Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

471

Èç ôîðìóë (15.3.3) è (15.3.4) ìîæíî ïîëó÷èòü îñíîâíûå çàêî-

íû èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà: çàêîí Ñòåôàíà—Áîëüöìà-

íà (13.8.10), çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà (13.8.13), âòîðîé çàêîí Âèíà

(13.8.14), à òàêæå êëàññè÷åñêèé çàêîí Ðýëåÿ — Äæèíñà (15.3.1) (ïðè

ìàëûõ ÷àñòîòàõ hkTν  ).

Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ðàâíà

dd.Rr

λλ

∞∞

=λ=ελ

∫∫

(15.3.5)

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (15.3.3) â ôîðìóëó (15.3.5):

exp 1

Rhc

∞

=π





λ−









∫

(15.3.6)

Ïðîèçâåäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ

(ñîîòâåòñòâåííî

kTx

λ= ,

dd),

kTx

λ=− ïîëó÷àåì:

43 43

32 32

2d2d

e1 e1

kxxkxx

RT T

hc hc

∞

ππ

=− =

−−

∫∫

(15.3.7)

Âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýòîì âûðàæåíèè äàåò

∞

−

∫

Òîãäà èç ôîðìóëû (15.3.7) ïîëó÷àåì çàêîí Ñòåôàíà—Áîëüöìàíà

RT=σ (15.3.8)

è çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñòåôàíà—Áîëüöìàíà:

Вт м К

824

5,67032 10 /( ).

−

σ== ⋅ ⋅ (15.3.9)

Ôóíêöèÿ (15.3.3) [è ñîîòâåòñòâåííî (15.3.4)] èìååò ìàêñèìóì. Ïðî-

äèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (15.3.3) ïî äëèíå âîëíû λ è ïðèðàâíÿåì ïî-

ëó÷åííîå âûðàæåíèå íóëþ:

max

d11

exp 1





=π − ⋅ +







−









max

exp

exp 1













+⋅ =









−













(15.3.10)

§ 15.3. Ôîðìóëà Ïëàíêà

472

max

exp

50,

exp 1







−+ ⋅ =



−





(15.3.11)

ãäå

max

— äëèíà âîëíû, íà êîòîðîé ôóíêöèÿ (15.3.3) ïðèíèìàåò ìàêñè-

ìàëüíîå çíà÷åíèå. Îáîçíà÷èâ

max

ïîëó÷àåì òðàíñöåíäåíòíîå

óðàâíåíèå:

e5(e1)0,

x −−= (15.3.12)

ðåøåíèå êîòîðîãî

4,965.x = Òîãäà èç

max

4,965

èìååì çàêîí ñìå-

ùåíèÿ Âèíà:

max 1

,Tcλ= (15.3.13)

ãäå

мК

2,897790 10

4,965

−

== ⋅⋅ (15.3.14)

íàçûâàåòñÿ ïåðâîé ïîñòîÿííîé Âèíà.

×òîáû íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè (15.3.3,) âûðàçèì

max

èç ôîðìóëû (15.3.13) è ïîäñòàâèì â (15.3.3). Ïîëó÷àåì âòîðîé çàêîí Âèíà:

()

max 2

,TcTε= (15.3.15)

ãäå

Вт м К

525

1,28667 10 /

(e 1)

−

==⋅⋅

−

(15.3.16)

íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïîñòîÿííîé Âèíà.

Ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ ( hkTν  èëè / 1),hkTν  ñîãëàñíî ôîðìóëàì

ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé (ñì. ïðèëîæåíèå),

exp 1

kT kT

νν



≈+





. Òîãäà

ôîðìóëà (15.3.4) ïðèíèìàåò âèä:

()

,,TkT

πν

εν = (15.3.17)

òî åñòü ñâîäèòñÿ ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó Ðýëåÿ — Äæèíñà.

§ 15.4. ÔÎÒÎÝÔÔÅÊÒ. ÊÎÐÏÓÑÊÓËßÐÍÛÅ

ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÑÂÅÒÀ

Âòîðàÿ ãðóïïà ÿâëåíèé, êîòîðóþ óäàëîñü îïèñàòü ñ ïîìîùüþ

êâàíòîâûõ ïðåäñòàâëåíèé,— ýòî ñòðîåíèå àòîìà, äèñêðåòíîå èçëó-

Ãëàâà 15. Àòîìíàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

473

÷åíèå è ïîãëîùåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, à òàêæå çàêîíû

ôîòîýôôåêòà.

