Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны
Подождите немного. Документ загружается.
181
В установившемся режиме осцилляторы совершают колебания с ча-
стотой внешней силы, поэтому можно записать x
1,2
= Re[X
1,2
e
ipt
], X
1,2
— комплексные амплитуды. Из уравнений (8.48) получаем уравнения для
комплексных а м плитуд
(−p
2
+ n
2
1
)X
1
−
k
¯m
1
X
2
=
F
1
¯m
1
,
−
k
¯m
2
X
1
+ (−p
2
+ n
2
1
)X
2
=
F
2
¯m
2
,
(8.49)
решения которых суть
X
1
=
(−p
2
+ n
2
2
)F
1
/ ¯m
1
+ kF
2
/ ¯m
1
¯m
2
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
,
X
2
=
kF
1
/ ¯m
1
¯m
2
+ (−p
2
+ n
2
1
)F
2
/ ¯m
2
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
.
(8.50)
Выражение в знаменателях обоих формул есть детерминант линейной
системы уравнений (8.49). Если частота внешней силы совпадает с одной
из собственных частот системы — ω
1
или ω
2
— то детерминант будет
равен нул ю, при этом решения (8.50) теряют смысл. В таком случае ли-
бо необходимо учитывать потери в системе, либо, если потери все-таки
точно равны нулю, строить полное нестационарное решение. Последняя
ситуация не является надуманной, например в квантовой механике воз-
действие на атомную систему периодической силы приводит к перехо-
дам между атомными уровнями, и процесс такого перехода описывается
нестационарными решениями указанного типа. Мы, однако, для простоты
ограничимся случаем, когда т очного резонанса нет.
Предположим, что сила действует только на один из осцилляторов,
например на первый. Тогда F
2
≡ 0, и без ограничения общности можно
считать, что F
1
— действительная величина. Знаменатель дробей в фор-
мулах (8.50) можно представить как (p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
). Это очевидно,
так как оба этих полинома относительно p
2
имеют одинаковые нули а
коэффициенты при старшей степени равны. Поэтому
X
1
=
−(p
2
− n
2
2
)
(p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
)
F
1
¯m
1
,
X
2
=
k/ ¯m
1
¯m
2
(p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
)
F
1
.
(8.51)
Из этих выражений следует, что колебания осцилляторов происходят ли-
бо в фазе, либо в противофазе с внешней силой. На рис. 8.7,а показано,
182
Рис. 8.7. (а) Комплексные амплитуды колебаний первого
(сплошная кривая) и второго (пунктир) осцилляторов в
зависимости от частоты силы, действующей на первый ос-
циллятор; (б) Амплитуда колебаний первого осциллятора
(сплошная линия) в зависимости от частоты, если в си-
стеме присутствует малое затухание. Для сравнения пунк-
тиром показана зависимость для комплексной амплитуды,
когда затухания нет.
как меняются величины X
1
и X
2
при изменении частоты внешнего воз-
действия. Если p < ω
1
, то колебания обоих маятников происходят в фазе
с силой F
1
. После прохождения первого резонанса при p = ω
1
, вплоть
до точки p = n
2
, колебания происходят в противофазе с внешней силой.
Затем амплитуда первого осциллятора проходит через ноль, а фаза вновь
меняется на π. Наконец, при p > ω
2
первый осциллятор двигается в про-
тивофазе, а второй — в фа зе с силой F
1
. Учет малого затухания меняет
картину только в непосредственной окрестности резонансов. Как пример,
на рис. 8.7,б показана соответствующая резонансная кривая для первого
осциллятора.
Возвращаясь к случаю системы без потерь, обратим внимание на то,
что при p = n
2
амплитуда колебаний первого осциллятора равна нулю,
несмотря на то, что сила действует именно на него. Из формул (8.50)
получаем, что если p = n
2
и F
2
= 0, то X
1
= 0, X
2
= −F
1
/k. Это
соответствует случаю динамического демпфирования колебаний [1].
На основе эффекта динамического демпфирования работают многие
устройства, служащие для подавления нежелательных механических и
электрических вибраций. Наиболее эффектное из них — успокоитель кач-
ки корабля Фрама, суть действия которой можно понять из рис. 8.8,а [1].
183
Внутри корпуса судна находится большой резервуар, наполняемый во-
дой, период колебаний жидкости в резервуаре зависит от уровня воды.
Сам корабль и резервуар с водой составляют связанные колебательные
системы. На корабль действует сила с периодом морского волнения, если
период колебаний жидкости примерно равен периоду качки, то коле ба ния
корабля заметно уменьшаются.
