Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ТА МАТЕМАТИЧНА

СТАТИСТИКА

Навчально-методичний посібник

для самостійного вивчення дисципліни

Посібник охоплює всі основні питання навчальної програми курсу теорії ймовірнос-

тей та математичної статистики. Згідно з основними програмними темами матеріал розби-

то на п’ять розділів, усі підрозділи яких побудовано за єдиним принципом. Спочатку стис-

ло подаються головні теоретичні відомості (визначення, формули, теореми та ін.), далі

пропонуються докладні приклади розв’язування

типових задач і нарешті — велика добірка

вправ для самостійного розв’язування, до кожної з яких наведено відповідь.

Наприкінці вміщено варіанти завдань для блочно-модульного контролю знань, а

також довідкові додатки та список рекомендованої літератури.

Призначений для студентів економічних спеціальностей.

Передмова

Майже 400 років тому Галілео Галілей говорив, що філософію

написано у грандіозній книзі — природі, яка завжди відкрита для

всіх і кожного. Проте зрозуміти її може лише той, хто навчився

розуміти її мову та знаки, якими її написано. А написано її мате-

матичною мовою, а знаки її — математичні формули.

Справді, створення

математичних моделей реальних процесів

і явищ — важливий етап пізнання світу.

У процесі свого розвитку математика збагачувалась видатними

досягненнями. Прикладами таких досягнень є створення диферен-

ціального та інтегрального числення — математичного аналізу, по-

будова неевклідової геометрії, розвиток аксіоматичного методу…

До цього переліку, безперечно, належить і теорія ймовірностей.

Теорія ймовірностей зародилася в XVI—XVII століттях зі

спроб дати теорію азартних ігор.

Перші розрахунки ймовірностей виконали Н. Тарталья і

Дж. Кардано, згодом ці питання досліджували Г. Галілей, П. Ферма,

Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, Р. Декарт. Важливу теорему (закон ве-

ликих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки,

установив Я. Бернуллі. Його результати розвинули А. Муавр і

П. Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії ймовірнос-

тей мали відкриття П. Л. Чебишова та його учнів А. А. Маркова і

О. М. Ляпунова.

Велике значення для розвитку теорії ймовірностей мали і пра-

ці видатних математиків ХХ століття — С. Н. Бернштейна,

О. Я. Хінчина, А. М. Колмогорова, Б. В.

Гнєденко, Р. А. Фішера, Р.

Е. Мізеса, К. Пірсона та ін.

Нині теорію ймовірностей часто будують на аксіоматичній ос-

нові. На сучасному рівні аксіоматичну побудову подав А. М. Колмо-

горов у 30-тих роках минулого століття.

Із теорією ймовірностей тісно пов’язана математична статис-

тика — розділ математики, в якому за допомогою математичних

методів систематизують, опрацьовують і застосовують статисти-

чні дані для наукових і практичних висновків.

Теорія ймовірностей та математична статистика, які дедалі

ширше застосовуються в багатьох галузях науки і техніки, є важ-

ливими складовими фундаментальної фахової підготовки сучас-

них економістів.

Розділ 1

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ. ПРОСТІР

ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ.

ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

Випробування — реальний або мислений експеримент (вико-

нуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого

піддаються спостереженню.

Подія — результат випробування.

Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбу-

деться, то вона називається достовірною і позначається літерою

U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, назива-

ється неможливою і позначається літерою V

Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись,

а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові

події позначаються літерами A, B, C, D, … .

Випадкові події, які не можна розкласти на простіші, назива-

ються елементарними. Можлива елементарна подія — це кож-

ний із можливих результатів окремого випробування.

Простір елементарних подій — множина можливих елемента-

рних

подій, кожною з яких може закінчитись випробування. Якщо

позначимо

()

...,,2,1 =ω можливі елементарні події, то цю мно-

жину можна записати у вигляді

{

}

.,...,,

21 n

Ω

Простір

Ω

мо-

же містити скінченну, зліченну або незліченну множину значень.

Випадковій події А, яка може відбутись у результаті випробу-

вання, можна поставити у відповідність деяку множину елемен-

тарних подій, що сприяють появі цієї події:

{

}

,,...,,

21 m

яка є підмножиною

Ω

Сума подій. Подія А називається сумою подій В і С, тобто А =

= В + С або

,CBA U= якщо при випробуванні відбувається при-

наймні одна із цих подій. Множину елементарних подій, що ста-

новлять подію А, дістають об’єднанням множин елементарних

подій, що становлять події В і С. Аналогічно визначається сума

n (n > 2) подій.

Добуток подій

. Подія А називається

добутком

подій В і С,

тобто А = ВС або ,CBA I= якщо в результаті випробування ві-

дбуваються як подія В, так і подія С. Множина елементарних по-

дій, що становлять подію А, визначається як переріз множин, що

становлять події В і С. Аналогічно визначається добуток n (n > 2)

подій.

Різниця подій

. Подія А називається

різницею

подій В і С, тоб-

то А = В – С або

,: CB

якщо відбувається подія

В і не відбува-

ється подія С. Множина елементарних подій, що становлять по-

дію А, містить елементарні події, що становлять В, виключаючи

ті, при яких відбувається подія С.

Події В і С у даному випробуванні називаються

несумісними

якщо відповідні їм множини елементарних подій не містять од-

накових елементів: .VCB

Це означає, що коли одна з подій

відбулась, друга подія відбутись не може.

Події В і С називаються

рівноможливими

у даному випробу-

ванні, якщо є підстава вважати, що жодна з них не є об’єктивно

більш можливою, ніж інша.

Події

AAA ,...,,

у даному випробуванні утворюють

повну

групу подій

, якщо вони несумісні і в результаті випробування не-

одмінно відбудеться принаймні одна з них, а отже, їхня сума є

достовірною подією:

Події

i називаються

протилежними

, якщо вони несуміс-

ні й утворюють повну групу подій, тобто

.A i UAVAA == UI

Приклади розв’язування задач

Приклад 1

. Партія складається з деталей 1-го, 2-го і 3-го ґату-

нку, а також бракованих. Деталі ретельно перемішані. Із партії

навмання беруть одну деталь. Застосувавши очевидні позначення,

розглянемо події:

{

}

;2;1

{

}

;3;1

{

}

;3;2

{}

.Бp2;

Яка з подій

утворює з подіями

i AA повну групу?

Розв’язання.

Згідно з означенням для повної групи подій має

виконуватись співвідношення

UBAA

Достовірній події

відповідає весь простір елементарних подій

Ω

У розглядуваному випробуванні простір

Ω

складається з чо-

тирьох елементарних подій: деталь може бути 1-го, 2-го, 3-го со-

рту або бракованою, тобто

{

}

.Бp3;2;1;

Ω

Знайдемо множину

елементарних подій для суми подій . i

Утворюючи об’єд-

нання множин елементарних подій, до нього включають елемен-

тарні події відповідних подій, причому однакові елементарні по-

дії беруть один раз. Отже,

{

}

.3;2;1

AA U Для того щоб допов-

нити цю множину до ,

Ω

потрібно додати до суми подій подію

бо множина її елементарних подій містить

{

}

.Бp

Приклад 2. Визначити подію

(

)

(

)

2121

ABBAD UIU

= де по-

дії

2121

,,,

BBAA

та випробування, у результаті якого вони відбу-

ваються, задано умовами прикладу 1.

Розв’язання. Згідно з умовою маємо простір елементарних подій

{}

.Бp3;2;1;=Ω Знайдемо множини елементарних подій . i

За

означенням протилежних подій

UAA

і ,

UBB

а отже,

множини елементарних подій для

доповнюють до Ω від-

повідно множини елементарних подій . i

Отже,

{}

;Бp3;

{}

.Бp1;

Тоді

{

}

;Бp3; 2;

BA U

{

}

.Бp3; 1;

AB U

Переріз

будь-яких множин містить лише спільні для них елементи, а тому

()

{

}

.Бp3;

2121

ABBAD UIU

До множини елементарних по-

дій для

входять елементарні події: «деталь 3-го сорту» або «де-

таль бракована».

Вправи для самостійного розв’язування

1.1.

Партія складається зі стандартних і нестандартних дета-

лей, які ретельно перемішані. З неї навмання беруть дві деталі.

Визначити :

простір елементарних подій;

множини елементарних подій для таких подій:

а)

A — поява однієї стандартної і однієї нестандартної деталей;

б)

— поява не менш як однієї стандартної деталі;

в)

— поява не більш як однієї стандартної деталі.

1.2. Із ящика, в якому є бронзові, мідні, латунні та сталеві де-

талі, беруть одну деталь. Події

4321

,,,

AAAA

означають відпові-

дно, що взята деталь бронзова, латунна, мідна, сталева. Визначи-

ти подію

()

(

)

2431

AAAAB UIU

1.3. У ящику містяться 3 латунні (Л), 3 сталеві (С) і 1 бронзова

(Б) деталь. Беруть 2 деталі. Визначити:

простір елементарних подій ;

Ω

2) множину елементарних подій ,

яка утворює з подіями

i AA

повну групу, якщо

{

}

{

}

ЛСБЛ,,ЛСCC,

— еле-

ментарні події, позначені згідно з матеріалом деталей.

1.4. Прилад складається з двох блоків 1-го типу і трьох блоків

2-го типу. Події

()

2,1

означають, що працює

-й блок 1-го

типу, а події

()

3,2,1=

— працює

-й блок 2-го типу. Прилад

працює, якщо працює принаймні один блок першого типу і не

менше як два блоки 2-го типу. Виразити подію

— «прилад

працює» через події

BA i

1.5. Робітник виготовив

деталей. Нехай подія

(

)

niA

,...,2,1

полягає в тому, що

-та деталь має дефект. Записати такі події:

ні одна з деталей не має дефектів;

принаймні одна деталь має дефект;

лише одна деталь має дефект.