Ô î ò î ý ô ô å ê ò çàêëþ÷àåòñÿ â ïîÿâëåíèè ñâîáîäíûõ ýëåêò-

ðîíîâ (ýìèññèÿ èëè èîíèçàöèÿ àòîìîâ) ïðè âçàèìîäåéñòâèè ýëåê-

òðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ ñ âåùåñòâîì — òàê íàçûâàåìûé âíåøíèé

ôîòîýôôåêò, èëè â ïåðåõîäå ýëåêòðîíîâ èç îäíîé ýíåðãåòè÷åñêîé

çîíû â äðóãóþ — âíóòðåííèé ôîòîýôôåêò.

ßâëåíèå âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà áûëî îòêðûòî Ãóñòàâîì Ãåð-

öåì è èññëåäîâàíî À. Ã. Ñòîëåòîâûì â 1888—1890 ãîäàõ. Èññëåäî-

âàíèÿ âûÿâèëè îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ôîòîýôôåêòà:

1. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âûáèâàåìûõ ýëåêòðîíîâ (ôîòîýëåêò-

ðîíîâ) íå çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè îñâåùåíèÿ è ëèíåéíî âîçðà-

ñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû ñâåòà.

2. Íåçàâèñèìî îò èíòåíñèâíîñòè ñâåòà ôîòîýôôåêò íà÷èíàåò-

ñÿ òîëüêî ñ íåêîòîðîé ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòû, íàçâàííîé «êðàñíîé

ãðàíèöåé ôîòîýôôåêòà», ñïåöèôè÷íîé äëÿ êàæäîãî ìåòàëëà.

3. ×èñëî ýëåêòðîíîâ, âûáèâàåìûõ ñ ïîâåðõíîñòè âåùåñòâà çà

åäèíèöó âðåìåíè (ôîòîòîê), ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè îñ-

âåùåíèÿ.

4. ßâëåíèå ôîòîýôôåêòà ïðàêòè÷åñêè áåçûíåðöèîííî, âîçíè-

êàåò ïî÷òè ìãíîâåííî ïîñëå íà÷àëà îñâåùåíèÿ (íå áîëåå ÷åì ÷åðåç

–8

ñ) è ïðåêðàùàåòñÿ ñðàçó ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ îñâåùåíèÿ.

Åñëè âûáèâàíèå ýëåêòðîíîâ ìîæíî áûëî îáúÿñíèòü äåéñòâèåì

ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñâåòà, ÷òî ïîäòâåðæäàëî åãî

âîëíîâóþ ïðèðîäó, òî çàêîíîìåðíîñòè ôîòîýôôåêòà íå ïîä÷èíÿ-

ëèñü âîëíîâîé òåîðèè. Òàê, ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà äîëæíà âîçáóæ-

äàòü êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ àìïëèòóäîé, çàâèñÿùåé îò àìïëèòóäû

ïàäàþùåé âîëíû. Íî òàê êàê èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà êâàä-

ðàòó àìïëèòóäû, òî ýíåðãèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñêîðîñòü âûáèâàå-

ìûõ ýëåêòðîíîâ äîëæíû áûëè áû çàâèñåòü îò èíòåíñèâíîñòè îñâå-

ùåíèÿ. Âîëíîâàÿ òåîðèÿ íå ìîãëà îáúÿñíèòü ïðîïîðöèîíàëüíîñòü

ñêîðîñòè ýëåêòðîíîâ è ÷àñòîòû ñâåòà, ñóùåñòâîâàíèå êðàñíîé ãðà-

íèöû ôîòîýôôåêòà. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, ýëåêòðîí äîëæåí ïîñòå-

ïåííî íàêàïëèâàòü ýíåðãèþ, íåîáõîäèìóþ äëÿ âûõîäà. Êàê ïîêà-

çûâàþò ðàñ÷åòû, ôîòîýôôåêò äîëæåí íàñòóïàòü ÷åðåç ìèíóòû, ÷àñû

èëè äàæå äíè ïîñëå íà÷àëà îñâåùåíèÿ.

