Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Рис. 1

Многие методы прогнозирования требуют наличия значительного

количества начальных данных и при их отсутствии просто не рабо-

тают. Другие, напротив, разрабатываются при условии отсутствия

достоверной количественной информации. Тем самым существую-

щие методы составления прогнозов можно условно разбить на две

группы — количественные и качественные (рис. 2).

Рис. 2

Качественные, или экспертные, методы прогнозирования (quali-

tative methods) строятся на использовании мнений специалистов в

соответствующих областях (экспертов).

Количественные методы прогнозирования (quantitative methods)

основываются на обработке числовых массивов данных (как значи-

тельных по объему, так и сравнительно небольших) и в свою оче-

191

ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

редь разделяются на каузальные, или причинно-следственные, ме-

тоды (causal

metods)

и методы анализа временных рядов (time series

methods).

Основанный на допущении, в соответствии с которым происшед-

шее в прошлом дает

хорошее

приближение в оценке будущего, ана-

лиз временных рядов является способом выявления тенденций про-

шлого и продления их в будущее.

Каузальные методы применяются в тех случаях, когда

искомое

состояние зависит не только от времени, но и от нескольких, и даже

многих переменных. Отыскание математических связей (уравнений

и/или неравенств) между всеми этими переменными и составляет

суть каузального метода прогнозирования.

- да

нет

Рис. 3

На рис. 3 приведена логическая схема, пользуясь которой можно

выбрать тот тип прогнозирования, который в наибольшей степени

отвечает поставленной задаче и ее начальным условиям.

Далее мы остановимся на описании особенностей каждого из трех

перечисленных выше типов прогнозирования более подробно, а так-

же расскажем о некоторых конкретных методах составления про-

гнозов.

192

10.1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Одним из существенных критериев, которым часто руководству-

ются при выборе того или иного метода прогнозирования, является

полная стоимость

прогноза,

слагающаяся из затрат на его составле-

ние и цены ошибки прогноза. Поэтому стремление заказчика сделать

эту стоимость как можно меньшей нужно воспринимать совершенно

естественно.

10.1. Анализ временных рядов

Временным

(динамическим,

или хронологическим) рядом называет-

ся последовательность значений некоторого показателя во времени

(например, объемов продаж).

Различают два вида временных рядов — моментные, когда зна-

чения рассматриваемого показателя

отнесены к определенным моментам времени (например, дням)

при этом обычно считается, что

и интервальные, когда указаны соответствующие промежутки вре-

мени, интервалы:

Временные ряды чаще всего задаются при помощи таблицы:

моментный ряд

193

ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Рис.

В задачах прогнозирования временные ряды используются при

наличии значительного количества реальных значений рассматри-

ваемого показателя из прошлого и при условии, что наметившаяся

в прошлом тенденция ясна и относительно стабильна. При этом не-

явно предполагается, что прошлое является хорошим проводником

в будущее. Анализ

временных

рядов позволяет предопределить, что

должно произойти при отсутствии вмешательства извне, и, значит,

не может предсказать изменения

тенденции.

Тем самым, подобным

анализом предпочтительнее пользоваться при составлении кратко-

срочных прогнозов.

Время

Начало жизненного цикла

Время

Конец жизненного цикла

Рис. 5

194

10.1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Развитие процессов, реально наблюдаемых в жизни, складывает-

ся из некоторой устойчивой тенденции (тренда) и некоторой случай-

ной составляющей, выражающейся в колебании значений показате-

ля вокруг тренда. На рис. 5 показано, как могут зависеть объемы

продаж одного и того же товара на двух стадиях его жизненного

цикла (в начале и в конце продаж).

Кривые тренда сглаживают динамический ряд значений показа-

теля, выделяя общую тенденцию. Именно выбор кривой тренда, сам

по себе являющийся довольно трудной задачей, во многом опреде-

ляет результаты прогнозирования.

