играет

важную роль, потому что она действует все время, час за часом, день за

днем. И запас энергии в отличие от ракетного горючего неограничен. Мы

можем создать паруса, которые будут улавливать солнечное излучение”.

Далее в рассказе описана гонка вокруг Земли яхт с солнечными па-

русами.

А возникла идея солнечных парусов значительно раньше (см., напри-

мер, [5], когда в 1951 году в журнале “Astounding Science Fiction” (на-

звание журнала переводится как “Изумительная научная фантастика”)

Р. Саундерс опубликовал статью “Космические парусники”. В статье бы-

ло показано, что в принципе можно приводить в движение космический

корабль в Солнечной системе, используя давление света на солнечные

паруса.

В недавней статье [13] указано, что концепция использования све-

тового давления солнечных лучей проскальзывала у Ф.А. Цандера еще

в 20-е годы. Однако , по-настоящему, прорабатываться эта идея стала

лишь в семидесятые годы в рамках программ полета к комете Га ллея

в США и в СССР (проект “Регата”). Ученые пытались вернуть терми-

216

ну “космоплавание” его изначальный смысл в рамках так называемого

Колумбовского проекта, создаваемого по инициативе конгресса США и

связанного с празднествами по случаю 500-летия открытия Америки.

Колумбовская юбилейная комиссия, сформированная президентом США,

объявила необычный конкурс на луч ший космический парусник для по-

лета к Марсу. Условия предполагаемого полета были сформулированы в

декабре 1988 года и сводя тся к следующим: корабли участников должны

быть выведены на начальную орбиту в 1992–93 годах, оттуда, подняв па-

руса, двигаться по раскручивающейся спирали к Луне; после завершения

маневра в поле тяготения Луны парусники должны взять курс на Марс

и постараться как можно быстрее добраться до планеты. Все как в рас-

сказе А.Кларка! Работа над проектами была столь захватывающей, что

в предисловии к советскому проекту парусника, авторы не удержались

по-существу от поэтических строк [13]:

“Работая над Колумбовским проектом, мы испытываем удивительное

ощущение смеси приключения с деловой предприимчивостью, пронизы-

вающей жизнь и деятельность великого мореплавателя.

Вспоминая судьбу легендарных парусников от “Санта-Марии” до “Дис-

кавери”, “ Фрама” и “Ра”, мы уверены в скором космическом продолжении

этого списка”.

Нашими специалистами был спроектирован аппарат “Витязь” с пару-

сом площадью 120·10

при весе 485 кг, что обеспечивает коэффици-

ент эффективности (отношение предельной силы, развиваемой парусом

на орбите, к силе притяжения к Солнцу), равный 0,37

. В Вашингтоне

в апреле 1990 года во время презентации наш про ект по этому показате-

лю оказался самым лучшим (вторыми были англичане с коэффициентом

0.3). Что ж, будем ждать космических гонок!

Для распространения волны от одной точки к другой нужно опреде-

ленное время.Это означает, что волны имеют конечную скорость.

Подробно понятие скорости обсудим в главе, посвященной кинематике

волн, а в следующем разделе лишь коснемся этого вопроса на уровне

напоминаний известного из курса общей физики.

Этот коэффициент не зависит от местонахождения корабля и служит важнейшей

характеристикой, определяющей его возможности как транспортного средства

217

§ 3. Напоминание о волновой терминологии. Общее линейное урав-

нение. Дисперсионное соотношение. Диспергирующие волны;

груповая скорость

Обратимся вновь к волновому уравнению (9.3) , в котором ϕ харак-

теризует некоторую величину, связанную с волной, а v

= const > 0.