Îáúÿñíåíèå ôîòîýôôåêòà äàë â 1905 ãîäó Àëüáåðò Ýéíøòåéí,

íà îñíîâàíèè ñäåëàííîãî èì ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ñâåò ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ÷àñòèö — ôîòîíîâ ñ ýíåðãèåé hν. Åñëè Ìàêñ

Ïëàíê ñ÷èòàë, ÷òî ýíåðãèÿ òîëüêî ïîãëîùàåòñÿ è èñïóñêàåòñÿ êâàí-

òàìè, à ëþáàÿ ñèñòåìà ìîæåò èìåòü ïðîèçâîëüíóþ ýíåðãèþ, òî

Ýéíøòåéí ïðåäïîëîæèë, ÷òî è ñâåò èìååò äèñêðåòíóþ ñòðóêòóðó,

à êàæäûé ôîòîí ìîæåò âçàèìîäåéñòâîâàòü òîëüêî ñ îäíèì ýëåêò-

ðîíîì, ïîëíîñòüþ îòäàâàÿ åìó ñâîþ ýíåðãèþ.

§ 15.4. Ôîòîýôôåêò. Êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ñâåòà

474

Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà

äëÿ âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà:

max

hAν= +

(15.4.1)

òî åñòü ýíåðãèÿ ôîòîíà hν ðàñõîäóåòñÿ íà ðàáîòó âûõîäà ýëåêòðîíà

èç îáëó÷àåìîãî âåùåñòâà

AeU

— ïîòåíöèàë âûõîäà) è íà

êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âûëåòàþùèõ ýëåêòðîíîâ

. Èç ôîðìóëû

(15.4.1) âèäíî, ÷òî âíåøíèé ôîòîýôôåêò âîçìîæåí ïðè ÷àñòîòå

èçëó÷åíèÿ .Ah

ν≥

Ïðè óìåíüøåíèè ÷àñòîòû ν äî íåêîòîðîé

,Ah

ν=

(15.4.2)

íàçûâàåìîé êðàñíîé ãðàíèöåé ôîòîýôôåêòà, ÿâëåíèå ïðåêðàùàåò-

ñÿ. Ýòîìó ïðåäåëüíîìó ñëó÷àþ ñîîòâåòñòâóåò íóëåâàÿ êèíåòè÷å-

ñêàÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíîâ.

Òàêèì îáðàçîì, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷å-

íèå èìååò äâîéñòâåííóþ êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâóþ ïðèðîäó. Êîð-

ïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà èçëó÷åíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â ôîòîýôôåêòå,

îïðåäåëÿþò ìàññó è èìïóëüñ êâàíòà ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷å-

íèÿ — ôîòîíà. Èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìàññîé è ýíåðãèåé

Emc= (15.4.3)

íàõîäèì ìàññó ôîòîíà

(15.4.4)

è åãî èìïóëüñ

Pmc

===

(15.4.5)

Ôîòîíû âîçíèêàþò (èçëó÷àþòñÿ) â ïðîöåññàõ ïåðåõîäà ìîëå-

êóë, àòîìîâ, èîíîâ, ÿäåð èç âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé â ñîñòîÿíèÿ

ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé, à òàêæå â ðåçóëüòàòå óñêîðåíèÿ çàðÿæåííûõ

÷àñòèö è èõ àííèãèëÿöèè.

§ 15.5. ÂÎËÍÎÂÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ×ÀÑÒÈÖ.

ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÅ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÅÉ

Ê ìîìåíòó âûäâèæåíèÿ ãèïîòåçû î äâîéñòâåííîé ïðèðîäå ñâå-

òà áûëî íàêîïëåíî äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ

äàííûõ, ïîäòâåðæäàþùèõ ýòó òåîðèþ. Â 1924 ãîäó ôðàíöóçñêèé

ôèçèê Ëóè-Âèêòîð äå Áðîéëü ïðåäïîëîæèë, ÷òî íå òîëüêî ôîòî-

Ôîðìóëà (15.4.1) ñîîòâåòñòâóåò íåðåëÿòèâèñòñêîìó ñëó÷àþ, òî åñòü ñïðàâåä-

ëèâà ïðè ñêîðîñòÿõ ýëåêòðîíà, íàìíîãî ìåíüøèõ ñêîðîñòè ñâåòà (

vc

Ãëàâà 15. Àòîìíàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

475

íû, íî è ëþáûå äâèæóùèåñÿ ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû (ýëåêòðîíû,

