Сухарев М.Г., Карасевич А.М. Технологический расчёт и обеспечение надёжности газо- и нефтепроводов
Подождите немного. Документ загружается.
62
В соответствии с принципом “черного ящика” в основе построения моделей лежит статисти-
ческая
Λ
22
−pp
н k
,
- обобщенный коэффициент. Модель (1.8.1) справедлива для ста-
ционарног ь модель.
Р льны режимы течения в агистральных азопроводах е бывают строго стационарными.
Если считать, что
q
из формулы (1.8.1) равна среднему арифметическому ее аче-
ний н ах ка
k
+
рм пр для цио-
н ны им даль статистическом исследовании для сглаживания ошибок и
э е та ност
ет оз нес нач да стку
газопровода.
к
ления и ра б
информация. Проведем исследование, пользуясь данными из диспетчерских журна-
лов газотранспортных предприятий.
Перепишем формулу, связывающую давление на концах линейного участка газопро-
вода с расходом по нему, в виде
∆Λ
p q
22
=
, (1.8.1)
где
∆
p
2
=
о режима течения. Результаты, изложенные в п.1.5.3, позволяют уточнит
еа е м г н
величина
зн
а конц участ
()
qqq
н
= /2
, то фо ула будет с аведлива и неста
ар х реж ов. В нейшем
фф кта нес ционар и
q
буд начать сред уточные з ения расхо по уча
Зависимостью обобщенного оэффициента
Λ
от дав схода можно прене -
речь, если есть уверенность, что течение находится в зоне квадратичного трения. Погрузим
соотношение (1.8.1) в более общее семейство, содержащее параметр
α
,
∆Λ
p q
2
=
α
. (1.8.2)
Основная идея статистического подхода состоит в оценке параметров
Λ
и
α
. Если
коэффициент
α
близок (в определенном смысле) к 2, то соотношение (1.8.1) удовлетвори-
тельно описывает эксплуатационные данные. Может случиться, что
α
близок к 1. В этом
ее простой -
уравнениям добавлялось бы линейное уравнение, ха-
случае следовало бы стремиться к построению бол линейной - расчетной модели.
К линейным по расходу балансовым
рактеризующее закон сопротивления.
Линеаризуем соотношение (1.8.2), взяв логарифмы от обеих его частей. Для замера с
номером
t
получим
Y
t
=+
β
α
X
t
(1.8.3)
де
t
,
X
t
, Y
t
. Известны же вычисляемые по замерам
x
t
, y
t
, которые,
г
X
ttt
pq===ln , ln , ln
∆Λ
2
β
.
Формула (1.8.3) позволяет использовать стандартные статистические методы: регрес-
сионный и конфлюэнтный анализ. Так же, как в модели (1.7.2)
Y
считаются точными, но
неизвестными значениями параметров
63
о , содержат ошибки
δ
X
днако
атации
отвергнута.
лучить оценки коэфф
подобия
t
,
δ
Y
t
. Взаимосвязь введенных величин выражается формулой
(1.7.3). Применение регрессионного и конфлюэнтного анализа оправдано, в том случае, ко-
гда величины
x
t
, y
t
распределены по нормальному закону. Обработка данных эксплу
показывает, что гипотеза о нормальности распределения в большинстве случаев не бывает
Для того, чтобы по ициентов
α
и
β
, построим функцию правдо-
()
()
() (
xX y
TT
exp
β
2
1 1
×− −− −−
⎡
⎢
∑∑
)
Lx y X
X
tt t x
tt tt
,, ,,, ,
.
αβσ σ
α
22
2 2
2
1
=×
⎤
⎥
y
xy
Т
πσ σ
2
x y
tt
σσ
11
2 2
⎣
⎢
⎦
⎥
==
Приравнивая к нулю производные
lnL
по неизвестным параметрам
x
txy
,,, ,
β
α
σ
σ
,
получим систему уравнений конфлюэнтного анализа [27]
()
[]
()
[]
xX
yX
tt
tt
−
+− =
σ
α
βα
22
0
()
()
[]
T
xX
T
yX
y
tt t
t
x
x
tt
t
T
y
y
tt
t
T
−+ −
−+ −+
=
=
=
∑
∑
σ
σ
σ
σ
σ
βα
2
1
1
3
1
1
1
=0
=0
2
t=1,...