Во многих промышленных установках существует заметная вибрация,
связанная, например, с вращением недостаточно сбалансированного ро-
тора электродвигателя или турбины. Для уменьшения этой вибрации на
один фунда мент с установкой можно поместить демпфер в виде механи-
ческой колебательной системы, подобрав парциальную частоту так, чтобы
она совпадала с основным “тоном” вибрации. При этом колебания маши-
ны будут подавлены.
Совершенно аналогичные системы используются в электротехнике.
Здесь колебательный контур служит фильтром, не пропускающим в опре-
деленный уч асток цепи сигнал с частотой, совпадающей с его резонанс-
ной частотой. Рассмотрим, например, схему на рис. 8.8,б. Легко показать,
что если частота внешней ЭДС равна p = 1/
√
L
1
C
1
, то ток в цепи L
2
C
2
будет равным нулю. Это происходит потому, что контур L
1
C
1
имеет на
данной частоте бесконечное сопротивление.
Пользоваться эффектом динамического демпфирования следует с осто-
рожностью, особенно если спектр внешней силы содержит много частот-
ных компонент, или, что тоже самое, амплитуда внешней силы еще не
установилась. Если связь между колебательными системами мала, то
разность парциальной частоты n
2
и собственной частоты ω
2
также ма-
ла, поэтому легко может наступить переход от режима демпфирования к
режиму резонанса.
Формулы (8.50) демонстрируют еще одно свойство связанных линей-
ных систем, которое играет исключительно важную роль в физике вооб-
ще. Рассмотрим две ситуации: первую, когда сила F действует только на
первый осциллятор, в этом случае отклик второго равен
X
2
=
F/( ¯m
1
¯m
2
)
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
,
и вторую, когда точно такая же сила F действует на второй осциллятор,
отклик первого при этом равен
X
1
=
F/( ¯m
1
¯m
2
)
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
.
184
Рис. 8.8. Примеры динамического демпфирования колеба-
ний: успокоитель качки корабля Фрама (а) и резонансный
фильтр в радиотехнической схеме (б).
Мы видим, что эти отклики одинаковы. Это проявление теоремы взаим-
ности, связывающей отклик с силами, действующими на разные части
сложно системы. Теорема взаимности может быть сформулирована для
систем со многими степенями свободы, и даже для распределенных си-
стем. Главное условие ее применимости — линейность исследуемой систе-
мы. В электродинамике, например, теорема взаимности широко исполь-
зуется в теории антенн. В применении к идеализированным антеннам —
диполям — ее можно сформулировать следующим образом [5].
Пусть диполь с электрическим моментом p
1
, расположенный в точке
1, возбуждает электромагнитное поле E
1
, H
1
, а диполь p
2
, находящийся в
точке 2, — поле E
2
, H
2
, тогда теорема взаимности выражается равенством
p
1
E
2
(1) = p
2
E
1
(2) , (8.52)
где E
2
(1) — значение поля E
2
в точке нахождения диполя p
1
, а E
1
(2) —
значение поля E
1
там, где находится диполь p
2
. При равенстве дипольных
моментов диполь 1 действует на диполь 2 также, как диполь 2 действует
на диполь 1.
Если, например, p
1
соответствует передающей антенне, расположен-
ной вблизи земли, а нужно найти поле, создаваемое этим диполем высоко
над землей, в точке 2, где находится летательный аппарат с приемной ан-
тенной на борту, то можно решить вспомогательную задачу, в которой
передающая антенна — диполь p
2
— расположен в точке 2, а приемная
антенна — в точке 1 и воспользоваться теоремой взаимности.
Задача о действии внешней гармонической силы на систему связан-
ных осцилляторов одним обстоятельством отличается о т задачи, в кото-
рой воздействию подвергается одиночный осциллятор. А именно, для воз-
185
никновения резонанса в системе необходимо, но недостаточно, чтобы
частота внешней силы совпадала с одной из собственных частот. Нали-
чие нескольких сил, действующих на систему, позволяет так подобрать
их относительную величину, что резонанс не возникнет.
Покажем это для системы двух связанных осцилляторов. Пусть ча-
стота внешних сил совпадает с частотой первой собственной моды, т. е.
p = ω
1
, а силы F
1
и F
2
подобраны так, что
kF
1
/ ¯m
1
¯m
2
+ (−ω
2
1
+ n
2
1
)F
2
/ ¯m
2
. (8.53)
Используя характеристическое уравнение (8.28), легко показать, что при
этом будет также выполняться соотношение
(−ω
2
1
+ n
2
2
)F
1
/ ¯m
1
+ kF
2
/ ¯m
1
¯m
2
,
т. е. числители обоих дробей в (8.50) равны нулю. При этом равны нулю
и знаменатели дробей, так как p = ω
1
. Соотношения (8.50) оказываются в
данном случае неприменимыми. Это происходит потому, что определитель
системы линейных уравнений (8.49), при p = ω
1
обращается в нуль и она
становится вырожденной. В таком случае необходим более тщательный
анализ, который основан на переходе к уравнениям для собственных мод.
Умножим второе из уравнений (8.48) на r
2
и вычтем из первого; кроме
того, умножим первое уравнение на r
1
и вычтем из второго. Как мы
уже видели, если внешние силы равны нулю, такая процедура приводит
к уравнениям для собственных типов колебаний. В случае, когда силы
отличны от нуля, получаем уравнения для собственных мод под внешним
воздействием:
¨
ξ
1
+ ω
2
1
ξ
1
=
1
√
1 − r
1
r
2
(F
1
/ ¯m
1
− r
2
F
2
/ ¯m
2
) ,
¨
ξ
2
+ ω
2
2
ξ
2
=
1
√
1 − r
1
r
2
(−r
1
F
1
/ ¯m
1
+ F
2
/ ¯m
2
) .
(8.54)
В интересующем нас случае обе внешние силы имеют одинаковую часто-
ту p = ω
1
и выполняется условие для комплексных амплитуд сил (8.53),
что выражается так: F
1
/ ¯m
1
= r
2
F
2
/ ¯m
2
, поэтому правая часть первого
уравнения в (8.54) равна нулю. Та к им образом, от к лик системы фор-
мируется только из колебаний второй моды. Решение уравнений (8.54)
можно записать в виде:
ξ
1
(t) ≡ 0 , ξ
2
(t) = Re
1
√
1 −r
1
r
2
F
2
/ ¯m
2
−ω
2
1
+ ω
2
2
e
iω
1
t
.
186
Производя обратный переход к координатам осцилляторов x
1
и x
2
, полу-
чаем
x
1
(t) = Re
e
iω
1
t
F
1
/ ¯m
1
ω
2
2
− ω
2
1
, x
2
(t) = Re
e
iω
1
t
F
2
/ ¯m
2
ω
2
2
− ω
2
1
.
Мы видим, что резонанса в системе нет, несмотря на то, что частота
внешней силы совпадает с одной из собственных частот. Объясняется это
тем, что компоненты внешней силы “ортогональны” собственному векто-
ру соответствующей моды (в данном случае первой). Другими словами
можно сказать, что величины и соотношения фаз внешних сил таковы,
что полная работа, совершаемая над системой, равна нулю.
Этот пример показывает, что условия наступления резонанса в систе-
ме связанных осцилл яторов требуют обобщения по сравнению со случаем
одиночного осциллятора. В общем случае системы N связанных о сцилля-
торов для возникновения резонанса необходимо выполнение следующих
условий:
1) Частота внешней силы
4
должна совпадат с одной из собственных
частот системы.
2) Вектор “приведенных” сил [F
1
/ ¯m
1
, F
2
/ ¯m
2
, . . . , F
N
/ ¯m
N
]
T
(T — знак
транспонирования) не должен быть ортогонален собственному век-
тору, соответствующему колебанию с этой частотой.
§ 6. Колебания системы N связанных
осцилляторов
5
Аналитическое исследование колебаний в системе N связанных осциллято-
ров, если в системе нет симметрии высокого порядка, невозможно, так как для
нахождения собственных частот требуется решать алгебраическое уравнение N -
ой степени относительно ω
2
. Тем не менее, на практике часто необходимо ис-
следовать колебания в системах с очень большим числом степеней свободы. Это
могут быть, например, колебания в сложных электрических схемах, или механи-
ческие вибрации в конструкциях мостов или корпусов самолетов. Современные
4
Под внешней силой в данном случае понимается вектор с компонентами, равными
силам, действующим на каждый из осцилляторов.
5
Для понимания этого параграфа желательно знакомство с курсом линейной алгебры в
объеме программы физических и механико -математических специальностей технических
вузов или университетов. Впрочем, дальнейшее изложение не зависит от содержания
этого раздела, поэтому в случае необходимости он может быть пропущен.