íóêëîíû è òîìó ïîäîáíîå) îáëàäàþò êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûìè

ñâîéñòâàìè (ãèïîòåçà îá óíèâåðñàëüíîñòè êîðïóñêóëÿðíî-âîëíî-

âîãî äóàëèçìà). Íà òîò ìîìåíò ýòà ñìåëàÿ ãèïîòåçà íå áûëà ïîä-

òâåðæäåíà íèêàêèìè ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.

Ïî äå Áðîéëþ äâèæåíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû ïîäîáíî âîë-

íîâîìó ïðîöåññó. È, ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà âîëíû ÷àñòèöû, äâèæó-

ùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v,— äëèíû âîëíû äå Áðîéëÿ, ïî àíàëîãèè ñ ôîð-

ìóëîé (15.4.5) ðàâíî

pmv

λ= =

(15.5.1)

ãäå ò — ìàññà ÷àñòèöû

Ãèïîòåçà äå Áðîéëÿ áûëà ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíà

â 1927 ãîäó â îïûòàõ àìåðèêàíñêèõ ôèçèêîâ Êëèíòîíà Äýâèññîíà

è Ë. Äæåðìåðà, à òàêæå íåçàâèñèìî îò íèõ àíãëèéñêèì ôèçèêîì

Äæîðäæåì Òîìïñîíîì. Èçó÷àÿ ðàññåÿíèå ïó÷êà ýëåêòðîíîâ íà

êðèñòàëëå íèêåëÿ, ó÷åíûå îáíàðóæèëè äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó,

ïîäîáíóþ òîé, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè äèôðàêöèè íà êðèñòàëëå

êîðîòêîâîëíîâîãî ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ. Âû÷èñëåííàÿ èç óñëî-

âèÿ äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà äëèíà âîëíû ýëåêòðîíîâ ñîâïàëà

ñ äëèíîé âîëíû, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå äå Áðîéëÿ (15.5.1).

Â 1948 ãîäó ñîâåòñêèìè ó÷åíûìè Â. Ôàáðèêàíòîì, Ë. Áèáåðìà-

íîì è Í. Ñóøêèíûì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè

îáëàäàåò íå òîëüêî ïó÷îê, íî è îòäåëüíûå ýëåêòðîíû. Â ñâîèõ îïû-

òàõ îíè èñïîëüçîâàëè íàñòîëüêî ñëàáûé ïó÷îê ýëåêòðîíîâ, ÷òî ñðåä-

íåå âðåìÿ ìåæäó èñïóñêàíèåì äâóõ ýëåêòðîíîâ â 30 000 ðàç ïðåâû-

øàëî âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç óñòðîéñòâî îäíîãî ýëåêòðîíà.

Äèôðàêöèÿ ýëåêòðîíîâ è âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì äèôðàêöèîí-

íàÿ êàðòèíà íå îçíà÷àþò, ÷òî êàæäûé ýëåêòðîí «ðàçìàçûâàåòñÿ»

ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Îí âåäåò ñåáÿ êàê öåëàÿ ÷àñòèöà, íî âåðî-

ÿòíîñòü åãî îòêëîíåíèÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ ïðåïÿòñòâèåì çàâè-

ñèò îò íàïðàâëåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ ìàêñèìàëüíà ïî òåì

íàïðàâëåíèÿì, ãäå, ñîãëàñíî ðàñ÷åòàì, äîëæíû áûòü ìàêñèìóìû

äèôðàêöèè, è ìèíèìàëüíà ïî íàïðàâëåíèÿì ìèíèìóìîâ.

Èòàê, ñîãëàñíî êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, îäíè

è òå æå ìèêðîîáúåêòû â îäíèõ ñëó÷àÿõ âåäóò ñåáÿ êàê ÷àñòèöû,

â äðóãèõ — êàê âîëíû. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ÷àñòèö âîîáùå íå ìî-

ãóò áûòü îïèñàíû íè êîðïóñêóëÿðíîé, íè âîëíîâîé òåîðèÿìè, à òðå-

áóþò ââåäåíèÿ ñîâåðøåííî íîâûõ ïîíÿòèé.

