Тен В.А., Абайылданова К.Ж. Подземная гидромеханика
Подождите немного. Документ загружается.
Если
жидкость
несжимаема
,
то
ее
уравнение
состояния
const
=
ρ
.
Также
пористость
m = const.
Тогда
уравнение
неразрывности
потока
примет
вид
:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
z
y
x
ϑ
ϑ
ϑ
(1)
Подставляя
в
(1)
V
x
, V
y
, V
z
,
получим
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
z
p
zy
pk
yx
pk
x
µµ
0
или
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
p
y
p
x
p
(2)
2.
Расчет
основных
гидродинамических
характеристик
одномерного
прямолинейно
-
параллельного
фильтрационного
потока
.
Пусть
в
горизонтальном
пласте
постоянной
толщины
h
и
ширины
В
на
контуре
питания
поддерживается
постоянное
давление
P
к
,
а
на
добывающей
галерее
,
отстоящей
на
расстоянии
L
к
от
контура
питания
(
КП
),
постоянное
давление
P
г
.
Направляем
ось
координат
ОХ
вдоль
линии
тока
,
ось
OY
вдоль
КП
.
Так
как
меняется
только
координата
Х
,
то
уравнение
(2)
принимает
вид
:
=
∂
∂
2
2
x
p
0
(3)
которое
решается
при
следующих
граничных
условиях
P=P
к
при
x=0;
P=P
г
при
x= L
к
(4)
Дважды
интегрируя
(3)
и
удовлетворяя
условиям
(4)
получим
закон
распределении
давления
в
пласте
:
P=P
к
-
(
)
k
гк
L
x
РP
⋅−
(5)
найдем
градиент
давления
( )
кгк
LPP
x
p
/−−=
∂
∂
Тогда
скорость
фильтрации
ϑ
=
к
гк
L
РP
k
−
⋅
µ
(6)
Дебит
галереи
определяется
выражением
,VFQ
⋅
=
где F = Bh – площадь поперечного сечения пласта.
С учетом (6) получим, что
(
)
к
гк
L
РРBkh
Q
⋅
−
=
µ
(7)
Закон движения частицы жидкости найдем по формуле:
dt
dx
m
W
==
ϑ
(8)
Разделяя переменные и учитывая (6), получим после интегрирования
( )
x
РPk
Lm
t
гк
к
⋅
−
=
µ
(9)
Время полного выбора жидкости из пласта (Т) определяется по (9) при x=L
к
:
( )
гк
к
РРk
Lm
T
−
=
2
µ
(10)
Средневзвешенное по объему пластовое давление (Р) найдем по формуле:
∫
=
пор
V
пор
пор
PdV
V
P
1
~
(11)
где V
пор
= BhLкm, dV
пор
= Bhmdx (12)
(
)
2/
~
гк
РРР +=
(13)
3. Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного
плоскорадиального фильтрационного потока.
Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамически
совершенной скважине радиусом r
c
, расположенной в центре однородного горизонтального
кругового пласта постоянной толщины h. На внешней круговой границе пласта радиусом r
к
,
служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление Р
к
, на забое скважине
давление Р
с
, тоже постоянно.
Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
P
x
P
0 (14)
Введя замену r=
22
yx
+
после соответствующих преобразований из (14) получим:
r
P
r
r
P
∂
∂
+
∂
∂
1
2
2
= 0 или
∂
∂
∂
∂
r
P
r
r
= 0 (15)
Уравнение (15) будем решать при следующих граничных условиях:
P=P
к
при r = r
к
;
P=P
c
при r = r
c
(16)
Дважды интегрируя (15) и учитывая (16), найдем закон распределения давления
⋅
−
+=
⋅
−
−=
c
c
к
ск
c
к
c
к
ск
к
r
r
r
r
Р
P
P
r
r
r
r
РР
PP ln
ln
ln
ln
(17)
Скорость фильтрации
ϑ
=
r
r
r
РР
k
r
Pk
c
к
ск
1
ln
⋅
−
⋅=
∂
∂
µµ
(18)
Дебит скважины
ϑ
⋅
=
FQ , где rhF
π
2
=
-
поверхность
,
через
которую
происходит
фильтрация
с
учетом
(18)
будем
иметь
−
=
c
к
ск
r
r
РР
kh
Q
ln
2
µ
π
(19)
Формула
(19)
называется
формулой
Дюпюи
.