Xy X
xy
T
+
−+
∑
σ
βα
3
1
=0
,
T
(1.8.4)
Решение системы, которое и является оценкой максимального правдоподобия, будем
обозначать “крышкой” сверху. Из системы (1.8.4) следует соотношение
$$$
σασ
y
222
=
x
. Оно
свидетельствует о том, что метод максимального правдоподобия устанавливает между оцен-
ками параметров определенную взаимосвязь, которой сами параметры удовлетво
заны. Следовательно, чить состоятельные
оценки правдоподобия. Можно, например, же, как и п.1.7.7)
считать известным отношение дисперсий
ν
. Через величину
ν
выражаются все и неиз-
с ных параметров
рять не обя-
без дополнительных предположений нельзя полу
методом максимального (так в
оценк
ве т
64
()
() ( )
$
,
$
$
,
$$
$
,
''
''
να
να
σσα
+
+
=− =−
==
$
$
α
ν
=
−+ − +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=−
=
,
$
β
$
,
α
/
2
νν
∑∑
SS SS S
S
yx
X
yx yx xy
xy
22 22 2
1
4
2
(1.8.5)
2
xy
xX y X
t
tt
xtt
t
T
ytt
t
T
2
2
2
1
2
2
1
T T
где
x
y
,
- средние значения,
′
=
−
′
=
−
xxx yy
tt tt
,, y
S
T
xS
T
y
T
xy
xt
t
T
ytxytt
t
T
t
T
22
1
2
11
11 1
=
′
=
′
=
′′
===
∑∑∑
, , S
2
,
.
ν
= 0
модель конфлюэнтного анализа приводит к регрессии
x
на
y
, а при
ν
=
∞
-
При
к регрессии
y
на
x.
Нами в дальнейшем проведена статистическая обработка с использовани
ем значений
ν
=∞01
,
,
. Можно ожидать, что при этом получится достаточно полное пред-
ставление о зависимости оценок от параметра
ν
.
1.8.2. Соотношение (1.8.2) охватывает большинство эмпирических зависимостей, ис-
пользуемых при расчетах систем газоснабжения.
Для течения капельных жидкостей следует перейти от
∆
р
2
к напору
∆
р
и соответ-
ствующим образом интерпретировать величину
Y
в формуле (1.8.3). В проведенном ниже
анализе использовались данные эксплуатации магистральных газопроводов. Требовалось
выяснить, насколько лучше традиционное соотношение (1.8.1) его (1.8.2),
чем др
использованы
станда
или обобщение
угие простейшие виды взаимосвязи режимных параметров
ppq
нк
,,
. Для определения
того, что значит лучше, надо ввести количественный критерий. Нами были
ртные критерии, рекомендуемые математической статистикой.
