Троян Е.Н., Бахтина И.А. Теплотехника
Подождите немного. Документ загружается.
61
∫
=
2
1
р
р
к
vdpl . (5.24)
На индикаторной диаграмме l
к
изображается площадью 4321.
Техническая работа, затрачивае-
мая в компрессоре, зависит от характера
процесса сжатия. На рисунке 5.8 изо-
бражены изотермический (n = l), адиа-
батный (n = k) и политропный процессы
сжатия. Сжатие по изотерме дает наи-
меньшую площадь, т.е. происходит с
наименьшей затратой работы, следовате-
льно, применение изотермического сжа-
тия в компрессоре является энергетиче-
ски наиболее выгодным.
Рисунок 5.8. – Сравнение работы
адиабатного, изотермического и полит-
ропного сжатия.
Чтобы приблизить процесс сжатия
к изотермическому, необходимо отводить
от сжимаемого в компрессоре газа тепло-
ту. Это достигается путем охлаждения
наружной поверхности цилиндра водой,
подаваемой в рубашку, образуемую по-
лыми стенками цилиндра. Однако, прак-
тически сжатие газа осуществляется по
политропе с показателем п = 1,18 ÷ 1,2,
поскольку достичь значения п = 1 не уда-
ется.
Теоретическая работа на при
вод
идеального компрессора, все процессы в
котором обратимы, вычисляется по соот-
ношению (5.24). Из уравнения политропы
(4.22) следует, что
v = (p
1
/ p)
1/n
v
1
и
∫
=
=
2
1
1
1
1
р
р
n
к
dpv
р
р
l
.1
1
1
1
2
11
−
−
=
−
n
n
p
p
vp
n
n
(5.25)
Если обозначить расход газа в
компрессоре через m
*
, кг/с, то тео-
ретическая мощность привода ком-
прессора определится из уравнения
.1
1
1
1
2
11
*
−
−
=
−
n
n
o
p
p
vp
n
n
mN (5.26)
Многоступенчатое сжатие. Для
получения газа высокого давления при-
меняют многоступенчатые компрессоры
(рисунок 5.9), в которых процесс сжатия
осуществляется в нескольких последова-
тельно соединенных цилиндрах с проме-
жуточным охлаждением газа после каж-
дого сжатия.
Рисунок 5.9 – Схема многосту-
пенчатого компрессора.
I – III – ступени сжатия; 1,2 – промежу-
точные холодильники.
Индикаторная диаграмма трех-
ступенчатого компрессора изображена
на рисунке 5.10. В первой ступени ком-
прессора газ сжимается по политропе до
давления р
II
, затем он поступает в про-
межуточный холодильник 1, где охлаж-
дается до начальной температуры T
1
. Со-
противление холодильника по воздуш-
ному тракту с целью экономии энергии,
расходуемой на сжатие, делают не-
большим. Это позволяет считать процесс
охлаждения газа изобарным. После холо-
дильника газ поступает во вторую сту-
пень и сжимается по политропе до р
III
,
затем охлаждается до температуры T
1
в
холодильнике 2 и поступает в цилиндр
третьей ступени, где сжимается до давле-
ния p
2
.
62
Рисунок 5.10 – Индикаторная диа-
грамма трехступенчатого компрессора (а)
и изображение процесса сжатия в Т,s –
диаграмме (б).
Если бы процесс сжатия осуще-
ствлялся по изотерме 1357, то работа
сжатия была бы минимальна. При сжатии
в одноступенчатом компрессоре по ли-
нии 19 величина работы определялась бы
площадью 0198. Работа трехступенчатого
компрессора определяется площадью
01234568. Заштрихованная площадь по-
казывает выигрыш в технической работе
от применения трехступенчатого сжатия.
Чем больше число ступеней сжа-
тия и промежуточных
охладителей, тем
ближе процесс к наиболее экономичному
– изотермическому, но тем сложнее и
дороже конструкция компрессора. По-
этому вопрос о выборе числа ступеней,
обеспечивающих требуемую величину р
2
,
решается на основании технических и
технико-экономических соображений.
