Сиротин Э.Е. Автоматизированные системы управления технологическими процессами. Конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

процесс носит название переходной характеристики системы. По виду пере-

ходной характеристики (по ее графику) представляется возможным судить о ка-

честве процессов в системе.

В качестве входного сигнала системы можно использовать импульсный

сигнал, описываемый импульсной дельта-функцией:

( ) ( ) , ( ) 1, ( ) { ( )} 1,

0, 0

x t t t dt X p L t

  









    









тогда изображение процесса в системе определится в виде Y(p) = W(p) или

( ) ( )y t w t

, где

( ) { ( )}w t L W p





- импульсная переходная функция или весовая

функция системы. Импульсная переходная функция также отображает собствен-

ные динамические свойства системы автоматического управления.

Передаточные функции типовых объектов управления различной физи-

ческой природы приведены в табл. 4.1. Разумеется, эти передаточные функ-

ции соответствуют предельно упрощенному описанию управляемых объек-

тов.

Таблица 4.1.

№ про-

цесса

Передаточная функ-

ция

()Wp

Переходная ха-

рактеристика

()ht

Примеры

Напряжение и ток в электрической

цепи

Давление и поток жидкости в тру-

бопроводе

Tp

Давление и поток в газопроводе

Число оборотов электродвигателя

Уровень жидкости в резервуаре при

одновременном наполнении и сливе

T p T p

Температура печи

Напряжение генератора

Число оборотов электродвигателя

Число оборотов мощного электро-

двигателя

Курс корабля

Уровень жидкости в резервуаре при

его наполнении

( 1)

p T p 

Угол поворота электропривода

()ht







Участок трубопровода

Линия задержки

Транспортер

Передаточные функции типовых объектов управления

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ И ФОРМИ-

РОВАНИЕ ИЗ НИХ СТРУКТУР САУ

При моделировании систем управления применяют так называемые ти-

повые звенья, которые приближенно соответствуют элементам реальных сис-

тем, точно и просто описываются математически.

Типовые звенья позволяют провести структурное моделирование сис-

темы управления путем замены функциональных элементов системы их

структурными моделями. Свойства структурной модели системы исследуют-

ся математическими методами, а результаты исследований переносятся на

исходную систему, позволяя судить о ее свойствах.

Классификация типовых линейных звеньев строится по возрастанию

совокупности физических свойств, которыми обладают звенья, а также по

возрастанию степени дифференциальных уравнений, которыми они описы-

ваются:

1. простейшие звенья:

а) пропорциональное;

б) интегрирующее;

в) дифференцирующее;

2. звенья I порядка:

а) апериодическое (инерционное);

б) форсирующее;

в) инерционно-дифференцирующее и др.;

3. звенья II порядка:

а) колебательное и его частный случай

б) апериодическое звено II порядка;

4. звено запаздывания.

Типовые простейшие звенья.

Пропорциональное звено это такое звено, выходной сигнал y(t) которо-

го пропорционален входному x(t):

y kx

(4.1)

 

W p k

(4.2)

()ht



Таким образом, пропорциональное звено является безинерционным.

Рисунок 4.1. Структурная схема пропорционального звена

Пропорциональными звеньями моделируются усилители, редукторы,

делители напряжения и т.п.

Интегрирующим звеном называется такое звено, выходной сигнал ко-

торого пропорционален интегралу по времени от входного сигнала:

( ) ( )

y t x t dt





, (4.3)

где Т – постоянная времени интегратора, сек.

Как видно из (4.3), интегратор накапливает входной сигнал с течением

времени. Постоянная времени интегратора T численно характеризует ско-

рость этого накопления.

Рисунок 4.2. Структурная схема интегрирующего звена

Примеры элементов систем, которые могут быть представлены инте-

граторами: емкости (электрическая и гидравлическая), вал некоторой машины

или двигателя, угол поворота которого пропорционален интегралу от частоты

вращения и др.

Передаточная функция интегратора:

( ) ,

pT p



(4.4)

где k = 1/Т – коэффициент усиления интегратора.

