Троян Е.Н., Бахтина И.А. Теплотехника

Подождите немного. Документ загружается.

N =

∑

а мольная доля i-гo компонента будет

равна N

/ N.

В соответствии с законом Аво-

гадро объемы моля любого газа при оди-

наковых р и Т, в частности при темпера-

туре и давлении смеси, одинаковы. По-

этому приведенный объем любого ком-

понента может быть вычислен как произ-

ведение объема моля µν

на число молей

этого компонента:

V м

Nv ,

а объем смеси – по формуле

V м vN ,

Тогда

и, следовательно, задание смеси газов

мольными долями равнозначно заданию

ее объемными долями.

Газовая постоянная смеси газов.

Просуммировав уравнения (1.11) для

всех компонентов смеси, получим:

∑∑

iii

TRmgpV

Учитывая (1.8), можно записать:

pV = mR

см

T, (1.14)

где

∑

iiсм

RgR

. (1.15)

Из уравнения (1.14) следует, что

смесь идеальных газов также подчиняет-

ся уравнению Клапейрона.

Поскольку в соответствии с (l.6)

R = 8314/ µ,

то из (1.15) следует, что газовая по-

стоянная смеси, Дж/(кг·К),

см

= 8314

∑

/ µ

. (1.16)

Кажущаяся молекулярная масса

смеси. Выразим формально газовую по-

стоянную смеси R

см

по формуле (1.6),

введя кажущуюся молекулярную массу

смеси µ

см

= 8314/ µ

см

. (1.17)

Сравнивая правые части соот-

ношений (1.16) и (1.17), найдем:

∑

см

(1.18)

Просуммировав соотношения (1.12) для

всех компонентов, заменив предварите-

льно V

, m

и R

их значения

ми, получим

выражение для кажущейся молекуляр-

ной массы смеси, заданной объемными

долями:

см

∑

. (1.19)

Соотношение между объемными

и массовыми долями. Из определения

массовых долей следует, что:

см

iii

=== .

Учитывая (1.19), получаем:

∑

. (1.20)

Поскольку

= V

/ V = N

/ N = N

∑

то

∑

Разделив числитель и знаменатель

правой и левой частей этой формулы на

массу смеси m, получим:

∑

)/(

. (1.21)

Примеры решения типовых задач

Задача 1.1

Дано:

изб

= 0,13 МПа

атм

= 90660 Па

t = 25 ˚С

Найти абсолютное давление пара в котле, если мано-

метр показывает Р

изб

= 0,13 МПа, а атмосферное давление

по ртутному барометру составляет Р

атм

= 90660 Па при тем-

пературе t = 25 ˚С.

Р – ?

Решение:

Показания ртутных барометров, манометров и вакуумметров приводят к темпера-

туре 0 ˚С по формуле:

= Р·(1 – 1,72 ⋅ 10

–4

·t),

где Р

– давление при температуре 0 ˚С; Р – давление при температуре t, ˚С; 1,72·10

–4

–

коэффициент объемного расширения ртути.

Из формулы Р

изб

= Р – Р

атм

находим:

Р = Р

атм

изб.

Показания барометра получено при температуре

t = 25 ˚С. Это показание необходимо

привести к 0 ˚С.

= Р·(1 – 1,72·10

–4

·t) = 90660·(1 – 1,72·10

–4

·25) = 90270 Па = 0,09 МПа.

Тогда абсолютное давление пара в котле:

Р = 0,09 + 0,13 = 0,22 МПа.

Задача 1.2

Дано:

= 56 кПа,

t = 20 ˚С;

атм

= 102,4 кПа,

t = 18 ˚С

Ртутный вакуумметр, присоединенный к сосуду

(рисунок 1.1), показывает разрежение Р

= 56 кПа при тем-

пературе ртути в нем t = 20 ˚С. Атмосферное давление по

ртутному барометру Р

атм

= 102,4 кПа при температуре ртути

t = 18 ˚С.

Определить абсолютное давление в сосуде.

Р – ?

Решение:

Рисунок 1.1.