Процессы сжатия в реальном ком-
прессоре характеризуются наличием
внутренних потерь на трение, поэтому
работа, затрачиваемая на сжатие газа,
оказывается больше, чем техническая ра-
бота идеального компрессора, определяе-
мая уравнением (5.25).
Эффективность работы реального
компрессора определяется относитель-
ным внутренним КПД, представляющим
собой отношение работы, затраченной
на привод идеального компрессора, к дей-
ствительной.
Для характеристики компрессо-
ров, работающих без охлаждения, при-
меняют адиабатный КПД:
к
ад
ад
l
l
=
η
,
где
l
ад
– работа при равновесном адиа-
батном сжатии, вычисленная по уравне-
нию (5.25) при
n = k; l
к
– работа, затра-
ченная в реальном компрессоре при сжа-
тии 1 кг газа.
Для характеристики охлаждаемых
компрессоров используют изотермиче-
ский КПД:
к
из
из
l
l
=
η
,
где
l
из
– работа обратимого сжатия в изо-
термическом процессе, подсчитанная по
формуле (4.13).
Примеры решения типовых задач
Задача 5.1
Дано:
Р
1
= 10 МПа = 10·10
6
Па
t
1
= 15 ˚C
Р
2
= 0,1 МПа =
= 0,1·10
6
Па
d = 10 мм = 0,01 м
R
в
= 287 Дж/(кг·К)
k = 1,4
Воздух из резервуара с постоянным давлением
10 МПа и температурой 15 ˚C вытекает в атмосферу через
трубку с внутренним диаметром 10 мм.
Найти скорость истечения воздуха и его массовый
расход. Наружное давление принять равным 0,1 МПа. Про-
цесс расширения считать адиабатным.
с, m
*
– ?
63
Решение:
Определяем отношение
β
= p
2
/ p
1
. Оно равно
100
1
=
β
, т.е. меньше критического
отношения давлений для воздуха, составляющего
β
кр
= 0,528. Поэтому скорость истечения
будет равна критической и определяется по формуле (5.19):
5,310)27315(287
14,1
4,1
2
1
2
1
=+⋅⋅
+
=
+
= RT
к
к
с
кр
м/с.
Массовый расход находим по формуле (5.20)
1
2
1
1
min
*
1
2
1
2
−
+
⋅⋅
+
=
k
кр
kv
P
k
k
fm ;
5
2
2
min
1085,7
4
01,014,3
4
−
⋅=
⋅
==
d
f
π
м
2
;
3
6
1
1
1
1027,8
1010
)27315(287
−
⋅=
⋅
+⋅
==
P
RT
v м
3
/кг;
следовательно,
87,1
14,1
2
1027,8
1010
14,1
4,12
1085,7
14,1
2
3
6
5*
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅=
−
−
−
кр
m кг/c.
Задача 5.2
Дано:
Р
1
= 5 МПа = 5·10
6
Па
Р
2
= 4 МПа = 4·10
6
Па
t
1
= 100 ˚С
f
= 20мм
2
= 2
⋅10
–5
м
2
R
О2
= 260 Дж/(кг·К)
В резервуаре, заполненном кислородом, поддержи-
вают давление 5 МПа. Газ вытекает через суживающееся
сопло в среду с давлением 4 МПа. Начальная температура
кислорода 100 ˚С.
Определить теоретическую скорость истечения и
массовый расход, если площадь выходного сечения сопла
20 мм
2
. Истечение считать адиабатным.
с, m
*
– ?
Решение:
Отношение давлений составляет
528,08,0
5
4
1
2
1
2
=
=>===
кр
кр
Р
Р
Р
Р
ββ
;
следовательно, скорость истечения меньше критической и определяется по формуле
(5.15):
205
5
4
1)273100(260
14,1
4,1
21
1
2
4,1
14,1
1
1
2
1
=
−⋅+⋅⋅
−
=
−
−
=
−
−
k
k
Р
Р
RT
k
k
с м/с.
Массовый расход воздуха найдем по формуле (5.17)
−
⋅⋅
−
=
+
k
k
k
Р
Р
Р
Р
v
P
k
k
fm
1
1
2
2
1
2
1
1
*
1
2
.