Поскольку в самом общем случае мы определили волну как простран-

ственно — временную эволюцию некоторого состояния, уравнение (9.3)

определяет пространственно — временную эволюцию величины ϕ в изо-

тропной консервативной среде. Как указывалось выше, общее решение

уравнения (9.3) имеет вид суммы решений (9.4), где F

и F

— про-

извольные функции. Решение F

(x − vt) — распространяющаяся волна,

бегущая в положительном направлении оси x с постоянной скоростью v,

а F

(x + vt) — распространяющаяся волна, бе гущая с той же скоростью

в от рицательном направлении оси x. Аргументы ξ

= x −vt и ξ

= x + vt

суть фазы волн F

и F

, соответственно. Очевидно, что

dξ

= 0, когда

= const, но тогда

= v. Это означает, что наблюдатель, движущий-

ся с волной F

со скоростью v, будет все время видеть одну и ту же

фазу волны F

, т.е. будет отмечать одно и то же состояние волнового

движения, соответствующее начальному значению F

. Если наблюдатель

движется со скоростью

= −v вместе с волной F

, т о он будет фикси-

ровать одну и ту же фазу ξ

, т.е. одно и то же значение F

, с которого

началось движение.

Сказанное выше определяет физический смысл терминов фаза и ско-

рость волны, называемой также фазовой скоростью.

Когда F

, например, периодическая функция, а F

= 0, что соответ-

ствует периодической распространяющейся волне, точка, в которой ϕ име-

ет максимум называется гребнем, а точка, где ϕ минимальна, впадиной

волны.

Волновое уравнение (9.3) относится к классу гиперболических урав-

нений в частных производных. Поэтому оно обладает двумя веществен-

ными характеристиками в плоскости (x, t):

= v и

= −v (9.5)

Таким образом, F

= const вдоль первой характеристики, а F

= const

вдоль второй.

Описываемый волновым уравнением факт распространения волн в

двух противоположных направлениях следует из инвариантности урав-

нения (9.3) относительно преобразования x → (−x), t → (−t). Время в

218

уравнении (9.3) обратимо, и поэтому можно изучать будущее волны с

таким же успехом, как и прошлое.

Пусть теперь F

(x − vt) = a sin(kx − ωt), v = ω/k, F

(x + vt) =

= 0, ω и k — постоянны. Тогда ϕ = a sin(kx − ωt) представляет собой

периодическую бегущую волну с амплитудой a и фазовой скоростью v,

определяемой соотношением ω = vk ил и v = ω/k. Такая волна есть

решение волнового уравнения (9.3) при начальных условиях ϕ(0, x) =

= a sin kx, ∂ϕ(x, 0)/∂t = −ωa cos kx. В фиксированный момент времени

t величина ϕ(x, t) изменяется по x синусоидально (см. рис. 9.1). Легко

видеть, что для любого момента времени t точки x = (4n + 1)π/(2k) + vt

(n = ±0, ±1, ±2, . . . ) соответствуют гребням волны (т.е. максимальным

значениям ϕ), а т очки x = (4n + 3)π/(2k) + vt — впадинам волны (т.е.

минимальным значениям ϕ). Расстояние между двумя последовательны-

ми гребнями или впадинами называется длиной волны и обозначается

через λ:

λ = [(4n + 5)(π/2k) + vt] − [(4n + 1)(π/2k) + vt] = 2π/k.

Из последней формулы видно, чт о, так называемое, волновое число k

определяет число волн, укладывающихся на отрезок единичной длины,

где в данном случае за единицу длины принято 2π. В фиксированной точ-

ке с абсциссой, например, равной x

, функция ϕ колеблется во времени

с периодом T = 2π/ω, где ω — угловая частота волн. Последня я опре-

деляет число волн, прошедших через данную точку в единицу времени,

за кот орую принято 2π. Если теперь взять F

(x − vt) = a sin(kx − ωt),

(x + vt) = a sin(kx + vt), то

ϕ(x, t) = 2a cos ωt sin kx , (9.6)

т. е. можно изучить поведение ϕ с изменением t и x независимо друг от

друга.

Такой выбор F

и F

соответствует, очевидно, следующим начальным

условиям для функции ϕ:

ϕ(x, 0) = 2a sin kx ,

∂ϕ(x, 0)

∂t

= 0 .

