Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
33
Рассмотрим примеры:
1)
Пусть W(j
ω
)=K
1
, тогда
A(
ω
)=К
1
и
1
() 20lg() 20lg
L
AK
ω
ω
=
=
2)
2
()
K
Wj
j
ω
ω
= ; тогда
2
()
K
A
ω
ω
=
;
2
( ) 20lg 20lg
L
K
ω
ω
=
−
если обозначить
lg
x
ω
= , то
2
( ) 20lg 20
L
Kx
ω
=
− .
Пусть ω=1, тогда
2
() 20lg
L
K
ω
= .
Определим наклон прямой, для этого вычислим L(ω) при ω
1
и 10ω
1
22
(10 ) ( ) 20lg 20lg10 (20lg 20lg ) 20
11 1 1
L
LK K дБ
ω
ωωω
−= − − − =−
, то есть за
одну декаду L(ω) уменьшится на 20дБ и наклон прямой составляет –20
дБ/дек.
3)
3
2
()
()
K
Wj
j
ω
ω
=
3
2
()
K
A
ω
ω
=
2
33
( ) 20lg 20lg 20lg 40lgLK K
ω
ωω
=−=−
L(ω) также имеет вид прямой с наклоном –40дБ/дек.
4)
4
()Wj Kj
ω
ω
=
4
()
A
K
ω
ω
⋅
=
4
( ) 20lg 20lg
L
K
ω
ω
=+
Это уравнение прямой с наклоном +20дБ/дек.
20lgK
2
4
3
1 10 100
10
20
30
20°
40°
60°
-20°
-40°
-60°
20lgK
1
L
(ω)
ϕ(ω)
ω,1/сек
2
20lgK
3
-40дБ/дек
-20дБ/дек
20дБ/дек
Рис. 3.9
1
34
3.4. Понятие об устойчивых минимально-фазовых звеньях
Звено называется устойчивым, если при ступенчатом воздействии на
входе звена, его выходная величина устанавливается на некотором
определенном значении.
Устойчивость можно определить по передаточной функции звена
n
a
n
pa
n
pa
m
b
m
pb
m
pb
pA
pB
pW
++
−
+
++
−
+
==
K
K
1
10
1
10
)(
)(
)(
.
Передаточную функцию звена можно представить в виде:
()
0
1
()
()
0
1
j
m
b П pq
j
Wp
n
a П pr
i
i
−
=
=
−
=
,
где q
j
– нули W(p), которые являются корнями уравнения B(p) = 0,
r
i
– полюсы W(p) или корни уравнения A(p) = 0,
П – знак произведения.
Устойчивость звена определяется корнями полиномов. Для
устойчивых звеньев полюсы имеют отрицательные вещественные части, при
Рис. 3.13
x
1
1
t
x
1
1
t
x
2
t
Устойчивое
x
2
t
Неустойчивое
Рис. 3.12
Рис. 3.11
Рис. 3.10
35
этом свободная составляющая решения дифференциального уравнения
содержит слагаемые типа
r
i
t
i
C e
⋅
⋅
, которые стремятся к нулю.
Минимально-фазовые звенья имеют все нули и полюсы W(p) с
отрицательными вещественными частями. Название звеньев обусловлено
тем, что этим звеньям присущи меньшие по абсолютной величине фазовые
сдвиги по сравнению со звеньями, где это условие не выполняется.
Для этих звеньев справедливы зависимости:
∫
∞
∞−
−
−= du
u
V
U
ω
ω
π
ω
)(
1
)(
;
∫
∞
∞
−
−
= du
u
)
(
U
1
)(V
ω
ω
π
ω
;
∫
∞
∞−
−
= du
u
uA
ωπ
ωϕ
)(ln
7,8
1
)(
.
где u – переменная интегрирования. Эти выражения вытекают из
преобразований Гильберта и имеют важное значение, так как дают
однозначное соответствие между АЧХ и ФЧХ, а также АЧХ и W(jω).
4. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Любую САУ можно разделить на ряд элементов, которые описываются
определенными дифференциальными уравнениями. Причем одним классом
дифференциальных уравнений могут описываться элементы различной
физической природы (электрические, механические, тепловые и т.д.). Этот
факт позволяет все многообразие элементов систем изучать на основе
ограниченного числа типовых динамических звеньев.