Из уравнения состояния
64
2
6
1
1
1
1094,1
105
)273100(260
−
⋅=
⋅
+⋅
==
P
RT
v м
3
/кг.
Все остальные величины, входящие в формулу (5.17) известны.
Подставляя их значения, получим
175,0
5
4
5
4
1094,1
105
14,1
4,12
102
4,1
14,1
4,1
2
2
6
5*
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅=
+
−
−
m
кг/c.
Задача 5.3
Дано:
Р
1
= 1 МПа = 1·10
6
Па
Р
2
= 0,1 МПа =
= 0,1·10
6
Па
t
1
= 300 ˚С
m
*
= 4 кг/с
α = 10˚
R = 287 Дж/(кг·К)
k = 1,4
Воздух при давлении 1 МПа и температуре 300 ˚С
вытекает из сопла Лаваля в среду с давлением 0,1 МПа.
Массовый расход воздуха 4 кг/с.
Определить размеры сопла. Угол конусности расши-
ряющейся части сопла принять равным 10˚. Расширение
воздуха в сопле считать адиабатным.
f
min
, f
2
, l – ?
Решение:
Площадь минимального сечения сопла находим по формуле
кр
кр
с
vm
f
⋅
=
*
min
.
Удельный объем воздуха в минимальном сечении
v
кр
находим из соотношения па-
раметров адиабатного процесса:
.
1
1
1
k
кр
кр
Р
Р
v
v
=
Значение v
1
определяем из начальных условий:
164,0
101
)273300(287
6
1
1
1
=
⋅
+⋅
==
P
RT
v м
3
/кг;
Критическое отношение давлений для воздуха
.528,0
1
2
=
кр
Р
Р
Следовательно, критическое давление, устанавливающееся в минимальном сече-
нии сопла
Р
кр
= 0,528·Р
1
= 0,528·1 = 0,528 МПа;
259,0
528,0
1
164,0
4,1
1
1
1
1
=
⋅=
=
k
кр
кр
Р
Р
vv м
3
/кг.
Теоретическая скорость воздуха с
кр
в минимальном сечении по формуле (5.19)
432)273300(287
14,1
4,12
1
2
1
=+⋅⋅
+
⋅
=
+
= RT
k
k
с
кр
м/с.
Следовательно, площадь минимального сечения сопла должна быть
65
).(
1
)
221122
vpvp
k
k
vp −
−
=− мм
2
.
Принимая сечения сопла круглым, находим диаметр наиболее узкой части
4,55
14,3
24004
4
min
min
=
⋅
=
⋅
=
π
f
d мм.
Площадь выходного сечения сопла по формуле
2
2
*
2
с
vm
f
⋅
= .
Удельный объем воздуха в выходном сечении
87,0
1,0
1
164,0
4,1
1
1
2
1
12
=
=
=
k
P
P
vv м
3
/кг.
Скорость истечения воздуха из сопла по уравнению (5.15)
=
−
−
=
−
k
k
Р
Р
RT
k
k
с
1
1
2
12
1
1
2
−⋅+⋅⋅
−
=
−
4,1
14,1
1
1,0
1)273300(287
14,1
4,1
2 = 744 м/с,
и, следовательно, площадь выходного сечения сопла
468010
744
87,04
6
2
=⋅
⋅
=f мм
2
,
а диаметр выходного сечения сопла
77
14,3
46804
4
2
2
=
⋅
=
⋅
=
π
f
d мм.
Длина расширяющейся части сопла определяется по формуле (5.21):
123
2/102
4,5577
2/2
min2
=
⋅
−
=
⋅
−
=
tgtg
dd
l
α
мм.
Задача 5.4
Дано:
Р
1
= 1,2 МПа
t
1
= 300 ˚С
В = Р
2
= 0,1 МПа
Определить теоретическую скорость истечения пара
из котла в атмосферу. Давление пара в котле 1,2 МПа, тем-
пература 300 ˚С. Процесс расширения пара считать адиабат-
ным. Барометрическое давление принять равным 0,1 МПа.
с – ?