Наряду с соотношением (1.8.2) рассматривались 4 двухпараметрических семейства
функций:
•
линейное по давлению
рр
нк
q−=
Λ
α
, (1.8.6)
•
соотношение (1.8.1) с добавленным свободным членом
∆ΛΛ
р
22
0
=+q
, (1.8.7)
•
лин
(1.8.8)
•
линейное по давлению и расходу
ейное по расходу
∆ΛΛ
р
2
0
=+q
,
65
рр
нк
q−= +
Λ
Λ
0
. (1.8.9)
гр ионны дел (
0
ν
=
ν
=
и
В ре есс х мо ях
∞
) осу еств проце-
ры проверк е стр доверительных вал пример ае линей-
ной регрессии
Y
на
X
(
можно
интер
щ
ов, на
ить стандартные
ду и гипот з и по оения , в случ
ν
=∞
) мерой взаимосвязи зависимо переменной
Y
независимой
X
служит от ффициентом де-
термин
й и
корреляционное ношение (называемое также множественным коэ
ации)
R
TS
2
=
, (1.8.10)
TS R
y
2
2
2
−
y
2
где квадратов
. (1.8.11)
R
2
2
- остаточная сумма
Ry
T
2
2
=
′
−
′
⎛
⎜
⎞
⎟
∑
tt
t
2
1
⎝
⎠
=
$
α
x
Для проверки гипотезы
Н
0
: = j
α
в модели (1.8.2), следует подсчитать остаточную
сумму квадратов при условии
α
=
j
и воспользоваться критерием Фишера
Ryjx
jtt
1
2
=
′
−
′
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
(1.8.12)
T
2
t 1
=
1
F
RRR
j
jj
=
−
1 2 1
:
. (1.8.13)
2 2 2
T
11
−
представляют
случаи
нятая форму-
ла (1.8
ормул (1.8.10) -
(1.8.12
Если
T
jkp
>−
11,
, то гипотеза
Н
()
FF
0
отвергается. Особый интерес
j=1
и
j=2
, то есть соответственно линейная зависимость от
q
и общепри
.1).
Регрессия
X
на
Y
исследуется так же с естественной корректировкой ф
).
В общем случае
ν
≠∞
0
,
, можно построить доверительный интервал для угла накло-
на
θ
п
рямой (1.8.3) к оси
X
:
индекс (или, 2, то первый из них в остаточной сумме квадратов
1
Нижний если индексов ) означает
количес
аметров
тво параметров модели. Например,
R
2
2
- вычисляется по оценкам двух пар
α
β
,
;
- в
R
j1
2
ычисляется по модели с единственным параметром
β
.
66
()
()
$
arcsin
θ
ν
±
−
⎢
⎥
⎨
⎪
⎬
⎪
1
2
1
t
SS S
yx xy
, (1.8
/
⎡
⎤
⎧
⎫
22 2
12
νν
γ
−
−+
⎢
⎦
⎥
⎥
⎪
⎪
2
2
4
22
2
2
T
SS S
yx xy
⎣
⎢
.14)
где
распределения Стьюдента с
Т-2
степенями свободы, отвеча-
⎩
⎭
t
γ
- квантиль
Таблица 1.5
Среднесуточные значения давления и расхода по участку 3.
t
p
нt
p
kt
q
t
,
1 52,9 35,1 15,1
2
15,1
15,0
5
52,9 32,3 16,1
52,7 32,7 16,0
2,5 33,1 15,9
21 52,9 33,2 15,9
29 52,0 32,0 15,8
51,9 31,8 15,7
52,9 35,2 14,8
3 52,5 34,8
4 52,9 35,7
51,9 34,3 14,8
6 50,9 33,4 14,8
7 50,4 32,8 14,6
8 51,0 30,9 15,4
9 51,8 32,3 15,4
10 52,3 32,3 15,9
11 53,1 32,5 16,1
12
13
14 52,5 32,1 16,1
15 52,7 31,9 16,2
16 53,0 32,2 16,2
17 52,7 32,2 16,0
18 52,2 32,9 15,7
19 53,3 33,0 16,3
20 5
22 51,2 32,9 15,6
23 51,2 32,8 15,1
24 52,2 33,1 15,6
25 51,7 32,6 15,5
26 51,9 32,9 15,5
27 50,4 31,9 15,2
28 51,6 31,6 15,9
30
ющая заданной доверительной вероятности
γ
. В соответствии с этим строится дове-
рительный интервал для
α
θ
= t
g
.
67
1.8.3. Представим результаты обработки данных, взятых из диспетчерских журналов
за сутки значения давления в начале
р
н
и конце
р
к
нки коэффициентов
по участку магистрального газопровода (участок 3).
Исходная информация - средние
участка и суточные расходы - представлена в табл. 1.5.
