Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика

Подождите немного. Документ загружается.

Литература

[1] Белоцерковский С. М., Котовский В. Н., Ништ М. И., Федоров Р. М. Ма-

тематическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел.

Под ред. Белоцерковского С. М. — М.:Наука, 1988.

[2] Rosenhead L. Formation of vortices from a surfase of discontinuity. — Proc. Roy.

Soc. London, A. 1932, Vol.134, № 323.

[3] Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Отрывные и кавитационные течения. — М.:

Наука, 1990.

[4] Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.

[5] Сарпкая Т. Течение с отрывом около тел, обладающих подъемной силой и

внезапно начинающееся течение около цилиндров. — РТК, 1966, № 3.

[6] Bryson A. E. Symmetric votex separation on circular cylinders and cones. — J.

of Applied Mechanics, 1959, December.

[7] Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

354

Сравнительный анализ величин силы Магнуса,

вычисленных для вращающейся сферы в различных

приближенных моделях

Миронов И. В.

1. Введение

Проблема движения в воздухе осесимметричных, вращающихся вокруг своей оси тел

- одна из интересных и нерешенных полностью задач аэромеханики. Численный рас-

чет аэродинамических характеристик при помощи полных уравнений Навье-Стокса в

широком диапазоне изменяемых параметров (Re - числа Рейнольдса, M - числа Ма-

ха,  - параметра вращения) не представляется возможным даже при наличие совре-

менной вычислительной техники. Поэтому для прикладных задач разрабатываются

приближенные модели, позволяющие определять аэродинамические характеристики,

при различных режимах обтекания тел. Характерной особенностью аэродинамики

вращающихся тел является возникновение силы Магнуса из-за наличия вязкости

среды.

Данная работа посвящена моделированию обтекания вращающейся сферы и полу-

эмпирическому определению коэффициента силы Магнуса. Приводится сравнитель-

ный анализ величин силы Магнуса, полученных в нашем подходе и в различных

известных приближенных моделях приведенных ниже.

2. Приближение Озеена

В работе [1] рассматриваются решения упрощенных уравнений Навье-Стокса в при-

ближении Озеена для случая   1,где - параметр вращения,  =(r ∗ ω)/V

∞

: V

∞

- величина скорости набегающего потока, r - радиус сферы, ω - величина скорости

вращения сферы. В результате аналитически решенных уравнений была получена

формула для вычисления коэффициента силы Магнуса C

вследующемвиде:

=2 (1)

Характерно, что в соотношении (1) C

линейно зависит от параметра вращения 

и не зависит от числа Рейнольдса Re =(V

∞

∗ d )/ν (d - диаметр сферы, ν- кинема-

тическая вязкость среды).

3. Потенциальная модель обтекания

В работе [2] рассматривается обтекание вращающейся сферы в рамках модели потен-

циального течения идеальной несжимаемой жидкости. Вращение сферы моделирует-

ся наложенной циркуляцией, при этом вектор вращения

−→

ω перпендикулярен вектору

355

скорости набегающего потока

−→

∞

. Обтекание каждого сечения сферы перпендику-

лярного плоскости, содержащей вектора

−→

ω и

−→

∞

, рассматривается как поперечное

обтекание цилиндра с наложенной циркуляцией. Коэффициент C

для сферы есть

суммарная величина C

для каждого цилиндра. В результате такого подхода была

получена приближенная формула, имеющая вид:

 (2)

Такжекакивслучае приближения Озеена (1) в (2) C

не зависит от числа

Рейнольдса Re. По-видимому, данная модель обтекания вращающейся сферы будет

лучше соответствовать режимам быстрого вращения, когда область ближнего следа

уменьшается в следствие затягивания отрыва потока.

4. Модель «пограничный слой + вихревая зона»

Целью данной модели является обобщение методики [3] на случай сферических тел

и турбулентного состояния пограничного слоя. Рассматривается сфера радиуса r при

дозвуковых режимах обтекания и закретичных числах Рейнольдса. Были получены

полуэмпирические формулы для вычисления C

в зависимости от параметра враще-

ния , числа Рейнольдса Re и числа Маха M = V

∞

/a (a - скорость звука). Ниже

кратко изложены основные положения модели.

5. Определение составляющих силы Магнуса

Известны факторы, способствующие появлению силы Магнуса [4]: асимметрия тол-

щины пограничного слоя δ; асимметрия градиента давления среды, движущейся око-

ло поверхности тела ∂P/∂r; асимметрия течения после отрыва потока; асимметрия

распределения силы трения. Асимметрия распределения величин рассматривается

относительно плоскости, содержащей векторы

−→

ω и

−→

∞

Определение давления, обусловленного асимметрией δ проводилось в два этапа.