Переходная функция интегратора (реакция интегратора на ступенчатое

единичное воздействие) в соответствии с определением (4.3) равна:

( ) 1 ( )h t t t



(4.5)

Рисунок 4.3. Переходные функции интеграторов с разными постоянными времени.

Переходная функция интегратора линейно растет с течением времени.

Скорость роста обратно пропорциональна постоянной времени интегратора.

Выходной сигнал интегратора достигает уровня ступенчатой функции за вре-

мя, равное постоянной времени Т интегратора. Это позволяет определять по-

стоянную времени интегратора по его экспериментально снятой характери-

стике

Типовые звенья I порядка

Апериодическим (инерционным) звеном могут быть промоделированы

не только объекты, обладающие инерционностью, но приближенно и некото-

рые простые объекты целиком.

Физически апериодическое звено содержит один накапливающий энер-

гию элемент, а также один или несколько элементов способных ее рассеивать.

Апериодическое это такое звено, которое описывается дифференци-

альным уравнением:

',Ty y kx

(4.5)

где: k – коэффициент усиления, который может быть размерным;

Т – постоянная времени апериодического звена, сек.

Рисунок 4.4. Представление апериодического звена на структурных схемах

Как видно из (4.5), такой сложное с физической точки зрения свойство

объекта, как инерционность, пусть приближенно, но очень просто описывает-

ся математически: функцией с всего двумя параметрами (числами): k и T.

Из уравнения (4.5) следует, что передаточная функция апериодического

звена равна:

()





. (4.6)

Знаменатель передаточной функции (3.9) называется характеристиче-

ским полиномом апериодического звена:

( ) 1A p Tp

(4.7)

Приравнивание характеристического полинома к нулю дает характери-

стическое уравнение апериодического звена:

10pT 

. (4.8)

Его решения называются корнями характеристического полинома. В

данном случае корень один:



(4.9)

Этот корень и определяет инерционные свойства апериодического зве-

на.

Переходная характеристика апериодического звена может быть получе-

на обратным преобразованием Лапласа передаточной функции:

( ) ( ) (1 )

h t L W p k e





  





(4.10)

Рисунок 4.4. Примеры переходных характеристик апериодических звеньев.

Коэффициент усиления звена определяет уровень, к которому стремит-

ся переходная характеристика с течением времени. Касательная, проведенная

в начале координат к переходной характеристике, пересекает этот уровень в

момент времени, равный постоянной времени апериодического звена Т.

Эти свойства апериодического звена, а также то, что переходный про-

цесс заканчивается приближенно за время, равное 3Т, позволяет определять

параметры звена (коэффициент усиления и постоянную времени) по его экс-

периментальной переходной характеристике.

Как видно, апериодическое звено не сразу, а постепенно реагирует на

ступенчатое воздействие, в этом и проявляется его инерционность, которая

численно может характеризоваться величиной постоянной времени, посколь-

ку переходный процесс заканчивается примерно за 3Т. За время 3Т переход-

ная характеристика достигает 95% уровня, к которому она стремиться при

стремлении времени к бесконечности.

Форсирующее звено при правильно подобранных параметрах стабили-

зирует систему и одновременно повышает ее быстродействие.

В чистом виде, автономно форсирующее звено в природе не существу-

ет. Автономно оно физически не реализуемо, но может быть включено как

элемент в модели более сложных звеньев и широко применяется в практике

построения систем управления.

Рисунок 4.4. Представление на структурной схеме форсирующего звена

Форсирующее звено – это такое звено, у которого передаточная функ-

ция определяется как:

( ) ( 1)W p k pT

. (4.11)

Как видно из (3.16), передаточная функция является обратной переда-

точной функции инерционного звена, поэтому включение форсирующего

звена последовательно с инерционным уменьшает их совокупную инерцион-

ность.

Инерционно - дифференцирующее звено – это такое звено, передаточ-

ная функция которого равна:

()

kpT





(4.12)

Такие звенья применяются в так называемых гибких обратных связях,

повышая при правильно подобранных параметрах, быстродействие и устой-

чивость системы.

Колебательное звено.

Это звено может возвращаться в исходное состояние по окончанию

воздействия на него колебательным или монотонным образом в зависимости

от его параметров.

Физически колебательное звено содержит два элемента, способных на-

капливать энергию разного вида (кинетическую и потенциальную, электриче-

скую и магнитную), а также один или несколько элементов способных рас-

сеивать энергию.

Рисунок 4.7. Представление колебательного звена на структурной схеме.

Колебательное звено это такое звено, дифференциальное уравнение ко-

торого имеет вид:

'' 2 'T y Ty y kx



  

. (4.13)

Звено характеризуется тремя параметрами:

Т – постоянная времени, сек;

k – коэффициент усиления, может быть размерным;

δ - декремент затухания, характеризующий скорость затухания свобод-

ных колебаний звена.

Если δ < 1, звено называется колебательным.

Если δ > 1, звено называется также и апериодическим звеном II поряд-

ка.

Как видно из дифференциального уравнения, передаточная функция

колебательного звена имеет вид:

()

T p Tp







. (4.14)

Отсюда, характеристическое уравнение имеет вид:

2 1 0T p Tp



  

. (4.15)

При решении данного уравнения могут быть два случая:

а) р

и р

– действительные корни (апериодическое звено II порядка, при

этом δ > 1);

б) р

1,2

= -σ ± jω – комплексно сопряженные корни.

Для апериодического звена II порядка, когда δ > 1 может быть исполь-

зована и другая форма представления передаточной функции:

2 2 2

1 2 2 2

()

TT p T p T p T p



   

(4.16)

Параметры знаменателя (4.16) связаны условием: Т

> 4T

(это выпол-

няется при δ > 1)

Переход от одних параметров к другим осуществляется по формулам:

1 2 2

; 2 ;TT T T T





отсюда

;





(4.17)

2 2 2

;

T T T

T TT



   

Переходная функция колебательного звена выглядит следующим обра-

зом:

( ) 1 sin( ) , 1,

, arccos( ).

h t k e t



  



  





   











(4.18)

Переходная функция апериодического звена второго порядка выглядит

так:

2 1 2 1

( ) 1 , 1, ( 4 ).

h t k e e T T

T T T T







    









(4.19)

Рисунок 4.8. Переходные функции колебательных звеньев.

С течением времени значения характеристик стремятся к величине ко-

эффициентов усиления звеньев. При δ > 1 колебательность переходной функ-

ции исчезает, функция становится монотонной. Постоянная времени Т коле-

бательного звена не равна периоду колебаний Ткол:

êî ë









, при

δ < 0.5 период затухающих колебаний равен примерно Ткол ≈ 2 π Т .

По колебательной (δ < 0.5) переходной характеристике колебательного

звена можно приближенно оценить его параметры:

- уровень успокоения колебаний равен коэффициенту усиления звена;

- постоянная времени равна Т ≈ Т

кол

/2π;

- декремент затухания δ ≈ 3Т/Т

пер

Рисунок 4.9. Переходная функция колебательного звена позволяет оценить его параметры

Длительность переходного процесса Т

пер

колебательного звена при

δ < 0.5 равна 3Т/δ, при δ > 1 она составляет 6δТ. При δ = 0.707, длительность

переходного процесса минимальна и составляет 2.3Т.

Звено запаздывания.

Звено запаздывания задерживает выходной сигнал по времени относи-

тельно входного на время τ

( ) ( )

y t x t





(4.20)

Рисунок 4.10. Обозначение звена запаздывания на структурной схеме.

Свойства звена запаздывания проявляются в протяженных транспорт-

ных и информационных системах (рис.4.11).

Рисунок 4.11. Запаздывание в транспортной системе подачи песка.

Если рассматривать скорость поступления песка из бункера на ленту

транспортера и выгрузки его с ленты как входной и выходной сигналы, то

выходной оказывается задержанным на время τ

сек по сравнению со вход-

ным. В условный момент бункер открывают, и песок начинает поступать на

ленту. Песок, попавший на ленту τ

сек назад, высыпается с нее.

Применим к уравнению (4.20) преобразование Лапласа. Получим:

( ) ( )

Y p e X p







. (4.21)

Из (4.21)

()

W p e







. (4.22)

x(t)

y(t)