Решение:
Отношение давлений
,0834,0
2,1
1,0
1
2
===
Р
Р
β
т.е. оно меньше критического отноше-
ния давлений для перегретого пара, составляющего
β
кр
= 0,546. Следовательно, если исте-
чение происходит из суживающего сопла, то скорость истечения будет равна критической
скорости. Для перегретого пара эта скорость определяется из уравнения
кркр
hhс −=
1
7,44 , м/с.
Для нахождения h
кр
определяем Р
кр:
66
66,0546,02,1
1
2
1
=⋅=
=
кр
кр
Р
Р
РР
МПа.
Рисунок 5.11. – К задаче 5.4.
Проведя адиабату от точки 1, характери-
зуемой Р
1
= 1,2 МПа и t
1
= 300 ˚С, до изобары
Р
кр
= 0,66 МПа (рисунок 5.11), получим
h
1
= 3040 кДж/кг; h
кр
= 2890 кДж/кг и таким обра-
зом,
5,547289030407,44 =−=
кр
с м/с.
Задача 5.5
Решить предыдущую задачу при условии, что истечение пара происходит через со-
пло Лаваля.
Решение:
В этом случае скорость истечения больше критической. Она определяется из урав-
нения:
212
7,44 hhс −= , м/с,
причем h
2
будет соответствовать состоянию пара в конце адиабатного расширения при
Р
2
= 0,1 МПа.
Пользуясь h,s – диаграммой, получим h
2
= 2550 кДж/кг и, таким образом,
5,989255030407,44
2
=−=с м/с.
Задача 5.6
Дано:
Р
1
= 1,6 МПа
t
1
= 400 ˚С
Р
2
= 0,1 МПа
m
*
кр
= m
*
= 4,5 кг/с
k = 1,3
Перегретый водяной пар с начальным давлением
1,6 МПа и температуре 400 ˚С расширяется в сопле Лаваля
по адиабате до давления Р
2
= 0,1 МПа. Массовый расход па-
ра 4,5 кг/с.
Определить минимальное сечение сопла и его вы-
ходное сечение. Процесс расширения пара считать адиабат-
ным.
f
min
, f
2
– ?
Решение:
Минимальное сечение сопла найдем из уравнения (5.20):
1
2
1
1
*
min
1
2
1
2
−
++
=
k
кр
k
v
P
k
k
m
f .
Удельный объем v
1
( из h,s – диаграммы) равен 0,19 м
3
/кг, следовательно,
67
00233,0
13,1
2
19,0
106,1
13,1
3,12
5,4
13,1
2
6
min
=
+
⋅
+
⋅
=
−
f
м
2
= 23,3 см
2
.
Сечение в устье сопла определяем из уравнения
2
2
*
2
с
vm
f
⋅
=
.
Пользуясь
h,s – диаграммой, найдем v
2
= 1,7 м
3
/кг; h
1
= 3245 кДж/кг;
h
2
= 2625 кДж/кг.
Тогда
1113262532457,447,44
212
=−=−= hhс м/с.
Таким образом,
00687,0
1113
7,15,4
2
=
⋅
=f м
2
= 68,7 см
2
.
Задача 5.7
Дано:
t
1
= 27 ˚С
Р
1
= 0,1 МПа
Р
2
= 1 МПа
n = 1,22
k = 1,4
m
*
= 0,12 кг/с
R
в
= 0,287 кДж/(кг·К)
c
v
= 0,72 кДж/(кг·К)
Газ – воздух с начальной температурой 27 ˚С сжима-
ется в одноступенчатом поршневом компрессоре от давле-
ния 0,1 МПа до давления 1 МПа. Сжатие может происхо-
дить по изотерме, по адиабате и по политропе с показателем
политропы 1,22. Определить для каждого из трех процессов
сжатия конечную температуру газа, отведенный от газа теп-
ловой поток и теоретическую мощность привода компрес-
сора, если его производительность 0,12 кг/с.
t
2
, Q, N
0
– ?
Решение:
1. Изотермическое сжатие.
Так как изотермический процесс протекает при постоянной температуре t
2
= t
1
=
= 27 ˚С. Теоретическая мощность компрессора определяется выражением
N
0
= m
*
·l,
где l определяется по формуле (4.13).