Оце
α
β
и
, вычисленные по формуле (1.8.5) при
ν
=
∞
01
,
,
,
Результаты обработки измерений с использованием соотношения (1.8.2)
ν
приведены в табл.1.6.
Таблица 1.6
$
α
$
$
exp
$
Λ
=
β
R
2
2
R
11
2
R
12
2
R
2
β
0 94
0,3280
.
10
-2
0,2436
.
10
-1
0,3318
.
10
-2
0,882
1,903
2,174
8,7
1 1,852 2,316 10,130
- - - -
∞
1,690 2,758 15,770 0,1048
.
10
-1
0,2436
.
10
-1
0,1327
.
10
-1
0,882
Регрессия
Y
на
X
имеет вид
$
,,y
x
=
+
2 758 1 690
Проверяем гипотезу
Н
0
2:
.
α
=
при
альтернативе
Н
1
2:
α
≠
. При уровне значимости 0,05
F
кр
=4,17
. Значение (1.8.13)
F
2
=6,094
.
Н
0
ну ими словами, пользоваться формулой
(1.8.1) для данной выбор еза
критерия
Значит, гипотезу жно отвергнуть. Друг
ки нельзя. Точно также отвергается гипот
Н
0
1:
α
=
. Оценка
$
,
α
= 1690
довольно далеко отстоит от значений 1 и 2.
Взяв регрессию регрессию
X
на
Y
$
,
,
,
x
y
=−
1903
2174
1903
, получим несколько другие
выводы: гипотеза
Н
0
2:
α
=
не отвергается, а гипотеза
Н
0
1:
α
=
отвергается, что можно
было ожидать из-за близости оценки
$
,
α
=
1903
к 2.
В соответствии с формулой (1.8.14) 90% доверительный интервал дл
α
при
ν
=
1
я
равен [1,6577;2,084]. Из того факта, что в этот интервал значение 2 попадает, а 1 не попадает,
следует: гипотеза
Н
0
2:
α
=
при уровне значимости 0,1 не будет отвергнута, а гипотеза
:Н
0
1
α
=
должна быть отвергнута.
(1.8.6) корреляционное отношение (1.8.10) оказалось рав-
ным 0,
При использовании модели
8505, что хуже, чем для модели (1.8.2). Оценки коэффициента
α
для
ν
=
∞
01
,
,
рав-
68
ны соответственно 2,069; 2,001; 1,760. Отсюда следует, что выбор
α
= 2
(квадратичная за-
висимость) весьма естественен.
При анализе моделей (1.8.7) - (1.8.9) особый интерес предст вопрос о значимо-
сти свободного члена коэ фици
авляет
- ф ента
Λ
0
ользуя пр. Исп едписания математической стати-
стики, для ответа на этот вопрос надо выполнить следующую процедуру. Полагаем
Λ
0
0
=
и находим оценку коэффициента
$
Λ
, как это было сделано в р.1.7.7. Соответствующую оста-
точную сумму квадратов
()
Ryx
tt
t
1
2
2
1
=−
=
∑
$
T
Λ
сравниваем с остаточной суммой квадратов
R
2
2
по критерию Фишера
F
RR R
T
=
−
−
2 2 2
11
:
. (1.8.15)
Гипотеза
Н
00
0:
1 2 1
Λ
=
отвергается, если критерий
F
превышает
()
F Т
кр
,11
−
.
При обработке данных по участку 3 значение
F
для модели (1.8.7) оказалось равным
7,2
, что превышает критическое значение не только при 5 %, но и при 2,5% уровне значимо-
сти. Дру и словами, знач игим ен е
Λ
0
рмуле (1.8. в фо 7) надо сохранять.
– зависимости (1.8.6), (1.8.9), для которых
R
2
близко к 0,85. Это значит, что соотно-
ения, содержащие перепад квадрата давлени данн ае несколько лучше описыва-
ют опытные данные, чем соотношения, содержащие перепад давления. Однако отличие их
друг от ически эк-
-
ние соотношений (1.8.2),(1.8.6)-(1.8.9)
Соотношение
№
лы
В табл. 1.7 включены некоторые показатели, позволяющие сопоставить модели на
рассматриваемом примере: значения выборочного коэффициента корреляции
rS SS
xy x y
= /
, корреляционное отношение
R
2
, а также оценки параметров
$
,
$
,
$
αΛΛ
0
.
По значениям величины
R
2
сопоставляемые зависимости можно разделить на две
группы: I-я группа – зависимости (1.8.2), (1.8.7), (1.8.8), для которых
R
2
близко к 0,89; 2-я
группа
ш я, в ом случ
друга не слишком существенно. Соотношения (1.8.2), (1.8.7), (1.8.8) практ
вивалентны, использование любого из них одинаково оправдано по формальным статистиче
ским критериям.
Таблица 1.7
Сопоставле
форму-
r R
2
$
Λ
$
α
или
$
Λ
0
69
∆Λ
pq
2
=
α
2 0,9424 0,882 1,903 8,7940
∆Λ
pq
=
α
6 0,9222 0,8505 2,069 0,0655
∆ΛΛ
pq
22
0
=+
7 0,9442 0,8915 5,738 242,70
∆ΛΛ
0
=
8 0,9431 0,8894 177,5 -1228
pq
2
+
∆
Λ
Λ
pq
=+
0
9 0,9221 0,8503 2,162 -14,42
Таким образом, достаточно ввести два коэффициента в уравнение регрессии,
для того чтобы независимо от вида функционального соотношения (из числа рассматривае-
ых) получить прибли Оценки коэффициентов
Λ
в соот-
ношен
и давле-
данные о режимах течения за некоторый период времени, проследить ди-
намику изменения оценок
коэффициентов и корреляционного отношения, сопоставить каче-
тво различных приближений и у дации этих при-
ближений по качеству.
проводам страны. В проведенном исследовании выбирались участки, располо-
н унктов замеров расхода и не содержащие сущест-
енных ых брались среднеарифметические (за
значения величи
о влияют на оценки коэффициентов. Отсев
ально поля. В сомнительных случаях
проверялась аномальность наблюдения с помощью статистических методов. Поскольку ме-
тодика основана на предположении о нормальности закона распределения ошибок замеров,
для некоторых выборок была проверена гипотеза о нормальности по критерию Пирсона. Во
м жения примерно одного качества.
иях (1.8.2), (1.8.6), (1.8.9) сильно отличаются друг от друга. Это и естественно, так как
коэффициент – размерная величина, то есть зависит от единиц измерения расхода
ния.
1.8.4. Для выбора формы зависимости между параметрами потока по участку следует
проанализировать
с стойчивость во времени относительной гра
Приведем некоторые результаты массовой обработки диспетчерских данных по раз-
личным газо
женные епосредственно до или после п
в путевых отборов. В качестве исходных данн
сутки) н
p
н
, p
k
, q
.
Некоторые участки проанализированы более тщательно, обработаны результаты за-
меров за несколько месяцев. В других случаях объем обработки был меньше.
В процессе работы выяснилось, что обязательно следует проводить предварительный
анализ и отсеивать резко выделяющиеся наблюдения. Такие наблюдения, причиной которых
являются, в частности, аварийные ситуации, сильн
проводился
визу после построения корреляционного
70
всех проверенных случаях не было оснований отвергать гипотезу.
Таблица 1.8
Проверка гипотез (участок 3).
п
М
о-дель ег-
рессия
Р
Г
ипо-
теза
Д
е-
кабрь
н-
варь
в-
густ
3
ен-
тябрь
н-
варь
С
4
М
арт
6
п-
рель
1 ln
∆
p
2
α
=
0
−
−
−
−
−
−
−
2
α
=1
−
−
−
−
−
−
−
3 на ln
q
α
=2
−
−
+ + +
−
+
1.8.2---------------------------------------------------------------------------------
4 ln
q
на
α
=0
−
−
−
−
−
−
−
5
α
=1
−
−
−
−
−
−
−
6 ln
∆
p
2
α
=
2
−
+ +
−
−
+ +
--------------------------------------------------------------------------------------------
ln
q
α
=
2
−
−
−
+ + + +
1.8.6---------------------------------------------------------------------------------
ln
q
на
α
=0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
12 ln
∆
p
−
−
+
13
∆
p
2
Λ
=
0
−
−
−
−
−
−
−
+
---------------------------------------------------
0
−
−
q
0
19
q
на
Λ
=
0
−
−
−
−
−
−
−
7 ln
∆
p
α
=0
−
−
−
−
−
−
−
8
α
=1
−
−
−
+ +
−
−
9 на
10
11
α
=
1
−
−
−
−
−
α
=
2
−
+ +
−
14 на
q
2
Λ
0
=0
−
−
+ + + +
1.8.7------------------------------
15
q
2
на
Λ
=
0
−
−
−
−
−
−
−
16
∆
p
2
Λ
=0
−
+ +
−
−
+ +
--------------------------------------------------------------------------------------------
17
∆
p
2
Λ
=0
−
−
−
−
−
18 на
Λ
=0
−
−
−
−
+
−
−
1.8.8---------------------------------------------------------------------------------
71
20
∆
p
2
Λ
0
=0
−
−
−
−
−
−
−
--------------------------------------------------------------------------------------------
+
−
−
2
−
−
−
+
−
−
--------------------------
23
q
на
Λ
=
0
−
24
∆
p
Λ
0
=0
−
−
−
−
−
−
г
обработки диспетчерских данных
по учас
дном случае: модель (1.8.9) в применении
к да н
ущественных ошибках в информации, причина кото-
Г
21
∆
p
Λ
=0
−
−
−
−
2 на
q
Λ
0
=0
1.8.9-------------------------------------------------------
−
−
−
−
+
−
Выводы, которые могут быть сделаны с помощью статистического анализа, во мно-
ом характеризуют метрологическое обеспечение системы. При улучшении точности заме-
ров, особенно замеров расхода, увеличении количества замеряемых параметров ситуация
может коренным образом измениться.
Приведем результаты проверки гипотез в процессе
тку 3 за несколько месяцев (табл.1.8)
Знак “
−
” свидетельствует о том, что проверяемая гипотеза неверна. Если же по вы-
борке нельзя утверждать, что гипотеза неверна, то поставлен знак “+”. Уровень значимости
при проверке гипотез во всех расчетах для этого и других участков принимался равным 0,05.
Для каждой регрессии проверена гипотеза о значимости
H
0
:
α
=
0 (либо
Λ
=0
). Если регрессия
незначима, то выборку нецелесообразно подвергать дальнейшему анализу и делать по ней
какие-либо выводы.
Регрессия оказалась незначимой только в о
н ым за январь (графа 5). В этой выборке коэффициент корреляции оказался лежащим в
пределах от 0,38 до 0,52 (в зависимости от модели). Столь слабая степень коррелированно
-
сти свидетельствует, повидимому, о с
рых не была выяснена.
α
= 1
α
=
2
ипотеза была отвергнута в большей части случаев, а гипотеза менее,
а в среднем более
м линейная зависимость.
Обратим то, чт
чем в половине случаев. Следовательно, зависимость от квадрата расход
оправдана в моделях (1.8.2),(1.8.6), че
также внимание на о гипотеза
Λ
0
0
=
отвергнута в модели (1.8.6) в 5
там корреляции и корреляционному отношению (которые
здесь не приводятся) показывают, что, как правило, модели (1.8.2),(1.8.7),(1.8.8) дают лучшие
случаях из 7. А в моделях (1.8.8),(1.8.9) только в одном случае, если исключить выборку из
графы 5.
Данные по коэффициен