Ñîãëàñíî çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè âñÿêîå ìàêðîñêîïè-

÷åñêîå òåëî, äâèæóùååñÿ âäîëü îñè x, â ëþáîé ìîìåíò èìååò îïðå-

Ôîðìóëà (15.5.1) ñîîòâåòñòâóåò íåðåëÿòèâèñòñêîìó ñëó÷àþ, òî åñòü ñïðàâåä-

ëèâà ïðè ñêîðîñòÿõ ÷àñòèöû, íàìíîãî ìåíüøèõ ñêîðîñòè ñâåòà (

vc

§ 15.5. Âîëíîâûå ñâîéñòâà ÷àñòèö. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé

476

äåëåííîå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû x öåíòðà òÿæåñòè è îáëàäàåò îïðå-

äåëåííûì èìïóëüñîì .

Pmv

Â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òàêîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö, îáëà-

äàþùèõ âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì. Èì-

ïóëüñ ÷àñòèöû íå ñâÿçàí ñ åå êîîðäèíàòàìè, òàê êàê ïîíÿòèå «êî-

îðäèíàòà âîëíû» íå èìååò ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Ïîýòîìó ïîíÿòèå

òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðîé êàæäîìó çíà÷åíèþ êîîðäèíàò

ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîå çíà÷åíèå åå èìïóëüñà, òàêæå ëèøåíî ôèçè-

÷åñêîãî ñìûñëà

Íåòî÷íîñòü (íåîïðåäåëåííîñòü) ∆x â îïðåäåëåíèè êîîðäèíàòû

÷àñòèöû x ñâÿçàíà ñ íåòî÷íîñòüþ (íåîïðåäåëåííîñòüþ) ∆P

â îïðå-

äåëåíèè ïðîåêöèè P

åå èìïóëüñà ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñ-

òåé Ãåéçåíáåðãà

∆∆ ≥

(15.5.2)

è ñîîòâåòñòâåííî äëÿ äâèæåíèÿ âäîëü îñåé y è z

;

∆∆ ≥

(15.5.3)

Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé âèäíî, ÷òî ÷åì ìåíüøå ∆x, òî åñòü ÷åì

òî÷íåå îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòà ÷àñòèöû, òåì áîëüøå ∆P

, òî åñòü

áîëåå íåîïðåäåëåííûì ñòàíîâèòñÿ èìïóëüñ ÷àñòèöû. Ñïðàâåäëèâî

è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Òàê êàê â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäå-

ëåííîñòåé ∆x è ∆P

íå ìîãóò îäíîâðåìåííî ðàâíÿòüñÿ íóëþ, òî

îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó ìèêðî÷àñòèö ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî

îäíîâðåìåííî îïðåäåëèòü òî÷íûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà.

Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïðèíöèïå íåîïðåäåëåííîñòè ìîæ-

íî ïîëó÷èòü, åñëè ïðîâåñòè àíàëîãèþ ìåæäó íèì è äèôðàêöèåé

ñâåòà íà ùåëè. Èç ôîðìóëû (13.3.3) ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè

øèðèíû ùåëè (â íàøåì ñëó÷àå — óâåëè÷åíèè ∆x) øèðèíà äèô-

ðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ óìåíüøàåòñÿ, òî åñòü óìåíüøàåòñÿ íå-

îïðåäåëåííîñòü â èìïóëüñå ÷àñòèö.

Ïîäîáíûå ñîîòíîøåíèÿ ñóùåñòâóþò è ìåæäó äðóãèìè ïàðàìè

ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îòíîñÿùèõñÿ ê ìèêðî÷àñòèöàì. Íàïðèìåð,

åñëè ìèêðî÷àñòèöà â òå÷åíèå âðåìåíè ∆t íàõîäèòñÿ â íåñòàöèî-

íàðíîì ñîñòîÿíèè, òî ýíåðãèÿ E ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü îï-

ðåäåëåíà ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî ∆E, òàê êàê

∆∆≥

(15.5.4)

Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòåé îòêðûò â 1927 ãîäó íåìåöêèì ôèçèêîì Âåðíå-

ðîì Ãåéçåíáåðãîì.

