Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
63
22
()
21
k
Wp
Tp Tp
ξ
=
++
,
где T = T
2
, 2
ξ
T = T
1 .
Откуда определим 1
T
2
T
1
<=
ξ
- показатель колебательности.
Корни характеристического уравнения будут равны
,j
T
2
T4T4T2
r
2
222
2,1
βα
ξξ
±=
−±−
=
где
T
ξ
α
−= – вещественная часть корней;
2
1
T
1
ξβ
−= – мнимая часть
корней.
Если на вход поступает воздействие x
1
=1(t), то найдем переходной процесс.
;
*
2
kx =
)(1)]sin
2
cos
1
([
2
ttCtC
t
ekx ⋅++=
ββ
α
Пусть при t=0; (x
2
)
0
=0 и (x΄
2
`
)
0
=0
20 1
() 0
x
kC=+ =
1
Ck
=
−
20 1 2
() 0
x
CC
αβ
′
=+ =
1
2
Ck
C
α
α
ββ
=− =
).(1)]sin(cos1[)(
2
ttteKthx
t
⋅−−==
β
β
α
β
α
Переходный процесс изображен на рис. 4.15. На основе полученной
переходной функции можно определить параметры передаточной функции.
Из рис. 4.15 следует:
τ
π
β
2
= ;
1
A
2
A
ln
1
τ
α
= ;
но
T
1
22
=+
βα
, тогда
получим
t
h
(
t
)
A
2
A
1
x
2
K
τ=2
π
/
β
k
(
1-e
α
t
)
k
(
1+e
α
t
)
64
Т=
22
1
βα
+
;
T
α
ξ
−
=
.
Рис. 4.15
Частотные характеристики
22
()
21
k
Wj
TTj
ω
ω
ξω
=
−+ +
Логарифмические частотные характеристики
22
()
(1 ) 2
k
Wj
TjT
ω
ω
ξω
==
−+
22 22
;
k A jB kA kB
j
AjBAjB
A
BAB
−
=×= −
+−
++
где обозначено А=1–Т
2
ω
2
; В= 2ξТω.
Найдем модуль
22 2
22
22 22 222
2
()
()()()
()
kA kB k A B
k
A
AB AB AB
A
ω
+
=+= =
++ +
+
222 222
2222
2
()
1
(1 ) 4
()4
kk
A
TT
T
T
ω
ωξω
ωξω
==
−+
−+
ω=∝
ω=0
V(ω)
k
ξ
2
k
U(ω)
ω=1/T
6
65
Тогда ЛЧХ будут иметь вид:
22 2 2
2
22
11
( ) 20lg 20lg ( ) 4LkT
TT
ωωξω
=− −+
22
() 2
() ( ) ( )
()
1
VkBT
arctg arctg arctg
UkA
T
ωξ
ω
ϕω
ω
ω
==−=−
−
.
Построим ЛЧХ:
1)
ω<1/T, то ω
2
≈0,
k
L
lg20)( =
ω
2)
ω>1/T, то 1/T
2
≈0,
22
( ) 20lg 20lg ( ) ( )
12
LkTLL
ω
ωωω
=− =+
Наклон
)(
2
ω
L
222 22 2
20lg 10 ( 20lg ) 20lg10 40 /TT дБ дек
ωω
−−−=−=−
ЛЧХ изображены на рис. 4.17 при различных значениях ξ.
Фазовые характеристики звена могут быть построены по выражению
.
1
2
)(
22
1
1
ω
ω
ε
ωϕ
Т
Т
arctg
−
−=
ω=Т
-1
0,1
ξ=0,1
ξ
=0,01
ω
,
с
-1
ϕ
L,дБ
20l
g
k
10
1
40
20
-90°
-180°
ϕ
(
ω
)
-40дБ/дек
ξ=0,1
ξ
=0,01
ξ
=1
ξ=1
L
(
ω
)
Рис. 4.17
66
При вычислении характеристики φ
(ω) на калькуляторе или в системе
Mathcad необходимо учесть переход с одной ветви функции arctg на
другую при изменении знака знаменателя и проводить вычисления по
выражениям:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−
−−
≤
−
−
=
.
1
,
1
2
180
;
1
,
1
2
)(
1
22
1
1
1
22
1
1
T
при
Т
Т
arctg
T
при
Т
Т
arctg
ω
ω
ωε
ω
ω
ω
ε
ωϕ
o
Примеры колебательных звеньев.
1. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 4.18).
Описывается уравнением в
операторной форме
(T
М
T
Я
p
2
+T
М
p+1)
ω
=К
Д
U
Я
,
где T
Я
=L
Я
/R
Я
– электромагнитная
постоянная якоря; T
M
=(R
Я
J)/(C
Е
C
М
) –
электромеханическая постоянная;
К
Д
=1/C
Е
– коэффициент передачи
двигателя.
2. RLC–цепь (рис. 4.19)
Описывается уравнением
(LCp
2
+RCp+1)U
2
=U
1
.
Звено является колебательным при
выполнении условия
C
L
2R
< .
Рис. 4.19
4.3.2. Апериодическое звено второго порядка
В этом случае передаточная функция звена второго порядка
С
L
R
u
1
u
2
U
я
=
x
1
U
в
ω
=
x
2
Рис. 4.18
67
22
21
()
1
k
Wp
Tp Tp
=
++
записывается в более удобной форме
34
()
(1)(1)
k
Wp
Tp Tp
=
++
.
Постоянные времени Т
3
и Т
4
определяют из решения системы уравнений
⎩
⎨
⎧
+=
=
,TTT
,TTT
431
43
2
2
и их значения равны
.T
4
T
2
T
T
2
2
2
11
4,3
−±=
Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум
апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно с
общим коэффициентом k и постоянными времени T
3
и T
4
.
Переходная функция находится путем решения дифференциального
уравнения. Характеристическое уравнение звена имеет действительные
отрицательные корни.
(T
3
r+1) (T
4
r+1)=0; r
1
= –1/T
3
, r
2
= –1/T
4
.
Если x
1
=1(t), то
12
()
212
rt r t
x
ht k Ce C e==+ +
.
C
1
и C
2
найдем с учетом начальных условий: t=0, x
2
= x
2
`=0.
10 1 2
20 1 1 2 2
() 0
() 0
x
kC C
xrCrC
=+ + =
′
=+ =
1
2
21
;
rk
C
rr
=
−
2
1
21
;
rk
C
rr
=
−
Переходная функция изображена на рис. 4.20.
T
4
x
1
1
t
x
2
K
t
h(t)
T
3
+T
4
Рис. 4.20
68
Частотная передаточная функция имеет вид
)1
4
)(1
3
(
)(
++
=
ωω
ω
jTjT
k
jW
АФХ изображена на рис. 4.21.
Логарифмические частотные характеристики (рис. 4.22), построены по
выражениям
22 22
34
() 20lg() 20lg ;
11
k
LA
TT
ωω
ωω
==
+
+
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
4343
arctgTarctgT)()()(
−
−
=
+= .
Рис. 4.22
Примеры апериодических звеньев второго порядка.
Рис. 4.21
A(ω)
ω=∝
ω=0
V
k
U
ϕ
4
ω
,
с
-1
-180°
ϕ
40
20
-90°
L
(
ω
)
ϕ
(
ω
)
1/T
3
1/T
4
-40дБ/дек
-20дБ/дек
L,дБ
ϕ
3
69
1. Двигатель постоянного тока при выполнении условия T
М
≥4T
Я
.
2. RLC–цепь при выполнении условия
CL2R ≥
.
4.4. Интегрирующие звенья
Общее свойство интегрирующих звеньев в том, что их выходная
величена неограниченно возрастает при постоянной величине входного
сигнала.
4.4.1. Идеальное интегрирующее звено
Описывается уравнением
2
1
dx
kx
dt
=
,
и имеет передаточную функцию
p
k
)p(W
=
.
Переходная функция:
1
() 1()
x
tt
=
;
2
0
() () 1()
t
xt ht k tdt kt
∫
=
==.
Рис. 4.33
Частотная передаточная функция
ωω
ω
k
j
j
k
jW −==)(
; U(ω)=0; V(ω)= - k/ω
:)()(
2
ω
ω
ω
k
k
A =−=
()
() ( ) 90
()
V
arctg arctg
U
ω
ϕω
ω
==−∞=−°
x
1
1
t
x
2
t
α
tgα=k
ω=∞
ω
W(jω)
ω→0
U
V
Рис. 4.34
70
Логарифмические частотные характеристики (рис. 4.35) строятся по
выражениям
( ) 20lg 20lg ;
L
k
ω
ω
=−
o
90)(
−
=
ω
ϕ
.
Если
ω=1, то
k
L
lg20)( =
ω
.
Найдем наклон.
20lg 20lg10 (20lg 20lg )
20 /
kk
дБ дек
ω
ω
−
−− =
=
−
Примеры звена.
1. Двигатель постоянного тока (рис. 4.36), если допустить, что T
Я
=0,
T
М
=0 и в качестве выходной величины рассматривать угол поворота якоря, а
в качестве входной – напряжение якорной цепи.
Рис. 4.36 Рис. 4.37
2.Гидравлический резервуар (рис.4.37). Входным воздействием
является расход воды G, поступающий в резервуар, а выходной величиной
уровень воды в резервуаре H. Входная и выходная величины связаны
зависимостью
GdtdHS = , где S – площадь поперечного сечения
резервуара.
3. Модель интегрирующего звена
20lgk
1 10
L(ω)
ω
,с
-1
k=ω
Рис. 4.35
U
я
=
x
1
U
в
α
=
x
2
G=
x
1
H=х
2
71
4.4.2. Интегрирующее звено с замедлением
Дифференциальное уравнение звена
2
22
1
2
dx dx
Tkx
dt
dt
+=.
Передаточная функция звена
)1(
)(
+
=
Tpp
k
pW
,
то есть соответствует идеальному интегрирующему звену и апериодическому
звену первого порядка, соединенным последовательно.
);(1
1
tx =
)(1)]1([)(
2
)( t
T
t
eTtktxth ×
−
−−==
Частотная передаточная функция
)1(
)(
+
=
ωω
ω
Tjj
k
jW
R
С
U
1
=x
1
U
2
=x
2
Рис. 4.38
h(t)
x
1
1
t
x
2
t
T
kt
Рис. 4.39
Рис. 4.40
ω=∞
ω→0
V
U
Рис. 4.41
72
Логарифмические частотные характеристики
Пример: двигатель постоянного тока при T
я
=0; T
m
≠0
4.4.3. Пропорционально-интегральное звено
Описывается уравнением
21
11
dx dx
kx k
dt dt
=+
.
Передаточная функция имеет вид
p
Tpk
k
p
k
pW
)1(
1
)(
+
=+=
, где
1
k
T
k
=
- постоянная времени.
Переходная функция
2
() () ( ) 1()
1
xt ht kt k t==+×
U
1
=x
1
0
ϕ
=
x
2
Рис. 4.43
-20lgk
-40дБ/дек
-20дБ/дек
-90°
-180°
ω,с
-1
ϕ(ω)
1/T
ϕ(ω) L(ω)
Рис. 4.42