187
численные методы расчета колебаний в сплошных средах также часто основа-
ны на представлении распределенной системы в виде связанных между собой
элементарных осцилляторов. Например, уравнения колебаний тонких оболочек
в строительной механике [6], или колебания электромагнитного поля в резо-
наторах современных с верхвысокочастотных приборов [7, 8] можно, с помощью
различных методов дискретизации уравнений в частных производных, привести
к системам связанных линейных осцилл яторов, причем число осцилляторов в
таком случае может достигать сотен тысяч и даже миллионов!
По этой причине необходимо иметь общий метод расчета собственных ко-
лебаний в системе связанных осцилляторов общего вида. Изложению такого
метода посвящен этот параграф.
Рассмотрим систему N связанных осцилляторов, кинетическая и потенци-
альная энергии которой выражаются формулами
K =
1
2
N
X
i,j=1
m
ij
˙x
i
˙x
j
, U =
1
2
N
X
i,j=1
k
ij
x
i
x
j
. (8.55)
Удобно воспользоваться матричными обозначениями, вводя вектор-столбец
h
x
i
=
=
h
x
1
, x
2
, . . . , x
N
i
T
и матрицы
h
K
i
и
h
M
i
:
h
K
i
=
k
11
k
12
. . . k
1N
k
21
k
22
. . . k
2N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k
N1
k
N2
. . . k
NN
,
h
M
i
=
m
11
m
12
. . . m
1N
m
21
m
22
. . . m
2N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m
N1
m
N2
. . . m
NN
. (8.56)
По очевидным соображениям матрица
h
K
i
называется матрицей жесткости, а
матрица
h
M
i
— матрицей масс. Матрицы
h
K
i
и
h
M
i
обладают двумя свойства-
ми, чрезвычайно важными с точки зрения теоретического анализа и практиче-
ских вычислений:
1) Непосредственно из их определения следует, что m
ij
= m
ji
и k
ij
= k
ji
,
то есть
h
K
i
=
h
K
i
T
, и
h
M
i
=
h
M
i
T
. Такие матрицы называются сим-
метрическими [3, 9]. Их элементы, лежащие симметрично относительно
главной диагонали равны друг другу.
2) Симметрические матрицы
h
K
i
и
h
M
i
обладают свойством положитель-
ной определенности [3,9], которое означает, что для произвольных нену-
188
левых векторов
h
X
i
и
h
˙x
i
=
h
˙x
1
, ˙x
2
, . . . , ˙x
N
i
T
выполняются неравенства
K =
1
2
h
˙x
i
T
h
M
ih
˙x
i
> 0 , U =
1
2
h
x
i
T
h
K
ih
x
i
> 0 .
С физической точки зрения это просто условия положительности потенци-
альной и кинетической энергий; если они не выполняются, то движение
не будет носить характер колебаний вблизи положения равновесия, для
которого x
i
= 0, ˙x
i
= 0, i = 1, 2, . . . , N . Существует несколько критериев
положительной определенности произвольной симметрической матрицы,
два из которых формулируются так:
• все собственные значения положительно определенной матрицы стро-
го положительны;
• определители всех главных подматриц
6
матрицы строго положитель-
ны.
Используя введенные обозначения, мож но записать функцию Лагранжа си-
стемы следующим образом:
L =
1
2
h
˙x
i
T
h
M
ih
˙x
i
−
h
x
i
T
h
K
ih
x
i
.
а уравнения динамики будут иметь вид
d
2
dt
2
h
M
ih
x
i
=
h
K
ih
x
i
. (8.57)
Наша цель — определение собственных мод системы, то есть вычисление соб-
ственных частот и соответствующее им распределение амплитуд и фаз колеба-
ний каждого из осцилляторов. Это значит, что решение уравнения (8.57) нужно
искать в виде
h
x
i
= Re{e
iωt
h
X
i
}, где
h
X
i
=
h
X
1
, X
2
, . . . , X
N
i
T
— вектор-
столбец, составленный из комплексных ам плитуд. Подставляя это соотношение
в (8.57), получаем матричное уравнение
h
K
ih
X
i
= ω
2
h
M
ih
X
i
, (8.58)
которо е в линейной алгебре носит название обобщенной алгебраической про-
блемы собственных значений. Это уравнение является линейным однородным
алгебраическим уравнением относительно компонент вектора
h
X
i
, поэтому оно
6
Главная подматрица порядка n симметрической матрицы
h
A
i
получается из нее вы-
черкиванием всех строк и столбцов с номерами i, j > n.