1.6. Підкидається гральний кубик. Розглянемо події:

{}

,4;2;1

{}

,6;4;3

{}

.6;5;4

Чи будуть несумісними події:

311

AAB I=

212

AAB I=

1.7. На прямокутному 5 × 4-клітинковому полі подається фі-

гура, що складається із заштрихованих клітинок. Нехай

()

4,3,2,1;5,4,3,2,1 ==

jiA

— події, які полягають у тому, що

клітинку з номерами

та

заштриховано. Записати події:

зображення має вигляд, наведений на рис. 1.1;

у правому верхньому куті заштриховано прямокутник роз-

міром 3

× 2 клітинки.

Рис. 1.1.

1.8. Скільки подій можна утворити над простором елементар-

них подій

,Ω

що містить 8 елементарних подій, розглядаючи ті,

які складаються не менш як із двох елементарних подій?

1.9. Скільки елементарних подій містить простір

Ω

якщо з

них складено 15 попарно несумісних подій, кожній з яких відпо-

відають 4 елементарні події?

1.2. ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ПОДІЇ.

БЕЗПОСЕРЕДНЄ ОБЧИСЛЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ

Означення ймовірності

Імовірністю

події

називається числова міра об’єктивної

можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позна-

чається така ймовірність

(

Властивості ймовірності

1. Імовірність достовірної події

(

)

2. Імовірність неможливої події

(

)

3. Ймовірність будь-якої випадкової події

(

)

.10

Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової події А називається відношення кі-

лькості елементарних подій

, які сприяють появі цієї події (ста-

новлять множину її елементарних подій), до загальної кількості

рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір еле-

ментарних подій

Ω

()

AP =

Щоб обчислити ймовірність події

за цією формулою, потрі-

бно знайти кількість елементарних подій у просторі

Ω

, а також

кількість їх у множині, яка відповідає події

. Для цього застосо-

вують формули комбінаторної математики.

І. Нехай скінченна невпорядкована множина складається із

елементів. Виконаємо такі випробування:

Упорядкуємо дану множину, пронумерувавши всі її елеме-

нти. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне пе-

реставлення з

елементів, а кількість можливих переставлень

дорівнюватиме !n

Розіб’ємо множину на впорядковані підмножини, які містять

по

()

nmm < елементів і різняться між собою або порядком, або

елементами. Тоді елементарною подією у випробуванні буде дові-

льне розміщення з n елементів по m. Кількість таких розміщень

(

)

(

)

(

)

.1...21 +−−−= mnnnnA

3. Розіб’ємо множину на невпорядковані підмножини, які міс-

тять по

()

nmm < елементів і різняться між собою принаймні од-

ним елементом. Тоді елементарною подією у цьому випробуванні

буде комбінація, а кількість таких комбінацій

()

mnm

−

Беремо з множини навмання m елементів з поверненням.

Тоді у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися

m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з

n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень

nR =

ІІ. Нехай скінченну множину з n різних елементів розбито на r

підмножин, у кожній з яких міститься

(

)

rin

,...,2,1

елементів,

причому .

∑

Із кожної підмножини навмання беремо по

елементів без повернення. Тоді елементарною подією буде дові-

льна комбінація елементів. Кількість таких комбінацій

CCCK ...

⋅= ,

,...

AAAK ⋅=

якщо їхній порядок істотний.

ІІІ

. Нехай скінченну множину з n елементів розбито на r під-

множин, у кожній з яких міститься

(

)

,...,2,1 rin

однакових еле-

ментів, причому .

∑

Упорядкуємо цю множину. Тоді еле-

ментарною подією буде довільне переставлення з n елементів із

повторенням, а число елементарних подій

()

!...!!

,...,,

nnn

nnnP

⋅⋅⋅

Геометричне означення ймовірності

Якщо простір елементарних подій

Ω

можна подати у вигляді

деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій

для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовір-

ність події А визначається як відношення мір цих множин:

()

(

)

()

Ωµ

При цьому вважається, що ймовірність попадання в

деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї

його частини.

Статистичне означення ймовірності

Статистичною ймовірністю події А

називається відношення

кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної

кількості виконаних випробувань n:

()

AW =

Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведен-

ням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або від-

носною частотою, події.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1

. Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 неста-

ндартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знай-

ти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стан-

дартними.

Розв’язання.

Подія А — «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 не-

стандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елемента-

рною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей.

Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, роз-

глянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 не-

стандартні деталі, тобто маємо

{

}

НННСС ,,,,

. Виконаємо у групі

довільне переставлення, наприклад,

{

}

.,,,, ННСНС Група не змі-

нилась — у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. От-

же, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій.

Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності

застосуємо формулу класичного означення ймовірності.

Загальна кількість елементарних подій

.3003

120

360360

!10!5

!15

⋅

== Cn

Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять

подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна вибрати

C способами, а 2 нестандартні з 5 —

C способами. Отже,