Точки x = nπ/k называют узлами волны; в них ϕ = 0 все время. В

точках x = (2n + 1)(π/2k) функция ϕ максимальна; их называют пуч-

ностями волны. Решение (9.6) — результат суперпозиции двух синусои-

дальных бегущих волн одинаковой амплитуды, длины волны и частоты,

219

j( )x,y

Ãðåáåíü

Âïàäèíà

Рис. 9.1. Зависимость ϕ(x, t) от x в фиксированный момент

времени t. Термины гребень и впадина отражают геометри-

ческую форму графика функции ϕ. Все точки с разностью

абсцисс, кратной λ, находятся в одинаковой фазе.

распространяющихся навстречу друг другу. В о всех точках x (за исклю-

чением узлов) функция ϕ колеблется с периодом T . Амплитуда функции

ϕ равна 2a, т.е. сумме амплитуд составляющих волновых компонент F

и F

. Переноса энергии и количества движения между участками волны,

разделенными узлами, нет, поэтому волна, описываемая формулой (9.6)

называется стоячей. Для такой волны узлы и пучности характерны.

Выше для напоминания волновых терминов использовалось уравне-

ние частного вида — стандартное линейное волновое уравнение уравне-

ние (9.3). Обратимся теперь к общему линейному уравнению в частных

производных от двух независимых переменных x и t, которые представим

в виде:

L[ϕ] = 0, (9.7)

где L –линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффи-

циентами

. Если заданы начальные условия

ϕ(x, 0) = ϕ

(x),

∂ϕ(x, t)

∂t



t=0

= ϕ

(x) , . . . , (9.8)

то с помощью преобразования Лапласа по времени уравнение (9.7) можно

свести к обыкновенному дифференциальному уравнению от переменной

x при допущении, что функции ϕ

(x) достаточно гладкие. Будем искать

Будем следовать в изложении монографии [14].

220

решение уравнения (9.7) в следующем виде:

ϕ(x, t) = ae

i(kx−ωt)

, (9.9)

предположив, что это уравнение однородное и независимые переменные

x и t в него явно не входят. Такой вид решения представляется разум-

ным, поскольку в силу линейности уравнения (9.7) е го общее решение

можно построить в виде суперпозиции различных Фурье — компонент.

Тогда

∂

∂t

→ −iω,

∂

∂x

→ ik, и все производные по t и x исключаются. В ре-

зультате вместо уравнения (9.7) приходим к некоторому алгебраическому

соотношению

D(ω, k, A

) = 0 , (9.10)

где A

— параметры, фигурирующие в уравнении (9.7). Соотношение (9.10)

называется дисперсионным уравнением, которое формально можно пере-

писать в виде:

ω = ω(k, A

) . (9.11)

В такой записи оно определяет частоту волны ω в зависимости от вол-

нового числа и параметров A

. Число корней уравнения (9.11) зависит

от степени n этого алгебраического уравнения относительно ω. Заметим,

что в дисперсионном уравнении не известны ни k, ни ω, а известна лишь

их связь

. Если k задано, то не известна только ω, и уравнение (9.11) на-

зывают характеристическим (оно определяет собственные колебания си-

стемы). Опуская зависимость ω от A

, рассмотрим произвольный корень

уравнения (9.11)

ω = ω(k) . (9.12)

Тогда соответствующая Фурье — компонента выражается в виде

ϕ(x, t) ∼ e

i[kx−ω(k)t]

так что временная эволюция ϕ(x, t) полностью определяется свойствами

величины ω(k).

Проанализируем три следующих случая.

1) Если ω(k) вещественная величина, то ϕ(x, t) есть гармоническая

бегущая волна.

Частота может быть задана, и тогда (9.11) превращается в дисперсионное уравнение

относительно k. В этом случае речь идет о нормальных (собственных) волнах системы.