Вначале приближенно определялась δ на теле при учете вращения. Затем решалась

задача потенциального обтекания «эффективного тела» (тело + пограничный слой).

В результате преобразования Хоуарта-Манглера [6] величина δ определялась на теле

при помощи известного решения задачи Блазиуса для ламинарного и турбулентно-

го пограничного слоя. Учет вращения тела производился через модифицированное

преобразование Манглера [5].

Учет вклада в силу Магнуса за счет ∂P/∂r производится при помощи разрабо-

танной выше модели пограничного слоя и двух уравнений из системы Навье-Стокса,

одно из которых содержит ∂P/∂r, а другое является уравнением неразрывности, из

которого находится радиальная составляющая скорости V

при известных значениях

для продольной V

и азимутальной V

составляющих скорости. Из модели погра-

ничного слоя находилась V

. Профиль V

строился исходя из предположения, что

356

переход от окружающей скорости на поверхности тела к окружной скорости в невяз-

ком течении происходит в соответствии с профилем Блазиуса [5]. При известных

, V

и V

можно произвести оценку членов уравнения, содержащего радиальный

градиент давления при условии, что δ  r и определить давление.

Выражение для коэффициента давления от двух факторов для тела сферической

формы, полученное в данном исследовании, имеет вид:

=[L − (0.2852 · x

· 

+0.0197 · x

· 

)/β] ·  · V

(φ, α) · δ(x) (3)

Здесь L =(1.299 · T

∞

)/T



+1.24/β +0.0377, δ(x)=δ

∗

(x) · m

· T



∞

,гдеδ

∗

(x)

- толщина пограничного слоя на пластине, m

- преобразование Манглера [6], T



температура стенки, β = |1 − M

- поправка на сжимаемость.

Учет отрыва потока производился экспериментально при определении азимуталь-

ной составляющей скорости в невязком течении V

(φ, α) после изучения структуры

масло-сажевой пленки, нанесенной на поверхность тела [5]. Проведенные измере-

ния [7] позволили нам сравнить данные экспериментов и расчетов по вышеизложен-

ной методике коэффициента давления на цилиндре. Результаты сравнения показали,

что рассмотренный метод учета отрыва потока позволяет достаточно хорошо описы-

вать течение как в зоне сплошного обтекания, так и в отрывной зоне.

6. Определение силы Магнуса

Сила Магнуса определяется интегрированием проекции давления на нормальное к

плоскости, содержащей векторы

−→

ω и

−→

∞

. В предположении того, что  ∼ 10

−2

для

сферических тел, в данной работе удалось получить соотношение для C

= −4hKP

√

[

arcsin(

R − 1)] +

(

R − 1) · cos[arcsin(

R − 1)] −

cos[arcsin(

R − 1)]

· α (4)

Здесь h =[1.3/k +0.04+(1− 0.23

+0.016

) · 1.24/κ] - составляющая от

асимметричности толщины пограничного слоя, κ =(|1 − M

- поправка на сжи-

маемость, k =1+0.1224M

- поправка на сжимаемость ( при M  1 : κ = k ≈ 1),

P =2- в случае безотрывного обтекания и P = 3(1 − 1.52 sin α) - когда отрыв при-

сутствует, L = l/d =1,

R = R/d =0.5, K =5.2/

√

- когда течение ламинарное и

K =0.37/

√

- в случае турбулентности. Далее приводится сравнительный анализ

полученных нами и ранее известных результатов.

7. Сравнительный анализ результатов

На рис. 1 представлены расчеты C

(), полученные по формулам (1), (2), (4), а также

результаты экспериментов из работ [8], [9], [10], [11].

357

Рис. 1: Зависимость коэффициента C

от параметра вращения 

358

Джон Дэвис измерил коэффициент силы Магнуса с помощью вращающегося

шарика для гольфа [8]. Шарик с шероховатой поверхностью свободно падал сквозь

набегающий поток воздуха в аэродинамической трубе. Скорость потока V

∞

=32м/с,

диапазон скоростей вращения ω :0..5000 r.p.m., радиус шарика r =2.134 см, число

Рейнольдса Re ≈ 9 ∗ 10

Сикорский исследовал вращающийся бейсбольный шарик с 2-мя и 4-мя «швами».

Скорость набегающего воздушного потока V

∞

=42м/с, диапазон скоростей враще-

ния ω =0..1200 r.p.m., радиус шарика r =3.68 см, число Рейнольдса Re =2.1∗10

[9].