Следовательно,
76,23
1,0
1
ln)27327(287,012,0ln
1
2
*
0
=+⋅⋅==
P
P
RTmN кВт.
В изотермическом процессе отведенный от газа тепловой поток
76,23
0
== NQ кВт.
2. Адиабатное сжатие.
Из связи параметров в адиабатном процессе, следует, что
6,579
1,0
1
)27327(
4,1
14,1
1
1
2
12
=
+=
=
−
−
k
k
Р
Р
ТТ К.
5,3062736,579273
22
=−=−= Tt °С.
Теоретическая мощность привода компрессора определяется по формуле (5.26) при
n = k.
68
=
−
−
=
−
1
1
1
1
2
1
*
0
k
k
P
P
RT
k
k
mN
63,331
1,0
1
)27327(287,0
14,1
4,1
12,0
4,1
14,1
=
−
+
−
=
−
кВт.
В адиабатным процессе отведенный от газа тепловой поток Q =0.
3. Политропное сжатие.
Из связи параметров в политропном процессе, следует, что
454
1,0
1
)27327(
22,1
122,1
1
1
2
12
=
+=
=
−
−
n
n
Р
Р
ТТ К.
181273454273
22
=−=−= Tt ˚С.
Теоретическая мощность привода компрессора определяется по формуле (5.26).
=
−
−
=
−
1
1
1
1
2
1
*
0
n
n
P
P
RT
n
n
mN
4,281
1,0
1
)27327(287,0
122,1
22,1
12,0
22,1
122,1
=
−
+
−
=
−
кВт.
Отведенный от газа тепловой поток определяется выражением
Q = m
*
⋅
q,
где q определяется по формуле (4.25).
Следовательно,
9,10)27181(
122,1
4,122,1
72,012,0)(
1
12
*
−=−
−
−
⋅=−
−
−
= tt
n
kn
cmQ
v
кВт.
9,10=Q кВт.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.8
Воздух при давлении 0,1 МПа и температуре 15 ˚C вытекает из резервуара.
Найти значение конечного давления, при котором теоретическая скорость адиабат-
ного истечения будет равна критической, и величину этой скорости.
Ответ:
Р
2кр
= 0,0528 МПа;
с
кр
= 310 м/с.
Задача 5.9
Найти теоретическую скорость адиабатного истечения азота и массовый расход,
если Р
1
= 7 МПа, Р
2
= 4,5 МПа, t
1
= 15 ˚С, f
= 10мм
2
.
Ответ:
с = 282 м/с; m
*
= 0,148 кг/с.
69
Задача 5.10
К соплам газовой турбины подводятся продукты сгорания топлива при давлении
1 МПа и температуре 600 ˚С. Давление за соплами 0,12 МПа. Расход газа, отнесенный к
одному соплу, 0,4 кг/с.
Определить размеры сопла. Истечение считать адиабатным. Угол конусности при-
нять равным 10˚. Принять, что продукты сгорания обладают свойствами воздуха.
Ответ:
d
min
= 19,4 мм; d
2
= 25 мм; l = 32 мм.
Задача 5.11
Влажный пар с давлением 1,8 МПа и степенью сухости 0,92 вытекает в среду с
давлением 1,2 МПа; площадь выходного сечения сопла 20 мм
2
.
Определить теоретическую скорость при адиабатном истечении пара и его массо-
вый расход.
Ответ:
с = 380 м/с, m
*
= 0,05 кг/с.
Задача 5.12
Найти теоретическую скорость истечения пара из сопла Лаваля для следующих
данных: Р
1
= 1,6 МПа; х
1
= 0,92; Р
2
= 1,2 МПа.
Процесс расширения пара считать адиабатным.
Ответ:
с = 1040 м/с.
Задача 5.13
Водяной пар с давлением 2 МПа и температурой 400 ˚С при истечении из сопла
Лаваля расширяется по адиабате до давления 0,2 МПа.
Найти площадь минимального и выходного сечения сопла, а также скорости исте-
чения в этих сечениях, если массовый расход пара 4 кг/с.
Ответ:
f
min
= 16 см
2
; f
2
= 36 см
2
; с
кр
= 580 м/с; с = 1050 м/с.
Задача 5.14
Газ – воздух с начальной температурой 27 ˚С сжимается в одноступенчатом порш-
невом компрессоре от давления 0,1 МПа до давления 0,9 МПа. Сжатие может происхо-
дить по изотерме, по адиабате и по политропе с показателем политропы 1,26. Определить
для каждого из трех процессов сжатия конечную температуру газа, отведенный от газа те-
пловой поток и теоретическую мощность привода компрессора, если его производитель-
ность 0,28 кг/с.
Ответ:
8,52
0
==
изиз
QN кВт; t
2
= t
1
= 27 ˚С;
4,73
0
=
ад
N кВт; 0=
ад
Q кВт; t
2
= 288 ˚С;
65,66
0
=
пол
N кВт;
∑
=
n
viiv
cgc
1
кВт; t
2
= 198 ˚С.
70
Вопросы для самоподготовки
1 Написать уравнение первого закона термодинамики для потока.
2 Какие каналы называются соплами и диффузорами?
3 Скорость истечения идеального газа при адиабатном процессе.
4 Массовый расход идеального газа, его зависимость от отношения Р
2
/Р
1
.
5 Критическое отношение давлений и его определение.
6 Связь скорости звука и критической скорости истечения.
7 Как определяется максимальный секундный расход идеального газа?
8 Дать описание комбинированного сопла Лаваля. Как определяется его длина?
9 Как рассчитать скорость истечения водяного пара с помощью h,s – диаграммы?
10 Что такое дросселирование и как изменяются при этом параметры сжимаемой
жидкости (газа или пара)?
11 Какое устройство называется компрессором?
12 Индикаторная диаграмма идеального одноступенчатого поршневого компрессо-
ра.
13 Какие процессы предполагаются при сжатии газа в компрессоре? Какой из них
самый выгодный?
14 Как определяется теоретическая работа и теоретическая мощность привода ком-
прессора?
15 Дать описание многоступенчатого компрессора.
16 Для чего применяют многоступенчатые компрессоры? Их преимущества по
сравнению с одноступенчатыми.
6 Идеальные циклы тепловых двигателей и установок
6.1 Общие принципы построения идеальных циклов
тепловых двигателей и сравнительной оценки их экономичности
Тепловым двигателем называют
машину, служащую для преобразования
некоторой части подведенного количе-
ства тепла в работу.
В одних условиях, например, па-
росиловая установка (ПСУ) или газотур-
бинная установка (ГТУ), работающая по
так называемому замкнутому циклу, ра-
бочий процесс проводится в ряде специ-
альных устройств, образующих замкну-
тую систему – установку. В одном из
этих устройств, например, котле (ПСУ),
рабочее тело заимствует некоторое коли-
чество тепла от газообразных продуктов
сгорания используемого топлива. В дру-
гом же устройстве – конденсаторе рабо-
чее тело отдает определенную часть это-
го количества тепла жидкости, проте-
кающей через конденсатор. Этого рода
установки называют двигателями внеш-
него горения, хотя с термодинамической
точки зрения более важная особенность
этого класса двигателей состоит в том,
что в них рабочему телу отводится роль
посредника, совершающего круговой
процесс. Разумеется, что в этих условиях
температура рабочего тела значительно
ниже температуры газообразных про-
дуктов сгорания используемого топлива.
Идея Карно о двигателе, рабочем
телом которого были бы сами продукты
сгорания используемого топлива, была
осуществлена в двигателях внутреннего
сгорания. К этого рода двигателям следу-
ет отнести поршневые двигатели внут-
реннего сгорания (ДВС), газотурбинные
установки (ГТУ), работающие по так на-
зываемому разомкнутому циклу, воздуш-
но – реактивные двигатели (ВРД), ра-
кетные двигатели и т.д. В этих случаях
рабочее тело не совершает кругового
процесса, оно периодически (ДВС) или
непрерывно (лопаточные машины) обме-
нивается. Кроме того, в действительности
рабочие тела в той или иной мере удале-
ны от своего идеально-газового состоя-