Разрежение в сосуде , приведенное к 0 ˚С,

= 56·(1 – 1,72·10

-4

·20) = 55,8 кПа,

а атмосферное давление, приведенное к 0 ˚С,

атм

= 102,4·(1 – 1,72·10

-4

·18) = 102,1 кПа.

Из формулы Р

= Р

атм

– Р находим:

Р = Р

атм

– Р

= 102,1 – 55,8 = 46,3 кПа.

Задача 1.3

Дано:

l = 180 мм = 0,18 м

α = 30˚

ρ = 800 кг/ м

атм

= 1,02 бар =

= 1,05 ⋅ 10

Па

Для измерения малых избыточных давлений или раз-

режений применяются микроманометры. Принципиальная

схема этого прибора представлена на рисунке 1.2.

Определить абсолютное давление в воздухопроводе,

если длина l жидкости в трубке микроманометра, наклонен-

ной под углом α = 30˚, равна 180 мм.

Рабочая жидкость – спирт с плотностью ρ = 800

кг/м

. Показание барометра, приведенного к 0 ˚С, Р

атм

1,02 бар.

Р – ?

Решение:

Рисунок 1.2. – К задаче 1.3.

1 – воздухопровод; 2 – микромано-

метр, заполненный спиртом.

Абсолютное давление в воздухопроводе

Р = Р

атм

+ Р

изб

где Р

изб

= ρgh = ρ·g·l·sin α, тогда Р

изб

= Р

атм

+ ρ·g·l·sin α = 1,02 + 800·9,81·0,18·sin 30˚·10

-5

= 1,027 бар.

Задача 1.4

Дано:

V = 20 л = 0,02 м

= 10 МПа = 10⋅10

Па

= 15 ˚С

= 7,6 МПа = 7,6⋅10

Па

= 25 ˚С

О2

= 32 кг/ кмоль

Баллон с кислородом емкостью 20 л находится под

давлением 10 МПа при температуре 15 ˚С. После израсходо-

вания части кислорода давление понизилось до 7,6 МПа, а

температура до 10 ˚С.

Определить массу израсходованного кислорода.

∆

m – ?

Решение:

Из уравнения состояния идеального газа (1.4)

⋅

= .

Следовательно, до расходования кислорода его масса составляла

⋅

а после израсходования

⋅

Таким образом, расход кислорода













−⋅=−=∆

mmm

где R

О2

= 8314/ µ

, т.е.













−⋅

⋅

=∆

8314 T

;

616,010

27310

6,7

27315

8314

3202,0

=⋅













−

⋅

=∆m

кг.

Задача 1.5

Дано:

CO2

= 0,123;

CO2

= 44 кг/ кмоль

= 0,072;

О2

= 32 кг/ кмоль

= 0,805;

= 28 кг/ кмоль

P = 100 кПа = 10

Па

t = 800 ˚С

Объемный состав сухих продуктов сгорания топлива

(не содержащих водяных паров) следующий: 12,3% СО

7,2% О

, 80,5% N

Найти кажущуюся молекулярную массу смеси и га-

зовую постоянную, а также плотность и удельный объем

продуктов сгорания при давлении 100 кПа и температуре

800 ˚С.

см

, R

см

– ?

Решение:

Кажущуюся молекулярную массу определяем из уравнения (1.19)

см

∑

⋅

= r

СО2

·µ

СО2

+ r

·µ

+ r

·µ

0,123⋅44 + 0,072⋅32 + 0,805⋅28 = 30,3 кг/кмоль.

Газовую постоянную – из уравнения (1.17)

cм

= 8314/ µ

см

= 8314/ 30,3 = 274 Дж/(кг·К).

Удельный объем находим из уравнения состояния идеального газа (1.3)

см

= R

cм

·T/ Р = 274⋅(800 + 273)/ 10

= 2,94 кг/м

Находим плотность

см

= 1/ ν

см

= 1/ 2,94 = 0,34 кг/м

Задача 1.6

Дано:

= 0,3;

= 2 кг/кмоль

CO2

= 0,1;

CO2

= 44 кг/кмоль

= 0,6;

= 28 кг/кмоль

P = 0,1013 МПа =

= 0,1013⋅10

Па

t = 400 ˚С

Определить значение кажущейся молекулярной мас-

сы, газовой постоянной и плотности при температуре 400 ˚С

и давлении 0,1013 МПа. Смесь газов задана следующим

массовым составом: 30% Н

, 10% СО

, 60% N

см

, R

см

– ?

Решение:

Кажущуюся молекулярную массу определяем из уравнения (1.18)

838,5

6,0

1,0

3,0

∑

см

µµµ

кг/кмоль.

Газовую постоянную определяем из уравнения (1.17)

cм

= 8314/ µ

см

= 8314/ 5,838 = 1424 Дж/(кг·К).

Плотность находим из уравнения

⋅=

, т.к.

= .

106,0

)273400(1424

101013,0

+⋅

⋅

кг/м

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.7

Определить абсолютное давление в сосуде (рису-

нок 1.3), если показание присоединенного к нему ртутно-

го манометра равно 66,7 кПа, а атмосферное давление по

ртутному барометру составляет 100 кПа. Температура

воздуха в месте установки приборов рана 0 ˚С.

Ответ:

Р = 0,1667 МПа.

Рисунок 1.3. – К задаче 1.7.

Задача 1.8

Определить абсолютное давление пара в конденсаторе паровой турбины, если по-

казание присоединенного к нему ртутного вакуумметра равно 94 кПа, а показание ртутно-

го барометра, приведенное к 0 ˚С, 99,6 кПа. Температура воздуха в месте установки при-

боров t = 20 ˚С.

Ответ:

Р = 5,9 кПа.

Задача 1.9

Из ресивера 1 (рисунок 1.4) воздух поступа-

ет в коллектор двигателя 2. Разрежение в ресивере

измеряется вакуумметром с наклонной трубкой.

Угол наклона трубки к горизонтали 30˚, вакуум-

метр заполнен водой.

Определить абсолютное давление Р (Па) в

ресивере, если длина воды в трубке вакуумметра

300 мм, а давление окружающей среды 1000 гПа.

Ответ:

Р = 0,983⋅10

Па.

Рисунок 1.4. – К Задаче 1.9.

1 – ресивер; 2 – коллектор двигателя.

Задача 1.10

В баллоне, вместимостью 0,1 м

находится кислород при давлении 6 МПа и темпе-

ратуре 25 ˚С. После того, как из него была выпущена часть газа, показание манометра ста-

ло 3 МПа, а температура понизилась до 15 ˚С. Определить массу выпущенного и плот-

ность оставшегося в баллоне кислорода, если давление окружающей среды 1000 гПа.

Ответ:

∆m = 3,61 кг; ρ

= 41 кг/м

Задача 1.11

Генераторный газ имеет следующий объемный состав: 7% Н

; 2% СН

; 27,6% СО;

4,8% СО

; 58,6% N

Определить массовые доли, кажущуюся молекулярную массу, газовую постоян-

ную, плотность при температуре 15 ˚С и давлении 0,1 МПа.

Ответ:

= 0,005; g

CH4

= 0,012; g

= 0,289; g

CO2

= 0,079; g

= 0,615;

см

= 26,7 кг/кмоль; R

см

= 311 Дж/(кг·⋅К); ρ

cм

= 1,12 кг/м

Задача 1.12

Массовый состав смеси следующий: 18% СО

, 12% О

, 70% N

До какого давления нужно сжать эту смесь, находящуюся при нормальных услови-

ях, чтобы при температуре 180 ˚С 8 кг ее занимали объем, равный 4 м

Ответ:

Р = 0,24 МПа.

2 Первый закон термодинамики

2.1 Внутренняя энергия

Внутренняя энергия системы

включает в себя:

1) кинетическую энергию посту-

пательного, вращательного и колеба-

тельного движения частиц;

2) потенциальную энергию вза-

имодействия частиц.

Внутренняя энергия есть некото-

рая, однозначная функция состояния те-

ла, т.е. любых двух независимых пара-

метров, определяющих это состояние:

U =

(p, V); U =

(p, Т);

U =

(V, Т).

Внутренняя энергия сложной си-

стемы определяется суммой энергий от-

дельных ее частей, т.е. обладает свойст-

вом аддитивности. Величина

u = U/ m

называется удельной внутренней энергией

и представляет собой внутреннюю энер-

гию единицы массы вещества. Она вы-

ражается в Дж/кг.

Поскольку внутренняя энергия

есть функция состояния тела, то ее изме-

нение

∆

u в термодинамическом процессе

не зависит от характера процесса, а опре-

деляется только начальным и конечным

состояниями тела:

uuduu −==∆

∫

где u

— значение внутренней энергии в

начальном состоянии, а u

— в конечном.

Математически это означает, что беско-

нечно малое изменение внутренней энер-

гии du есть полный дифференциал и; ес-

ли выразить внутреннюю энергию в виде

функции удельного объема и темпера-

туры, то

+∂∂= dTTudu

)/(

dvdvdu

)/(+ . (2.1)

Внутренняя энергия идеального

газа, в котором отсутствуют силы взаи-

модействия между молекулами, не зави-

сит от объема газа или дав

ления

[ ,0)/( =∂∂

pu )/( ∂∂ = 0], а определя-

ется только его тем

пературой, поэтому

производная от внутренней энергии иде-

ального газа по температуре есть пол-

ная производная:

dTduTuTu

/)/()/( =∂∂=∂∂

. (2.2)

Для большинства задач техниче-

ской термодинамики важно не абсолют-

ное значение внутренней энергии, а ее

изменение в различных термодинамиче-

ских процессах. Поэтому начало отсчета

внутренней энергии может быть выбрано

произвольно. Например, внутреннюю

энергию идеальных газов принято счи-

тать равной нулю при t = 0 ˚C.

2.2 Работа деформации

Работа в термодинамике, так же

как и в механике, определяется про-

изведением действующей на рабочее тело

силы на путь ее действия.

Рассмотрим газ, заключенный в

цилиндре с подвижным поршнем площа-

дью F (рисунок 2.1). Если газу сообщить

некоторое количество теплоты, то он бу-

дет расширяться, совершая при этом ра-

боту против внешнего давления р, оказы-

ваемого на него поршнем. Газ действует

на поршень с силой, равной pF, и со-

вершает элементарную работу

L =pFdy,

перемещая поршень на расстояние dy. Но

Fdy представляет собой увеличение объ-

ема системы, следовательно,

L = pdV. (2.3)

При конечном изменении объема

∫

pdVL . (2.4)

Рисунок 2.1. – К определению ра-

боты деформации.

Работа L против сил внешнего

давления, связанная с изменением объема

системы, носит название работы дефор-

мации. Поскольку Р – величина положи-

тельная,

L и dV всегда имеют одинако-

вые знаки:

если dV > 0, то и

L > 0, т.е. при

расширении работа тела положительна,

при этом тело само совершает работу;

если же dV < 0, то и

L < 0, т. е.

при сжатии работа тела отрицательна: это

означает, что не тело совершает работу, а

на его сжатие затрачивается работа из-

вне.

Единицей измерения работы в СИ

является джоуль (Дж).

Отнеся работу деформации к 1 кг

массы рабочего тела, получим:

l = L/ m;

l =

L/ m = pdV/ m =

= pd(V/ m) = pdv. (2.5)

Величина l, представляющая со-

бой удельную работу, совершаемую сис-

темой, содержащей 1 кг газа, равна:

∫

pdvl . (2.6)

Поскольку в общем случае р – ве-

личина переменная, то интегрирование

возможно лишь тогда, когда известен за-

кон изменения давления p = p(v).

Формулы (2.3) – (2.6) справедливы

только для равновесных процессов, при

которых давление рабочего тела равно

давлению окружающей среды.

В термодинамике для исследова-

ния равновесных процессов широко ис-

пользуют р,v – диаграмму, в которой

осью абсцисс служит удельный объем, а

осью ординат – давление. Поскольку со-

стояние термодинамической системы оп-

ределяется двумя параметрами, то на

р,v – диаграмме оно изображается точ-

кой.

Рисунок 2.2. – Графическое изо-

бражени

е работы деформации в

р,v – координатах.

На рисунке 2.2 точка 1 соответст-

вует начальному состоянию системы,

точка 2 – конечному, а линия 12 – про-

цессу расширения рабочего тела от v

до

При бесконечно малом изменении

объема dv площадь заштрихованной вер-

тикальной полоски равна pdv =

l, следо-

вательно, работа процесса 12 изобража-

ется площадью, ограниченной кривой

процесса, осью абсцисс и крайними ор-

динатами. Таким образом, работа изме-

нения объема эквивалентна площади под

кривой процесса в диаграмме р,v.

Каждому пути перехода системы

из состояния 1 в состояние 2 (например,

12, 1а2 или 1b2) соответствует своя рабо-

та расширения: l

1b2

> l

1a2

> l

. Следова-

тельно, работа зависит от характера тер-

модинамического процесса, а не является

функцией состояния системы в отличие

от давления, температуры и т.д. С другой

стороны,

∫

pdv зависит от пути интегри-

рования, и, следова

тельно, элементарная

работа

l не является полным диффе-

ренциалом и не может быть представлена

соотношением, аналогичным (2.1).

Работа всегда связана с переме-

щением макроскопических тел в про-

странстве, например перемещением

поршня, деформацией оболочки, поэтому

она характеризует упо

рядоченную

(макрофизическую) форму передачи

энергии от одного тела к другому и явля-

ется мерой переданной энергии.

Поскольку величина

l пропор-

циональна увеличению объема, то в каче-

стве рабочих тел, предназначенных для

преобразования тепловой энергии в ме-

ханическую, целесообразно выбирать та-

кие, которые допускают значительное

увеличение объема. Этим качеством об-

ладают газы и пары жидкостей. Поэтому,

например, на тепловых электрических

станциях рабочим телом служат пары во-

ды, а в двигателях внутреннего сгорания

– газообразные продукты сгорания того

или иного топлива.

2.3 Теплота

Помимо макрофизической формы

передачи энергии – работы существует

также и микрофизическая, т.е. осуществ-

ляемая на молекулярном уровне форма

обмена энергией между системой и ок-

ружающей средой. В этом случае энергия

может быть передана системе без совер-

шения работы. Мерой количества пере-

данной энергии служит теплота.

Теплота может передаваться либо

непосредственным контактом между те-

лами (теплопроводностью, конвекцией),

либо на расстоянии (излучением), причем

во всех случаях этот процесс возможен

только при наличии разности температур

между телами.

Как будет показано ниже, элемен-

тарное количество теплоты

Q, так же

как и

L , не является полным дифферен-

циалом в отличие от дифференциала

внутренней энергии dU. За этой матема-

тической символикой скрыт глубокий

физический смысл различия понятий

внутренней энергии, теплоты и работы.

Внутренняя энергия – это свой-

ство самой системы, она характери

зует

состояние системы. Теплота и работа –

это энергетические характеристики про-

цессов механического и теплового взаи-

модействий системы с окружающей сре-

дой. Они характеризуют те количества

энергии, которые переданы системе через

ее границы в определенном процессе.

2.4 Аналитическое выражение первого закона термодинамики

Первый закон термодинамики

представляет собой частный случай все-

общего закона сохранения и превраще-

ния энергии применительно к тепловым

явлениям.

Закон сохранения и превращения

энергии является фундаментальным за-

коном природы, который получен на ос-

нове обобщения огромного количества

экспериментальных данных и применим

ко всем явлениям природы. Он утверж-

дает, что энергия не исчезает и не возни-

кает вновь, она лишь переходит из одной

формы в другую, причем убыль энергии

одного вида дает эквивалентное количе-

ство энергии другого вида.

Пусть некоторому рабочему телу с

объемом V и массой m, имеющему тем-

пературу Т и давление р, сообщается из-

вне бесконечно малое количество тепло-

ты

Q. В результате подвода теплоты те-

ло нагреется на dТ и увеличится в объеме

на dV.

Повышение температуры тела сви-

детельствует об увеличении кинетичес-

кой энергии его частиц. Увеличение объ-

ема тела приводит к увеличению рас-

стояния между молекулами. Так как меж-

ду молекулами реального газа существу-

ют силы взаимного притяжения, то это в

свою очередь ведет к увеличению потен-

циальной энергии частиц. В результате

внутренняя энергия тела увеличивается

на dU. Поскольку рабочее тело окружено

средой, которая оказывает на него давле-

ние, то при своем расширении оно про-

изводит механическую работу

против

сил внешнего давления. Так как никаких

других изменений в системе не про-

исходит, то по закону сохранения энер-

гии

Q = dU +

L, (2.7)

т.е. теплота, сообщаемая системе, идет на

приращение ее внутренней энергии и на

совершение внешней работы.

Полученное уравнение является

математическим выражением первого за-

кона термодинамики. Каждый из трех

членов этого соотношения может быть

положительным, отрицательным и рав-

ным нулю. Рассмотрим некоторые част-

ные случаи:

Q = 0 – теплообмен системы с

окружающей средой отсутствует, т.е. те-

плота к системе не подводится и от нее

не отводится. Процесс при отсутствии

теплообмена называется адиабатным.

Для него уравнение (2.7) принимает вид:

L = – dU. (2.8)

Следовательно, работа расшире-

ния, совершаемая системой в адиабатном

процессе, равна уменьшению внутренней

энергии данной системы. При адиабат-

ном сжатии рабочего тела затрачиваемая

извне работа целиком идет на увеличение

внутренней энергии системы.

L = 0 – при этом объем тела не

изменяется. Такой процесс называется

изохорным, для него

Q =

U, (2.9)

т.е. количество теплоты, подведенное к

системе при постоянном объеме, равно

увеличению внутренней энергии данной

системы.

3. dU = 0 – внутренняя энергия

системы не изменяется и

Q =

L, (2.10)

т.е. сообщаемая системе теплота перехо-

дит в эквивалентную ей внешнюю рабо-

ту.

Для системы, содержащей 1 кг

рабочего тела,

q = du +

l. (2.11)

Проинтегрировав уравнения (2.7)

и (2.11) для некоторого процесса, полу-

чим выражение первого закона термоди-

намики в интегральной форме:

Q =

∆

U + L и q =

∆

и + l, (2.12)

где

∆

U = U

– U

∆

u = u

– u

2.5 Теплоемкость газов и их смесей

Отношение количества теплоты

Q, полученного телом при бесконечно

малом изменении его состояния, к свя-

занному с этим изменению температуры

тела dT называется теплоемкостью тела

в данном процессе:

C =

Q/ dT.

Обычно величину теплоемкости

относят к единице количества вещества и

в зависимости от выбранной единицы

различают:

1) удельную массовую теплоем-

кость с, отнесенную к 1 кг газа и изме-

ряемую в Дж/(кг·К);

2) удельную объемную теплоем-

кость с', отнесенную к количеству газа,

содержащегося в 1 м

объема при нор-

мальных физических условиях, и изме-

ряемую в Дж/(м

·К);

3) удельную мольную теплоем-

кость

с, отнесенную к одному киломо-

лю и измеряемую в Дж/ (кмоль·К).

Зависимость между удельными

теплоемкостями устанавливается очевид-

ными соотношениями:

с =

с/

; с' =

с/ 22,4;

с' = с

. (2.13)

Здесь 22,4 м

– объем одного кило-

моля и плотность газа при нормальных

условиях.

Изменение температуры тела при

одном и том же количестве сообщаемой

теплоты зависит от характера происхо-

дящего при этом процесса, поэтому теп-

лоемкость является функцией процесса.

Это означает, что одно и то же рабочее

тело в зависимости от процесса требует

для своего нагревания на один градус

различного количества теплоты. Числен-

но величина с изменяется в пределах от

+∞ до – ∞.

В термодинамических расчетах

большое значение имеют:

теплоемкость при постоянном

давлении