Берман и Харви исследовали шарик с шероховатой поверхностью при числах

Рейнольдса в дипазоне Re =0.4 ∗ 10

..2.4 ∗ 10

и скоростях вращения ω =0..6000

r.p.m [10].

Смитс и Смит измерили коэффициент силы Магнуса для шести различных вра-

щающихся в набегающем потоке шариков для гольфа при числах Рейнольдса Re =

7.0 ∗ 10

..2.1 ∗ 10

, диапазонах параметра вращения  =0.08..0.20 [11]. На рис. 1

представлены результаты только одного из экспериментов.

На рис. 1 видно, что из приведенных выше приближенных формул для вычисле-

ния C

результатам эксперимента работы [8] для турбулентного режима обтекания

наиболее соответствуют значения, полученные по формуле (4).

8. Заключение

Сравнение наших расчетов с расчетными и экспериментальными данными других

авторов показывают хорошее соответствие результатов для выбранных режимов об-

текания. Это подтверждает разумность предложенной в данной работе модификации

теории [3] для сферических тел.

Литература

[1] Rubinow S. I., Keller J. The transverse force on a spinning sphere moving in a

viscous fluid. — Journal of Fluid Mechanics, 1961, vol. 11.

[2] Гольштик М. А., Сорокин В. Н. О движении частицы в вихревой камере. —

ПМТФ, 1968, № 6.

[3] Козлов В. П. Влияние вязкости среды на движение осесимметричных враща-

ющихся тел при больших числах Маха. — Материалы международной кон-

ференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения

Чебышева П. Л., 1996, т. 1.

[4] Sturek W. B., Mylin D. C. Magnus effect on boattailed shell at supersonic speed.

— AIAA Pap., 1980, № 81.

[5] Vaughn H. R., Reis G. E. A Magnus theory for bodies of revolution. — AIAA j.,

1973, vol. 11.

[6] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.

359

[7] Козлов В. П. Распределения давления по поверхности вращающегося цилин-

дра в поперечном потоке и измерение подъемной силы Магнуса. - Вестник

МГУ, 1992, сер. 1, № 2.

[8] Davies J. M. The Aerodynamics of Golf Balls. — Journal of Applied Physics,

1949, vol. 20, № 9.

[9] Alaways L. W., Lightfoot R. B. Aerodynamics of a Curveball: The Sikorsky Lift

Data. — Sports Engineering Submitted, 1998.

[10] Bearman P. W., Harvey J. K. Golf Ball Aerodynamics. — Aeronaut. Q., 1976,

vol. 27.

[11] Smits A. J., Smith D. R. Anew Aerodynamic Model of a Golf Ball in Flight. —

The 1994 World Scientific Congress of Golf, 1994.

360

Изучение напряженного состояния породного массива

в окрестности разломов и магистральных трещин

Стагурова О. В.

1. К вопросу о построении модельных геомеханических задач

Значения параметров прочности и упругости пород верхних слоев земной коры яв-

ляются в принципе достаточным основанием для решения рассматриваемых задач

в упругой постановке. Данное решение можно считать первым приближением и ис-

пользовать для качественной оценки процессов, происходящих в породном массиве.

Задачи, приведенные в статье, решались численно методом конечных элементов

в квазистатической плоской постановке. Для получения упруго-пластического ре-

шения использовалась модель среды Кулона-Прандтля. Согласно этой модели пред-

полагается упругое поведение среды при величине накопленных напряжений ниже

предела текучести и пластическое течение (без упрочнения и разупрочнения, с ну-

левой дилатансией) при напряжениях на пределе текучести. Напряжения на пределе

текучести описываются уравнением Кулона

=2C ctg



−



1 + sin ϕ

1 − sin ϕ

где C — сцепление, j — внутреннее трение, σ

— максимальное главное напряжение,

— минимальное главное напряжение.

2. Изучение напряженного состояния массива в зонах с разлома-

ми в плоскостях, параллельных земной поверхности. Влияние

разломов на естественное напряженное состояние массива

Основной задачей данных исследований являлось оценка влияния разломов различ-

ной конфигурации и свойств на компоненты начальных главных горизонтальных

напряжений в массиве.

В соответствии с конечными целями исследования выполнялись как последова-

тельность нескольких шагов: на первом шаге изучалось влияние одиночных разло-

мов различной геометрической конфигурации; второй этап касался изучения системы

нескольких разломов и на последнем этапе рассматривался конкретный участок по-

родной толщи в районе Старобинского месторождения калийных солей с реальной

системой разломов.

Для корректного выбора расчетных схем были выполнены тестовые численные

эксперименты. В результате, на базе основных правил и подходов к моделированию

361

Рис. 1: Принципиальная схема граничной задачи для численных исследований

геомеханических процессов, особенностей решаемых задач и определяющих положе-

ний метода конечных элементов [1, 2] была выработана следующая схема к прове-

дению численных исследований: рассматривается протяженный (по сравнению с ли-

нейными размерами разлома) участок породного массива, выделенный из структуры

более высокого ранга, граничные условия в краевых зонах которого представляют со-

бой совокупность воздействия силового нагружения (нормальной нагрузки), форми-

рующейся как следствие напряженного состояния блочных структур более высокого

ранга [1], и/или, на удаленных от зон разломов граничных поверхностях, отсутствие

перемещений в соответствующем направлении (рис. 1). Зоны разрывных нарушений

моделируются сжимаемой упругой средой. Контактные условия между массивом и

зонами разрывных нарушений моделируются условиями полного сцепления.

В [1] на базе имеющихся данных о нарушении сплошности массива в разломных

зонах и обобщения выполненных исследований показано, что отношение E

можно принять равным E

: E

=10:1(где E

— модуль упругости вмещающих

пород, E

— модуль упругости в разломных зонах).

Так как достоверных данных об абсолютной величине и характере распределе-

ния действующих сил на рассматриваемых глубинах нет, то силы, действующие в

субмеридиональном и субширотном направлениях, принимались распределенными

равномерно на границе исследуемой области, а их интенсивность равной 1.

Напомним, что выполненные численные исследования касались изучения влияния

одиночных разломов различной геометрической конфигурации и их совокупности.

Приведем результаты исследований, относящиеся к рассмотрению влияния

изолированных разломов на напряженное состояние в массиве.

В свою очередь одиночные изолированные разломы дифференцировались по от-

ношению к граничным поверхностям на протяженные или соизмеримые с линейными

362

размерами области (тип 1 на рис. 1) и конечные или ограниченные (тип 2 на рис. 1).

Параметрами вариации являлись: относительные линейные размеры и ширина раз-

ломов по отношению к характерным линейным протяженностям области, угол, об-

разованный главной осью разлома с направлениями координатных осей, граничные

условия в зонах сопряжения разломов и основного массива. Граничные условия в зо-

нах сопряжения рассматривались от полного контакта до упругого взаимодействия.

Кроме того, рассматривались случаи возможных взаимных сближений и относитель-

ных параллельных движений граничных поверхностей разломов.

3. Общие выводы по данному комплексу исследований

При изучении напряженно-деформированного состояния областей с разломами,

линейные размеры которых соизмеримы с линейными размерами выделенной об-

ласти выявлены следующие закономерности:

Наличие разлома в породном массиве приводит к такому изменению естествен-

ного поля напряжений, что хотя в большей части массива в окрестности разлома

абсолютные значения компонент главных горизонтальных напряжений увеличивают-

ся незначительно, но направления линий действия этих напряжений существенным

образом изменяют свою ориентацию. Так, в зонах в непосредственной близости от

разреза происходит поворот напряжений до 45

◦

по отношению к начальным направ-

лениям.

В граничных областях с разрезом наблюдается повышение абсолютных значе-

ний компонент главных напряжений, причем напряжения по направлению вкрест

простирания разлома (будем их обозначать σ

) увеличиваются до значений в 1.5 ра-

за больше исходных, в тоже время значения напряжений по простиранию разлома

(будем обозначать их σ

) увеличиваются незначительно, в 1.15 раза.

Внутри разлома картина напряженного состояния обратная: абсолютные значения

напряжений σ

находятся в пределах 0.85 – 1.0 от первоначальных, а значения σ

изменяются существенным образом и достигают величин 0.5 – 0.7 от исходных.

Увеличение ширины разреза приводит к понижению напряжений внутри разре-

за (достижению нижних границ упоминаемых интервалов изменения напряжений в

области разреза) и к снижению концентрации напряжений в массиве в окрестности

разлома.

Выполнение условий полного сцепления на границах разлома приводит к значи-

тельному увеличению напряжений в массиве в окрестности разлома по сравнению с

условиями возможности взаимного перемещения блоков.

При изучении напряженно-деформированного состояния областей с разлома-

ми конечных размеров (по принятой нами терминологии) получены, в частности,

дополнительно следующие выводы:

Главные напряжения в окрестности разлома меняют линии своей ориентации по

сравнению с первоначальным направлением и поворачиваются на 10 – 35

◦

Внутри разлома направления главных напряжений практически не меняют своей

первоначальной ориентации. Вместе с тем, здесь наблюдается увеличение значений

363