Ãëàâà 15. Àòîìíàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

477

Åñëè ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì ýíåð-

ãèè Å (∆E = 0), îíà áóäåò íàõîäèòüñÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè íåîïðåäå-

ëåííî äîëãîå âðåìÿ, ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå ,t∆→∞ ÷òî è áó-

äåò ñòàöèîíàðíûì ñîñòîÿíèåì.

§ 15.6. ÂÎËÍÎÂÀß ÔÓÍÊÖÈß.

ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ØÐÅÄÈÍÃÅÐÀ

Ïîñêîëüêó äâèæåíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû óïîäîáëÿåòñÿ âîë-

íîâîìó ïðîöåññó, òî åå ñîñòîÿíèå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïèñûâà-

åòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè:

()

,,, ,xyztψ íà-

çûâàåìîé â î ë í î â î é èëè ï ñ è-ô ó í ê ö è å é. Â ñòàöèîíàðíîì

ñëó÷àå, òî åñòü åñëè ñèëîâîå ïîëå, äåéñòâóþùåå íà ÷àñòèöó, íå

çàâèñèò îò âðåìåíè, ìîæíî ïðîèçâåñòè ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ

è âîëíîâóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâèòü â âèäå

()()()

,,, ,, .xyzt ft xyzψ=ψ (15.6.1)

Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé õàðàêòåðèñòèêîé

ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû. Ñîãëàñíî ñòàòèñòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè âîëí

äå Áðîéëÿ, âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ dW ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ìà-

ëîì îáúåìå dddd,Vxyz

â ïðåäåëàõ êîòîðîãî çíà÷åíèå ψ-ôóíê-

öèè ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì, ïðîïîðöèîíàëüíà îáúåìó è çàâè-

ñèò îò êâàäðàòà ìîäóëÿ ψ-ôóíêöèè:

dd,WV=ψ (15.6.2)

îòêóäà ñëåäóåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âîëíîâîé ôóíêöèè:

ψ=

(15.6.3)

òî åñòü êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ðàâåí ïëîòíîñòè âåðî-

ÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â îáúåìå dV. Èç ôîðìóëû (15.6.2)

íàõîäèì âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì çàäàííîì

îáúåìå

*:V

WV=ψ

∫

(15.6.4)

Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû âî âñåì îáúåìå V ðàâíà åäè-

íèöå (÷àñòèöó âñåãäà ìîæíî â ýòîì îáúåìå íàéòè):

§ 15.6. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

478

d1.

WV=ψ =

∫

(15.6.5)

Óñëîâèå (15.6.5) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè.

Âèä ôóíêöèè ψ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ è âçàèìîäåé-

ñòâèÿ ìèêðî÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

êâàíòîâîé ìåõàíèêè — óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Â ñëó÷àå ñòàöèîíàð-

íûõ ñîñòîÿíèé äâèæåíèÿ ÷àñòèöû óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä:

()

222 2

2222

ddd8

,, 0,

ddd

EUxyz

xyzh

ψψψπ



+++ − ψ=



(15.6.6)

ãäå Å — ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû; U — åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ,

îïðåäåëÿåìàÿ ñèëîâûì ïîëåì, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà.

Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

()

,, ,xyzψ íàçûâàåìûå ñîáñòâåííû-

ìè ôóíêöèÿìè, ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ

ýíåðãèè Å

, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Íàáîð

ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îáðàçóåò ý í å ð ã å ò è ÷ å ñ ê è é ñ ï å ê ò ð

÷àñòèöû.

Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå (÷àñòèöà ïåðåìåùàåòñÿ òîëüêî âäîëü îñè

OX) óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä:

()

EUx

ψπ



+−ψ=



(15.6.7)

Îäíèì èç ñàìûõ ïðîñòûõ

ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíå-

íèÿ Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à

î äâèæåíèè ÷àñòèöû â îäíîìåðíîé

ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå.