Отношение
дебита
скважины
Q
к
перепаду
давления
∆Р
называется
коэффициентом
продуктивности
скважины
(
К
).
Из
(19)
=
∆
=
c
к
r
r
kh
P
Q
K
ln
2
µ
π
(20)
Закон
движения
частицы
жидкости
найдем
из
формулы
dtdrmW
//
−
=
=
ϑ
или
ϑ
/
mdrdt
−
=
(21)
Подставив
(18)
в
(21)
и
производя
интегрирование
в
пределах
от
0 до
t и
от
r
к
до
r
,
получим
( )
( )
22
2
ln
rr
РРk
r
r
m
t
к
ск
c
r
−⋅
−
=
µ
(22)
Время Т полного отбора жидкости из пласта определяется из (22) подстановкой r
=
r
c
, т. е.
( )
)(
2
ln
22
ck
ск
c
к
rr
РРk
r
r
m
T −
−
=
µ
(23)
Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление
определяется из соотношения
∫
′
=
V
пор
VPd
V
P
1
~
(24)
где V
пор
=
(
)
;
22
hmrr
cк
−
π
(
)
;
22
hmrrV
cпор
−=
′
π
(25)
rhmrdrVd
π
2
=
′
Подставляя (17) и (25) в (24) и интегрируя полученное выражение в пределах от r
c
до
r
к
, получим
−
−=
c
к
ск
к
r
r
РР
РP
ln2
~
(26)
В (26) принято, что r
с
<<r
к
, т. е. r
с
→
0 .
4. Расчет основных гидродинамических характеристик радиально-сферического
фильтрационного потока.
Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей кровлю
однородного пласта весьма большой толщины. Выделим на достаточно удаленной от забоя
скважине полусферическую границу радиусом r
к
, на котором сохраняется постоянное
давление Р
к
. На забое скважины радиуса r
c
, поддерживается постоянное давление Р
с
.
Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации для рассматриваемого
потока
2
2
2
2
2
2
z
P
y
P
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=0, (27)
которое после замены r
=
222
zyx ++ принимает вид:
=
∂
∂
+
∂
∂
r
P
r
r
P 2
2
2
0 или
∂
∂
∂
∂
r
P
r
r
2
=0 (28)
Уравнение (28) решаем при условиях:
P=P
c
при r=r
c
P=P
к
при r=r
к
(29)
Решая уравнение (28) при условиях (29), найдем
−
−
−
+=
−
−
−
−=
кc
кc
ск
c
кc
кc
ск
к
rr
rr
РP
P
rr
rr
РР
PP
11
11
11
11
(30)
Далее
2
1
11
r
rr
РP
k
r
Pk
кc
ск
⋅
−
−
⋅=
∂
∂
=
µµ
ϑ
(31)
,
11
2
кc
ск
rr
РP
k
FQ
−
−
⋅=⋅=
µ
π
ϑ
где
2
2 rF
π
=
(32)
,
3
2
33
rr
Q
m
t
к
−
⋅=
π
Q
rm
T
к
3
2
3
⋅
=
π
(33)
cк
ск
к
rr
РР
PP
2
~
−
−=
(34)
Лекция № 10. Обобщение расчетных формул на случай слоисто-неоднородных и
зонально-неоднородных пластов
В природных условиях продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают
однородные.
Пористая среда называется неоднородной, если ее фильтрационные характеристики –
пористость и проницаемость – различны в разных областях.
Нередко встречаются пласты, значительные области которых сильно отличаются друг
от друга по фильтрационным характеристикам, так называемые макронеоднородные пласты.
В пластах-коллекторах нефти и газа выделяют следующие основные виды
макронеоднородности.
1. Слоистая неоднородность, когда пласт разделяется по толщине на несколько слоев,
в каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отличается от проницаемости
соседних слоев. Такие пласты называют также неоднородными по толщине. Вследствие
малости кривизны границы раздела между слоями с различными проницаемостями считают
обычно плоскими. Таким образом, в модели слоистой пористой среды предполагается, что
проницаемость изменяется только по толщине пласта и является кусочно-постоянной
функцией вертикальной координаты.