В большинстве случаев динамический ряд, кроме тренда и слу-

чайных отклонений от него, характеризуется еще сезонными и ци-

клическими составляющими. Циклические составляющие отличают-

ся от сезонных большей продолжительностью и непостоянством ам-

плитуды. Обычная продолжительность сезонной компоненты изме-

ряется днями, неделями или месяцами, а циклической — годами или

десятками лет.

В дальнейшем мы не будем учитывать циклической составляю-

щей и, считая для простоты, что тренд является линейным, обсудим

три метода анализа временных рядов (рис. 6).

Рис.

При рассмотрении того, как работают эти методы, мы будем поль-

зоваться одним и тем же моментным временным рядом.

195

ГЛАВА 10.

МЕТОДЫ

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Пример. Предположим, что объемы продаж товара в течение не-

дели описываются временным рядом

или несколько по-иному:

10.1.1. Метод подвижного (скользящего) среднего

Метод простого скользящего среднего (simple moving average) состо-

ит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени

строится путем усреднения значений этого показателя за несколько

предшествующих моментов времени.

Обратимся к заданному временному ряду.

Для вычисления прогнозируемого объема продаж на четверг по-

ступим следующим образом. Возьмем фактические данные за три

предыдущих дня - - понедельник, вторник и среду — и найдем их

среднее арифметическое:

Прогнозируемый объем продаж на пятницу вычисляется анало-

гичным образом по реальным показателям за три предшествующих

дня — вторник, среду и четверг:

196

10.1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Подобным же способом рассчитываются прогнозы на субботу, вос-

кресенье и очередной понедельник:

И мы получаем следующую таблицу:

Сравнительные результаты приведены на рис. 7: темными круж-

ками отмечены реальные значения, а светлыми — прогнозируемые.

Рис. 7

Для общего случая расчетная формула выглядит так:

197

ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

или

(1)

где

Xk-t

— реальное значение показателя в момент времени

tk-i\

N — число предшествующих моментов времени, используемых

при расчете;

— прогноз на момент времени

Замечание. В рассматриваемом примере

= 3.

Метод взвешенного подвижного (скользящего) среднего (weighted

moving average). При составлении прогноза методом усреднения ча-

сто приходится наблюдать, что влияние используемых при расчете

реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно

более свежие данные имеют больший вес.

Математически метод взвешенного подвижного среднего можно

записать так:

где

— реальное значение показателя в

момент

времени

£/о_

;

N — число предшествующих моментов времени, используемых

при расчете;

— прогноз на момент времени

t^,

Wk-i

— вес, с которым используется показатель

Xk-i

при расчете.

Замечание. Вес — это всегда положительное число. В случае, когда

все веса одинаковы, мы получаем формулу (1).

Для расчетов обратимся к исходному временному ряду, считая,

что при составлении прогноза на завтрашний день объем сегодняш-

них продаж мы возьмем с весом 60, вчерашних — с весом 30, а по-

завчерашних

с весом 10.

198

10.1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Имеем:

и на рис. 8: темными кружками отмечены реальные значения, а све-

тлыми — прогнозируемые.

199

ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

10.1.2. Метод экспоненциального сглаживания

При расчете прогноза методом экспоненциального сглаживания

(exponential smoothing) учитывается отклонение предыдущего про-

гноза от реального показателя, а сам расчет проводится по следую-

щей формуле:

Ik =

fk-i

a{xk-i

/fc-i),

где

£fc_i

— реальное значение показателя в момент времени

tk-u

fk — прогноз на момент времени

£&;

— постоянная сглаживания.

Замечание. Значение постоянной

а,

подчиненной условию

0<а<1,

определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсаль-

ным методом проб и ошибок.

Для расчетов вновь обратимся к исходному временному ряду, по-

ложив

= 0,2 и считая, что прогноз на понедельник равен 8.

Тогда

и на рис. 9: темными кружками отмечены реальные значения, а све-

тлыми — прогнозируемые.

Замечание. Следует иметь в виду, что при решении реальной задачи

прогнозирования временной ряд складывается постепенно и реаль-

ное значение показателя на рассчитываемый момент времени нам

заранее неизвестно. Тем не менее, прежде чем заглянуть в будущее

200

Результаты расчетов приведены в таблице: