Томусяк А.А., Трохименко В.С. Теорія ймовірностей
Подождите немного. Документ загружается.
6
◦
D(X + Y ) = D(X) + D(Y ).
[a; b]
f(x) =
0 x < a,
1
b − a
a 6 x 6 b,
0 x > b.
M(X) =
+∞
Z
−∞
xf(x)dx =
b
Z
a
x
b − a
dx =
x
2
2(b − a)
¯
¯
¯
¯
b
a
=
=
b
2
− a
2
2(b − a)
=
a + b
2
,
D(X) =
+∞
Z
−∞
(x − M (X))
2
f(x)dx =
=
+∞
Z
−∞
µ
x −
a + b
2
¶
2
dx
b − a
=
1
3(b − a)
µ
x −
a + b
2
¶
3
¯
¯
¯
¯
¯
b
a
=
=
1
3(b − a)
µ
(b − a)
3
8
−
(a − b)
3
8
¶
=
(b − a)
2
12
.
M(X) = α D(X) = β
2
σ(X) = β
a + b
2
= α,
b − a
2
√
3
= β
a = α −
√
3β b = α +
√
3β
f(x) =
0 x < α −
√
3β,
1
2
√
3β
α −
√
3β 6 x 6 α +
√
3β,
0 x > α +
√
3β.
λ > 0
f(x) =
(
0 , x < a,
λe
−λx
, x > 0.
t
0
t
t
F (x) =
½
0 x < 0,
1 − e
−λx
x > 0,
x
0
> 0
P (X < x
0
+ x |X > x
0
) =
=
P (X > x
0
, X < x
0
+ x)
P (X > x
0
)
=
F (x
0
+ x) − F (x
0
)
1 − F (x
0
)
=
=
1 − e
−λ(x
0
+x)
− 1 + e
−λx
0
e
−λx
0
= 1 −e
−λx
= F (x).
M(X) =
+∞
Z
−∞
xf(x)dx =
+∞
Z
0
xλe
−λx
dx =
= lim
A→+∞
A
Z
0
xλe
−λx
dx = lim
A→+∞
³
− xe
−λx
¯
¯
¯
A
0
+
A
Z
0
e
−λx
dx
´
=
= lim
A→+∞
³
− Ae
−λx
−
1
λ
e
−λx
+
1
λ
´
=
1
λ
,
D(X) =
+∞
Z
−∞
(x − M (X))
2
f(x)dx =
+∞
Z
0
³
x −
1
λ
´
2
λe
−λx
dx =
=
+∞
Z
0
x
2
λe
−λx
dx −
1
λ
2
=
2
λ
2
−
1
λ
2
=
1
λ
2
.
a σ
f(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
.
+∞
Z
0
e
−
x
2
2
dx =
r
π
2
.
x f(x) > 0
x − a
σ
= t
+∞
Z
−∞
f(x)dx =
1
σ
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−
t
2
2
dt =
2
√
2π
+∞
Z
0
e
−
t
2
2
dt =
2
√
2π
r
π
2
= 1.
x − a
σ
= t
M(X) =
+∞
Z
−∞
x
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
(σt + a)e
−
t
2
2
dt =
=
σ
√
2π
+∞
Z
−∞
te
−
t
2
2
dt +
a
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−
t
2
2
dt = a.
+∞
R
−∞
te
−
t
2
2
dt = 0
D(X) =
+∞
Z
−∞
(x − a)
2
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
σ
2
√
2π
+∞
Z
−∞
t
2
e
−
t
2
2
dt =
=
2σ
2
√
2π
+∞
Z
0
t
2
e
−
t
2
2
dt =
2σ
2
√
2π
lim
A→+∞
A
Z
0
td
³
− e
−
t
2
2
´
=
=
2σ
2
√
2π
lim
A→+∞
³
− te
−
t
2
2
¯
¯
¯
A
0
+
A
Z
0
e
−
t
2
2
dt
´
=
2σ
2
√
2π
³
− lim
A→+∞
Ae
−
A
2
2
+
+∞
Z
0
e
−
t
2
2
dt
´
=
2σ
2
√
2π
r
π
2
= σ
2
.
a σ
X
λ P (X < M (X))
λ
X M(X)
Y = −5X + 2
a, b, c, d
F (x) =
a x 6 0,
b
√
x 0 < x 6
1
4
,
cx
2
1
4
< x 6
√
2
4
,
d x >
√
2
4
X
f(x) =
(
0 x < 0,
x
k
k!
e
−x
x > 0.
(X, Y )
f(x, y) =
(
1
2
sin(x + y) 0 6 x 6
π
2
, 0 6 y 6
π
2
,
0 .
X, Y
X Y
X +Y X −Y X ·Y X : Y
X Y
λ
1
λ
2
X + Y
X Y
X + Y X
2
+ Y
2
√
X
2
+ Y
2
•
•
•
•
p
A
X A
A
X
P 1 − p p
X
i
X
i
X
1
, X
2
, . . . , X
n
, . . . ,
Y
n
n
Y
n
A n
Y
n
= X
1
+ X
2
+ ··· + X
n
0, 1, 2, . . . , n Y
n
= k
k X
1
, X
2
, . . . , X
n
n − k
n (X
1
, X
2
, . . . , X
n
)
k n −k
X
1
, X
2
, . . . , X
n
p
k
(1 − p)
n−k
k n − k n
P (Y
n
= k) = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
.
n p
(k + 1)
(q + p)
n
=
n
X
k=0
C
k
n
q
n−k
p
k
.
n = 5 p =
1
4
;
1
2
;
2
3
;
3
4
Y
5
P (Y
5
= k)
Y
5
P (Y
5
= k)
Y
5
P (Y
5
= k)
Y
5
P (Y
5
= k)
n = 5 p =
1
4
;
1
2
;
2
3
;
3
4