189
имеет нетривиальное решение только в том случае, если его определитель равен
нулю, то есть если выполняется условие
det
hh
K
i
− ω
2
h
M
ii
= 0 . (8.59)
Формально левая часть уравнения (8.59) есть полином степени N относительно
ω
2
, коэффициенты которого сложным образом выражаются через элементы ма-
триц
h
M
i
и
h
K
i
. Полином имеет ровно N корней {ω
2
1
, ω
2
1
, . . . , ω
2
N
}, некоторые
из них могут совпадать друг с другом, поэтому нетривиальное решение урав-
нения (8.58) существует только для одного из этих N значений частоты ω
2
.
Такие значения называются со бственными значениями или собственными чис-
лами алгебраической проблемы, а вектор
h
X
i
i
, являющийся решением (8.58)
при ω
2
= ω
2
i
, называется i-м собственным вектором.
Следствием положительной определенности матриц
h
X
i
и
h
K
i
являются
важные свойства собственных чисел и собственных векторов [3,9, 10], которые
приводятся здесь без доказательства:
1) все собственные числа строго положительны: ω
2
i
> 0, i = 1, 2, . . . , N ;
2) компоненты собственных векторов
h
X
i
могут быть выбраны чисто дей-
ствительными;
3) два собственных вектора
h
X
i
i
и
h
X
i
j
, соответствующих разным собствен-
ным числам ω
2
i
6= ω
2
j
ортогональны с весом, задаваемом матрицей
h
M
i
, т.
е. выполняется
h
X
i
T
i
h
M
ih
X
i
j
= 0 , если ω
2
i
6= ω
2
j
; (8.60)
4) Если существует вырождение собственных чисел, т. е. если для i, j ∈
k + 1, k + 2, . . . , k + m, k ≥ 0, k + m ≤ N выполняется ω
2
i
= ω
2
j
, то соб-
ственные векторы
h
X
i
k+1
, . . .
h
X
i
k+m
все равно мож но выбрать ортого-
нальными в указанном выше смысле;
5) собственные векторы
h
X
i
i
, i = 1, 2, . . . , N линейно независимы, и образу-
ют базис в евклидовом пространстве E
N
комплексных векторов-столбцов
порядка N со скалярным произведением (
h
X
i
,
h
Y
i
) =
h
X
i
?T
h
M
ih
Y
i
.
Еще раз подчеркнем, что все эти свойства являются прямым следствием поло-
жительной определенности матриц
h
K
i
и
h
M
i
.
190
Если известно решение алгебраической проблемы собственных значений
(8.58), т. е. все собственные значения и собственные векторы, то общее решение
задачи о колебаниях связанных осцилляторов представляется в виде
h
x(t)
i
= Re
(
N
X
i=1
C
i
h
X
i
i
e
iω
i
t
)
, (8.61)
где комплексные константы C
i
, i = 1, 2, . . . , N определяются из начальных усло-
вий. Если
h
x
0
i
=
h
x
1
(0), x
2
(0), . . . , x
N
(0)
i
T
— вектор начальных координат, а
h
˙x
0
i
=
h
˙x
1
(0), ˙x
2
(0), . . . , ˙x
N
(0)
i
T
—вектор начальных скоростей, то C
i
= C
0
i
+
+ iC
00
i
находятся из системы уравнений
N
X
i=1
C
0
i
h
X
i
i
=
h
x
0
i
,
N
X
i=1
C
00
i
ω
i
h
X
i
i
= −
h
˙x
0
i
. (8.62)
Расписанных по компонентам, этих уравнений 2N штук — столько, сколько
необходимо для определения неизвестных C
0
i
и C
00
i
.
Зная собственные векторы системы можно также легко найти нормальные
моды колебаний. Для этого введем квадратную матрицу
h
S
i
порядка N так, что
ее i-й столбец является i-м собственным вектором, т. е.
h
S
i
=
h
h
X
i
1
,
h
X
i
2
, . . . ,
h
X
i
N
i
. (8.63)
Используя свойства собственных векторов 1–5, перечисленные выше, легко по-
казать, что преобразование подобия
h
K
0
i
=
h
S
i
T
h
K
ih
S
i
,
h
M
0
i
=
h
S
i
T
h
M
ih
S
i
(8.64)
одновременно диагонализует матрицы
h
K
i
и
h
M
i
, т. е. приводит их к виду,
когда ненулевые элементы обоих матриц
h
K
0
i
и
h
M
0
i
присутствуют только на
главных диагоналях. Новые матрицы имеют вид
h
M
0
i
=
kX
1
k
2
0 . . . . . . . . . .
0 kX
2
k
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . kX
N
k
2
,
h
K
0
i
=
ω
2
1
kX
1
k
2
0 . . . . . . . . . . . . .
0 ω
2
2
kX
2
k
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . . . . ω
2
n
kX
N
k
2
.
(8.65)