Поэтому класификация звеньев осуществляется именно по
типу
дифференциального уравнения или по виду передаточной функции.
Для каждого звена будем рассматривать следующие характеристики:
1. дифференциальное уравнение,
2. передаточная функция – W(p);
3. переходная функция – h(t);
4. частотные характеристики: W(j
ω
), L(
ω
),
ϕ
(
ω
);
5. примеры.
4.1. Безынерционное или пропорциональное звено
Описывается в статике и динамике уравнением
x
2
= Kx
1
,
где K - коэффициент усиления или передачи звена.
Передаточная функция имеет вид
36
W(p) = K.
Переходная функция звена
K
t
K
t
h
=
×
=
)(1)( .
Частотнвя передаточная функция имеет вид
W(jω) = K.
Характеристики изображены на рис. 4.3 – 4.5.
Примеры звеньев.
1) Делитель напряжения.
2) Электронный усилитель
x
1
1
t
x
2
K
t
h(t)
Рис. 4.1
Рис. 4.2
U
вых
R
1
R
2
U
вх
Рис
.
0°
L(ω)=20lgK
V(ω)
K
U(ω)
Рис. 4.3 АФХ
20lgK
ω
L(ω)
ω
ϕ(ω)
ϕ(ω)=0°
Рис. 4.4. ЛАЧХ
Рис. 4.5. ЛФЧХ
U
ВЫХ
= K U
ВХ
,
K= R
2
/(R
1
+R
2
).
37
3) Механический рычаг. Если пренебречь массой рычага, то
11
1
2
2
Kxx
l
l
x =⋅=
, где
1
2
l
l
K =
4.2. Апериодическое звено первого порядка
Описывается уравнением
2
21
dx
Txkx
dt
+=
;
где: k – коэффициент усиления, T – постоянная времени.
Передаточная функция
1
)(
+
=
Tp
k
pW
.
Найдем переходную функцию звена, решив дифференциальное
уравнение. Характеристическое уравнение имеет вид
01=+T
r
;
Откуда единственный корень
T
r
1
−= .
Тогда общее решение дифференциального уравнения
T
t
Ce
rt
Cex
−
==
2
.
Если
1
() 1()xt t= , то частное решение
2
xk
∗
=
.
Тогда
222
*
t
T
x
xxCe k
−
=+= +
;
Подставив начальные условия: t = 0, x
2
= 0, получим x
2
(0) = С + k = 0,
откуда C = – k.
Рис.
47
Электронный
усилитель
U
вых
U
вх
U
вых
= K U
вх
Рис.
48
l
1
l
2
x
2
x
1
38
Окончательное выражение для переходной функции (рис. 4.10) примет
вид
2
() (1 )
t
T
xhtk e
−
==− .
Частотная передаточная функция
Ее можно представить
1
22
1
22
)1(
)1(
1
)(
+
−
+
=
+−
+−
×
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
kT
j
T
k
Tj
Tj
Tj
k
jW
;
;
1
22
)(
+
=
ω
ω
T
k
U
;
1
22
)(
+
−=
ω
ω
ω
T
k
T
V
Годограф изображен на рис. 4.11.
1
22
2
)1
22
(
)1
22
(
2
2
)
1
22
(
2
)
1
22
()(
2
)(
2
)(
+
=
=
+
+
=
+
+
+
=+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
T
k
T
Tk
T
kT
T
k
VUA
x
1
1
t
x
2
K
t
h(t)
T
Ри Рис.
410
1
)(
+
=
ω
ω
Tj
k
jW
V
ω
2
ω
1
ω=0
ω→∞
ϕ(ω
1)
A(ω
1)
V(ω
1)
U
U(ω
1)
Рис. 4.11
39
;
2
1
2
)(
T
T
k
A
+×
=
ω
ω
;)(
)(
)(
)(
;
2
1
2
lg20lg20)(
ωω
ω
ω
ωϕ
ωω
arctgTTarctg
U
V
arctg
T
TkL
−=−==
+−=
Построим ЛАЧХ (рис. 4.12)
1)
Пусть
1
T
ω
< , тогда пренебрегаем ω и считаем ω
2
≈ 0
k
k
L
lg201lg20lg20)( =−=
ω
2)
Пусть
T
1
>
ω
, тогда
2
1
2
T
>>
ω
)(
2
)(
1
lg20lg20)(
ω
ω
ω
ω
L
L
T
k
L
+
=
−=
Определим наклон L
2
(ω) на декаду
20lg 10 ( 20lg ) 20lg 20lg10 20lg 20 /TTT TдБ дек
ω
ωω ω
−⋅−−⋅=− − + =−
20lgk
100 1 10
40
20
-45°
-90°
ϕ(ω)
L(ω)
ω,с
-1
L
2
(ω
)
ϕ(ω)
-20дБ/дек
Приближенная (асимптотическая)
Погрешность 3 дБ
Точная
Ри
40
Примеры звена.
1. RC–цепь, изображенная на рис. 4.13.
Приведенная RC–цепь описывается уравнением
,uu
d
t
du
RC
12
2
=+
где T=RC – постоянная
времени звена.
Передаточная функция может быть найдена также через комплексные
сопротивления ветвей
1
() () ()
1
22
()
1
() ()[ () ()] 1
121
Up Ipzp
Cp
Wp
Up Ipz p zp RCp
R
Cp
⋅
== == =
+
+
+
.
2. Генератор постоянного тока, приведенный на рис. 4.14.
Свойства генератора описываются
передаточной функцией
,
1pT
K
)p(U
)p(E
)p(W
В
Г
В
Г
+
==
где U
В
– напряжение обмотки
возбуждения; Е
Г
– э.д.с. генератора; T
В
–
электромагнитная постоянная обмотки
возбуждения; К
Г
– коэффициент
передачи генератора.
4.3. Звено второго порядка
C
R
u
1
u
2
U
в
=
x
1
E
г
=
x
2
Г
Рис. 4.14
.
Cp
1
)p(
2
z;R)p(
1
z ==
Рис. 4.13
41
Его динамические свойства описываются дифференциальным
уравнением второго порядка
2
2
22
2121
2
dx dx
TTxkx
dt dt
+
+=.
Звену соответствует передаточная функция:
22
21
()
1
k
Wp
Tp Tp
=
++
.
Характеристическое уравнение звена и его корни имеют вид
;01rTrT
1
22
2
=++
2
2
2
2
2
11
2,1
T2
T4TT
r
−±−
=
.
Возможны два случая:
1. 0T4T
2
2
2
1
<− – корни комплексные, а звено называется колебательным;
2. 0T4T
2
2
2
1
≥− – корни действительные отрицательные, а звено является
апериодическим второго порядка.
4.3.1. Колебательное звено
Передаточную функцию звена в этом случае принято записывать в
следующем виде
22
()
21
k
Wp
Tp Tp
ξ
=
++
,
где T = T
2
, 2
ξ
T = T
1 .
Откуда определим 1
T
2
T
1
<=
ξ
- показатель колебательности.
Корни характеристического уравнения будут равны
,j
T
2
T4T4T2
r
2
222
2,1
βα
ξξ
±=
−±−
=
42
где
T
ξ
α
−= – вещественная часть корней;
2
1
T
1
ξβ
−= – мнимая часть
корней.
Если на вход поступает воздействие
x
1
=1(t), то найдем переходной процесс.
;
*
2
kx =
)(1)]sin
2
cos
1
([
2
ttCtC
t
ekx ⋅++=
ββ
α
Пусть при
t=0; (x
2
)
0
=0 и (x΄
2
`
)
0
=0
20 1
() 0
x
kC=+ =
1
Ck
=
−
20 1 2
() 0
x
CC
α
β
′
=+ =
1
2
Ck
C
α
α
β
β
=− =
).(1)]sin(cos1[)(
2
ttteKthx
t
⋅−−==
β
β
α
β
α
Переходный процесс изображен на рис. 4.15. На основе полученной
переходной функции можно определить параметры передаточной функции.
Из рис. 4.15 следует:
τ
π
β
2
=
;
1
A
2
A
ln
1
τ
α
=
;
но
T
1
22
=+
βα
, тогда
получим
Т=
22
1
βα
+
; T
α
ξ
−
=
.
Рис. 4.15
Частотные характеристики
22
()
21
k
Wj
TTj
ω
ω
ξω
=
−
++
t
h
(
t
)
A
2
A
1
x
2
K
τ=2
π
/
β
k
(
1-e
α
t
)
k
(
1+e
α
t
)
ω=∝
ω=0
V(ω)
k
ξ
2
k
U(ω)
ω=1/T