В случае прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости в слоисто-
неоднородном пласте дебит потока Q всего пласта можно вычислить как сумму дебитов в
отдельных пропластках Q
i
:
(
)
∑∑
==
⋅⋅
−
==
n
i
ii
к
ск
n
i
i
hk
L
РРB
QQ
11
µ
(1)
Для гидродинамических расчетов иногда бывает удобным заменить поток жидкости в
неоднородном пласте потоком в однородном пласте такой толщины h, ширины В и длины L
к
со средней проницаемостью
ср
k , которая определяется выражением:
∑
=
⋅=
n
i
iiср
hhkk
1
/
(2)
В случае плоскорадиального потока несжимаемой жидкости в слоисто-неоднородном
пласте
( )
∑∑
==
−
⋅==
n
i
ii
cк
ск
n
i
i
hk
rr
РР
QQ
11
ln
2
µ
π
(3)
и
ср
k определяется по (2).
2. Зональная неоднородность, при которой пласт по площади состоит из нескольких
зон (областей пласта) различной проницаемости. В пределах одной и той же зоны
проницаемость в среднем одинакова, но на границе двух зон скачкообразно меняется. Здесь,
таким образом, имеет место неоднородность по площади пласта.
В случае прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости в зонально-
неоднородном пласте дебит потока всего пласта равен:
( )
∑
=
−
⋅=
n
i
ii
ск
kl
РР
Bh
Q
1
µ
и
( )
( )
∑
=
ii
к
ср
kl
L
k
(4)
где l
i
– длина i – ой зоны, проницаемость которой k
i
.
Для плоскорадиального потока несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном
пласте дебит потока всего пласта равен:
∑
=
−
−
⋅=
n
i
i
i
i
ск
r
r
k
РР
h
Q
1
1
ln
1
2
µ
π
и
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
i
cк
ср
r
r
k
rr
k
1
1
ln
1
ln
(5)
где r
i
и r 1−
i
– внешний и внутренний радиусы i – ой зоны.
Лекции № 11, 12. Интерференция скважин
Явление интерференции (взаимодействия) скважин заключается в том, что под
влиянием пуска, остановки или изменения режима работы одной группы скважин
изменяются дебиты и забойные давления другой группы скважин, эксплуатирующих тот же
пласт. Вновь вводимые скважины взаимодействуют с существующими. Это явление
взаимодействия и взаимовлияния скважин называется интерференцией.
Назовем точечным стоком (источником) на плоскости точку, поглощающую
(выделяющую) жидкость. Сток (источник) можно рассматривать как центр добывающей
(нагнетательной) скважины.
Введем потенциал Ф точечного стока, определяемый по формуле:
cr
q
Ф
+= ln
2
π
(1)
где q=Q/h – дебит скважины-стока, приходящейся на единицу толщины пласта;
r
– расстояние от стока до точки пласта, в которой определяется потенциал;
c – постоянное число.
Для точечного источника в формуле (1) дебит q считается отрицательным.
При совместном действии в пласте нескольких стоков (источников) потенциал
Ф
определяется для каждого стока (источника) по формуле (1). Потенциал, обуславливаемый
всеми стоками и источниками, вычисляется путем сложения этих независимых друг от друга
значений потенциалов, т. е.
n
ФФФФ
+++= ...
21
или
∑
=
+=
n
i
ii
crq
Ф
1
ln
2
1
π
(2)
где
n
CCCC +++= ...
21
.
1. Приток жидкости в группе скважин в пласте с удаленным контуром питания (КП).
Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин
А
1
,
А
2
, …
А
n
радиусами r
ci
, работающих с различными забойными потенциалами
ci
Ф
, где i = 1,2,…n.
Расстояние между центрами i – ой j – ой скважин известны (
ij
r =
ji
r ). Так как контур
питания (КП) находится далеко от скважин, то можно приближенно считать, что расстояние
от всех скважин до всех точек КП одно и то же и равно r
к
. Потенциал
Ф
к
на КП считается
заданным.
Потенциал в любой точке пласта М определяется по формуле (2). Потенциал
ci
Ф
на
забое i – й скважины
( )
,ln...lnln
2
1
2211
crqrqrq
Ф
inniici
++++=
π
(3)
где i = 1,2, … n.
Система (3) состоит n уравнений и содержит (n+1) неизвестных (n дебитов и
постоянную интегрирования
С
). Дополнительное уравнение получим, поместив точку М на
контур питания.
( )
с
rqrqrq
Ф
кnккк
++++≈ ln...lnln
2
1
21
π
(4)
Вычитая численно каждое из уравнений (3) из (4), исключим, постоянную C и
получим систему из n уравнений, решив которую, можно определить дебиты скважин q
i
если заданы забойные
ci
Ф
и контурный
к
Ф
потенциалы.
2. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания (КП)
Пусть в полубесконечном пласте с прямолинейным КП, на котором потенциал равен
к
Ф
, работает одна добывающая скважина с забойным потенциалом
с
Ф
. Необходимо найти q.
Для решения задачи зеркально отображаем скважину-сток относительно КП и дебиту
скважины – отображению (источник) припишем знак минус.
Потенциал в любой точке пласта М:
c
r
r
q
cr
q
r
q
Ф
м
+=+
−
+=
2
1
21
ln
2
ln
2
ln
2
πππ
(5)
Помещая последовательно точку М на стенку скважины (сток) радиуса r
c
и на КП,
найдем
(
)
( )
c
ск
ra
ФФ
q
2ln
2 −
=
π
(6)
где a – кратчайшее расстояние от скважины стока до КП.
3. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.
Пусть в плоском пласте постоянной толщины h с круговым КП радиуса r
c
, на
котором поддерживается постоянный потенциал
к
Ф
, на расстоянии a от центра круга
расположена скважина – сток
1
A
с постоянным потенциалом
с
Ф
.
Отобразим скважину-сток
1
А
фиктивной скважиной-источником
2
А
относительно
КП.
Потенциал в точке М пласта определяем по формуле (5). Помещая точку М на стенку
скважины
1
А
и КП, определяем потенциалы
с
Ф
и
к
Ф
, после чего находим
(
)
cк
к
ск
rr
аr
ФФ
q
⋅
−
−
=
22
ln
2
π
(7)
4.
Взаимодействие скважин кольцевой батареи
Рассмотрим совместное действие в пласте большой протяженности добывающих
скважин, центры которых помещаются так, что скважины-стоки образуют кольцевую
батарею радиуса a ( a<
к
r
).
На КП радиуса
к
r
потенциал
к
Ф
, на стенке всех скважин –
с
Ф .
По формуле (2) потенциал в точке М:
( )
crrr
q
Ф
nм
+⋅= ...ln
2
21
π
(8)
Помещая точку М поочередно на КП и стенку скважины-стока и пренебрегая
значением a по сравнению с
к
r
, найдем дебит скважины:
(
)
( )( )
c
nn
к
ск
ranr
ФФ
q
1
ln
2
−
⋅
−
=
π
(9)
Формула (9) приближенная.
Если величиной a
по сравнению с
к
r
, пренебречь нельзя, то необходимо пользоваться
более точной формулой:
(
)
( ) ( )
[ ]
c
n
к
nnn
к
ск
rrnaar
ФФ
q
⋅⋅−
−
=
−122
ln
2
π
(10)
Обозначим дебит скважины, определяемый по формулам (9) или (10) через q
′
, а
дебит, определяемый по (7) через q.
Коэффициентом взаимодействия (интерференции) I, называют отношение дебита
одиночно работающей скважины q к дебиту ее при совместной работе с группой скважин q
′
:
q
q
I
′
=
(11)
Коэффициентом суммарного взаимодействия U, называют отношение суммарного
дебита группы совместно работающих скважин,
∑
′
q
к дебиту одиночно работающей
скважины
q
:
I
n
q
qn
q
q
U =
′
=
′
=
∑
(12)
Лекция № 13. Приток жидкости к гидродинамически несовершенным скважинам
Скважина называется гидродинамически совершенной, если она вскрывает
продуктивный пласт на всю толщину
h
и забой скважины открытый, т. е. вся вскрытая
поверхность забоя является фильтрующей.
1. Если скважина с открытым забоем вскрывает пласт не на всю толщину
h
, а только
на некоторую глубину
b
, то ее называют гидродинамически несовершенной по степени
вскрытия пласта. При этом
hbh =
называется относительным вскрытием пласта.
Дебит гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины
можно определить по формуле И. Козени:
(
)
( )
( )
(
)
hhrh
rr
РРhkh
Q
c
cк
ск
22cos71
ln
2
π
µ
π
⋅+
−
= (1)
2. Если скважина вскрыла пласт до подошвы, но сообщение с пластом происходит
только через специальные отверстия в обсадной колонне и цементном камне или через
специальные фильтры, то такую скважину называют гидродинамически несовершенной по
характеру вскрытия пласта.
3. Нередко встречаются скважины и с двойным видом несовершенства – как по
степени, так и по характеру вскрытия пласта.
Дебит скважины гидродинамически несовершенной как по степени, так и по
характеру вскрытия пласта можно рассчитать по формуле:
(
)
( )
[ ]
crr
РРkh
Q
cк
ск
+
−
=
ln
2
µ
π
(2)
где
21
CCC +=
– дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное
несовершенством скважины по степени вскрытия пласта
(
)
1
C
и по характеру вскрытия
(
)
2
C
.
Величины
1
C
и
2
C
определяются по методике В. И. Щурова. Им построены графики
зависимости величины
1
C
от параметров
c
Dha = и
hbh =
и величины
2
C
от трех
параметров:
c
nD ,
c
Dll =
′
и
c
Dd
o
=
α
, где n – число перфорационных отверстий на один
метр вскрытой толщины пласта,
c
D – диаметр скважины, l
′
– глубина проникновения пуль в
породу,
o
d
- диаметр отверстий.
Иногда бывает удобно ввести понятие о приведенном радиусе скважин
спр
r , т. е.
радиусе такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной
скважины:
c
cспр
err
−
⋅=
Тогда формулу (2) можно заменить следующей формулой:
(
)
( )
спр
r
ск
rr
РРkh
Q
ln
2
µ
π
−
=
(3)
Иногда гидродинамическое несовершенство скважин учитывается при помощи
коэффициента совершенства скважины
сов
QQ=
δ
(4)
где Q – дебит несовершенной скважины;
сов
Q – дебит совершенной скважины в тех же
условиях.
Коэффициент совершенства скважины
δ
и величина С связаны между собой
зависимостью:
(
)
(
)
cк
rrС ln11 −=
δ
(5)
Лекции № 14, 15, 16. Установившаяся фильтрация газа в пористой среде
Исследования показали, что хотя при установившейся фильтрации газа и происходит
понижение температуры, оно относительно невелико даже при больших перепадах давления.
Во многих случаях можно принимать для практических целей, что установившаяся
фильтрация газа в пористых породах совершается в условиях изотермического изменения
его состояния.
1. Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа.
Как было сказано ранее, для вывода дифференциального уравнения необходимо
совместное решение уравнения неразрывности потока, уравнения движения и уравнения
состояния.
Уравнение неразрывности потока:
(
)
(
)
(
)
(
)
t
m
zyx
z
y
x
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
ρ
ρϑ
ρϑ
ρϑ
(1)
Уравнение движения:
z
Pk
y
Pk
x
Pk
zyx
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
µ
ϑ
µ
ϑ
µ
ϑ
,, (2)
Уравнение состояния идеального газа:
ат
ат
P
P
⋅=
ρρ
(3)
При установившейся фильтрации идеального газа
(
)
t
P
m
Pt
m
ат
ат
∂
∂
⋅=
∂
∂
ρ
ρ
= 0 (4)
С учетом (2) – (4) уравнение (1) принимает вид:
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
⋅
z
P
P
zy
P
P
yx
P
P
x
Р
k
ат
ат
ρ
µ
= 0
или
2
22
2
22
2
22
z
P
y
P
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 0 (5)
Сравнивая дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального
газа (5) с дифференциальным уравнением установившейся фильтрации несжимаемой
жидкости, можно сделать вывод о аналогии, т. е. решения уравнения (5) должны быть
аналогичны решениям дифференциального уравнения установившейся фильтрации
несжимаемой жидкости. Только вместо Р необходимо брать
2
P
.
2. Прямолинейно-параллельный поток идеального газа.
Дифференциальное уравнение (5) в этом случае будет иметь вид:
2
22
x
P
∂
∂
= 0 (6)
Примем граничные условия:
к
PP =
при x=0;
г
РР = при x=L (7)
По аналогии с установившимся движением несжимаемой жидкости решение
уравнения (6) при условиях (7) дает закон распределения давления в виде:
x
L
РР
PP
гк
к
⋅
−
−=
2
22
или
⋅
−
−= x
L
РР
РP
гк
к
22
2
(8)
Скорость фильтрации: