Тен В.А., Абайылданова К.Ж. Подземная гидромеханика
Подождите немного. Документ загружается.
PL
РР
k
x
Pk
гк
1
2
22
⋅
−
⋅=
∂
∂
−=
µµ
ϑ
(9)
Дебит галереи, приведенный к атмосферному давлению
L
РР
P
Bkh
Q
гк
ат
ат
22
2
−
⋅=
µ
(10)
Средневзвешенное по объему пластовое давление
∫
∨
Π
′
= VPd
V
P
1
~
(11)
где
BhLmV =
Π
, BhxmV
=
′
, BhmdxVd
=
′
.
Тогда
Bhmdxx
L
РР
P
Bhm
P
L
гк
к
⋅
⋅
−
−=
∫
∂
22
2
1
~
После интегрирования получим
22
33
3
2
~
гк
гк
РР
РР
P
−
−
⋅= (12)
3. Плоскорадиальный фильтрационный поток идеального газа.
Дифференциальное уравнение (5) будет иметь вид:
∂
∂
∂
∂
r
P
r
r
2
= 0 (13)
которое решается при следующих граничных условиях
к
РР =
при
;
к
rr =
c
PP = при
c
rr = (14)
Решение уравнения (13) имеет вид:
( )
r
r
rr
PP
PP
k
ck
ck
k
ln
ln
22
2
⋅
−
−= (15)
Уравнение (15) представляет собой закон распределения давления в пласте.
Скорость фильтрации
( )
Prrr
РP
k
r
Pk
ск
ск
11
ln2
22
⋅⋅
−
⋅=
∂
∂
⋅=
µµ
ϑ
(16)
Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,
( )
cк
ск
ат
ат
rr
РР
P
kh
Q
ln
22
−
⋅
⋅
=
µ
π
(17)
Средневзвешенное по объему пластовое давление определяется по (11) при
(
)
(
)
hmrdrVdrrhmVrrhmV
ccк
πππ
2,,
2222
=
′
−=
′
−=
Π
.
После интегрирования (11) получим, пренебрегая величиной
22
кc
rr << ,
(
)
( )
−
−=
cк
кc
к
rr
PP
PP
ln4
1
1
~
2
(18)
4. Плоскорадиальный фильтрационный поток реального газа по закону Дарси.
Если пластовое давление выше 10МПа и депрессия не слишком мала ( ≤
кс
РР 0,9), то
уравнение состояния газа значительно отличается от уравнения состояния идеального газа и
плотность газа определяется по формуле:
(
)
( )
,
Pz
Pz
Р
Р
ат
ат
ат
⋅⋅=
ρ
ρ
(19)
где z – коэффициент сверхсжимаемости газа. Кроме того, для высоких пластовых давлений
нужно учитывать зависимость вязкости от давления
(
)
PPa
e
−−
=
o
o
µ
µµ
(20)
или при малых изменениях давления
(
)
[
]
,1 PPa −−=
oo
µ
µµ
(21)
где µ
0
- вязкость при фиксированном давлении;
α
µ
- коэффициент определяемый экспериментально и зависящий от состава газа.
Проницаемость пласта принимается постоянной.
Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,
( ) ( ) ( )
∫
⋅
⋅
⋅=
к
с
Р
Р
cкат
ат
PzP
dPP
rrP
kh
Q
µ
π
ln
2
(22)
Имеется несколько способов вычисления интеграла в формуле (22), наиболее
употребляем из которых следующий: по графикам зависимостей
(
)
Pz
и
(
)
P
µ
определяются значения
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,,
ккccккcc
РPzРzzPz
µµµµ
==== переменные
µ
и z под
знаком интеграла заменяются постоянными, равными
(
)
2/
~
кc
zzz += ,
(
)
2/
~
кc
µµµ
+= .
Тогда интеграл в формуле (22) вычисляется и (22) принимает следующий вид:
( )
(
)
( )
∫
⋅⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
=
к
с
Р
Р
cкат
ск
скат
ат
rrzР
РPkh
РdP
zrrP
kh
Q
ln
~
~
~
~
1
ln
2
22
µ
π
µ
π
.
Лекция № 17. Установившаяся фильтрация газированной жидкости
Если давление в пласте выше давления насыщения (
нас
P ), то весь газ полностью
растворен в жидкости и она ведет себя как однородная. При снижении давления ниже
нас
P из
нефти выделяются пузырьки газа. По мере приближения к забою скважины давление падает
и размеры пузырьков увеличиваются вследствие расширения газа и одновременно
происходит выделение из нефти новых пузырьков газа.
В этом случае мы имеем дело с фильтрацией газированной жидкости, которая
представляет собой двухфазную систему (смесь жидкости и выделившегося из нефти
свободного газа).
Для каждой фазы вводятся фазовые проницаемости
ж
k
и
г
k . Установлено, что
фазовые проницаемости зависят главным образом от насыщенности порового пространства
жидкой фазой S. Насыщенностью называется отношение объема пор, занятого жидкой фазой
ко всему объему в данном элементе пористой среды. В результате опытов построены
графики зависимостей относительных фазовых проницаемостей
′
ж
k
=
ж
k /k
и
′
г
k
=
г
k /k
от насыщенности S (
k
– относительная проницаемость).
В теории фильтрации газированной жидкости водится понятие газового фактора Г,
равного отношению приведенного к
ат
P дебита газа к дебиту жидкости в нормальных
условиях
(
)
./
.
жатг
QQГ =
Большинство практических методов расчета движения газированной нефти
базируется на результатах исследования установившегося течения, которое рассмотрено С.
А. Христиановичем. Им была показана возможность сведения нелинейных задач
установившейся фильтрации газированной жидкости к задачам движения однородной
несжимаемой жидкости в пористой среде. При этом принимается, что “Г” вдоль линии тока
постоянный, а так же const
н
=
µ
и const
=
β
.
Назовем функцией С. А. Христиановича выражение
∫
′
=
P
ж
dPkH
0
,
имеющего размерность давления.
При определении распределении функции С. А. Христиановича и дебита жидкой фазы
при установившейся фильтрации газированной жидкости справедливы все формулы,
выведенные для однородной несжимаемой жидкости с заменой давления на функцию С. А.
Христиановича.
Так для плоскорадиальной установившейся фильтрации газированной жидкости
( )
,ln
ln r
r
rr
НН
HH
к
cк
ск
к
⋅
−
−=
( )
.
ln
2
cк
ск
ж
ж
rr
НН
kh
Q
−
⋅=
µ
π
Лекция № 18. Неустановившееся движение упругой жидкости в пористой среде
При пуске скважины в эксплуатацию, при остановке их, при изменении темпа отбора
жидкости из скважин в пласте возникают неустановившееся процессы, которые появляются
в перераспределении пластового давления (в падении или росте давления вокруг скважины),
в изменениях с течением времени дебитов, скоростей фильтрационных потоков и т. д.
Объем насыщающей пласт жидкости при снижении пластового давления (
пл
P )
увеличивается, а объем порового пространства уменьшается; это и определяет вытеснение
жидкости из пласта в скважину, что является основой упругого режима.
Хотя коэффициенты сжимаемости воды
в
β
, нефти
н
β
и пористой среды
с
β
очень
малы, упругость жидкостей и породы оказывают огромное влияние на поведение скважин и
пластов в процессе их эксплуатации, так как объемы пласта и насыщающей его жидкости
могут быть очень велики.
Под упругим запасом жидкости в пласте понимается количество жидкости которое
можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости пласта и
насыщающей его жидкости, определяемого по формуле
(
)
PVmV
сжз
∆+=∆
o
ββ
или ,PVV
з
∆=∆
∗
o
β
(1)
где
o
V
- объем пласта;
сж
m
βββ
+=
∗
- коэффициент упругоемкости;
P
∆
– изменение
давления во всех точках пласта.
Дифференциальное уравнение истощения залежи при упругом режиме имеет вид:
(
)
(
)
,
PVddttQ ∆=
∗
o
β
(2)
где
Q(t)
– дебит всех скважин эксплуатирующих данный объект.
Решая совместно уравнение неразрывности потока, уравнения движения и состояния
сжимаемой жидкости и пласта, получим дифференциальное уравнение неустановившейся
фильтрации упругой жидкости:
t
P
∂
∂
= æ
,
2
2
2
2
2
2
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
P
y
P
x
P
(3)
где æ=
(
)
∗
µβ
k
- коэффициент пьезопроводности, характеризующий темп перераспределения
пластового давления в условиях упругого режима.
Лекция № 19. Прямолинейно-параллельный неустановившийся поток упругой
жидкости
Пуст в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины
h
и ширины В
начальное пластовое давление всюду постоянное и равно
к
P
.
Давление в любой точке потока Х и в любой момент времени
t
определяется из
уравнения (3), которое для рассматриваемого потока будет иметь вид:
t
P
∂
∂
= æ .
2
2
x
P
∂
∂
(4)
Примем начальные и граничные условия:
(
)
к
PtxP =,
при
t=0;
(
)
г
PtxP =
, при
x=0, t >0;
(5)
(
)
к
РtxР =,
при 0,
≥
∞
=
tx
.
Точное решение уравнения (4) при условиях (5) имеет вид
P=P
( )
,
æ2
−+
t
x
erf
РР
гкг
(6)
где
erf x
– интеграл вероятности.
Согласно закону Дарси, имеем
.
æ
0
t
РР
Bkh
x
Pk
FQ
гк
x
π
µµ
−
⋅=
∂
∂
⋅=
=
(7)
Накопленная к моменту времени t добыча определяется по формуле
( )
.
æ
2
0
t
Bkh
dttQV
t
доб
⋅==
∫
πµ
Если в таком же полубесконечном пласте в момент времени t = 0 пущена в
эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом
Математически задача заключается в интегрировании уравнения (4) при следующих
начальных и граничных условиях:
(
)
к
PtxP =,
при
t=0
( )
const
x
Pk
F
Q
tx ==
∂
∂
⋅==
ϑ
µ
ϑ
, при
x=0
(8)
(
)
к
Р
txP =,
при
∞
→
x
В этом случае давление в любой точке истока определяется по формуле:
( ) ( )
.1
æ2
æ2
1,
æ4
2
−+
−+=
−
t
x
г
e
t
t
x
erfx
k
tPtxP
π
µϑ
(9)
Закон изменения давления на галерее
(
)
tP
г
определяется из (9) подстановкой
граничного условия
(
)
к
Р
txP
=,
при
→
x
0
. Получим
( )
t
k
V
РtР
кг
æ
2
'
⋅−=
π
µ
или
( )
.
æ2
π
β
µ
k
t
h
Q
РtР
кг
⋅−=
(10)
Лекция № 20. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости
Пусть
в
неограниченном
горизонтальном
пласте
постоянной
толщины
h
имеется
скважина
нулевого
радиуса
(
точечный
сток
).
В
момент
времени
t = 0
скважина
пущена
в
эксплуатацию
с
постоянным
дебитом
o
Q
.
Распределение
давления
в
пласте
Р(r,t)
определяется
интегрированием
уравнения
(3),
которое
для
плоскорадиального
движения
запишется
в
виде
.
1
2
2
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
r
P
r
r
P
x
t
P
(11)
Начальные
и
граничные
условия
таковы
:
(
)
к
РtrP =,
при
t=0
(
)
к
РtrР =,
при
;
,
∞
→
∞
→
r
t
(12)
constQ
r
P
r
kh
Q
r
==
∂
∂
=
=
o
0
2
µ
π
при
r=0, t >0.
Точное
решение
уравнения
(11)
при
условиях
(12)
имеет
вид
:
( )
,
æ44
,
2
−−−=
t
r
E
kh
Q
РtrP
iк
π
µ
o
(13)
где
(
)
xE
i
− -
интегральная
показательная
функция
.
Формула
(13)
получила
название
основной
формулы
теории
упругого
режима
фильтрации
.
При
малых
значениях
(
)
tr æ4
2
интегральная
показательная
функция
( )
(
)
[
]
.
æ25,2
lnæ4
2
2
r
t
trE
i
=−−
Тогда
изменение
давления
на
стенке
скважины
,
определенное
из
(13)
при
,
c
rr =
будет
:
( )
2
25,2
ln
4
c
кc
r
æt
kh
Q
РtP
π
µ
o
−=
(14)
Если
в
полубесконечном
пласте
работает
n
скважин
,
снижение
давления
в
любой
точке
пласта
М
определяется
с
помощью
метода
суперпозиции
по
формуле
:
,
æ44
1
2
∑
=
−−=∆
n
i
i
i
ii
tr
r
EQ
kh
P
π
µ
(15)
где
i
Q –
дебит
i –
ой
скважины
(
при
этом
дебит
добывающей
скважины
считается
положительным
,
дебит
нагнетательной
–
отрицательным
;
i
r -
расстояние
от
центра
i –
ой
скважины
до
точки
М
;
i
t -
время
с
начала
работы
i –
ой
скважины
до
момента
времени
t,
в
которой
определяется
понижение
давления
.
Лекция № 21,22. Приближенные методы решения задач теории упругого режима
1.
Метод
ПССС
.
1.1
Плоско
-
параллельный
поток
.
А
.
В
момент
времени
t=0
в
горизонтальном
пласте
постоянной
толщины
h
и
ширины
B
пущена
в
эксплуатацию
галерея
с
постоянным
забойным
давлением
constР
г
= .
До
пуска
галереи
во
всем
пласте
к
РР =
.
Требуется
найти
распределение
давления
,
закон
перемещения
границы
возмущенной
области
l(t)
и
изменение
дебита
галереи
во
времени
Q(t).
Дебит
галереи
при
установившемся
процессе
( )
( )
0
=
∂
∂
=⋅
−
=
x
гк
x
P
Bh
k
Bh
tl
РР
k
tQ
µµ
(1)
Воспользуемся
уравнением
материального
баланса
(
)
(
)
,PVddttQ ∆=
∗
β
(2)
где
(
)
,tBhlV =
,
~
~
РРP
к
−=∆
2
~
гк
РР
Р
+
= , (3)
Подставляя
(1)
в
(2)
с
учетом
(3),
получим
( )
( )
−
⋅=⋅
−
∗
2
гкгк
РР
tBhldBh
tl
РР
k
dt
β
µ
(
)
(
)
[
]
;
2
tldtl
dt
k
=⋅
∗
µβ
(
)
(
)
[
]
2
æ
tldtl
dt = (4)
После
интегрирования
(4)
будем
иметь
:
(
)
4
æ
2
tl
t =
или
(
)
ttl æ2= (5)
Распределение
давления
в
возмущенной
зоне
( )
( )
( )
[ ]
xtl
tl
РР
txР
гк
−
−
=,
(6)
с
учетом
(5)
имеем
( ) ( )
,
æ2
1,
−−−=
t
x
РРPtxP
гкк
tx æ20 ≤< (7)
Дебит
галереи
к
РР =
, tx æ2>
( )
t
РРBkh
tQ
гк
æ2
−
=
µ
(8)
Погрешность
не
превосходит
11%
B.
В
том
же
пласте
,
как
и
вслучае
А
,
пущена
галерея
с
постоянным
дебитом
.
В
этом
случае
уравнения
(2)
с
учетом
(1)
принимает
вид
:
( )
(
)
⋅=
∗
Bkh
tQl
tBhldQdt
2
µ
β
(9)
или
(
)
[
]
tlddt
2
æ2 =
(
)
9
′
иртегрируя
(
)
9
′
,
получим
(
)
ttl æ2
2
=
откуда
(
)
ttl æ2= (10)
Распределение
давления
из
(6)
с
учетом
(1)
( )
(
)
,æ2, xt
Bkh
Q
РtxР
к
−−=
µ
tx æ20 ≤< ,
(
)
,,
к
РtxP =
tx æ2> (11)
значение
(
)
tР
г
определяется
из
(11)
при
х
=
( )
t
Bkh
Q
РtР
кг
æ2⋅−=
µ
(12)
погрешность
до
25%.
1.2
Плоскорадиальный
поток
Пусть
в
неограниченном
горизонтальном
пласте
постоянной
толщины
h
в
момент
времени
t=0,
пущена
добывающая
скважина
радиуса
r
c
с
постоянным
дебитом
Q.
До
пуска
скважины
во
всем
пласте
к
РР =
.
Через
время
t
после
пуска
скважины
вокруг
нее
образуется
возмущенная
область
радиуса
r
где
давление
в
соответствии
с
ПССС
будет
распределяться
по
стационарному
закону
( )
(
)
r
tr
kh
Q
РtrP
к
ln
2
,
π
µ
−= (13)
Дебит
скважины
(
)
( )
c
ск
r
tr
tРР
kh
Q
ln
2
−
=
µ
π
(14)
Размеры
возмущенной
области
(
)
(
)
[
]
,
22
hrtrtV
c
−=
π
(15)
Т
.
к
.
( )
,
ln2
~
c
ск
к
r
tr
РР
PP
−
−=
то
( )
kh
Q
r
tr
РР
РРP
c
ск
к
π
µ
4
ln2
~
=
−
=−=∆ (16)
Подставив
(15)
и
(16)
в
уравнение
материального
баланса
(2),
получим
( )
( )
⋅−=
∗
kh
Q
hrtrdQdt
c
π
µ
πβ
4
22
или
(
)
[
]
.æ4
22
c
rtrddt −=
откуда
( )
2
æ4
c
rttr +=
(17)
Подставляя
(17)
в
(13),
будем
иметь
( )
,
æ4
ln
2
,
2
r
rt
kh
Q
РtrР
c
к
+
−=
π
µ
,æ4
2
cc
rtrr +≤<
(
)
,,
к
РtrP =
2
æ4
c
rtr +>
(18)
Давление
на
скважине
определяют
из
(8)
при
r=r
c
:
( )
c
c
кс
r
rt
kh
Q
Р
t
Р
2
æ4
ln
2
+
−=
π
µ
(19)
погрешность
10%.
2.
Метод
А
.
М
.
Пирвердяна
.
В
отличие
от
ПССС
распределение
давления
в
возмущенной
области
по
методу
А
.
М
.
Пирвердяна
задается
в
виде
квадратной
параболы
.
Рассматривается
плоско
-
параллельный
неустановившийся
поток
упругой
жидкости
.
А
.
Рассмотрим
случай
постоянного
дебита
Q=const.
Уравнение
распределения
давления
в
возмущенной
области
( ) ( )
( )
2
1,
−−−=
tl
x
РРР
txP
гкк
(20)
Дебит
галереи
0
=
∂
∂
−=
x
x
Pk
BhQ
µ
(21)
Градиент
давления
из
(20)
(
)
( )
tl
РР
x
P
гк
ox
−
−=
∂
∂
=
2
тогда
(22)
Средневзвешенное
по
объему
пластовое
давление
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3
1
11
~
0
2
0
гк
к
tl
гкк
tl
РР
Рdx
tl
x
РРР
tl
VPd
tV
P
−
−=
−−−=
′
=
∫∫
тогда
(
)
Bkh
tlQ
РР
P
Р
P
гк
к
6
3
~
µ
=
−
=−=∆ (23)
Уравнение
материального
баланса
примет
вид
:
( )
(
)
⋅=
∗
Bkh
tlQ
tBhldQdt
6
µ
β
откуда
(
)
[
]
tlddt
2
æ6 = (24)
Интегрируя
(24)
в
пределах
от
0
до
t
и
от
0
до
l
получим
(
)
ttl æ6= (25)
Распределение
давления
в
возмущенной
области
( )
2
æ6
1
2
æ6
,
−−=
t
x
Bkh
tQ
PtxP
к
µ
, 0 < x æt6≤ ,
(
)
,,
к
РtxР =
tx æ6>
(
)
52
′
Давление
на
галерее
определяется
при
( )
t
Bkh
Q
Р
t
Р
кг
æ6
2
µ
−= (26)
погрешность
9%,
т
.
е
.
в
2,5
раза
меньше
,
чем
при
B.
Рассмотрим
случай
,
когда
const
Р
г
= .
Уравнение
материального
баланса
в
этом
случае
принимает
вид
(
с
учетом
(22)
и
(23))
( )
( )
−
⋅=⋅
−
⋅
∗
3
2
гкгк
РР
tBhlddt
tl
РР
Bkh
β
µ
или
(
)
(
)
[
]
tldtlæt =6
откуда
(
)
ttl æ12= (27)
Распределение
давления
в
возмущенной
области
:
( ) ( )
2
æ12
1,
−−−=
t
x
РРР
tx
Р
гкк
(28)
Дебит
галереи
t
РР
Bkh
Q
гк
æ12
2
−
⋅=
µ
(29)
погрешность
около
2,5 %.
Лекция № 23. Неустановившееся движение газа в пористой среде
Для
вывода
дифференциального
уравнения
неустановившейся
фильтрации
идеального
газа
в
уравнении
неразрывности
потока
подставляются
выражения
для
компонента
скорости
фильтрации
и
уравнения
состояния
идеального
газа
.
Считая
коэффициенты
пористости
m
o
,
проницаемости
k
и
вязкости
газа
г
µ
постоянными
получим
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
22
2
22
2
222
æ
z
P
y
P
x
P
t
P
, (1)
где
(
)
.æ
o
mkP
к
µ
=
Рассмотрим
конкретную
задачу
о
притоке
газа
в
скважину
,
расположенную
в
пласте
бесконечной
протяженности
с
постоянной
толщиной
h.
Дифференциальное
уравнение
(1)
в
данном
случае
имеет
вид
:
,
1
æ
22
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
P
r
rrt
P
(2)
которое
решается
при
начальном
и
граничном
условиях
:
к
РР =
при
t=0