Томусяк А.А., Трохименко В.С. Теорія ймовірностей
Подождите немного. Документ загружается.
M(Y
n
) = np, D(Y
n
) = npq.
Y
n
k
0
= [np + p]
n
P
n
(k
0
) = C
k
0
n
p
k
0
q
n−k
0
≈
1
√
npq
ϕ(x),
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−
x
2
2
, x
k
0
=
k
0
− np
√
npq
lim
n→∞
[np + p] − np
√
npq
= lim
n→∞
p − {np + p}
√
npq
= 0,
lim
n→∞
P
n
(k
0
) = 0,
n P
n
(k)
P
n
(k
0
)
n p
k
0
= [np + p]
n n = 5 p =
1
4
p =
1
2
p =
2
3
p =
3
4
Y
n
− np
A n
Y
n
(−σ; σ) (−2σ; 2 σ) (−3σ; 3σ) σ =
√
npq
Y
n
P (|Y
n
− np| < σ) = P (−
√
npq < Y
n
− np <
√
npq) =
= P
³
− 1 <
Y
n
− np
√
npq
< 1
´
≈ 2Φ(1) = 0, 6826;
P (|Y
n
− np| < 2σ) = P (−2
√
npq < Y
n
− np < 2
√
npq ) =
= P
³
− 2 <
Y
n
− np
√
npq
< 2
´
≈ 2Φ(2) = 0, 9544;
P (|Y
n
− np| < 3σ) = P (−3
√
npq < Y
n
− np < 3
√
npq) =
= P
³
− 3 <
Y
n
− np
√
npq
< 3
´
≈ 2Φ(3) = 0, 9972.
n = 1000 p =
1
2
P
1000
(k > 600) = P (Y
1000
> 600) = P (600 6 Y
1000
6 1000) =
= P (100 6 Y
1000
− 500 6 500) =
= P
µ
100
√
250
6
Y
1000
− 500
√
250
6
500
√
250
¶
≈ Φ(31, 62) − Φ(6, 32) ≈
≈ 1, 41 · 10
−6
. ¤
1
n
Y
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
,
k X
k
A n
M
³
1
n
Y
n
´
=
1
n
n
X
k=1
M(X
k
) = p,
D
³
1
n
Y
n
´
=
1
n
2
n
X
k=1
D(X
k
) =
pq
n
,
lim
n→∞
pq
n
= 0,
n
1
n
Y
n
p
A
A
f(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
,
a σ > 0
a σ
a
σ
2
f
0
(x) = −
x − a
σ
2
f(x)
(−∞; a) (a; +∞)
(−∞; a)
(a; +∞) x = a
1
σ
√
2π
=
σ
f
00
(x) = −
1
σ
2
f(x) −
x − a
σ
2
f
0
(x) =
(x − a)
2
− σ
2
σ
4
f(x)
(−∞; a −σ) (a + σ; +∞)
(a − σ; a + σ) (−∞; a − σ)
(a + σ; +∞) (a −σ; a +σ)
x = a x → ±∞
Ox
σ
σ
a
a = 0
σ =
1
2
, 1, 2 a = 0 σ = 1
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−
x
2
2
.
|x|
ϕ(1) = 0, 24197 ϕ(2) = 0, 053991 ϕ(3) = 0, 004432 ϕ(4) =
0, 000134 ϕ(5) = 0, 000016 ϕ(x)
X
a σ
Y =
1
σ
(X − a )
X
f(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
.
Y
F
Y
(x) = P (Y < x) = P (
1
σ
(X − a) < x) =
= P (X < σx + a) =
σx+a
Z
−∞
f(t) dt,
Y
f
Y
(x) = F
0
Y
(x) = f(σx + a) · σ =
1
√
2π
e
−
x
2
2σ
2
= ϕ(x). ¤
X
a σ
Y = αX + β α 6= 0
αa + β |α|σ
Y
F
Y
(x) = P (Y < x) = P (αX + β < x) =
=
P
µ
X <
x − β
α
¶
, α > 0,
P
µ
X >
x − β
α
¶
, α < 0.
F
Y
(x) =
x−β
α
Z
−∞
f(t) dt, α > 0,
F
Y
(x) = 1 −
x−β
α
Z
−∞
f(t) dt, α < 0.
f
Y
(x) = F
0
Y
(x) = f
µ
x − β
α
¶
1
α
=
1
ασ
√
2π
e
−
(x−αa−β)
2
2α
2
σ
2
,
α > 0
f
Y
(x) = −f
µ
x − β
α
¶
1
α
= −
1
ασ
√
2π
e
−
(x−αa−β)
2
2α
2
σ
2
,
α < 0
Y = αX + β
f
Y
(x) =
1
|α|σ
√
2π
e
−
(x−αa−β)
2
2α
2
σ
2
. ¤
X
1
, X
2
a
1
, σ
1
a
2
, σ
2
a
1
+
a
2
p
σ
2
1
+ σ
2
2
X
1
, X
2
, . . . , X
n
n
χ
2
= X
2
1
+ X
2
2
+ ··· + X
2
n
f
χ
2
(x, n) =
1
2
n
2
Γ
¡
n
2
¢
x
n
2
−1
e
−
x
2
, x > 0;
0, x 6 0,
Γ(α) =
+∞
R
0
x
α−1
e
−x
dx
n
M(χ
2
) = n D(χ
2
) = 2n
n m
n + m
t
X
χ
2
n
T =
X
q
1
n
χ
2
f
T
(x, n) =
Γ
¡
n+1
2
¢
³
1 +
x
2
n
´
−
n+1
2
Γ
¡
1
2
¢
Γ
¡
n
2
¢
√
n
.
t
n
M(T ) = 0
D(T ) =
n
n − 2
n > 2 n 6 2
F Y
n
n
Y
m
m Y
n
Y
m
F =
1
n
Y
n
:
1
m
Y
m
f
F
(x, n, m) =
Γ
¡
n+m
2
¢¡
n
m
¢
n
2
Γ
¡
n
2
¢
Γ
¡
m
2
¢
x
n
2
−1
³
1 +
nx
m
´
−
n+m
2
, x > 0,
0, x 6 0.
F (n, m)
M(F ) =
m
m − 2
m > 2 D(F ) =
2m
2
(n + m − 2)
n(m − 2)
2
(m − 4)
m > 4
1
F
F (m, n)
z F
F (n, m)
Z =
1
2
ln F
f
Z
(x, n, m) = 2
Γ
¡
n+m
2
¢¡
n
m
¢
n
2
Γ
¡
n
2
¢
Γ
¡
m
2
¢
e
nx
³
1 +
n
m
e
2x
´
−
n+m
2
.
z
M(Z) = 0 D(Z) =
n + m
2nm
[k −
1
2
; k +
1
2
] k = 0, 1, . . . , n
P (Y
n
= k)
a = np σ
2
= npq
f(x) =
1
√
2πnpq
e
−
(x−np)
2
2npq
.
Y
15
p = 0, 4
Y
15
P (Y
15
= k)
Y
15
P (Y
15
= k)
Y
15
P (Y
15
= k)