Ïóñòü ìèêðî÷àñòèöà ñâîáîäíî

äâèæåòñÿ â ïðåäåëàõ ïîòåíöèàëü-

íîé ÿìû øèðèíîé l, îãðàíè÷åí-

íîé ïîëíîñòüþ îòðàæàþùèìè

áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ïîòåíöè-

àëüíûìè ñòåíêàìè. Â ïðîìåæóò-

êå 0 xl

ïîòåíöèàë 0U

(âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà íà ÷àñ-

òèöó íå äåéñòâóþò ñèëîâûå

ïîëÿ), à â òî÷êàõ 0x

=∞

(òàì ÷àñòèöû íåò)

(ðèñ. 15.6.1). Òîãäà óðàâíåíèå

Øðåäèíãåðà (15.6.7) ñ ó÷åòîì

äëÿ èíòåðâàëà

0 xl

ïðèìåò âèä:

Ðèñ. 15.6.1. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåð-

ãèè E

÷àñòèöû â îäíîìåðíîé ïðÿìî-

óãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå

Ãëàâà 15. Àòîìíàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

479

ψπ

+ψ=

(15.6.8)

Óðàâíåíèå (15.6.8) ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê âèäó, àíàëîãè÷íîìó äèôôå-

ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé:

+ωψ= (15.6.9)

ãäå

ω= (15.6.10)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.6.9) èìååò âèä:

sin ( ),xψ=ψ ω +ϕ (15.6.11)

ãäå

ψ — àìïëèòóäà âîëíîâîé ôóíêöèè;

ϕ — åå íà÷àëüíàÿ ôàçà.

×òîáû íàéòè

ψ è

âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïðè

0x = 0ψ=

(0) sin 0,ψ=ψ ϕ= (15.6.12)

îòêóäà ïîëó÷àåì:

0ϕ= (15.6.13)

(åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå, èìåþùåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë).

Èç óñëîâèÿ xl=

ψ=

ñ ó÷åòîì, ÷òî

0,ϕ= ïîëó÷àåì:

() sin 0,llψ=ψ ω= (15.6.14)

,lnω=±π 1, 2, 3,n = … 0n ≠ (15.6.15)

(0n ≠ , òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ x 0,ψ= òî åñòü

÷àñòèöû íèãäå íåò).

Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (15.6.10) è (15.6.15), ïîëó÷àåì çíà÷åíèå

ýíåðãèè E

= (15.6.16)

Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (15.6.13) è (15.6.15) óðàâíåíèå (15.6.11) ñâîäèòñÿ ê

âèäó:

sin .

ψ=ψ

(15.6.17)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà ψ

âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì íîðìè-

ðîâêè (15.6.5), êîòîðîå äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:

§ 15.6. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

480

sin d 1.

ψ=

∫

(15.6.18)

Íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ

îáðàùàåòñÿ â íîëü. Â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìîæíî

âû÷èñëèòü, óìíîæèâ ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà äëèíó

ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ñèíóñà ðàâíî 1/2,

òî åñòü

sin ;

sin d .

xx l

∫

Ïîëó÷àåì:



ψ=





(15.6.19)

îòêóäà

ψ= (15.6.20)

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.6.8) èìååò âèä:

sin ,

ψ=

(15.6.21)

à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû ðàâíû

(15.6.22)

Èç ôîðìóëû (15.6.22) ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïðèíèìàåò äèñêðåò-

íûå çíà÷åíèÿ (òî åñòü êâàíòîâàíà), ïðîïîðöèîíàëüíûå êâàäðàòó

öåëîãî ÷èñëà n, íàçûâàåìîãî ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì (ñì. § 15.7).

Ñïåêòð ýíåðãèé ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé ÿìå ïîêàçàí íà

ðèñ. 15.6.1.

Âû÷èñëèì ðàçíîñòü ìåæäó ñîñåäíèìè ýíåðãåòè÷åñêèìè óðîâ-

íÿìè:

() ()

222

121

888

nh nh

EE E

ml ml ml

∆= − = − =

(15.6.23)

Ðàññ÷èòàåì çíà÷åíèå ∆E äëÿ íåêîòîðûõ ñëó÷àåâ. Ïðè 1n

10l

−

(òàêàÿ øèðîêàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà ñîîòâåòñòâóåò ñëó-

÷àþ äâèæåíèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå)

Дж э

33 14

1, 81 10 10 В.E

−−

∆= ⋅ ≈

Ãëàâà 15. Àòîìíàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà